流体力学第3章流体运动学和动力学基础

第三章

流体运动学和动力学基础流体力学第3章流体运动学和动力学基础共60页，您现在浏览的是第1页!主要内容3.1研究流体运动的方法3.2流动的类型

3.3流体运动学的基本概念

3.4系统控制体输运公式

3.5连续性方程

3.6动量方程和动量矩方程

3.7能量方程3.9流线法线方向速度和压强的变化3.8伯努利方程及其应用

3.10粘性流体总流的伯努利方程流体力学第3章流体运动学和动力学基础共60页，您现在浏览的是第2页!3.1研究流体运动的方法当地法描述方法随体法拉格朗日法

欧拉法质点轨迹：参数分布：B=B（x,y,z,t）

根据连续介质的假设，流体是由质点组成的，无空隙地充满所占据的空间。对于无数多的流体质点，当其发生运动时，如何正确描述和区分各流体质点的运动行为，将是流体运动学必须回答的问题。描述流体运动的方法有两种。流体力学第3章流体运动学和动力学基础共60页，您现在浏览的是第3页!流体质点的加速度：优缺点：√

直观性强、物理概念明确、可以描述各质点的时变过程

×

数学求解较为困难，一般问题研究中很少采用

流体力学第3章流体运动学和动力学基础共60页，您现在浏览的是第4页!一个速度场即使没有解析表达式，但只要有离散的数据点，也可以描绘出流场，例如下图就是用某时刻下速度的空间分布描绘的一个速度场:一个布满了某种物理量的空间称为场。除速度场之外，还有压强场。在高速流动时，气流的密度和温度也随流动有变化，那就还有一个密度场和温度场。这都包括在流场的概念之内。质点加速度与质点导数

质点加速度

--

质点速度矢量V对时间的变化率。流体力学第3章流体运动学和动力学基础共60页，您现在浏览的是第5页!采用微分算子

当地加速度迁移加速度流体力学第3章流体运动学和动力学基础共60页，您现在浏览的是第6页!拉格朗日法欧拉法两种方法的比较比较分别描述有限质点的轨迹同时描述所有质点的瞬时参数表达式复杂表达式简单不能直接反映参数的空间分布直接反映参数的空间分布不适合描述流体元的运动变形特性适合描述流体元的运动变形特性拉格朗日观点是重要的流体力学最常用的解析方法流体力学第3章流体运动学和动力学基础共60页，您现在浏览的是第7页!讨论：本例说明虽然给出的是速度分布式（欧拉法），即各空间点上速度分量随时间的变化规律，仍然可由此求出指定流体质点在不同时刻经历的空间位置，即运动轨迹（拉格朗日法）。代入(b)式，可得参数形式的流体质点轨迹方程为c1

，c2

为积分常数，由t=0时刻流体质点位于可确定12c1=a,c2=b流体力学第3章流体运动学和动力学基础共60页，您现在浏览的是第8页!定常流动、非定常流动（steadyandunsteadyflow)非定常流动：定常流动：流动是否定常与所选取的参考坐标系有关。2.一维流动、二维流动和三维流动一维流动：流动参数是一个坐标的函数；二维流动：流动参数是两个坐标的函数；三维流动：流动参数是三个坐标的函数。对于工程实际问题，在满足精度要求的情况下，将三维流动简化为二维、甚至一维流动，可以使得求解过程尽可能简化。

二维流动→一维流动三维流动→二维流动流体力学第3章流体运动学和动力学基础共60页，您现在浏览的是第9页!流线

——速度场的矢量线。任一时刻t，曲线上每一点处的切向量都与该点的速度向量相切。流线微分方程：流体力学第3章流体运动学和动力学基础共60页，您现在浏览的是第10页!例3-1已知速度场为其中k为常数，试求流线方程。代入流线方程，可得积分上式的流线方程为该流动的流线为一族等角双曲线。流线的性质：[解]流动为二维定常流（1）一般情况下，流线不能相交，且只能是一条光滑曲线；（2）在定常流动条件下，流线的形状、位置不随时间变化，且流线与迹线重合。流体力学第3章流体运动学和动力学基础共60页，您现在浏览的是第11页!过（1，1）流线：2.求迹线，由迹线方程（其中t为自变量）：积分得迹线参数方程：由初始条件定得c1=c2=1,故所求的迹线参数方程为：流体力学第3章流体运动学和动力学基础共60页，您现在浏览的是第12页!

