塑性力学屈服条件学习培训课件

弹塑性力学

教师:王晓红

办公室：工北-316

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教师:王晓红

办公室：工

弹塑性力学

第二篇:

塑性理论2特选材料%弹塑性力学

第二篇:塑性理论2特选材料%第二章屈服条件物体受力以后产生变形。随着力的增加，到一定程度时，变形由弹性的变成非弹性的，即开始产生永久变形。

由弹性过度到非弹性的条件是什么?也就是说将物体从自然状态开始加载，当应力达到什么程度时开始产生塑性变形，以及，应力如何变化才能使塑性变形继续发展。前者是初始屈服问题，后者是后继屈服问题。这就是本章要讨论的主要内容。本章着重介绍常用的作为判断延性金属开始塑性屈服的两个条件，即Tresca条件和Mises条件。然后，再讨论一下变形硬化的问题，即后续屈服的问题。3特选材料%第二章屈服条件物体受力以后产生变形。随着力的增加，到一定程在分析复杂应力状态的塑性变形规律之前，我们先来观察一下大家所熟知的简单拉伸实验。1.简单拉伸时的塑性现象

1.1简单拉伸实验-假定所用的材料具有弹塑性现象，是各向同性的，对拉伸和压缩具有相同的力学性质，即对于初始材料，先拉或先压，其力学性能是相同的。从实验结果可以绘出其σ-ε曲线4特选材料%在分析复杂应力状态的塑性变形规律之前，我们先来观察一下大家从实验结果可以绘出其σ-ε曲线-如图所示：它是忽略了一些次耍的因素而稍加理想化了的应力-应变曲线图，但反映了常温、静载下，材料在受力过程中应力-应变关系的基本面貌，显示了材料固有力学性能，从这里我们可以看到：（1）随着荷载的增加，在变形的最初阶段，直到A点以前，应力σ和应变成直线关系：弹性模量5特选材料%从实验结果可以绘出其σ-ε曲线-如图所示：它是忽略了一（1）随着荷载的增加，在变形的最初阶段，直到A点以前，应力σ和应变成直线关系：弹性模量由于超过A点以后，就不再保持上述的比例关系，所以与A点相应的应力叫材料的比例极限。如果在A点以前将荷载逐渐消除，变形即跟着完全消失，所以在OA段内仅有弹性变形。6特选材料%（1）随着荷载的增加，在变形的最初阶段，直到A点以前，应力σ（2）当荷载继续增加，此时变形的增长比在A点之前稍大，但在未超过B点以前，变形仍是可以恢复的。所以将与B点相应的应力叫做材料的弹性极限。它表示材料不致产生残余变形的最大应力值。(3)继续加载达到C点时，变形增长得较快。过C点后，在几乎不增加荷载的情况下，变形会继续迅速增加。这时，发生了显著的残余变形，材料达到屈服阶段。与C点相应的应力就称为材料的屈服极限。7特选材料%（2）当荷载继续增加，此时变形的增长比在A点之前稍大，但在未像软钢一类材料具有明显的屈服阶段，σ-e曲线在这时有一个明显的平缓的部分(下左图所示)。

但有些材料(如铝合金）没有明显的屈服阶段(下右图)。在工程上往往以残余变形达0.2%时作为塑性变形的开始，其相应的应力作为材料的屈服应力.由于-般材料的比例极限、弹性极限和屈服极限相差不大，为了方便，通常不加区分。我们以后都用，并称为屈服应力。σ%8特选材料%像软钢一类材料具有明显的屈服阶段，σ-e曲线在这时有一-

由于材料是各向同性的，如果开始不做拉伸实验，而做压缩实验，则压缩应力-应变曲线将和拉伸时的曲线一样。--初始弹性阶段：这样，我们可以认为材料在应力到达屈服极限，以前（）是弹性的，应力与应变成正比，即服从Hooke定律，这个阶段称为初始弹性阶段。--初始屈服点：曲线上和

相应的点是初始弹性阶段的界限，超过此界限以后材料就进入塑性阶段了，所以把它称为初始屈服点。--

材料由初始弹性阶段进入塑性的过程就称为初始屈服。9特选材料%-由于材料是各向同性的，如果开始不做拉伸实验，而做压缩实验（4）当材料屈服到一定程度时，它的内部结构因为晶体排列的位置在改变后又重新得到调整，使它又重新或得了继续抵抗外载的能力。--应变硬化：在继续加载后，曲线在屈服后继续上升，这就说明材料在屈服以后，必须继续增大应力才能使它产生新的塑性变形。这种现象称为应变硬化或加工硬化，简称为硬化。这个变形阶段称为硬化阶段。--应变软化：当曲线到达最高点E时，荷载达到最大值，此时，由于颈缩现象的出现，在E点以后荷载开始下降，直至断裂。这种应力降低、应变增加的现象称为应变软化，简称为软化。和E点相应的应力就称为强度极限。10特选材料%（4）当材料屈服到一定程度时，它的内部结构因为晶体排列的位置（5）如果将试件拉伸到塑性阶段的某点，例如D点，以后逐渐减小应力，即卸载，则σ-e曲线将沿着大致与OA平行的直线下降。在全部卸除荷载之后，留下残余变形。表示全应变e，

