高中数学十年高考真题精解（全国卷I）专题6 数列

高中数学十年高考真题精解（全国卷I）专题6数列十年树木，百年树人，十年磨一剑。本专辑按照最新2020年考纲，对近十年高考真题精挑细选，去伪存真，挑选符合最新考纲要求的真题，按照考点/考向同类归纳，难度分层精析，对全国卷Ⅰ具有重要的应试性和导向性。三观指的观三题（观母题、观平行题、观扇形题），一统指的是统一考点/考向，并对十年真题进行标灰（调整不考或低频考点标灰色）。（一）2020考纲考点2020考纲要求数列的概念和表示方法了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图像、通项公式）了解数列的自变量为正整数的一类函数等差数列的概念和性质理解等差数列的概念掌握等差数列的通项公式和前n项和公式等比数列的概念和性质理解等比数列的概念掌握等比数列的通项公式和前n项和公式数列的实际应用能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决响应的问题数列和函数、不等式的关系了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系（二）本节考向题型研究汇总题型考向考点/考向等差数列的概念与性质已知an的两个式子求通项已知an的一个式子通过倍数关系求值已知an的一个式子通过比例关系求值等比数列的概念与性质（1）已知an的两个式子求通项（2）已知an的一个式子通过倍数关系求值（3）已知an的一个式子通过比例关系求值Sn与an的关系已知Sn与an的关系，求an与an+1的关系求通项已知Sn与an的关系，求Sn与Sn+1的关系求通项等差数列的前n项和(1)已知Sn的两个式子求通项(2)已知Sn的一个式子通过倍数关系求值(3)已知Sn的一个式子通过比例关系求值等比数列的前n项和(1)已知Sn的两个式子求通项(2)已知Sn的一个式子通过倍数关系求值(3)已知Sn的一个式子通过比例关系求值等差数列和等比数列的综合应用数列的最值问题数列求和之裂项相消法数列的求和新定义数列问题数列问题在实际中的运用一、考向题型研究一：等差数列的概念与性质（2019新课标I卷T9理科）．记为等差数列的前n项和．已知，则A． B． C． D．【答案】A【分析】等差数列通项公式与前n项和公式．本题还可用排除，对B，，，排除B，对C，，排除C．对D，，排除D，故选A．【解析】由题知，，解得，∴，故选A．【点睛】本题主要考查等差数列通项公式与前n项和公式，渗透方程思想与数学计算等素养．利用等差数列通项公式与前n项公式即可列出关于首项与公差的方程，解出首项与公差，在适当计算即可做了判断．（2018新课标I卷T4理科）设为等差数列an的前项和，若3S3=A.-12B.-【答案】B【解析】设该等差数列的公差为，根据题中的条件可得3(3×2+3×2整理解得d=-3，所以a5点睛：该题考查的是有关等差数列的求和公式和通项公式的应用，在解题的过程中，需要利用题中的条件，结合等差数列的求和公式，得到公差的值，之后利用等差数列的通项公式得到与a1和（2017新课标I卷T4理科）记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a4+a5=24，S6=48，则{an}的公差为（）A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C【分析】利用等差数列通项公式及前n项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出{an}的公差．【解析】解：∵Sn为等差数列{an}的前n项和，a4+a5=24，S6=48，∴，解得a1=﹣2，d=4，∴{an}的公差为4．故选：C．【点睛】本题考查等差数列公式的求法及应用，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用（2016新课标I卷T3理科）已知等差数列前9项的和为27，，则（A）100（B）99（C）98（D）97【答案】C【解析】由等差数列性质可知：，故，而，因此公差∴．