求：（1）质点A的迹线方程；解：此流场属不定常流场。例3-3：设速度场为vx=t+1,vy=1，t=0时刻流体质点A位于原点。(1)由欧拉迹线方程式，本例迹线方程组为（2）t=0时刻过原点的流线方程；（3）t=1时刻质点A的运动方向。流体力学第3章流体运动学和动力学基础共60页，您现在浏览的是第13页!上式表明质点A的迹线是一条以（－1/2，－1）为顶点，且通过原点的抛物线。（2）由流线微分方程式，积分可得(b)在t=0时刻，流线通过原点x=y=0，可得C=0，相应的流线方程为（c）x=y流体力学第3章流体运动学和动力学基础共60页，您现在浏览的是第14页!讨论：以上可见，不定常流动中迹线与流线不重合；不同时刻通过某固定点的流线可以不同（见b式），通过某流体质点所在位置的流线也可以不同（见c和d式）。t=1时刻过流体质点A所在位置的流线方程为x=2y－1/2(d)上式是一条与流体质点A的迹线相切于（3/2，1）点的斜直线，运动方向为沿该直线朝x,y值增大方向。流体力学第3章流体运动学和动力学基础共60页，您现在浏览的是第15页!流管——在流场中作一不是流线的封闭周线C，过该周线上的所有流线组成的管状表面。流体不能穿过流管，流管就像真正的管子一样将其内外的流体分开。定常流动中，流管的形状和位置不随时间发生变化。流束——充满流管的一束流体。微元流束——截面积无穷小的流束。

微元流束的极限是流线。微元流束和流线的差别：流束是一个物理概念，涉及流速、压强、动量、能量、流量等；流线是一个数学概念，只是某一瞬时流场中的一条光滑曲线。

总流——截面积有限大的流束。如河流、水渠、水管中的水流及风管中的气流都是总流。二、流管和流束流体力学第3章流体运动学和动力学基础共60页，您现在浏览的是第16页!平均流速——体积流量与有效截面积之比值。一般不加下标，直接用

v表示。质量流量（）：体积流量（）：流体力学第3章流体运动学和动力学基础共60页，您现在浏览的是第17页!解：（1）流量计算时dA=2πrdr，抛物线分布的流量为v·n)dA=1/7次幂分布的流量为

v·n)dA流体力学第3章流体运动学和动力学基础共60页，您现在浏览的是第18页!五、湿周水力半径当量直径

湿周——在总流的有效截面上，流体与固体壁面的接触长度。水力半径——总流的有效截面积A和湿周之比。矩形管道环形截面管道管束非圆形截面管道的当量直径圆形截面管道的当量直径流体力学第3章流体运动学和动力学基础共60页，您现在浏览的是第19页!3.4系统控制体输运公式

一、系统（system）——由确定的流体质点组成的流体团或流体体积V(t)。系统边界面S(t)在流体的运动过程中不断发生变化。

二、控制体(controlvolume)——相对于坐标系固定不变的空间体积V。是为了研究问题方便而取定的。边界面S称为控制面。

SystemControlVolumeControlSurface流体力学第3章流体运动学和动力学基础共60页，您现在浏览的是第20页!t时刻流体系统所具有的某种物理量N对时间的变化率为V

：系统在t时刻的体积；V’

：系统在t＋δt时刻的体积。某物理量变化率体内变化率净通量定常条件下：□=0+□随体导数当地导数迁移导数Cv–控制体；Cs–控制面。流体力学第3章流体运动学和动力学基础共60页，您现在浏览的是第21页!3.5连续性方程

输运公式为

由质量守恒定律：积分形式的连续性方程：方程含义：单位时间内控制体内流体质量的增量，等于通过控制体表面的质量的净通量。

定常流动的积分形式的连续性方程：流体力学第3章流体运动学和动力学基础共60页，您现在浏览的是第22页!对于不可压缩流体：方程表明：对于不可压缩流体的定常一维流动，在任意有效截面上体积流量等于常数。在同一总流上，流通截面积大的截面上流速小，在流通截面积小截面上流速大。流体力学第3章流体运动学和动力学基础共60页，您现在浏览的是第23页!用场量公式并运用质点导数概念，微分形式连续性方程为或改写为：左边代表一点邻域内流体体积的相对膨胀速率，右边代表密度相对减少率。连续性方程适用于任何同种流体。不可压缩流体连续性方程流体力学第3章流体运动学和动力学基础共60页，您现在浏览的是第24页!3.6动量方程和动量矩方程

一、动量方程——用于工程实际中求解流体与固体之间的作用力和力矩η表示单位质量流体具有的动量;N

为系统内的流体具有的动量。输运公式为

对上式应用质点系的动量定理：作用于流体系统上的所有外力之和等于系统内流体动量的变化率。流体力学第3章流体运动学和动力学基础共60页，您现在浏览的是第25页!方程表明：在定常管流中，作用于管流控制体上的所有外力之和等于单位时间内管子流出断面上流出的动量和流入断面上流入的动量之差。用动量修正系数来修正实际流速和平均流速计算的动量通量的差别:通常情况下，定常管流投影形式的动量方程：流体力学第3章流体运动学和动力学基础共60页，您现在浏览的是第26页!二、动量矩方程η表示单位质量流体的动量矩;N为整个系统内流体的动量矩。对上式应用质点系的动量矩定理：流体系统内流体动量矩的时间变化率等于作用在系统上的所有外力矩的矢量和。积分形式的动量矩方程：输运公式为

