计量经济学课件6

第六章动态经济模型：自回归模型和分布滞后模型1本章主要介绍以下内容：第一节引言第二节分布滞后模型的估计第三节部分调整模型和适应预期模型第四节自回归模型的估计第五节阿尔蒙多项式分布滞后2第一节引言在经济运行过程中，某个经济变量不仅受到同期各种因素的影响，而且也受到过去某些时期的各种因素甚至自身的过去值的影响，这种现象称为滞后效应。这种过去时期的，具有滞后作用的变量叫做滞后变量LaggedVariable，含有滞后变量的模型称为滞后变量模型。3若存在滞后效应，就需要在计量经济模型中反映这个动态过程，通常的作法是将滞后变量引入模型中。下面举两个简单的例子。例6.1Yt=α+βXt-1+ut,t=1,2,…,n

本例中Y的现期值与X的一期滞后值相联系，一般的情况是：

Yt=α+β0Xt+β1Xt-1+……+βsXt-s+ut,t=1,2,…,n即Y的现期值不仅依赖于X的现期值，而且依赖于X的若干期滞后值。这类模型称为分布滞后模型，X变量的影响分布于若干周期。4

例6.2Yt=α+βYt-1+ut,t=1,2,…,nY的现期值与它自身的一期滞后值相联系，即依赖于它的过去值。一般情况可能是：

Yt=f(Yt-1,Yt-2,…,X2t,X3t,…)

即Y的现期值依赖于它自身若干期的滞后值，还依赖于其它解释变量。包含了滞后的因变量（内生变量）作为解释变量的模型称为自回归模型。5上面列举了模型中包含滞后经济变量的两种情况。第一种是仅包含滞后外生变量的模型。第二种是包含滞后内生变量的模型。在两种情况下，都通过滞后变量实现了动态过程的建模。

滞后变量的引入会带来模型设定和模型参数估计方面的新问题，本章将讨论这些问题。6第二节分布滞后模型的估计在简单消费函数中，消费不仅取决于现期的收入，而且由于习惯的原因，还取决于过去的收入水平。在这种情况下，用模型表示如下：

Yt=α+β0Xt+β1Xt-1+……+βsXt-s+ut(6.1)

如何估计此模型的参数？能否直接用OLS法？7在这类模型中，由于在X和它的若干期滞后之间往往存在数据的高度相关，从而导致严重多重共线性问题。因此，分布滞后模型极少按（6.1）式这样的一般形式被估计。通常采用对模型各系数βj施加某种先验的约束条件的方法来减少要估计的独立参数的数目，从而避免多重共线性或将其影响减至最小。这样处理有两种最著名的方法：科克方法和阿尔蒙方法。下面首先介绍科克方法。8

科克分布滞后模型(满足科克假定)

科克方法假定解释变量的各滞后值的系数按几何级数递减，即：Yt=α+βXt+βλXt-1+βλ2Xt-2+…+ut

(6.2)其中0<λ<1这是假设无限滞后分布，由于0<λ<1，X的逐次滞后值对Y的影响是逐渐递减的。（6.2）式中仅有三个参数：α、β和λ。但直接估计（6.2）式是不可能的。9

首先，估计无限多个系数是不可行的。

其次，从回归结果中不可能推出β和λ的估计值。可以从Xt的系数得到β的一个估计值，然而还可以用Xt-1的系数的平方除以Xt-2的系数得到β的另一个估计值，或用Xt-2系数的平方除以Xt-4的系数得到β的又一个估计值，这些β的估计值往往是互相矛盾的。与此类似，有很多不同的、相互矛盾的求出λ的估计值的方法。那么如何解决这个问题？有两种方法。101.非线性最小二乘法

非线性最小二乘法实际上是一种格点搜索法。首先定义λ的范围(如0-1)，指定一个步长(如0.01)，然后每次增加一个步长，依次考虑0.01,0.02,……0.99。步长越小，结果精确度越高。对于λ的每个值，计算Zt=Xt+λXt-1+λ2Xt-2+…+λPXt-P(6.3)11

P的选择准则是，λP充分小，使得X的P阶以后滞后值对Z无显著影响。然后回归下面的方程：

Yt=α+βZt+ut(6.4)

对λ的所有取值重复执行上述步骤。选择回归式(6.4)中产生最高R2的λ值，相应的α和β的估计值即为该回归所得到的估计值。122.科克变换法第二种方法是采用科克变换，（6.2）式两端取一期滞后，得：