故选C．一、等差数列1．等差数列的概念一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示．即，为常数．2．等差中项如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项，且．3．等差数列的通项公式及其变形以为首项，d为公差的等差数列的通项公式为．公式的变形：，．4．等差数列与一次函数的关系由等差数列的通项公式，可得．令，，则，其中，为常数．（1）当时，在一次函数的图象上，数列的图象是直线上均匀分布的一群孤立的点，且当时数列为递增数列，当时数列为递减数列．（2）当时，，等差数列为常数列，数列的图象是平行于x轴的直线（或x轴）上均匀分布的一群孤立的点．二、等差数列的性质1．等差数列的常用性质由等差数列的定义可得公差为的等差数列具有如下性质：（1）通项公式的推广：，．（2）若，则．特别地，①若，则；②若，则．③有穷等差数列中，与首末两项等距离的两项之和都相等，都等于首末两项的和，即（3）下标成等差数列的项组成以md为公差的等差数列．（4）数列是常数是公差为td的等差数列．（5）若数列为等差数列，则数列是常数仍为等差数列．（6）若，则．三、等差数列性质的运用1、等差数列的判定与证明的方法：定义法：或是等差数列；定义变形法：验证是否满足；等差中项法：为等差数列；通项公式法：通项公式形如为常数为等差数列；前n项和公式法：为常数为等差数列．注意：（1）若判断一个数列不是等差数列，只需找出三项，使得即可；（2）如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法．2、等差数列中基本量的求解等差数列运算问题的一般求法是设出首项和公差d，然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解．等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量，，d，n，，知其中三个就能求另外两个，体现了方程的思想．3、求解等差数列的通项及前n项和求解等差数列通项公式的方法主要有两种：（1）定义法.（2）前项和法，即根据前项和与的关系求解.在利用定义法求等差数列通项公式时，常涉及设等差数列项的问题，等差数列中项的常见设法有：（1）通项法；（2）对称项设法.当等差数列的项数为奇数时，可设中间一项为，再以公差为向两边分别设项：；当等差数列的项数为偶数时，可设中间两项分别为，再以公差为向两边分别设项：.递推关系式构造等差数列的常见类型：（1）转化为常数，则是等差数列；（2）转化为常数，则（c可以为0）是等差数列；（3）转化为常数，则是等差数列；（4）转化为常数，则是等差数列；（5）转化为常数，则（c可以为0）是等差数列．4、等差数列的性质的应用等差数列的性质是等差数列的定义、通项公式以及前n项和公式等基础知识的推广与变形，熟练掌握和灵活应用这些性质可以有效、方便、快捷地解决许多等差数列问题.解题时要注意性质运用的限制条件，明确各性质的结构特征是正确解题的前提．如，则，只有当序号之和相等、项数相同时才成立二、考向题型研究二：等比数列的概念与性质（2019新课标I卷T14理科）．记Sn为等比数列{an}的前n项和．若，则S5=____________．【答案】.【分析】本题根据已知条件，列出关于等比数列公比的方程，应用等比数列的求和公式，计算得到．题目的难度不大，注重了基础知识、基本计算能力的考查．【解析】设等比数列的公比为，由已知，所以又，所以所以．【点睛】准确计算，是解答此类问题的基本要求．本题由于涉及幂的乘方运算、繁分式分式计算，部分考生易出现运算错误．（2019新课标I卷T14文科）记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a1＝1，S3＝，则S4＝．