人口增长模型课件

实验目的：1.介绍数学建模的基本概念；2.学习数学建模的一般过程；3.了解数学建模竞赛特点和形式。实验目的：1.介绍数学建模的基本概念；2.学习数学建1有关数学建模竞赛的介绍全国数学建模竞赛（CUMCM）：１．每年的9月份左右举行;2.我们学校每年20个队左右;3.每个队3名同学组成;4.参赛费用，每个队伍200元；5.参赛范围，主要为中国大陆地区。有关数学建模竞赛的介绍全国数学建模竞赛（CUMCM）：2美国数学建模竞赛（MCM）：1.每年的2月份左右举行,4天=96小时;2.我们学校选拔不超过7个队;3.每个队3名同学组成;4.参赛费用，每个队伍45美圆；5.参赛范围，全球，主要为美国、中国、印度、英国等国家。有关数学建模竞赛的介绍美国数学建模竞赛（MCM）：有关数学建模竞赛的介绍3全国大学生电工数学建模竞赛每年11月份举行;竞赛题目一般来源于电工、近代数学及经济管理等方面，经过适当的简化、加工的实际问题，主要包括：1．电工领域中的信息、控制与决策的相关问题；

2．近代数学、辨识与仿真及其应用的相关问题；

3．经济管理与运筹问题；4．场论及应用问题。全国大学生电工数学建模竞赛每年11月份举行;4掌握数学建模知识的参考书姜启源，谢金星编,数学模型,

高等教育出版社,2003年第三版.

通过这本书的学习,可以掌握最基本的数学建模知识和能力!掌握数学建模知识的参考书姜启源，谢金星编,数学模型,5其他数学建模的书数学建模与数学实验（第二版）/赵静雷功炎

编著,数学模型讲义,

北京大学

谭永基、俞文(鱼此)编著,数学模型,复旦大学出版社,1997第一版.

这些书都是一些基本的数学建模资料书籍,有兴趣的同学可以借来好好看看.其他数学建模的书数学建模与数学实验（第二版）/赵静6李大潜主编,中国大学生数学建模竞赛,高等教育出版社,1998第一版,2001第二版.叶其孝主编,大学生数学建模竞赛辅导教材(一、二、三、四),湖南教育出版社,1993-2001.全国大学生数学建模竞赛优秀论文汇编(1992-2000),中国物价出版社,2002.工程数学学报(专辑)(2002年后的每年第一期为上一年度的优秀论文)李大潜主编,中国大学生数学建模竞赛,高等教育出版社,197有关网站1.本网站是国防科技大学所办的一个数学建模网站,上面有许多的参赛过程以及参赛经验之谈;2.本网站也提供一些优秀论文的下载,BBS交流等信息;3.本网站同时也提供一些有用的数学建模所用的软件下载服务等;有关网站8CUMCM主页本网站提供一些CUMCM的消息,往年试题以及有关获奖名单等;有关全国数学建模竞赛的一些规章制度;有关数学建模竞赛的资料,一些其它网站的介绍等;CUMCM主页9美国数学建模竞赛主页/undergraduate/contests/mcm提供有关数学建模竞赛的信息;往年的竞赛试题与评奖结果;有关资料;竞赛结果分析等美国数学建模竞赛主页10电工数学建模竞赛的主页/提供有关数学建模竞赛的信息;往年的竞赛试题与评奖结果;有关资料;电工数学建模竞赛的主页/提供11数学模型（MathematicalModel）是用数学符号、数学式子、程序、图形等对实际课题本质属性的抽象而又简洁的刻划，它或能解释某些客观现象，或能预测未来的发展规律，或能为控制某一现象的发展提供某种意义下的最优策略或较好策略。