Yt-1=α+βXt-1+βλXt-2+βλ2Xt-3+…+ut-1

两端乘以λ，得：λYt-1=λα+βλXt-1

+βλ2Xt-2+βλ3Xt-3+…+λut-1(6.5)，（6.2）-（6.5），得

Yt-λYt-1=α(1-λ)+βXt+ut-λut-1(6.6)

所有的X滞后项都消掉了，因此

Yt=α(1-λ)+βXt+λYt-1+ut-λut-1(6.7)13

(6.7)为科克变换模型，也是自回归模型。据此可以分析该模型的短期（即期）和长期动态特性（短期乘数和长期乘数）。从长期看，在忽略扰动项的情况下，如果Xt趋向于某一均衡水平则Yt和Yt-1也将趋向于某一均衡水平在短期内（即期），X的变动对Y的影响为β（短期乘数为β）。14所以有(6.8)这意味着（6.9）因此，X对Y的长期影响（长期乘数）为β/（1-λ），若λ位于0和1之间，则β/（1-λ）>β，即长期影响大于短期影响。15

从参数估计来看，科克变换模型很有吸引力，OLS回归就可得到α、β和λ的估计值（α的估计值是（6.7）式中的常数项除以1减Yt-1的系数估计值）。但是，科克变换模型的扰动项为

ut-λut-1

16这带来了自相关问题（这种扰动项称为一阶移动平均扰动项）。另外，解释变量中包含了Yt-1，它是一个随机变量，部分地由ut-1决定，因而与（6.7）式中复合扰动项的一个分量-λut-1相关，从而不满足高斯—马尔可夫定理的第4个条件，使得OLS估计量是一个有偏和不一致估计量。在这种情况下，可考虑使用工具变量法或极大似然法。如仍行不通，则只有采用非线性最小二乘法。17第三节部分调整模型和适应预期模型

有两个著名的动态经济模型，它们最终可化成与上一节（6.2）式相同的几何分布滞后形式，因此都是科克类型的模型。它们是：

部分调整模型（Partialadjustmentmodel）

适应预期模型（Adaptiveexpectationsmodel）18一、部分调整模型在某些实践中，解释变量X影响的是因变量的理想值(希望值)或目标值Yt*，而不是实际值Yt，如本期实际销售量影响本期理想库存量：

Yt*=α+βXt+ut

（6.10）Yt*不能直接观测，因而无法直接估计(6.10).可假定Y的实际变动(Yt–Yt-1)与其理想变动(Yt*–Yt-1)成正比：

Yt–Yt-1=δ(Yt*-Yt-1)0≤δ≤1,

(6.11）δ称为调整系数。(6.11)称为“部分调整假设”，可改写为：

Yt=δYt*+(1-δ)Yt-1

(6.12)19

从(6.12)式可看出，Yt是现期理想值和前期实际值的加权平均。δ的值越高，调整过程越快。如果δ=1，则Yt=Yt*,在一期内实现全调整达到理想值。若δ=0，则实际值根本不作调整。（6.10）式代入（6.12）式，得到

Yt=αδ+βδXt+(1-δ)Yt-1+δut

（6.13）

(6.13)称为部分调整模型，用此模型可估计出α、β和δ的值。

20

与科克变换模型类似，这里也存在解释变量为随机变量的问题(Yt-1)，区别是科克模型中,Yt-1与扰动项(ut-λut-1)同期相关，而部分调整模型不存在同期相关，因为ut在Yt-1决定之后才产生。在这种情况下，用OLS法估计，得到的参数估计量是一致估计量（渐近无偏和渐近有效）。通过对(6.13)式中Yt-1进行一系列的置换可化为几何分布滞后的形式。21(6.13)式两端取一期滞后，得(6.14)将此式代入(6.13)式，得到(为简单起见，省略扰动项）用同样的方法置换Yt-2，以及随后的Yt-3,Yt-4,…,直至无穷，可得到一个无限分布滞后模型，系数为科克形式的几何递减权数，具体形式为：22其中令λ=1-δ，=，则得（6.15）与上节（6.2）式形式完全一样。23下面给出一个部分调整模型的应用实例例6.3林特纳（lintner）的股息调整模型J．Lintner建立的股息调整模型是应用部分调整模型的一个著名实例。