【答案】【分析】利用等比数列的通项公式及求和公式表示已知，可求公比，然后再利用等比数列的求和公式即可求解【解析】解：∵等比数列{an}的前n项和，a1＝1，S3＝，∴q≠1，＝，整理可得，，解可得，q＝﹣，看，则S4＝＝＝．故答案为：【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础试题（2010新课标I卷T4理科）已知各项均为正数的等比数列{}，=5，=10，则=(A)(B)7(C)6(D)【答案】A【分析】本小题主要考查等比数列的性质、指数幂的运算、根式与指数式的互化等知识，着重考查了转化与化归的数学思想.【解析】由等比数列的性质知，10,所以,所以一、等比数列1．等比数列的概念如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比．注意：（1）等比数列的每一项都不可能为0；（2）公比是每一项与其前一项的比，前后次序不能颠倒，且公比是一个与无关的常数.2．等比中项如果在与中间插入一个数，使，，成等比数列，那么叫做与的等比中项，此时．3．等比数列的通项公式及其变形首项为，公比为的等比数列的通项公式是．等比数列通项公式的变形：．4．等比数列与指数函数的关系等比数列的通项公式还可以改写为，当且时，是指数函数，是指数型函数，因此数列的图象是函数的图象上一些孤立的点．当或时，是递增数列；当或时，是递减数列；当时，为常数列；当时，为摆动数列，所有的奇数项（偶数项）同号，奇数项与偶数项异号三、等比数列及其前n项和的性质若数列是公比为的等比数列，前n项和为，则有如下性质：（1）若，则；若，则．推广：若，则．（2）若成等差数列，则成等比数列．（3）数列仍是公比为的等比数列；数列是公比为的等比数列；数列是公比为的等比数列；若数列是公比为的等比数列，则数列是公比为的等比数列．（4）成等比数列，公比为．（5）连续相邻项的和（或积）构成公比为或的等比数列．（6）当时，；当时，．（7）．（8）若项数为，则，若项数为，则．（9）当时，连续项的和（如）仍组成等比数列（公比为，）．注意：这里连续m项的和均非零．三、等比数列性质的运用1、等比数列的判定与证明等比数列的判定与证明常用的方法：（1）定义法：为常数且数列是等比数列．（2）等比中项法：数列是等比数列．（3）通项公式法：数列是等比数列．（4）前项和公式法：若数列的前项和，则该数列是等比数列．其中前两种方法是证明等比数列的常用方法，而后两种方法一般用于选择题、填空题中．注意：（1）若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可．（2）只满足的数列未必是等比数列，要使其成为等比数列还需要.2、等比数列的基本运算等比数列基本量的计算是解等比数列题型时的基础方法，在高考中常有所体现，多以选择题或填空题的形式呈现，有时也会出现在解答题的第（1）问中，属基础题.（1）等比数列的基本运算方法：①等比数列由首项与公比确定，所有关于等比数列的计算和证明，都可围绕与进行．②对于等比数列问题，一般给出两个条件，就可以通过解方程(组)求出与，对于五个基本量，如果再给出第三个条件就可以“知三求二”．（2）基本量计算过程中涉及的数学思想方法：①方程思想．等比数列的通项公式和前n项和公式联系着五个基本量，“知三求二”是一类最基本的运算，通过列方程(组)求出关键量和q，问题可迎刃而解．②分类讨论思想．等比数列的前项和公式为，所以当公比未知或是代数式时，要对公比分和进行讨论.此处是常考易错点，一定要引起重视．③整体思想．应用等比数列前n项和公式时，常把，当成整体求解.3、求解等比数列的通项及前n项和求等比数列的通项公式，一般先求出首项与公比，再利用求解．但在某些情况下，利用等比数列通项公式的变形可以简化解题过程．求解时通常会涉及等比数列的设项问题，常用的设项方法为：（1）通项法．设数列的通项公式来求解；（2）对称设元法：若所给等比数列的项数为且各项符号相同，则这个数列可设为，…，，，，…，；若所给等比数列的项数为，则这个数列可设为，…，，…，.