数学建模（MathematicalModeling）

应用知识从实际课题中抽象、提炼出数学模型的过程。基本概念：数学模型与数学建模数学模型（MathematicalModel）基本概念：12

例（人口增长模型）

人口问题是当今世界上人们最关心的问题。因为资源的原因，应当有效的正确的人口措施－－人口模型。而建立人口发展的模型不外乎预测和控制，Logistic模型是其中比较精细的人口模型。例（人口增长模型）人口问题是当今世界上人们最13基本假设:（1）人口的增长只考虑单位时间内人口增长与人口的关系；参数：简单推导如下：（2）有某一具体时刻的人口资料作为参照；N（t）：t时刻的人口数；r：增长率比例常数；基本假设:（1）人口的增长只考虑单位时间内人口增长与人口的14基于以上的假设有简单模型为：解此方程可以得到指数增长的模型为：基于以上的假设有简单模型为：解此方程可以得到指数增长的模型为15此解的图形为此解的图形为16程序为clearN0=10;r=0.002;t=[1:1000];N=N0.*exp(r*t);plot(t,N)程序为clear17上述模型的特点：只要知道了初始时的人口和人口的增长率，就可以通过上述模型估计未来几年的人口数；问题---怎样来找到初始人口和人口的增长率？？在已知数据的基础上，通过数据拟合或者参数估计来估计人口的增长率。上述模型的特点：只要知道了初始时的人口和人口的增长率，就可以18有关数据，请估计人口的增长率r：有关数据，请估计人口的增长率r：19因为令用线性随小二乘法估计参数r，因为令用线性随小二乘法估计参数r，20世界人口增长率最小二乘法估计cleart=[1625,1830,1930,1960,1974,1987,1999];y=[5,10,20,30,40,50,60];yy=log(y-4.9);R=[t'];r=R\yy';plot(t,exp(r*t+log(4.9)));holdonplot(t,y,'b.');世界人口增长率最小二乘法估计clear21请大家练习中国人口增长率的估计问题，求出其增长率r=?

请大家练习中国人口增长率的估计问题，求出其增长率r=?

22中国人口增长程序cleart=[1908,1933,1953,1964,1982,1990,1995,2000];y=[3.0,4.7,6.0,7.2,10.3,11.3,12.0,13.0];yy=log(y-2.9);R=[t'];r=R\yy';plot(t,exp(r*t+log(2.9)));holdonplot(t,y,'b.');中国人口增长程序clear23模型的分析上述模型不能很好的与实际数据符合！请大家考虑原因是什么？人口增长到一定程度后，增长率要下降；同时，人口的增长要受到资源、环境等各个方面的限制。模型的分析上述模型不能很好的与实际数据符合！24

1.了解问题的实际背景，明确建模目的，收集掌握必要的数据资料。2.在明确建模目的，掌握必要资料的基础上，通过对资料的分析计算，找出起主要作用的因素，经必要的精炼、简化，提出若干符合客观实际的假设。

3.在所作假设的基础上，利用适当的数学工具去刻划各变量之间的关系，建立相应的数学结构——即建立数学模型。4.模型求解。5.模型的分析与检验。

在难以得出解析解时，也应当借助计算机求出数值解。

数学建模的一般步骤实体信息(数据)假设建模求解验证应用1.了解问题的实际背景，明确建模目的，收集掌握必要的数据资25数学模型的分类分类标准具体类别对某个实际问题了解的深入程度白箱模型、灰箱模型、黑箱模型模型中变量的特征连续型模型、离散型模型或确定性模型、随机型模型等建模中所用的数学方法初等模型、微分方程模型、差分方程模型、优化模型等研究课题的实际范畴人口模型、生态系统模型、交通流模型、经济模型、基因模型等数学模型的分类分类标准具体类别对某个实际问题了解的深入程度白26常见模型常见模型27①数学建模实践的每一步中都蕴含着能力上的锻炼，在调查研究阶段，需要用到观察能力、分析能力和数据处理能力等。在提出假设时，又需要用到想象力和归纳简化能力。②在真正开始自己的研究之前，还应当尽可能先了解一下前人或别人的工作，使自己的工作成为别人研究工作的继续而不是别人工作的重复，你可以把某些已知的研究结果用作你的假设，去探索新的奥秘。因此我们还应当学会在尽可能短的时间内查到并学会我想应用的知识的本领。③还需要你多少要有点创新的能力。这种能力不是生来就有的，建模实践就为你提供了一个培养创新能力的机会。数学建模与能力的培养①数学建模实践的每一步中都蕴含着能力上的锻炼，在调查研28例1某人平时下班总是按预定时间到达某处，然然后他妻子开车接他回家。有一天，他比平时提早了三十分钟到达该处，于是此人就沿着妻子来接他的方向步行回去并在途中遇到了妻子，这一天，他比平时提前了十分钟到家，问此人共步行了多长时间？一些简单实例

似乎条件不够哦。。

换一种想法，问题就迎刃而解了。假如他的妻子遇到他后仍载着他开往会合地点，那么这一天他就不会提前回家了。提前的十分钟时间从何而来？

显然是由于节省了从相遇点到会合点，又从会合点返回相遇点这一段路的缘故，故由相遇点到会合点需开5分钟。而此人提前了三十分钟到达会合点，故相遇时他已步行了二十五分钟。

请思考一下，本题解答中隐含了哪些假设？例1某人平时下班总是按预定时间到达某处，然一些简单实例29例2某人第一天由A地去B地，第二天由B地沿原路返回A地。问：在什么条件下，可以保证途中至少存在一地，此人在两天中的同一时间到达该地。分析