Lintner发现，所有股份公司都将其税后利润的一部分以股息的形式分配给股东，其余部分则用作投资。24当利润增加时，股息一般也增加，但通常不会将增加的利润都用作股息分配。这是因为利润的增加可能是暂时的，如果股息增加太快，以后可能还会被迫掉下来，减少股息通常会损害公司的声誉。另一个原因是可能有很好的投资机会。25Lintner假设各公司有一个长期的目标派息率，理想股息Dt*与现期利润Πt有关，其关系为Dt*=

+Πt+ut而实际股息服从部分调整假设把Dt*=

+Πt+ut代入其中得26使用美国公司部门1918—1941年数据，得到如下回归结果：各系数在1%显著水平下都显著异于0。从回归结果可知，（1-）的估计值为0.70，因而调整系数的估计值为0.30，即调整速度为0.30。由于Πt的系数是的估计值，除以0.30，则得到长期派息率（）的估计值为0.50。27二、适应预期模型在某些实际问题中，因变量Yt并不取决于解释变量X的当前实际值，而是取决于对解释变量下一期的预期值。比如家庭本期消费水平，由下一期的预期收入来决定；本期投资额度由下一期的预期收益决定。28假设因变量Yt与某个解释变量X的预期值Xte有关，则可写出模型其中解释变量Xte不可观测，因而无法直接估计(6.16)，可采用适应预期假设解决。适应预期假设是，在每一时期中，将变量的当前观测值与以前所预期的值相比较，如果观测值大，则将下一期预期值向上调整，如果观测值小，则将下一期预期值向下调整。调整的幅度是其预测误差的一部分，即：29(0≤≤1)（6.17）（6.17）式可写成(0≤≤1)（6.18）上式表明，X的预期值是其当前实际值和先前预期值的加权平均。的值越大，预期值向X的实际发生值调整的速度越快。（6.18）取一期滞后得（6.19）30将（6.19）式代入（6.18）式，得可以用类似的方法，消掉（6.20）式中的Xet-2这一过程可无限重复下去，最后得到：将（6.21）式代入（6.16）式，得31此式与上节中科克分布(6.2)的形式相同。该模型的参数可用上一节介绍的非线性最小二乘法估计。对(6.22)式施加科克变换可得：此模型为适应预期模型，与科克模型同理不宜直接用OLS法估计。32例6.4Friedman的持久收入假说1957年，弗里德曼对传统消费函数提出批评，提出了持久收入假说消费函数。他认为第i个消费者在第t期的消费与持久性收入(permanentincome)YitP有关，而不是与当期的实际收入Yit有关。

持久性收入是在考虑了各种可能的波动的情况下，某人大体上可以依靠的预期收入。

33

持久收入是根据最近的经验和有关未来的预期而主观决定的，无法直接计量。任何一年中的实际收入可能高于或低于持久收入，取决于该年中的特别因素。实际收入和持久收入之差称为暂时性收入(transitoryincome)，记为YitT:34

他以同样方式区分了持久性消费，实际消费和暂时性消费的概念。

持久性消费是与持久性收入的水平相对应的消费水平。实际消费与持久消费之差称为暂时性消费，记为CitT:35

YitT和CitT被假定为具有0均值和常数方差的随机变量，它们相互独立，且与YitP和CitP无关。弗里德曼进一步假定持久消费与持久收入成正比：上式中持久收入YitP不可观测，为解决这一问题，弗里德曼假设持久收入遵从适应预期假设，也就是说，如果某人的现期收入高于（或低于）其先前的持久收入，则他将增加（或减少）后者，增加（或减少）的幅度是二者之差乘以：36

一般位于0和1之间。因此人们在实际收入增加时将调整他们的持久收入，但不会做全额调整，这是因为认识到实际收入的变动或许有一部分是由于收入的暂时分量变动的结果。（6.26）式可改写为：37此式表明，在第t年，消费者将持久收入估计为实际收入和以前的持久性收入的加权平均。如果接近于1，则该消费者将绝大部分权重给了实际收入，YP迅速向Y调整，若接近0，则很小部分权重给了实际收入，调整过程将很缓慢。38将（6.25）式代入（6.24）式，可得：此为弗里德曼消费函数模型。式中CitT起着扰动项的作用。为了估计这个模型，弗里德曼用（6.28）式（适应预期假设）将持久收入表示成实际收入的现期值和各期滞后值的加权平均：39若0<<1，这就是一个合理的假设，现期收入的权数最大，上一年次之，随着时间往回推，影响逐年衰减。最后，权数变得非常之小，使得无需考虑该年之前那些过去值。40