当时，若已知，则用求解较方便；若已知，则用求解较方便.（1）形如的递推关系式，利用待定系数法可化为，当时，数列是等比数列；由，两式相减，得当时，数列是公比为的等比数列．（2）形如的递推关系式，除利用待定系数法直接化归为等比数列外，也可以两边同时除以，进而化归为等比数列．4、等比数列的性质的应用等比数列的性质是高考考查的热点之一，利用等比数列的性质求解可使题目减少运算量，题型以选择题或填空题为主，难度不大，属中低档题，主要考查通项公式的变形、等比中项的应用及前n项和公式的变形应用等.注意：（1）在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq”，可以减少运算量，提高解题速度．（2）在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用.考向题型研究三：数列的前n项和与通项的关系（2018新课标I卷T14理科）记为数列an的前项和，若Sn=2a【答案】-【解析】分析：首先根据题中所给的Sn=2an+1，类比着写出Sn+1=2an+1+1详解：根据Sn=2a两式相减得an+1=2当n=1时，S1=所以数列an是以-1为首项，以2所以S6=-【点睛】该题考查的是有关数列的求和问题，在求解的过程中，需要先利用题中的条件，类比着往后写一个式子，之后两式相减，得到相邻两项之间的关系，从而确定出该数列是等比数列，之后令n=1，求得数列的首项，最后应用等比数列的求和公式求解即可，只要明确对既有项又有和的式子的变形方向即可得结果(2014新课标Ⅰ卷T17理科)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，an≠0，anan+1=λSn﹣1，其中λ为常数．（Ⅰ）证明：an+2﹣an=λ（Ⅱ）是否存在λ，使得{an}为等差数列？并说明理由．【答案】见解析【分析】（Ⅰ）利用anan+1=λSn﹣1，an+1an+2=λSn+1﹣1，相减即可得出；（Ⅱ）对λ分类讨论：λ=0直接验证即可；λ≠0，假设存在λ，使得{an}为等差数列，设公差为d．可得λ=an+2﹣an=（an+2﹣an+1）+（an+1﹣an）=2d，．得到λSn=，根据{an}为等差数列的充要条件是，解得λ即可．【解析】（Ⅰ）证明：∵anan+1=λSn﹣1，an+1an+2=λSn+1﹣1，∴an+1（an+2﹣an）=λan+1∵an+1≠0，∴an+2﹣an=λ．（Ⅱ）解：①当λ=0时，anan+1=﹣1，假设{an}为等差数列，设公差为d．则an+2﹣an=0，∴2d=0，解得d=0，∴an=an+1=1，∴12=﹣1，矛盾，因此λ=0时{an}不为等差数列．②当λ≠0时，假设存在λ，使得{an}为等差数列，设公差为d．则λ=an+2﹣an=（an+2﹣an+1）+（an+1﹣an）=2d，∴．∴，，∴λSn=1+=，根据{an}为等差数列的充要条件是，解得λ=4．此时可得，an=2n﹣1．因此存在λ=4，使得{an}为等差数列【点睛】本题考查了递推式的意义、等差数列的通项公式及其前n项和公式、等差数列的充要条件等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力、分类讨论的思想方法，属于难题(2013新课标Ⅰ卷T14理科)若数列{an}的前n项和，则{an}的通项公式是an＝_______.【答案】(－2)n－1【解析】∵，①∴当n≥2时，.②①－②，得，即＝－2.∵a1＝S1＝，∴a1＝1.∴{an}是以1为首项，－2为公比的等比数列，an＝(－2)n－1.1、数列的前n项和与通项的关系数列的前n项和通常用表示，记作，则通项．若当时求出的也适合时的情形，则用一个式子表示，否则分段表示．2、利用与的关系求通项公式已知求的一般步骤：（1）先利用求出；（2）用替换中的n得到一个新的关系，利用便可求出当时的表达式；（3）对时的结果进行检验，看是否符合时的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分与两段来写.