本题多少有点象数学中解的存在性条件及证明，当然，这里的情况要简单得多。

假如我们换一种想法，把第二天的返回改变成另一人在同一天由B去A，问题就化为在什么条件下，两人至少在途中相遇一次，这样结论就很容易得出了：只要任何一人的到达时间晚于另一人的出发时间，两人必会在途中相遇。（请自己据此给出严格证明）

例2某人第一天由A地去B地，第二天由B地沿原路返回30例3交通灯在绿灯转换成红灯时，有一个过渡状态——亮一段时间的黄灯。请分析黄灯应当亮多久。设想一下黄灯的作用是什么，不难看出，黄灯起的是警告的作用，意思是马上要转红灯了，假如你能停住，请立即停车。停车是需要时间的，在这段时间内，车辆仍将向前行驶一段距离L。这就是说，在离街口距离为L处存在着一条停车线（尽管它没被画在地上），见图1-4。对于那些黄灯亮时已过线的车辆，则应当保证它们仍能穿过马路。

马路的宽度D是容易测得的，问题的关键在于L的确定。为确定L，还应当将L划分为两段：L1和L2，其中L1是司机在发现黄灯亮及判断应当刹车的反应时间内驶过的路程，L2为刹车制动后车辆驶过的路程。L1较容易计算，交通部门对司机的平均反应时间t1早有测算，反应时间过长将考不出驾照），而此街道的行驶速度v也是交管部门早已定好的，目的是使交通流量最大，可另建模型研究，从而L1=v*t1。刹车距离L2既可用曲线拟合方法得出，也可利用牛顿第二定律计算出来（留作习题）。黄灯究竟应当亮多久现在已经变得清楚多了。第一步，先计算出L应多大才能使看见黄灯的司机停得住车。第二步，黄灯亮的时间应当让已过线的车顺利穿过马路，即T至少应当达到（L+D）/v。

DL例3交通灯在绿灯转换成红灯时，有一个过渡状态——亮一段时间31例4

餐馆每天都要洗大量的盘子，为了方便，某餐馆是这样清洗盘子的：先用冷水粗粗洗一下，再放进热水池洗涤，水温不能太高，否则会烫手，但也不能太低，否则不干净。由于想节省开支，餐馆老板想了解一池热水到底可以洗多少盘子，请你帮他建模分析一下这一问题。盘子有大小吗?是什么样的盘子？盘子是怎样洗的?………不妨假设我们了解到：盘子大小相同，均为瓷质菜盘，洗涤时先将一叠盘子浸泡在热水中，然后一清洗。

不难看出，是水的温度在决定洗盘子的数量

。盘子是先用冷水洗过的，其后可能还会再用清水冲洗，更换热水并非因为水太脏了，而是因为水不够热了。

那么热水为什么会变冷呢？假如你想建一个较精细的模型，你当然应当把水池、空气等吸热的因素都考虑进去，但餐馆老板的原意只是想了解一下一池热水平均大约可以洗多少盘子，杀鸡焉用牛刀？

不妨可以提出以下简化假设：（1）水池、空气吸热不计，只考虑盘子吸热，盘子的大小、材料相同（2）盘子初始温度与气温相同，洗完后的温度与水温相同（3）水池中的水量为常数，开始温度为T1，最终换水时的温度为T2（4）每个盘子的洗涤时间△T是一个常数。（这一假设甚至可以去掉不要）根据上述简化假设，利用热量守衡定律，餐馆老板的问题就很容易回答了，当然，你还应当调查一下一池水的质量是多少，查一下瓷盘的吸热系数和质量等。

可见，假设条件的提出不仅和你研的问题有关，还和你准备利用哪些知识、准备建立什么样的模型以及你准备研究的深入程度有关，即在你提出假设时，你建模的框架已经基本搭好了。例4餐馆每天都要洗大量的盘子，为了方便，某餐馆是这样清洗32例4飞机失事时，黑匣子会自动打开，发射出某种射线。为了搞清失事原因，人们必须尽快找回匣子。确定黑匣子的位置，必须确定其所在的方向和距离，试设计一些寻找黑匣子的方法。由于要确定两个参数，至少要用仪器检测两次，除非你事先知道黑匣子发射射线的强度。例4飞机失事时，黑匣子会自动打开，发射出某种射线。为了搞清33方法一点光源发出的射线在各点处的照度与其到点光源的距离的平方成反比，即黑匣子所在方向很容易确定，关键在于确定距离。设在同一方向不同位置检测了两次，测得的照度分别为I1和I2，两测量点间的距离为a，则有方法一点光源发出的射线在各点处的照度与其到点光源的距离的34实例编程练习：1、设在同一方向不同位置检测了两次，测得照度分别为3和6，两测量点间的距离为60。请编程实现距离的求解。Functionjuli(a,i1,i2)D=a/(sqrt(i2/i1)-1)在matlab里面输入juli(60,3,6),可以得到D=144.852米实例编程练习：1、设在同一方向不同位置检测了两次，测得Fun35方法二在方法一中，两检测点与黑匣子位于一直线上，这一点比较容易做到，主要缺点是结果对照度测量的精度要求较高，很少的误差会造成结果的很大变化，即敏感性很强，现提出另一方法，在A点测得黑匣子方向后，到B点再测方向，AB

