大一上-第七章07习题课

（一）向量代（二）空间解（一）表示表示线性运向量向量的数量

混合

向量1、向量的概向量的模单位向量、零向量自由向量等向量向量平行向量

向径2、向量的线性运 加法

babab

aba减法：aba

b向量与数的乘法设是一个数，向量a

的乘积

规定为

a与a同向|a|

|a(2)

a(3)

a与a反向

|

||a3、向量的表示

axi

ay

azk在三个坐标轴上的分向量axi

ayj

azk向量的坐标表示式：a

{ax

ay

az向量的坐

ax

ay,az其中ax,ay

分别为向量

y,

轴上向量的加减法、向量与数的乘积等的坐标表达a{ax

ay

az

b{bx

by

bza

{ax

bx

ay

by

az

(ax

bx

(ayby)

bzab{ax

bx

ayby

azbz(ax

bx

(ay

by)

bza{ax

ay,az(ax

(ay)

(aza2xy2aza2xy2azaa2xy2a2xy2aza2xa2xy2aza2xa2xy2az

cos ay(cos2

cos2

cos2

14、数量

(点积、内积aa

|a||

|

其中为

与b的夹角数量积的坐标表abaxbx

ayby

azbz两向量夹角余弦的坐标表示cos

axbx

ayby

azbza2xa2xy2azb2xy2bzbab

ayby

azbz5、向量

(叉积、外积caca

其中为a与b的夹角bc的方向既垂直于a，又垂直于，指向符合手规则向量积的坐标表

abax

ay azby (aybz

azby

(azbx

axbz)

(axby

aybx

ay

az6、混合

ax ay az [abc]

(ab)

bxcx

by cy cz在几何上向量的混合积[abc]

的绝对值a,b,c为棱的平行六面体的[abc]abc共面[abc]（二）空间直角坐标面柱参数方曲旋转面柱参数方曲旋转曲一般方一般方一般方二次曲参数方对称参数方对称式方点法式方一般方1、空间直角坐标空间的(空间的(x,y,z)有序数

y纵zoxyzoxy共有一个原点,三个坐标轴,三个坐标面,八个卦限两点间距离公式设M1x1

y1z1)、M2x2

y2z2为空间两点它们距离x212x2122122122、曲曲面方程的定义如果曲面S与三元方程Fx,yz)0有下述关系：不在曲面S上的点的坐标都不满足方程；那么，方程F(x,

y,z)

0就叫做曲S曲面S就叫做方程的图形研究空间曲面的两个基本问题已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程已知坐标间的关系式，研究曲面形状旋转曲这条定直线叫旋转曲面的轴方程特点

f(

y)设有平面曲线L

z

曲线L

x轴旋转所成的旋转曲y2zf(x,y2z(2)

曲线L

y轴旋转所成的旋转曲x2zf( x2z 球

圆锥

旋转双曲x2

y2z2

x2

x2 y2z2 a2 a2

z2 c2 柱定义：平行于定直线并沿定曲线C移动的直L所形成的曲面称之从柱面方程看柱面的特征只含x,

yz的方程Fx,

y)

0间直角坐标系中表示母线z轴的柱面准线xoy面上曲C.平

y圆柱

抛物柱

椭圆柱x2

x22py

y22 a2 b2 2 (p二次曲定义:三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面2z椭球2z

椭圆抛物2 y22

z2

y21a2 b2 c21

2 (

p与q同号 马鞍

单叶双曲

圆锥zx y2 z2

2a2 b22

z2 c2

x2

z2(p与q同号3、空间曲空间曲线的一般方F(G(x,

y,z)y,z)空间曲线的参数xx(ty y(tyz z(tz1x21x2y2 1

1(x )

( 参数方程

1costx xy1sinty2z

sin2空间曲线在坐标面上的投F(x,

y,z)设空间曲线的一般方程

G(

y,z)消去变量z后得：H(

y)

H(

y)z曲线在xoy面上的投影曲线z yoz面上的投影曲

面上的投影曲R(y,z)

T(x,z)xy00 xy00 如图:投影曲线的研究过程空间曲

投影柱

投影曲空 或曲面在坐标面上的投M0MoM0(M0MoM0(x0,y0,z0平面的点法式方

x0)B(y

y0 C(z

z0) 平面的一般方

n{cocoba

B,CAxByCzD平面的截距式方xyz 2平面的夹 21:A1xB1yC1zD1 2121

B2yC2zD2cos

C1C2 2222

C22222两平面位置特征2222

12

C1C2

1

22

B1

C25、空间直L12o空间直线的一L12o1

2

B2yC2zD2

C1zD1 AxByCzD sM0LsM0Loyx y z 空间直线的参数方程x

x0mt

M0(x0

yyyy s

{m,n,zzptzzpt L1

x m

yy1

zp直线L

xx2

y

zz2 m2n2m2n2p2111m2n2p222

|

n1n2

p1p2 两直线的夹角公两直线的位置关系

p1p2

m2m

n1 p1 直线与平面的夹L x y z

Dsin

|Am

Bn

Cp

(0A2A2B2C2m2n2p2直线与平面的夹角公直线与平面的位置

L

Am

BC (2)

L//

Am

Cpac例1已知ibj2k,ac

2jk求一单位向量

0

0共面解0

c

,a,

由题设条件01x2y2z2101x2y2z21n02 02

2yz0n ab0n

2yz解

(20i 0i

2j k3

已知向量的a1,b 2,且(a,b)

,求

ba a a

b）aabaaba22

^bcos(a,b)^1221

cos242

2)2122 ab 5.

已知向量的

13,

19,

24,

abaaabaab

b）

a a

a

b

2aba

a

b

2abababa

2

2

几何意义

2

2bb

a aaa

48.

ab

48422aaa2a

1,

求a：已知向量3,b(a,b)ab与b求a：已知向量3,b(a,b)a ：a

a

baabba2

31 a

a

ba

2

bcos(a,b)

b32

cos363

1a aab 7.

aa

a

a

ab）aa

a

a

b

2

bcos(a,b)32

cos363

1

331

a

（aa（aab）abaaca

ab,aab与 ab与

b的b的夹角为

7177177.例2求过直线:

5y

且与平面

4

12xz4 xz44

角的平面解过已知直线的平面束方程x5y

z(x

z4)即(1)x

5

(1)z

其法n1{1,5,1又已知平面的法向

由题设

cos

n

n(1)(1)15(4)(1)(8)12(4)2(8)2(1)252(1)2

n1

,5,1

222272

由此解

34代回平面束方程得所求方程为x20y7z12例3求过点

(1,1,1且与两直线

:y2 z2L:yz2

3x2x

zz都相交的直线

x解将两已知直线方程化为参x

xL1:y L2:y3tzzt 2tzzt设所求直L

的交点分

1和

M0(1,1,1A

A(t1,2t1,t1M0AM0B

B(t2,3t2

于是M0

M0

对应坐标成比,即t11

2t1

(t11)1t2

(3t24)

(2t2

1)解之得

点M0(1,1,1和B(2,2,3)同在直线L上L的方程x11

y11

z12例4求直线L:2x

y

1

在平 xyz 1xyz:x

2y

0上的投影直线的方程解过直线L的平面束方程(2x

y

1)

(x

y

1)即(2

)x

1)

(1