弗里德曼采用的估计方法是非线性最小二乘法。为了与传统消费函数相比较，弗里德曼用美国1905—1951（战争期间除外）的人均实际消费和人均可支配收入数据进行了回归。在格点搜索计算中，他将持久收入计算为现期收入和16个滞后收入项的加权平均值，的最优值为0.37，得到消费函数中β的估计值为0.88。41第四节自回归模型的估计上两节中，讨论了下列三个模型：科克模型部分调整模型适应预期模型这三个模型具有一种共同的形式，即：42解释变量中包括因变量的滞后值的模型称为自回归模型。在自回归模型（6.31）中，由于随机解释变量的存在和扰动项自相关的可能性这双重原因，OLS法不能直接应用，因此必须研究这类模型的估计问题。43一、自回归模型的估计问题

OLS法的应用，要求解释变量Xt为非随机的。在自回归模型中，由于Yt-1作为解释变量，这一条件已无法满足，这是因为，由于因此：这表明，Yt-1是随着随机扰动项Vt-1的变动而变动的，即Yt-1部分地由Vt-1决定，因而Yt-1是随机变量。441.解释变量为随机变量时OLS估计量的统计性质可以证明，当X为非随机变量这一条不满足时（1）若每一个Xt都独立于所有的扰动项ut，即cov(Xs,ut)=0,s=1,2,…,nt=1,2,…n则OLS估计量仍为无偏估计量。（2）若解释变量Xt独立于相应的扰动项ut，即随机解释变量与扰动项同期无关：

Cov(Xt,ut)=0,t=1,2,…,n

则OLS估计量为一致估计量。（3）若上述两条均不满足，即Cov(Xt,ut)≠0,则OLS估计量既是有偏的，又是不一致的。452、自回归模型的估计在自回归模型的情况下，第(1)条已无法满足，因为Yt-1可以表示为Vt-1,Vt-2,…,V1等的函数，因而依赖于Vt-1和所有早期的扰动项。

46若自回归模型(6.31)的各期扰动项相互独立，则Yt-1独立于所有未来的扰动项(包括Vt)，从而Yt-1与Vt无关，对(6.31)式应用OLS法得到的参数估计量是一致估计量。在本节开始时列出的三个模型中，Yt-1与Vt无关是否能成立。47在科克模型和适应预期模型中，扰动项序列独立的条件不成立，以科克模型为例，扰动项vt=ut-λut-1假定ut满足标准假设条件，则该式非0，即Vt序列相关，还可以证明即Yt-1与Vt相关。适应预期模型的情况与此类似。48

因此，对于科克模型和适应预期模型，应用OLS法不仅得不到无偏估计量，而且也得不到一致估计量。也就是说，即使样本容量无限增大，参数估计量也不趋向于其总体值。但在部分调整模型中，vt=δut，若ut满足标准假设条件，则Vt也满足。因此，可用OLS法直接估计，将产生一致估计值，虽然估计值通常是有偏的（在小样本情况下）。49

综上所述，OLS法可用于部分调整模型的估计，并提供一致的估计值。而科克模型和适应预期模型，则由于其扰动项存在序列相关，用OLS进行估计得到的估计量既是有偏的，也是不一致的。50二、工具变量法（IV法，InstrumentalVariable）

OLS法不能应用于科克模型和适应预期模型的原因是解释变量Yt-1与扰动项Vt相关，如果这种相关能够被消除的话，就可以用OLS得到一致估计值。如何实现这一点呢？利维顿（Liviatan）提出的工具变量法是一种解决方法。51

工具变量法的基本思路是当扰动项u与解释变量X高度相关时，设法找到另一个变量Z，Z与X高度相关，而与扰动项u不相关，在模型中，用Z替换X，然后用OLS法估计，变量Z称为工具变量。只要工具变量的选取能够保证Z与X高度相关，而与u不相关，则得到的将是一致估计量。Z与X的相关程度越高，这种替代的效果就越好。下面回到科克模型和适应预期模型，研究工具变量的选取。52模型为