距离为a

，∠BAC=α，∠ABC=β，利用正弦定理得出d=asinα/sin(α+β)。需要指出的是，当黑匣子位于较远处而α又较小时，α+β可能非常接近π（∠ACB接近于0），而sin（α+β）又恰好位于分母上，因而对结果的精确性影响也会很大，为了使结果较好，应使a也相对较大。BACaαβ方法二在方法一中，两检测点与黑匣子36

圆周率是人类获得的最古老的数学概念之一，早在大约3700年前（即公元前1700年左右）的古埃及人就已经在用256/81（约3.1605）作为π的近似值了。几千年来，人们一直没有停止过求π的努力。π的计算圆周率是人类获得的最古老的数学概念之一，早在大约370037

古典方法

分析方法

其它方法概率方法数值积分方法古典方法概率方法38古典方法用什么方法来计算π的近似值呢？显然，不可能仅根据圆周率的定义，用圆的周长去除以直径。起先，人们采用的都是用圆内接正多边形和圆外切正多边形来逼近的古典方法。6边形12边形24边形圆古典方法用什么方法来计算π的近似值呢？显然，不可能仅根据39阿基米德曾用圆内接96边形和圆外切96边形夹逼的方法证明了由和导出公元5世纪，祖冲之指出比西方得到同样结果几乎早了1000年阿基米德曾用圆内接96边形和圆外切96边形夹逼的方法证40十五世纪中叶，阿尔·卡西给出π的16位小数，打破了祖冲之的纪录1579年,韦达证明1630年,最后一位用古典方法求π的人格林伯格也只求到了π的第39位小数十五世纪中叶，阿尔·卡西给出π的16位小数，打破了祖冲之41分析方法从十七世纪中叶起，人们开始用更先进的分析方法来求π的近似值，其中应用的主要工具是收敛的无穷乘积和无穷级数，在本节中我们将介绍一些用此类方法求π近似值的实例。分析方法从十七世纪中叶起，人们开始用更先进的分析方法来求π421656年，沃里斯(Wallis)证明请编程序实现上述求法1656年，沃里斯(Wallis)证明请编程序实现上述求43取取functionp(k)p=1;fori=1:kp=p*((2*i/(2*i-1))*(2*i/(2*i+1)));endp=2*p取取functionp(k)44在微积分中我们学过泰勒级数，其中有当在微积分中我们学过泰勒级数，其中有当45functionp(k)p=0;fori=0:kp=p+((-1)^i)*(1/(2*i+1));endp=4*p程序functionp(k)程序46取取取取47在中学数学中证明过下面的等式左边三个正方形组成的矩形中，由和可得

和的展开式的收敛速度都比快得多ACBD在中学数学中证明过下面的等式左边三个正方形组成的矩形中，48麦琴(Machin)给出(Machin公式)记，，得此式求得了π的第100位小数且全部正确麦琴(Machin)给出(Machin公式)记49其它方法除用古典方法与分析方法求π的近似值以外，还有人用其他方法来求π的近似值。这里我们将介绍两种方法：

