工程力学材料力学弯矩计算

Ch9弯曲内力§9-1概述外力特点：垂直于杆轴线外力，或作用在包含轴线平面内的外力偶。变形特点：杆的轴线弯成曲线，且杆的横截面相对转动一角度。Fq(x)Me纵向对称面1以弯曲变形为主要变形的杆件称为梁。工程中绝大多数梁都有一纵向对称面，且外力均作用在此面内，此时梁的轴线在此对称面内弯成一条平面曲线，梁发生平面弯曲。平面弯曲是杆件的一种基本变形。Fq(x)Me2按梁的支承情况，梁有三种基本形式。梁的分类：1.简支梁：一端为固定铰支座，另一端为可动铰支座的梁。2.外伸梁：简支但一端或两端具有外伸部分的梁。3.悬臂梁：一端固定，另一端为自由的梁。静定梁：可由静力平衡方程求出所有支座反力的梁。超静定梁：仅用静力平衡方程不能求出全部支座反力的梁。梁两支座间的距离称为跨度，其长度称为跨长。3ABqF1F2F1F2ABABq(x)ABqCF16.54§9-2弯曲内力1.剪力用FQ表示,单位N,kN。弯矩用M表示,单位N·m,kN·m。

2.符号规定:剪力:作用于横截面上的剪力使研究对象有顺时针转动趋势的为正,反之为负。FQFQFQFQ+-——剪力和弯矩5弯矩:作用于横截面上的弯矩使研究对象产生下凸趋势的为正,反之为负。MMMM+-6AF1FRAammxxMFQycABF1F2ammx

1).梁上任一横截面上的剪力，在数值上等于该截面一侧所有外力沿横截面方向投影的代数和。2).梁上任一横截面上的弯矩，在数值上等于该截面一侧所有外力对该截面形心力矩的代数和。截面法7剪力:作用于横截面上的剪力使研究对象有顺时针转动趋势的为正,反之为负。FQFQFQFQ+-弯矩:作用于横截面上的弯矩使研究对象产生下凸趋势的为正,反之为负。MMMM+-8例1求解图示梁指定截面的内力。2mABq=2kN/m1m1m112233xy解：1.求支座反力MAFAy2.求截面内力9A11xMAFAyA11xMAFAy22解：1.求支座反力2.求截面内力1-1截面2-2截面3-3截面M1FQ1M2FQ2M3FQ3A11xMAFAy2233q=2kN/m此题可否不求解约束力?10例2求解图示示梁指定定截面的的内力。。ABF3311225544M=4Faaaa解：1.求支支座反力力2.求截截面内力力11ABlFabCq作业题：：求A截面面右侧、、C截面面左侧和和右侧的的内力。。第十七次次课结束束处12§5-3剪力方程程和弯矩矩方程、、剪力图图和弯矩矩图FQ=FQ(x)剪力方程程以平行于于梁轴线线的坐标标轴为x轴,表示示横截面面的位置置；以垂垂直于梁梁轴线的的坐标轴轴为FQ轴或M轴,FQ以向上为为正，M以向下为为正，画出的的图形称称为剪力力图或弯弯矩图。。M=M(x)弯矩方程程将各截面面的剪力力和弯矩矩表示为为截面位位置的函函数二、剪力力图和弯弯矩图：：一、剪力力方程和和弯矩方方程13例3简支梁受受均布荷荷载作用用，如图图所示。。试列出出剪力方方程和弯弯矩方程程，画出出剪力图图和弯矩矩图。ABqlx解：1.求支支座反力力2.列剪剪力方程程、弯矩矩方程FAyFRBx截面143.画剪剪力图、、弯矩图图ABqlxFQ+—xM+15例4一简支梁梁受集中中荷载作作用，如如图所示示。试列列出剪力力方程和和弯矩方方程，画画出剪力力图和弯弯矩图。。ABlxFabC解：1.求支支座反力力2.列剪剪力方程程、弯矩矩方程FAyFRB3.画剪剪力图、、弯矩图图16xFQxMABlFabC+—+17例5一简支梁梁受均布布荷载及及集中荷荷载作用用，如图图所示。。试列出出剪力方方程和弯弯矩方程程，画出出剪力图图和弯矩矩图。ABlxFabCq18例6一简支梁梁受集中中力偶作作用，如如图所示示。试列列出剪力力方程和和弯矩方方程，画画出剪力力图和弯弯矩图。。ABMablxC分段点：：集中力力、集中中力偶、、分布荷荷载起止止，剪力力方程、、弯矩方方程要分分段；剪剪力图、、弯矩图图有突变变，为控控制截面面处。由由此可见见剪力图图、弯矩矩图与荷荷载图之之间存在在一定的的关系。。17.519ABq(x)Fx§9-4弯矩矩、、剪剪力力与与分分布布荷荷载载集集度度间间的的关关系系设一一段段梁梁受受力力如如图图x处取取微微段段dx，微微段段受受力力如如图图由该该微微段段的的平平衡衡方方程程∑Fiy=0即FQ(x)-[FQ(x)+dFQ(x)]+q(x)dx=0dxxq(x)dxM(x)FQ(x)M(x)+dM(x)FQ(x)