利用求通项公式时，务必要注意这一限制条件，所以在求出结果后，要看看这两种情况能否整合在一起．（4）如果利用上述关系得不到关系式的时候，要把变成得到关系式从而求解3、由递推关系式求通项公式（拓展知识点）递推公式和通项公式是数列的两种表示方法，它们都可以确定数列中的任意一项.高考对递推公式的考查难度适中，一般是通过变换转化成特殊的数列求解.已知数列的递推公式求通项公式的常见类型及解法如下：（1）：常用累加法，即利用恒等式求通项公式．在这里可以是一个常数，可以是一个等差数列，可以是一个等差数列，也可以是裂项相消法等（2）：常用累乘法，即利用恒等式求通项公式．（3）（其中为常数，）：先用待定系数法把原递推公式转化为，其中，进而转化为等比数列进行求解．（4）：两边同时除以，然后可转化为类型3，利用待定系数法进行求解；两边同时除以，然后可转化为类型1，利用累加法进行求解．（5）：把原递推公式转化为，解法同类型3．（6）：把原递推公式两边同时取对数，然后可转化为类型3，利用待定系数法进行求解．（7）：把原递推公式两边同时取倒数，然后可转化为类型3，或者转化成等差数列，利用待定系数法进行求解．（8）：易得，然后分n为奇数、偶数两种情况分类讨论即可．（9）：易得，然后分n为奇数、偶数两种情况分类讨论即可．四、考向题型研究四：等差数列的前n项和（2017新课标I卷T17文科）记Sn为等比数列{an}的前n项和．已知S2=2，S3=﹣6．（1）求{an}的通项公式；（2）求Sn，并判断Sn+1，Sn，Sn+2是否成等差数列．【答案】见解析【分析】（1）由题意可知a3=S3﹣S2=﹣6﹣2=﹣8，a1==，a2==，由a1+a2=2，列方程即可求得q及a1，根据等比数列通项公式，即可求得{an}的通项公式；（2）由（1）可知．利用等比数列前n项和公式，即可求得Sn，分别求得Sn+1，Sn+2，显然Sn+1+Sn+2=2Sn，则Sn+1，Sn，Sn+2成等差数列．【解析】解：（1）设等比数列{an}首项为a1，公比为q，则a3=S3﹣S2=﹣6﹣2=﹣8，则a1==，a2==，由a1+a2=2，+=2，整理得：q2+4q+4=0，解得：q=﹣2，则a1=﹣2，an=（﹣2）（﹣2）n﹣1=（﹣2）n，∴{an}的通项公式an=（﹣2）n；（2）由（1）可知：Sn===﹣[2+（﹣2）n+1]，则Sn+1=﹣[2+（﹣2）n+2]，Sn+2=﹣[2+（﹣2）n+3]，由Sn+1+Sn+2=﹣[2+（﹣2）n+2]﹣[2+（﹣2）n+3]，=﹣[4+（﹣2）×（﹣2）n+1+（﹣2）2×（﹣2）n+1]，=﹣[4+2（﹣2）n+1]=2×[﹣（2+（﹣2）n+1）]，=2Sn，即Sn+1+Sn+2=2Sn，∴Sn+1，Sn，Sn+2成等差数列．【点睛】本题考查等比数列通项公式，等比数列前n项和，等差数列的性质，考查计算能力，属于中档题．（2016新课标I卷T17文科）已知{an}是公差为3的等差数列，数列{bn}满足b1=1，b2=，anbn+1+bn+1=nbn.(Ⅰ)求{an}的通项公式；(Ⅱ)求{bn}的前n项和.【答案】见解析【解析】(Ⅰ)依题a1b2+b2=b1，b1=1，b2=，解得a1=2…2分通项公式为an=2+3(n-1)=3n-1…6分(Ⅱ)由(Ⅰ)知3nbn+1=nbn，bn+1=bn，所以{bn}是公比为的等比数列.…9分所以{bn}的前n项和Sn=（2015新课标I卷T7文科）已知是公差为1的等差数列，为的前项和，若，则A． B． C．10 D．12【答案】B【解析】解：是公差为1的等差数列，，，解得．则．故选：．(2013新课标Ⅰ卷T7理科)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m＝()．A．3B．4C．5D．6【答案】C【解析】∵Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，∴am＝Sm－Sm－1＝0－(－2)＝2，am＋1＝Sm＋1－Sm＝3－0＝3.