概率方法

数值积分方法其它方法除用古典方法与分析方法求π的近似值以外，还有人用其50概率方法取一个二维数组（x,y），取一个充分大的正整数n，重复n次，每次独立地从（0，1）中随机地取一对数x和y，分别检验x2+y2≤1是否成立。设n次试验中等式成立的共有m次，令π≈4m/n。但这种方法很难得到π的较好的近似值。概率方法取一个二维数组（x,y），取一个充分大的正整数51数值积分方法还可用其它数值积分公式来求，但用此类方法效果也很难做得比用幂级数展开更好数值积分方法还可用其它数值积分公式来求，但用此类方法效果也52数学建模实验作业1、三人一组共同完成；2、上交作业以数学建模论文的方式上交：论文：其基本内容和格式大致分三大部分：A）标题、摘要部分题目——写出较确切的题目（不能只写A题、B题）。摘要——200-300字，包括模型的主要特点、建模方法和主要结果。数学建模实验作业1、三人一组共同完成；53B）论文中心部分1）问题提出，问题分析。2）模型建立：①补充假设条件，明确概念，引进参数；②模型形式（可有多个形式的模型）；③模型求解；④模型性质；3）计算方法设计和计算机实现。4）结果分析与检验。5）讨论——模型的优缺点，改进方向，推广新思想。6）参考文献——注意格式。B）论文中心部分54C）附录部分计算程序，框图。各种求解演算过程，计算中间结果。各种图形、表格。3、作业完成时间：从上第一次数学建模实验开始计算时间，用两周的时间做完，选做一题。4.作业上交：提交电子版本到服务器，并上交一份打印版本到上课老师处。C）附录部分55A题：人口模型请在人口增长的简单模型的基础上。（1）找到现有的描述人口增长，与控制人口增长的模型；（2）深入分析现有的数学模型，并通过计算机进行仿真验证；（3）选择一个你们认为较好的数学模型，并应用该模型对未来20年的某一地区或国家的人口作出有关预测；（4）就人口增长模型给报刊写一篇文章，对控制人口的策略进行论述。A题：人口模型请在人口增长的简单模型的基础上。56

近几年来，我国各大中城市的房价出现了普遍持续上涨情况。一方面，房价的上涨使生活成本大幅增加，导致许多中低收入人群买房难；另一方面，部分投机者通过各种融资渠道买入房屋囤积，期望获得高额利润，导致房价居高不下。因此，如何有效抑制房地产价格上扬，抑制房地产投机，是一个备受关注的社会问题。国家为此出台了提高房地产贷款利率和二手房转贷限制等各项政策，现在请你就以下几个方面的问题进行讨论：1、建立一个城市房价的数学模型，通过这个模型对房价的形成、演化机理和房地产投机进行深入细致的分析，并应用仿真验证；2、分析国家提高房地产贷款利率和二手房转贷限制对房地产投机者的影响；3、给出抑制房地产投机的政策建议。B题：抑制房地产投机问题B题：抑制房地产投机问题57实验目的：1.介绍数学建模的基本概念；2.学习数学建模的一般过程；3.了解数学建模竞赛特点和形式。实验目的：1.介绍数学建模的基本概念；2.学习数学建58有关数学建模竞赛的介绍全国数学建模竞赛（CUMCM）：１．每年的9月份左右举行;2.我们学校每年20个队左右;3.每个队3名同学组成;4.参赛费用，每个队伍200元；5.参赛范围，主要为中国大陆地区。有关数学建模竞赛的介绍全国数学建模竞赛（CUMCM）：59美国数学建模竞赛（MCM）：1.每年的2月份左右举行,4天=96小时;2.我们学校选拔不超过7个队;3.每个队3名同学组成;4.参赛费用，每个队伍45美圆；5.参赛范围，全球，主要为美国、中国、印度、英国等国家。有关数学建模竞赛的介绍美国数学建模竞赛（MCM）：有关数学建模竞赛的介绍60全国大学生电工数学建模竞赛每年11月份举行;竞赛题目一般来源于电工、近代数学及经济管理等方面，经过适当的简化、加工的实际问题，主要包括：1．电工领域中的信息、控制与决策的相关问题；

2．近代数学、辨识与仿真及其应用的相关问题；

3．经济管理与运筹问题；4．场论及应用问题。全国大学生电工数学建模竞赛每年11月份举行;61掌握数学建模知识的参考书姜启源，谢金星编,数学模型,

高等教育出版社,2003年第三版.

通过这本书的学习,可以掌握最基本的数学建模知识和能力!掌握数学建模知识的参考书姜启源，谢金星编,数学模型,62其他数学建模的书数学建模与数学实验（第二版）/赵静雷功炎

编著,数学模型讲义,

北京大学

谭永基、俞文(鱼此)编著,数学模型,复旦大学出版社,1997第一版.