流体力学第3章流体运动学和动力学基础共60页，您现在浏览的是第27页!离心泵叶轮内的流动取图中虚线包容的体积为控制体：（绝对速度）

（相对速度）（牵连速度）

（法向分速度）（切向分速度）

为转轴传给叶轮的力矩。力矩:功率:涡轮机械的基本方程:单位重量流体获得的能量流体力学第3章流体运动学和动力学基础共60页，您现在浏览的是第28页!相对速度：绝对速度（牵连速度与相对速度的合成）流体力学第3章流体运动学和动力学基础共60页，您现在浏览的是第29页!洒水器示意图。R=0.15m,喷口A=40mm2,θ=30°,qV=0.0012m3/s

，不计阻力。求（1）保持转臂不动所需的外力矩M；（2）旋转时的角速度w。（3）n=400转/分时的轴功率。取包围整个洒水器的控制体CV，就整个控制体而言，从平均的意义上可认为是定常的。（1）转臂不转动，w=0，则所需外力矩应为流出流体的动量矩与注入流体的动量矩之差，则，

流体力学第3章流体运动学和动力学基础共60页，您现在浏览的是第30页!(3)当n=400转/分时ω=400×2π/60=41.89(1/s)

方向与w方向相反流体力学第3章流体运动学和动力学基础共60页，您现在浏览的是第31页!Lagrange法（拉格朗日法）

基本思想：观察者着眼于个别流体质点的流动行为，通过跟踪每个质点的运动历程，从而获得整个流场的运动规律。（引出迹线的概念）独立变量：（a,b,c,t）——区分流体质点的标志质点物理量：流体质点的位置坐标：速度：流体力学第3章流体运动学和动力学基础共60页，您现在浏览的是第32页!Euler法（欧拉法）

基本思想：欧拉方法的着眼点不是流体质点而是空间点。考察不同流体质点通过空间固定点的流动行为，通过记录不同空间点流体质点经过的运动情况，从而获得整个流场的运动规律。在固定空间点看到的是不同流体质点的运动变化，无法像拉格朗日方法那样直接记录同一质点的时间历程。

独立变量：空间点坐标

应该指出，速度场的表达本质上指的是该瞬时恰好通过该空间点的流体微团所具有的速度。流体力学第3章流体运动学和动力学基础共60页，您现在浏览的是第33页!质点加速度流体力学第3章流体运动学和动力学基础共60页，您现在浏览的是第34页!

质点的加速度包括两个部分：（1）当地加速度（局部加速度）—特定空间点上速度对时间的变化率；（2）迁移加速度（对流加速度）

—对应于质点空间位置改变所产生的速度变化。质点导数

--

质点物理参数对时间的变化率。物理参数的质点导数=当地导数

+迁移导数

例流体力学第3章流体运动学和动力学基础共60页，您现在浏览的是第35页!由速度分布求质点轨迹求：在t=0时刻位于点（a,b）的流体质点的运动轨迹。解：对某时刻t位于坐标点上(x,y)的质点求解一阶常微分方程（a）可得已知:已知用欧拉法表示的流场速度分布规律为(a)

(b)

流体力学第3章流体运动学和动力学基础共60页，您现在浏览的是第36页!3.2流动的类型

按照流体性质划分：可压缩流体的流动和不可压缩流体的流动；理想流体的流动和粘性流体的流动；牛顿流体的流动和非牛顿流体的流动；磁性流体的流动和非磁性流体的流动；按照流动特征区分：有旋流动和无旋流动；层流流动和紊流流动；定常流动和非定常流动；超声速流动和亚声速流动；按照流动空间区分：内部流动和外部流动；一维流动、二维流动和三维流动；流体力学第3章流体运动学和动力学基础共60页，您现在浏览的是第37页!给定速度场，流体质点经过时间移动了距离，该质点的迹线微分方程为3.3流体运动学的基本概念