∴d＝am＋1－am＝3－2＝1.∵Sm＝ma1＋×1＝0，∴.又∵am＋1＝a1＋m×1＝3，∴.∴m＝5.故选C.一、等差数列的前n项和1．等差数列的前n项和基本概念首项为，末项为，项数为n的等差数列的前n项和公式：．令，，可得，则当，即时，是关于n的二次函数，点是的图象上一系列孤立的点；当，即时，是关于n的一次函数，即或常函数，即，点是直线上一系列孤立的点．我们可以借助二次函数的图象和性质来研究等差数列的前n项和的相关问题．2．用前n项和公式法判定等差数列等差数列的前n项和公式与函数的关系给出了一种判断数列是否为等差数列的方法：若数列的前n项和，那么当且仅当时，数列是以为首项，为公差的等差数列；当时，数列不是等差数列．3、与等差数列各项的和有关的性质利用等差数列的通项公式及前n项和公式易得等差数列的前n项和具有如下性质：设等差数列（公差为d）和的前n项和分别为，（1）数列是等差数列，首项为，公差为．（2）构成公差为的等差数列．（3）若数列共有项，则，．（4）若数列共有项，则，．（5），．4、等差数列前n项和公式的应用方法：根据不同的已知条件选用不同的求和公式，若已知首项和公差，则使用；若已知通项公式，则使用，同时注意与性质“”的结合使用.【拓展】数列的前n项和的求解1．求数列的前n项和的关键是分清哪些项为正的，哪些项为负的，最终转化为去掉绝对值符号后的数列进行求和．2．当的各项都为非负数时，的前n项和就等于的前n项和；当从某项开始各项都为负数（或正数）时，求的前n项和要充分利用的前n项和公式，这样能简化解题过程．3．当所求的前n项和的表达式需分情况讨论时，其结果应用分段函数表示5、等差数列的前n项和的最值问题二次函数法：，由二次函数的最大值、最小值的知识及知，当n取最接近的正整数时，取得最大（小）值．但应注意，最接近的正整数有1个或2个．注意：自变量n为正整数这一隐含条件.通项公式法：求使()成立时最大的n值即可． 一般地，等差数列中，若，且，则 ①若为偶数，则当时，最大； ②若为奇数，则当或时，最大．不等式法：由，解不等式组确定n的范围，进而确定n的值和的最大值．五、考向题型研究五：等比数列的前n项和（2015新课标I卷T13文科）在数列中，，，为的前项和，若，则6．【答案】6【解析】解：，，，数列是为首项，以2为公比的等比数列，，，，．故答案为：6(2013新课标I卷T6文科)设首项为1，公比为的等比数列的前项和为，则()．A．B．C．D．【答案】D【解析】＝3－2an，故选D.（2012新课标I卷T14文科）等比数列{}的前n项和为Sn，若S3+3S2=0，则公比=_______【答案】−2【解析】当=1时，=，=，由S3+3S2=0得，=0，∴=0与{}是等比数列矛盾，故≠1，由S3+3S2=0得，，解得=－2.（2011新课标I卷T17文科）已知等比数列{an}中，a1=，公比q=．（Ⅰ）Sn为{an}的前n项和，证明：Sn=（Ⅱ）设bn=log3a1+log3a2+…+log3an，求数列{bn}的通项公式．【答案】见解析【分析】（I）根据数列{an}是等比数列，a1=，公比q=，求出通项公式an和前n项和Sn，然后经过运算即可证明．（II）根据数列{an}的通项公式和对数函数运算性质求出数列{bn}的通项公式．【解析】证明：（I）∵数列{an}为等比数列，a1=，q=∴an=×=，Sn=又∵==Sn∴Sn=（II）∵an=∴bn=log3a1+log3a2+…+log3an=﹣log33+（﹣2log33）+…+（﹣nlog33）=﹣（1+2+…+n）=﹣∴数列{bn}的通项公式为：bn=﹣【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式、前n项和以及对数函数的运算性质．等比数列的前n项和公式首项为，公比为的等比数列的前项和的公式为（1）当公比时，因为，所以是关于n的正比例函数，则数列的图象是正比例函数图象上的一群孤立的点．