这些书都是一些基本的数学建模资料书籍,有兴趣的同学可以借来好好看看.其他数学建模的书数学建模与数学实验（第二版）/赵静63李大潜主编,中国大学生数学建模竞赛,高等教育出版社,1998第一版,2001第二版.叶其孝主编,大学生数学建模竞赛辅导教材(一、二、三、四),湖南教育出版社,1993-2001.全国大学生数学建模竞赛优秀论文汇编(1992-2000),中国物价出版社,2002.工程数学学报(专辑)(2002年后的每年第一期为上一年度的优秀论文)李大潜主编,中国大学生数学建模竞赛,高等教育出版社,1964有关网站1.本网站是国防科技大学所办的一个数学建模网站,上面有许多的参赛过程以及参赛经验之谈;2.本网站也提供一些优秀论文的下载,BBS交流等信息;3.本网站同时也提供一些有用的数学建模所用的软件下载服务等;有关网站65CUMCM主页本网站提供一些CUMCM的消息,往年试题以及有关获奖名单等;有关全国数学建模竞赛的一些规章制度;有关数学建模竞赛的资料,一些其它网站的介绍等;CUMCM主页66美国数学建模竞赛主页/undergraduate/contests/mcm提供有关数学建模竞赛的信息;往年的竞赛试题与评奖结果;有关资料;竞赛结果分析等美国数学建模竞赛主页67电工数学建模竞赛的主页/提供有关数学建模竞赛的信息;往年的竞赛试题与评奖结果;有关资料;电工数学建模竞赛的主页/提供68数学模型（MathematicalModel）是用数学符号、数学式子、程序、图形等对实际课题本质属性的抽象而又简洁的刻划，它或能解释某些客观现象，或能预测未来的发展规律，或能为控制某一现象的发展提供某种意义下的最优策略或较好策略。

数学建模（MathematicalModeling）

应用知识从实际课题中抽象、提炼出数学模型的过程。基本概念：数学模型与数学建模数学模型（MathematicalModel）基本概念：69

例（人口增长模型）

人口问题是当今世界上人们最关心的问题。因为资源的原因，应当有效的正确的人口措施－－人口模型。而建立人口发展的模型不外乎预测和控制，Logistic模型是其中比较精细的人口模型。例（人口增长模型）人口问题是当今世界上人们最70基本假设:（1）人口的增长只考虑单位时间内人口增长与人口的关系；参数：简单推导如下：（2）有某一具体时刻的人口资料作为参照；N（t）：t时刻的人口数；r：增长率比例常数；基本假设:（1）人口的增长只考虑单位时间内人口增长与人口的71基于以上的假设有简单模型为：解此方程可以得到指数增长的模型为：基于以上的假设有简单模型为：解此方程可以得到指数增长的模型为72此解的图形为此解的图形为73程序为clearN0=10;r=0.002;t=[1:1000];N=N0.*exp(r*t);plot(t,N)程序为clear74上述模型的特点：只要知道了初始时的人口和人口的增长率，就可以通过上述模型估计未来几年的人口数；问题---怎样来找到初始人口和人口的增长率？？在已知数据的基础上，通过数据拟合或者参数估计来估计人口的增长率。上述模型的特点：只要知道了初始时的人口和人口的增长率，就可以75有关数据，请估计人口的增长率r：有关数据，请估计人口的增长率r：76因为令用线性随小二乘法估计参数r，因为令用线性随小二乘法估计参数r，77世界人口增长率最小二乘法估计cleart=[1625,1830,1930,1960,1974,1987,1999];y=[5,10,20,30,40,50,60];yy=log(y-4.9);R=[t'];r=R\yy';plot(t,exp(r*t+log(4.9)));holdonplot(t,y,'b.');世界人口增长率最小二乘法估计clear78请大家练习中国人口增长率的估计问题，求出其增长率r=?

请大家练习中国人口增长率的估计问题，求出其增长率r=?

79中国人口增长程序cleart=[1908,1933,1953,1964,1982,1990,1995,2000];y=[3.0,4.7,6.0,7.2,10.3,11.3,12.0,13.0];yy=log(y-2.9);R=[t'];r=R\yy';plot(t,exp(r*t+log(2.9)));holdonplot(t,y,'b.');中国人口增长程序clear80模型的分析上述模型不能很好的与实际数据符合！请大家考虑原因是什么？人口增长到一定程度后，增长率要下降；同时，人口的增长要受到资源、环境等各个方面的限制。模型的分析上述模型不能很好的与实际数据符合！81

1.了解问题的实际背景，明确建模目的，收集掌握必要的数据资料。2.在明确建模目的，掌握必要资料的基础上，通过对资料的分析计算，找出起主要作用的因素，经必要的精炼、简化，提出若干符合客观实际的假设。

