平面图形的面积课件

第二节定积分在几何学上的应用平面图形的面积体积平面曲线的弧长小结、作业1/31第二节定积分在几何学上的应用平面图形的面积1/311直角坐标情形一、平面图形的面积A用元素法建立曲边梯形面积A的计算公式：2/31直角坐标情形一、平面图形的面积A用元素法建立曲边梯形面积A的2妨此可得（图1）的面积：Ayx=f(y)（图2）的面积：（图1）（图2）3/31妨此可得（图1）的面积：Ayx=f(y)（图2）的面积：（图3（图3）的面积：xy=f(x)（图3）4/31（图3）的面积：xy=f(x)（图3）4/314解先求两曲线的交点。5/31解先求两曲线的交点。5/315另解选为积分变量6/31另解选为积分变量6/316解设椭圆方程为由对称性知，总面积等于第一象限部分面积的4倍．以x为积分变量，得7/31解设椭圆方程为由对称性知，总面积等于第一象限部分面积的4倍．7设曲边梯形的曲边参数方程为其面积的计算公式可由直角坐标下曲边梯形的面积公式经过定积分的换元法得到：2.参数方程情形8/31设曲边梯形的曲边参数方程为其面积的计算公式可由直角坐标下曲边8椭圆的面积9/31椭圆的面积9/319曲边扇形面积元素曲边扇形的面积公式3.极坐标方程的情形10/31曲边扇形面积元素曲边扇形的面积公式3.极坐标方程的情形1010解由对称性知，总面积=第一象限部分面积的4倍。11/31解由对称性知，总面积=第一象限部分面积的4倍。11/3111解利用对称性知，所求面积为上半部的两倍，12/31解利用对称性知，所求面积为上半部的两倍，12/3112

旋转体——由一个平面图形绕同平面内一条直线旋转一周而成的立体．这条直线叫做旋转轴．圆柱圆锥圆台二、体积1.旋转体的体积13/31旋转体——由一个平面图形绕同平面内一条直线旋转一周而13xyo旋转体的体积公式14/31xyo旋转体的体积公式14/311415/3115/3115解16/31解16/3116另解17/31另解17/3117解18/31解18/3118另解19/31另解19/3119注解20/31注解20/312021/3121/31212.平行截面面积为已知的立体的体积如果知道了一个立体垂直于某个定轴（记为x轴）的各个截面面积A(x)，那么，这个立体的体积元素为立体体积22/312.平行截面面积为已知的立体的体积如果知道22解取坐标系如图所示。垂直于x轴的截面的面积为所求立体体积23/31解取坐标系如图所示。垂直于x轴的截面的面积为所求立体体积2323另解以垂直于y轴的平面切割立体，得截面面积为立体体积24/31另解以垂直于y轴的平面切割立体，24三、平面曲线的弧长弧长元素（弧微分）基本公式弧长25/31三、平面曲线的弧长弧长元素（弧微分）基本公式弧长25/3125弧长弧长26/31弧长弧长26/3126解星形线在第一象限部分的方程为根据对称性第一象限部分的弧长27/31解星形线在第一象限部分的方程为根据对称性第一象限部分的弧长227另解星形线的参数方程为根据对称性第一象限部分的弧长28/31另解星形线的参数方程为根据对称性第一象限部分的弧长28/3128解29/31解29/31291、直角坐标方程给出的平面图形的面积一般以直角坐标为积分变量；四、小结2、参数方程给出的平面图形的面积可由直角坐标面积计算公式经积分变量替换得到；3、极坐标方程给出的平面图形的面积一般以由极坐标为积分变量；4、曲边梯形的面积的计算一般以由直角坐标为积分变量；曲边扇形的面积的计算一般以由极坐标为积分变量。30/311、直角坐标方程给出的平面图形的面积一般以直角坐标为积分变量30作业习题6-22-(1)68-(1)91215-(4)1819212529作业习题6-2315、旋转体的体积绕轴旋转一周；绕轴旋转一周；（绕非坐标轴直线旋转一周）.6、平行截面面积为已知的立体的体积。参数方程；极坐标方程。8、求弧长的公式直角坐标方程；7、平面曲线弧长元素（弧微分）的基本公式；31/315、旋转体的体积绕轴旋转一周；绕轴旋转一周；（绕32第二节定积分在几何学上的应用平面图形的面积体积平面曲线的弧长小结、作业1/31第二节定积分在几何学上的应用平面图形的面积1/3133直角坐标情形一、平面图形的面积A用元素法建立曲边梯形面积A的计算公式：2/31直角坐标情形一、平面图形的面积A用元素法建立曲边梯形面积A的34妨此可得（图1）的面积：Ayx=f(y)（图2）的面积：（图1）（图2）3/31妨此可得（图1）的面积：Ayx=f(y)（图2）的面积：（图35（图3）的面积：xy=f(x)（图3）4/31（图3）的面积：xy=f(x)（图3）4/3136解先求两曲线的交点。5/31解先求两曲线的交点。5/3137另解选为积分变量6/31另解选为积分变量6/3138解设椭圆方程为由对称性知，总面积等于第一象限部分面积的4倍．以x为积分变量，得7/31解设椭圆方程为由对称性知，总面积等于第一象限部分面积的4倍．39设曲边梯形的曲边参数方程为其面积的计算公式可由直角坐标下曲边梯形的面积公式经过定积分的换元法得到：2.参数方程情形8/31设曲边梯形的曲边参数方程为其面积的计算公式可由直角坐标下曲边40椭圆的面积9/31椭圆的面积9/3141曲边扇形面积元素曲边扇形的面积公式3.极坐标方程的情形10/31曲边扇形面积元素曲边扇形的面积公式3.极坐标方程的情形1042解由对称性知，总面积=第一象限部分面积的4倍。11/31解由对称性知，总面积=第一象限部分面积的4倍。11/3143解利用对称性知，所求面积为上半部的两倍，12/31解利用对称性知，所求面积为上半部的两倍，12/3144