（2）当公比时，等比数列的前项和公式是，即，设，则上式可写成的形式，则数列的图象是函数图象上的一群孤立的点．由此可见，非常数列的等比数列的前n项和是一个关于n的指数型函数与一个常数的和，且指数型函数的系数与常数项互为相反数．）连续相邻项的和（或积）构成公比为或的等比数列．（6）当时，；当时，．（7）．（8）若项数为，则，若项数为，则．（9）当时，连续项的和（如）仍组成等比数列（公比为，）．注意：这里连续m项的和均非零．六、考向题型研究六：等差数列和等比数列的综合应用（2019新课标I卷T18文科）记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S9＝﹣a5．（1）若a3＝4，求{an}的通项公式；（2）若a1＞0，求使得Sn≥an的n的取值范围．【答案】见解析【分析】（1）根据题意，等差数列{an}中，设其公差为d，由S9＝﹣a5，即可得S9＝＝9a5＝﹣a5，变形可得a5＝0，结合a3＝4，计算可得d的值，结合等差数列的通项公式计算可得答案；（2）若Sn≥an，则na1+d≥a1+（n﹣1）d，分n＝1与n≥2两种情况讨论，求出n的取值范围，综合即可得答案．【解析】解：（1）根据题意，等差数列{an}中，设其公差为d，若S9＝﹣a5，则S9＝＝9a5＝﹣a5，变形可得a5＝0，即a1+4d＝0，若a3＝4，则d＝＝﹣2，则an＝a3+（n﹣3）d＝﹣2n+10，（2）若Sn≥an，则na1+d≥a1+（n﹣1）d，当n＝1时，不等式成立，当n≥2时，有≥d﹣a1，变形可得（n﹣2）d≥﹣2a1，又由S9＝﹣a5，即S9＝＝9a5＝﹣a5，则有a5＝0，即a1+4d＝0，则有（n﹣2）≥﹣2a1，又由a1＞0，则有n≤10，则有2≤n≤10，综合可得：n的取值范围是{n|1≤n≤10，n∈N}．【点睛】本题考查等差数列的性质以及等差数列的前n项和公式，涉及数列与不等式的综合应用，属于基础题．（2016新课标I卷T15理科）设等比数列QUOTE满足a1+a3=10，a2+a4=5，则a1a2…an的最大值为．【答案】64【解析】由于是等比数列，设，其中是首项，是公比．∴，解得：．故，∴当或时，取到最小值，此时取到最大值．所以的最大值为64．(2013新课标Ⅰ卷T12理科)设△AnBnCn的三边长分别为an，bn，cn，△AnBnCn的面积为Sn，n＝1,2,3，….若b1＞c1，b1＋c1＝2a1，an＋1＝an，bn＋1＝，cn＋1＝，则()．A．{Sn}为递减数列B．{Sn}为递增数列C．{S2n－1}为递增数列，{S2n}为递减数列D．{S2n－1}为递减数列，{S2n}为递增数列【答案】B数列可以看作是一类特殊的函数，所以数列具备函数应有的性质，在高考中常考查数列的单调性、周期性等.1．数列的周期性先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值．2．数列的单调性（1）数列单调性的判断方法：①作差法：数列是递增数列；数列是递减数列；数列是常数列．②作商法：当时，数列是递增数列；数列是递减数列；数列是常数列．当时，数列是递减数列；数列是递增数列；数列是常数列．3、数列单调性的应用：①构造函数，确定出函数的单调性，进而可求得数列中的最大项或最小项．②根据可求数列中的最大项；根据可求数列中的最小项．当解不唯一时，比较各解对应的项的大小即可．（3）已知数列的单调性求解某个参数的取值范围，一般有两种方法：①利用数列的单调性构建不等式，然后将其转化为不等式的恒成立问题进行解决，也可通过分离参数将其转化为最值问题处理；②利用数列与函数之间的特殊关系，将数列的单调性转化为相应函数的单调性，利用函数的性质求解参数的取值范围，但要注意数列通项中n的取值范围．七、考向题型研究七：数列求和之裂项相消法（2015新课标I卷T17理科）为数列{}的前项和.已知＞0，=QUOTE.（Ⅰ）求{}的通项公式；（Ⅱ）设QUOTE,求数列{}的前项和.