3.在所作假设的基础上，利用适当的数学工具去刻划各变量之间的关系，建立相应的数学结构——即建立数学模型。4.模型求解。5.模型的分析与检验。

在难以得出解析解时，也应当借助计算机求出数值解。

数学建模的一般步骤实体信息(数据)假设建模求解验证应用1.了解问题的实际背景，明确建模目的，收集掌握必要的数据资82数学模型的分类分类标准具体类别对某个实际问题了解的深入程度白箱模型、灰箱模型、黑箱模型模型中变量的特征连续型模型、离散型模型或确定性模型、随机型模型等建模中所用的数学方法初等模型、微分方程模型、差分方程模型、优化模型等研究课题的实际范畴人口模型、生态系统模型、交通流模型、经济模型、基因模型等数学模型的分类分类标准具体类别对某个实际问题了解的深入程度白83常见模型常见模型84①数学建模实践的每一步中都蕴含着能力上的锻炼，在调查研究阶段，需要用到观察能力、分析能力和数据处理能力等。在提出假设时，又需要用到想象力和归纳简化能力。②在真正开始自己的研究之前，还应当尽可能先了解一下前人或别人的工作，使自己的工作成为别人研究工作的继续而不是别人工作的重复，你可以把某些已知的研究结果用作你的假设，去探索新的奥秘。因此我们还应当学会在尽可能短的时间内查到并学会我想应用的知识的本领。③还需要你多少要有点创新的能力。这种能力不是生来就有的，建模实践就为你提供了一个培养创新能力的机会。数学建模与能力的培养①数学建模实践的每一步中都蕴含着能力上的锻炼，在调查研85例1某人平时下班总是按预定时间到达某处，然然后他妻子开车接他回家。有一天，他比平时提早了三十分钟到达该处，于是此人就沿着妻子来接他的方向步行回去并在途中遇到了妻子，这一天，他比平时提前了十分钟到家，问此人共步行了多长时间？一些简单实例

似乎条件不够哦。。

换一种想法，问题就迎刃而解了。假如他的妻子遇到他后仍载着他开往会合地点，那么这一天他就不会提前回家了。提前的十分钟时间从何而来？

显然是由于节省了从相遇点到会合点，又从会合点返回相遇点这一段路的缘故，故由相遇点到会合点需开5分钟。而此人提前了三十分钟到达会合点，故相遇时他已步行了二十五分钟。

请思考一下，本题解答中隐含了哪些假设？例1某人平时下班总是按预定时间到达某处，然一些简单实例86例2某人第一天由A地去B地，第二天由B地沿原路返回A地。问：在什么条件下，可以保证途中至少存在一地，此人在两天中的同一时间到达该地。分析

本题多少有点象数学中解的存在性条件及证明，当然，这里的情况要简单得多。

假如我们换一种想法，把第二天的返回改变成另一人在同一天由B去A，问题就化为在什么条件下，两人至少在途中相遇一次，这样结论就很容易得出了：只要任何一人的到达时间晚于另一人的出发时间，两人必会在途中相遇。（请自己据此给出严格证明）

例2某人第一天由A地去B地，第二天由B地沿原路返回87例3交通灯在绿灯转换成红灯时，有一个过渡状态——亮一段时间的黄灯。请分析黄灯应当亮多久。设想一下黄灯的作用是什么，不难看出，黄灯起的是警告的作用，意思是马上要转红灯了，假如你能停住，请立即停车。停车是需要时间的，在这段时间内，车辆仍将向前行驶一段距离L。这就是说，在离街口距离为L处存在着一条停车线（尽管它没被画在地上），见图1-4。对于那些黄灯亮时已过线的车辆，则应当保证它们仍能穿过马路。

马路的宽度D是容易测得的，问题的关键在于L的确定。为确定L，还应当将L划分为两段：L1和L2，其中L1是司机在发现黄灯亮及判断应当刹车的反应时间内驶过的路程，L2为刹车制动后车辆驶过的路程。L1较容易计算，交通部门对司机的平均反应时间t1早有测算，反应时间过长将考不出驾照），而此街道的行驶速度v也是交管部门早已定好的，目的是使交通流量最大，可另建模型研究，从而L1=v*t1。刹车距离L2既可用曲线拟合方法得出，也可利用牛顿第二定律计算出来（留作习题）。黄灯究竟应当亮多久现在已经变得清楚多了。第一步，先计算出L应多大才能使看见黄灯的司机停得住车。第二步，黄灯亮的时间应当让已过线的车顺利穿过马路，即T至少应当达到（L+D）/v。

DL例3交通灯在绿灯转换成红灯时，有一个过渡状态——亮一段时间88例4

餐馆每天都要洗大量的盘子，为了方便，某餐馆是这样清洗盘子的：先用冷水粗粗洗一下，再放进热水池洗涤，水温不能太高，否则会烫手，但也不能太低，否则不干净。由于想节省开支，餐馆老板想了解一池热水到底可以洗多少盘子，请你帮他建模分析一下这一问题。盘子有大小吗?是什么样的盘子？盘子是怎样洗的?………不妨假设我们了解到：盘子大小相同，均为瓷质菜盘，洗涤时先将一叠盘子浸泡在热水中，然后一清洗。