+dFQ(x)C20dFQ(x)dx=q(x)得dFQ(x)=q(x)dxM(x)FQ(x)M(x)+dM(x)FQ(x)

+dFQ(x)q(x)dxC∑MC=0M(x)+FQ(x)dx-[M(x)+dM(x)]+q(x)dx=0dx2dM(x)dx=FQ(x)得dM(x)=FQ(x)dxd2M(x)dx2=q(x)从而而211.q(x)=0讨论论：：该梁梁段段内内FQ(x)=常数数。故故剪剪力力图图是是平平行行于于x轴的的直直线线；；弯矩矩是是x的一一次次函函数数，弯弯矩矩图图是是斜斜直直线线。。2.q(x)=常数数该梁段内内FQ(x)为线性性函数。故剪力力图是斜斜直线；；弯矩是x的二次函函数，弯矩图图是二次次抛物线线。剪力为正正，弯矩矩图向下下倾斜；；剪力为为负，弯弯矩图向向上倾斜斜。q(x)为正，剪剪力图向向上倾斜斜，弯矩矩图为上上凸曲线线；q(x)为负，剪剪力图向向下倾斜斜，弯矩矩图为下下凸曲线线。22例7作如图所所示外伸伸梁的剪剪力图和和弯矩图图。解：1.求支支座反力力2.画画剪力图图、弯矩矩图FAyFRB找控制截截面，计计算控制制截面上上剪力、、弯矩11223344556623FAyFRB112233445566FQ72886020(kN)M(kN··m)80113.63.6m++—+—+1441624FAyFRB112233445566FQ72886020(kN)M(kN·m)80113.63.6m++—+—+14416q(x)=0剪力图是是平行于于x轴的直线线；弯矩图是是斜直线线。q(x)=常数剪力图是是斜直线线；弯矩图是是二次抛抛物线。。第十八次次课结束束处25例8作如图所所示联合合梁的剪剪力图和和弯矩图图。解：1.求支支座反力力2.画画剪力图图、弯矩矩图找控制截截面，计计算控制制截面上上剪力、、弯矩MCFRAFCy1122334426FQ(kN)408010240M(kN·m)1075+—+—27§9-5按按叠加原理理作弯矩矩图故可先分分别画出出各个荷荷载单独独作用的的弯矩图图，然后后将各图图对应处处的纵坐坐标叠加加，得所所有荷载载共同作作用的弯弯矩图。。这是是一一个个普普遍遍性性的的原原理理，，即即叠加加原原理理；凡凡是是作作用用因因素素（（如如荷荷载载，，温温度度等等））和和所所引引起起的的结结果果（（支支座座反反力力、、内内力力、、应应力力、、变变形形等等））之之间间成成线性性关关系系，叠叠加加原原理理都都适适用用。。当梁梁在在荷荷载载作作用用下下为为微微小小变变形形时时，，梁梁的的支支座座反反力力、、剪剪力力和和弯弯矩矩与与梁梁上上荷荷载载成成线线性性关关系系。。这这时时，，在在多多个个荷荷载载作作用用下下，，梁梁的的弯弯矩矩为为各各个个荷荷载载单单独独作作用用时时的的弯弯矩矩的的代代数数和和。。28ABqlMe=1/8ql2ABqlABlMe=1/8ql2+ql2/8M—ql2/8M如图图按叠加加原原理理作作其其弯弯矩矩图图29ABqlMe=1/8ql2+ql2/8MMe单独独作作用用下下弯