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】试题分析：（Ⅰ）先用数列第项与前项和的关系求出数列{}的递推公式，可以判断数列{}是等差数列，利用等差数列的通项公式即可写出数列{}的通项公式；（Ⅱ）根据（Ⅰ）数列{}的通项公式，再用拆项消去法求其前项和.试题解析：（Ⅰ）当时，，因为，所以=3，当时，==，即，因为，所以=2，所以数列{}是首项为3，公差为2的等差数列，所以=；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，=，所以数列{}前n项和为==.【点睛】数列前n项和与第n项的关系；等差数列定义与通项公式；拆项消去法（2011新课标I卷T17理科）等比数列{an}的各项均为正数，且2a1+3a2=1，a32=9a2a6，（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn=log3a1+log3a2+…+log3an，求数列{}的前n项和．【答案】见解析【分析】（Ⅰ）设出等比数列的公比q，由a32=9a2a6，利用等比数列的通项公式化简后得到关于q的方程，由已知等比数列的各项都为正数，得到满足题意q的值，然后再根据等比数列的通项公式化简2a1+3a2=1，把求出的q的值代入即可求出等比数列的首项，根据首项和求出的公比q写出数列的通项公式即可；（Ⅱ）把（Ⅰ）求出数列{an}的通项公式代入设bn=log3a1+log3a2+…+log3an，利用对数的运算性质及等差数列的前n项和的公式化简后，即可得到bn的通项公式，求出倒数即为的通项公式，然后根据数列的通项公式列举出数列的各项，抵消后即可得到数列{}的前n项和．【解析】解：（Ⅰ）设数列{an}的公比为q，由a32=9a2a6得a32=9a42，所以q2=．由条件可知各项均为正数，故q=．由2a1+3a2=1得2a1+3a1q=1，所以a1=．故数列{an}的通项式为an=．（Ⅱ）bn=++…+=﹣（1+2+…+n）=﹣，故=﹣=﹣2（﹣）则++…+=﹣2[（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）]=﹣，所以数列{}的前n项和为﹣．【点睛】此题考查学生灵活运用等比数列的通项公式化简求值，掌握对数的运算性质及等差数列的前n项和的公式，会进行数列的求和运算，是一道中档题．求数列的前n项和，根据数列的不同特点，通常有以下几种方法：（1）公式法，即直接利用等差数列、等比数列的求和公式求解；（2）倒序相加法，即如果一个数列的前n项中，距首末两项“等距离”的两项之和都相等，则可使用倒序相加法求数列的前n项和.（3）裂项相消法，即将数列的通项拆成结构相同的两式之差，然后消去相同的项求和.使用此方法时必须注意消去了哪些项，保留了哪些项，一般未被消去的项有前后对称的特点.常见的裂项方法有：（4）错位相减法，若数列是等差数列，是等比数列，且公比为，求的前项和时，常用错位相减法求和.基本步骤是：列出和式，两边同乘以公比，两式相减并求和.在写出与的表达式时，要将两式“错项对齐”，便于准确写出的表达式.（5）分组求和法，如果一个数列可写成的形式，而数列，是等差数列或等比数列或可转化为能够求和的数列，那么可用分组求和法.八、考向题型研究八：新定义数列问题（2012新课标I卷T12文科）数列{}满足，则{}的前60项和为（A）3690（B）3660（C）1845（D）1830【答案】D【解析】【法1】有题设知=1，①=3②=5③=7，=9，=11，=13，=15，=17，=19，，……∴②－①得=2，③+②得=8，同理可得=2，=24，=2，=40，…，∴，，，…，是各项均为2的常数列，，，，…是首项为8，公差为16的等差数列，∴{}的前60项和为=1830.【法2】可证明：==【法3】不妨设，得，，所以当n为奇数时，，当n为偶数时，构成以为首项，以4为公差的等差数列，所以得（2017新课标I卷T12理科）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1