不难看出，是水的温度在决定洗盘子的数量

。盘子是先用冷水洗过的，其后可能还会再用清水冲洗，更换热水并非因为水太脏了，而是因为水不够热了。

那么热水为什么会变冷呢？假如你想建一个较精细的模型，你当然应当把水池、空气等吸热的因素都考虑进去，但餐馆老板的原意只是想了解一下一池热水平均大约可以洗多少盘子，杀鸡焉用牛刀？

不妨可以提出以下简化假设：（1）水池、空气吸热不计，只考虑盘子吸热，盘子的大小、材料相同（2）盘子初始温度与气温相同，洗完后的温度与水温相同（3）水池中的水量为常数，开始温度为T1，最终换水时的温度为T2（4）每个盘子的洗涤时间△T是一个常数。（这一假设甚至可以去掉不要）根据上述简化假设，利用热量守衡定律，餐馆老板的问题就很容易回答了，当然，你还应当调查一下一池水的质量是多少，查一下瓷盘的吸热系数和质量等。

可见，假设条件的提出不仅和你研的问题有关，还和你准备利用哪些知识、准备建立什么样的模型以及你准备研究的深入程度有关，即在你提出假设时，你建模的框架已经基本搭好了。例4餐馆每天都要洗大量的盘子，为了方便，某餐馆是这样清洗89例4飞机失事时，黑匣子会自动打开，发射出某种射线。为了搞清失事原因，人们必须尽快找回匣子。确定黑匣子的位置，必须确定其所在的方向和距离，试设计一些寻找黑匣子的方法。由于要确定两个参数，至少要用仪器检测两次，除非你事先知道黑匣子发射射线的强度。例4飞机失事时，黑匣子会自动打开，发射出某种射线。为了搞清90方法一点光源发出的射线在各点处的照度与其到点光源的距离的平方成反比，即黑匣子所在方向很容易确定，关键在于确定距离。设在同一方向不同位置检测了两次，测得的照度分别为I1和I2，两测量点间的距离为a，则有方法一点光源发出的射线在各点处的照度与其到点光源的距离的91实例编程练习：1、设在同一方向不同位置检测了两次，测得照度分别为3和6，两测量点间的距离为60。请编程实现距离的求解。Functionjuli(a,i1,i2)D=a/(sqrt(i2/i1)-1)在matlab里面输入juli(60,3,6),可以得到D=144.852米实例编程练习：1、设在同一方向不同位置检测了两次，测得Fun92方法二在方法一中，两检测点与黑匣子位于一直线上，这一点比较容易做到，主要缺点是结果对照度测量的精度要求较高，很少的误差会造成结果的很大变化，即敏感性很强，现提出另一方法，在A点测得黑匣子方向后，到B点再测方向，AB

距离为a

，∠BAC=α，∠ABC=β，利用正弦定理得出d=asinα/sin(α+β)。需要指出的是，当黑匣子位于较远处而α又较小时，α+β可能非常接近π（∠ACB接近于0），而sin（α+β）又恰好位于分母上，因而对结果的精确性影响也会很大，为了使结果较好，应使a也相对较大。BACaαβ方法二在方法一中，两检测点与黑匣子93

圆周率是人类获得的最古老的数学概念之一，早在大约3700年前（即公元前1700年左右）的古埃及人就已经在用256/81（约3.1605）作为π的近似值了。几千年来，人们一直没有停止过求π的努力。π的计算圆周率是人类获得的最古老的数学概念之一，早在大约370094

古典方法

分析方法

其它方法概率方法数值积分方法古典方法概率方法95古典方法用什么方法来计算π的近似值呢？显然，不可能仅根据圆周率的定义，用圆的周长去除以直径。起先，人们采用的都是用圆内接正多边形和圆外切正多边形来逼近的古典方法。6边形12边形24边形圆古典方法用什么方法来计算π的近似值呢？显然，不可能仅根据96阿基米德曾用圆内接96边形和圆外切96边形夹逼的方法证明了由和导出公元5世纪，祖冲之指出比西方得到同样结果几乎早了1000年阿基米德曾用圆内接96边形和圆外切96边形夹逼的方法证97十五世纪中叶，阿尔·卡西给出π的16位小数，打破了祖冲之的纪录1579年,韦达证明1630年,最后一位用古典方法求π的人格林伯格也只求到了π的第39位小数十五世纪中叶，阿尔·卡西给出π的16位小数，打破了祖冲之98分析方法从十七世纪中叶起，人们开始用更先进的分析方法来求π的近似值，其中应用的主要工具是收敛的无穷乘积和无穷级数，在本节中我们将介绍一些用此类方法求π近似值的实例。分析方法从十七世纪中叶起，人们开始用更先进的分析方法来求π991656年，沃里斯(Wallis)证明请编程序实现上述求法1656年，沃里斯(Wallis)证明请编程序实现上述求