这里X是唯一的外生变量，而Y的行为部分地依赖于X的行为，Yt-1的取值部分地取决于Xt-1的数值。因此，这里Xt-1就是一个比较理想的工具变量，即用滞后外生变量作为滞后内生变量的工具：Zt=Xt-1,t=1,2,…,n来估计

为了使用该模型所含的全部观测值，需要X的一个附加观测值X0。53

应该指出，找到一个好的工具变量绝非易事，并且还可能带来新的问题（如多重共线性），因此IV法实用性不大。在实践中，自回归模型还可以用极大似然法估计，得到的估计量是一致估计量。当然，对于本节所涉及的三种模型，由于它们都是几何滞后模型，因而都可以用前面介绍的非线性方法进行估计，该方法尽管费时，但没有估计问题。54第五节阿尔蒙多项式分布滞后

（AlmonPolynomialDistributedLags）

科克分布假定滞后解释变量的系数按几何级数递减。对于很多应用问题来说，这是一种令人满意的近似，但有些情况，这种假设未必符合实际。例如，在某些情况下，解释变量对因变量的影响是，开始小，然后随时间变大，尔后再次衰减，如下图所示：55图6-156阿尔蒙多项式分布滞后的基本假设是，如果Y依赖于X的现期值和若干期滞后值，则X滞后项权数由一个多项式分布给出。由于这个原因，阿尔蒙滞后也称为多项式分布滞后。最简单的例子是二次和三次多项式的情况，如下图所示：57图6-2二次函数58图6-3三次函数59一般情况下，在分布滞后模型中，假定：

其中P为多项式的阶数，如图6-2中P=2，图6-3中P=3。也就是用一个P阶多项式来拟合分布滞后权数。由用户选择最大滞后周期m和多项式阶数P。60例6.5若根据一实际问题设定下面的模型：这表明，所选择的最大滞后周期m=4，模型中共有6个参数。若决定用二次式进行拟合，即P=2，则61代入原模型，得令：Z0t=∑Xt-i,Z1t=∑iXt-i,Z2t=∑i2Xt-i显然，Z0t,Z1t和Z2t可以从现有观测数据中得出，可用OLS法估计下式：62（6.33）式中有4个参数，比（6.32）式的6个少了两个，估计出a，a0,a1

,a2的值之后，可以转换为βi的估计值,公式为：应用阿尔蒙滞后的关键在于如何选择最大滞后周期m和多项式的阶数P。在应用阿尔蒙法之前必须确定m和P，是该方法的一个弱点，其优点是避免了科克方法带来的估计问题。63

在实践中，人们期望m尽量小一些，如果有10年的数据，通常滞后取二至三期。对于P，可直接由（6.33）式，用t检验法检验

H0:aP=0,如果接受原假设，就可以去掉aP，然后用（P-1）阶来估计（6.33）式，如果H0:aP=0被拒绝，可以试（p+1）阶，并检验H0:aP+1=0，等等。一般说来，采用高阶多项式，拟合效果要好一些，但出现多重共线性问题的可能性要比二阶、三阶多项式大。一般情况下，三次多项式是一个不错的选择。64第六章小结现实的经济模型往往包括经济变量的滞后。有两种类型的滞后变量：滞后的解释变量和滞后的因变量。包含非随机的X变量的现期值和滞后值的回归模型称为分布滞后模型。而解释变量中包含因变量的滞后值的模型称为自回归模型。

65如果分布滞后模型包含若干期的滞后，则采用OLS法进行估计，尽管理论上可行，但实践上困难很大。这是由于它将消耗过多的自由度，并且一般存在严重的多重共线性问题。解决的方法是对滞后系数施加先验约束条件。广泛使用的一种方法是科克几何分布滞后模型，它假定诸滞后系数按几何级数递减。根据这一假设，包含不确定数目滞后项的模型可简化为仅包含非随机X变量的现期值和因变量的一期滞后值作为解释变量的模型：

Yt=(1–)+Xt+Yt-1+(ut–ut-1)66

科克模型大大简化了分布滞后模型，代价是带来了严重的估计问题，主要是包含了一个随机的解释变量Yt-1，它与扰动项相关，这使得OLS估计量不仅有偏，而且不一致。因此，需采用适当的估计技术，本章中介绍了其中的一种，即工具变量法，其思路是用另一个变量来代替滞后的随机解释变量Yt-1，该变量与