旋转体——由一个平面图形绕同平面内一条直线旋转一周而成的立体．这条直线叫做旋转轴．圆柱圆锥圆台二、体积1.旋转体的体积13/31旋转体——由一个平面图形绕同平面内一条直线旋转一周而45xyo旋转体的体积公式14/31xyo旋转体的体积公式14/314615/3115/3147解16/31解16/3148另解17/31另解17/3149解18/31解18/3150另解19/31另解19/3151注解20/31注解20/315221/3121/31532.平行截面面积为已知的立体的体积如果知道了一个立体垂直于某个定轴（记为x轴）的各个截面面积A(x)，那么，这个立体的体积元素为立体体积22/312.平行截面面积为已知的立体的体积如果知道54解取坐标系如图所示。垂直于x轴的截面的面积为所求立体体积23/31解取坐标系如图所示。垂直于x轴的截面的面积为所求立体体积2355另解以垂直于y轴的平面切割立体，得截面面积为立体体积24/31另解以垂直于y轴的平面切割立体，56三、平面曲线的弧长弧长元素（弧微分）基本公式弧长25/31三、平面曲线的弧长弧长元素（弧微分）基本公式弧长25/3157弧长弧长26/31弧长弧长26/3158解星形线在第一象限部分的方程为根据对称性第一象限部分的弧长27/31解星形线在第一象限部分的方程为根据对称性第一象限部分的弧长259另解星形线的参数方程为根据对称性第一象限部分的弧长28/31另解星形线的参数方程为根据对称性第一象限部分的弧长28/3160解29/31解29/31611、直角坐标方程给出的平面图形的面积一般以直角坐标为积分变量；四、小结2、参数方程给出的平面图形的面积可由直角坐标面积计算公式经积分变量替换得到；3、极坐标方程给出的平面图形的面积一般以由极坐标为积分变量；4、曲边梯形的面积的计算一般以由直角坐标为积分变量；曲边扇形的面积的计算一般以由极坐标为积分变量。30/311、直角坐标方程给出的平面图形的面积一般以直角坐标为积分变量62作业习题6-22-(1)68-(1)91215-(4)18