一、迹线和流线起始时刻时质点的坐标，积分得该质点的迹线方程。迹线

——流体质点的运动轨迹线。属拉格朗日法的研究内容。流体力学第3章流体运动学和动力学基础共60页，您现在浏览的是第38页!流线的几个性质：在定常流动中，流线不随时间改变其位置和形状，流线和迹线重合。在非定常流动中，由于各空间点上速度随时间变化，流线的形状和位置是在不停地变化的。流线不能彼此相交和折转，只能平滑过渡。流线密集的地方流体流动的速度大，流线稀疏的地方流动速度小。迹线和流线的差别：迹线是同一流体质点在不同时刻的位移曲线，与Lagrange观点对应；流线是同一时刻、不同流体质点速度向量的包络线，与Euler观点对应。流体力学第3章流体运动学和动力学基础共60页，您现在浏览的是第39页!积分得任一时刻t流线族为：t=0时刻流线族为：（这也是定常流流线族）解：1.求流线，由流线方程（其中t固定当常数看）：例3-2.设有一个二维非定常流场其速度分布是：求t=0时过（1，1）的流线和迹线。问定常时结果如何？流体力学第3章流体运动学和动力学基础共60页，您现在浏览的是第40页!积分得：由初始条件定得c1=c2=1，故所求为：消去t得：可见定常时迹线与流线重合。当流动为定常时再求迹线。由迹线方程：流体力学第3章流体运动学和动力学基础共60页，您现在浏览的是第41页!由上两式分别积分可得t=0时质点A位于x=y=0，得c1=c2=0。质点A的迹线方程为(a)消去参数t

可得流体力学第3章流体运动学和动力学基础共60页，您现在浏览的是第42页!可得C=－1/4。这是过原点的一、三象限角平分线，与质点A的迹线在原点相切。(3)为确定t=1时刻质点A的运动方向，需求此时刻过质点A所在位置的流线方程。由迹线参数式方程(a)可确定，t=1时刻质点A位于x=3/2，y=1位置，代入流线方程(b)流体力学第3章流体运动学和动力学基础共60页，您现在浏览的是第43页!例3-4在任意时刻，流体质点的位置是x=5t2，其迹线为双曲线xy=25。质点速度和加速度在x和y方向的分量为多少？解流体力学第3章流体运动学和动力学基础共60页，您现在浏览的是第44页!三、缓变流和急变流缓变流——流束内流线的夹角很小、流线的曲率半径很大，近乎平行直线的流动。否则即为急变流。流体在直管道内的流动为缓变流，在管道截面积变化剧烈、流动方向发生改变的地方，如突扩管、突缩管、弯管、阀门等处的流动为急变流。

四、有效截面流量平均流速有效截面——在流束或者总流中，与所有流线都垂直的截面。流量——在单位时间内流过有效截面积的流体的量。流体力学第3章流体运动学和动力学基础共60页，您现在浏览的是第45页!流量与平均速度例3-5粘性流体在圆管（半径R）内作定常流动。设圆截面上有两种速度分布，一种是抛物线分布,另一种是1/7次幂分布：上式中vm1、vm2分别为两种速度分布在管轴上的最大速度。求：两种速度分布的（1）流量qV的表达式；（2）截面上平均速度。流体力学第3章流体运动学和动力学基础共60页，您现在浏览的是第46页!（2）抛物线分布和1/7次幂分布的平均速度分别为讨论：抛物线速度分布的截面平均速度为最大速度的一半，而1/7次幂分布的截面平均速度为最大速度的0.8167倍，这是后者的速度廓线中部更平坦，速度分布更均匀的缘故。流体力学第3章流体运动学和动力学基础共60页，您现在浏览的是第47页!作业：3-2，3-4，3-7

流体力学第3章流体运动学和动力学基础共60页，您现在浏览的是第48页!三、输运公式

系统和控制体系统：边界用虚线表示；控制体：边界用实线表示。左边(a)图对应着t时刻；右边(b)图对应t＋δt时刻。N为系统在t时刻所具有的某种物理量（如质量、动量和能量等）的总量;η表示单位质量流体所具有的该种物理量。流体力学第3章流体运动学和动力学基础共60页，您现在浏览的是第49页!输运公式②控制体广延量随时间变化率,称为当地变化率

①控制体形式的系统导数①③②③通过控制面净流出的广延量流量,称为迁移变化率

当流场定常时,②＝0当流场均匀时,③＝0

输运公式计算取决于控制体(面)的选择流体力学第3章流体运动学和动力学基础共60页，您现在浏览的是第50页!应用于定常管流时：A1，A2为管道上的任意两个截面截面A1上的质量流量和分别表示两个截面上的平均流速，并将截面取为有效截面：

一维定常流动积分形式的连续性方程

方程表明：在定常管流中的任意有效截面上，流体的质量流量等于常数。

截面A2上的质量流量流体力学第3章流体运动学和动力学基础共60页，您现在浏览的是第51页!微分形式的连续性方程

x，y，z方向净流出质量为因密度变化引起的质量减少为由质量守恒定律单位时间单位体积内边长为dx,dy,dz的长方体控制体元，dt内x方向净流出的质量流体力学第3章流体运动学和动力学基础共60页，您现在浏览的是第52页!有一不可压缩流体平面流动，其速度分布规律为u