是可以恢复的应变即弹性应变是不能恢复的应变，即塑性应变，则：即全应变等于弹性应变加上塑性应变。--若在卸载后重新加载，曲线基本上仍沿上升至D时又开始产生新的塑性变形，好像又进入了新的屈服，然后顺着原来的DE线上升，就像未曾卸载一样。（2-1）11特选材料%（5）如果将试件拉伸到塑性阶段的某点，例如D点，以后逐渐减小--后继屈服：为了与初始屈服相区别，继续发生新的塑性变形时材料的再度屈服称为继续屈服或后继屈服，相应的屈服点D称为后继屈服点。相应的屈服应力：称为后继屈服应力。--由于硬化作用，使材料的后继屈服极限比初始屈服极限提高了，即而且和

不同，不是材料常数，它的大小是和塑性变形的大小和历史有关的。12特选材料%--后继屈服：为了与初始屈服相区别，继续发生新的塑性变形时材--这个效应说明对先给出某方向的塑性变形的材料，如再加上反方向的荷载，和先前相比，抵抗变形的能力减小，

即一个方向的硬化引起相反方向的软化。这样，即使是初始各向同性的材料，在出现塑性变形以后，就带各向异性。虽然多数情况下为了筒化而不考虑Bauschinger效应，但对有反复加载的情况必须予以考虑。（6）Bauschinger效应：如果在完全卸载后施加相反方向的应力，譬如由拉改为压力，则曲线沿

的延长线下降，即开始是成直线关系（弹性变形)，但至一定程度(点)又开始进入屈服，并有反方向应力的屈服极限降低的现象，这种现象称为：Bauschinger(包辛格）效应。

13特选材料%--这个效应说明对先给出某方向的塑性变形的材料，如再加上反--后继弹性阶段：卸载的过程中，从D到，虽然也是线性关系，应服从Hooke定律，但不能写成全量形式，而应写成增量关系，这是因为全应变中有一部分是塑性应变，并不服从弹性定律。这个变形阶段称为后继弹性阶段，后继屈服点就是它的界限点，且这种界限点的位置是随塑性变形的大小和历史而改变的。14特选材料%--后继弹性阶段：卸载的过程中，从D到，虽然也是线性关--从这个简单拉伸实验所观察到的现象可以知道，和弹性阶段不同，塑性的变形规律即本构关系应具有以下几个重要的特点：(1)首先要有一个判断材料是处于弹性阶段还是已进入塑性阶段的判断式，即屈服条件，对简单拉伸或压缩应为状态。这个判别式为：初始屈服条件：

后继屈服条件：

是常数，而

的大小由塑性变形的大小和历史所决定，它们都是取绝对值。

(2)应力和应变之间是非线性关系。15特选材料%--从这个简单拉伸实验所观察到的现象可以知道，和弹性阶段不同(2)应力和应变之间是非线性关系。(3)应力和应变之间不存在弹性阶段那样的单值关系，因为加载和卸载是分别服从不同的规律。这一点又决定了它和非线性弹性问题不同。--在单向拉伸或压缩应力状态下，这些关系可表示为：弹性阶段：（当时）

弹塑性阶段：（当时）加载（），（非线性关系）卸载（），（线性关系）

16特选材料%(2)应力和应变之间是非线性关系。(3)应力和应变之间不因为加载和卸载时服从不同的规律，因此，如不指明变形路径（历史）是不能由应力确定应变（右图）或由应变确定应力（左图）

加载（），（非线性关系）卸载（），（线性关系）

同一应力对应不同的应变同一应变对应不同的应力17特选材料%因为加载和卸载时服从不同的规律，因此，如不指明变形路径（历史--由此可知，塑性变形的规律远比弹性变形的规律复杂得多，它是一个非线性的、加载与卸载不同的复杂关系，这就决定了塑性力学远比弹性力学复杂。--所以，在塑性为学中，为了能使复杂的问题得到解决，常常不得不引进一些恰当的假设，使问题得到合理的解决。---在确定力学模型时，要特别注意使所选取的力学模型必须符合材料的实际情况，只有这样才能使计算结果反映结构或构件中的真实应力及应力状况。---另一方面，要注意所选取的力学模型的数学表达式应该足够简单，以便在求解具体问题时，不出现过大的数学上的困难。18特选材料%--由此可知，塑性变形的规律远比弹性变形的规律复杂得多，它(1)理想弹性力学模型符合材料的实际情况。数学表达式足够简单。2.力学模型的要求：[徐;p80]σe弹性变形：应力与应变之间是一种线性关系,应力和应变关系的数学表达式:在此阶段中，外载荷引起的应力，应变和位移，与加载次序和历史无关。在除去外载后，物体完全恢复到初始状态，而且在物体中没有任何残余应力和残余变形。19特选材料%(1)理想弹性力学模型符合材料的实际情况。2.力学模型的要(2)理想弹塑性力学模型σeσsεs弹性变形阶段(OA):

应力与应变(线性关系)塑性变形阶段(AB)：材料进入塑性状态后，如不考虑材料的强化性质，则可得到如图所示的理想弹塑性模型。(徐3-9)AB20特选材料%(2)理想弹塑性力学模型σeσsεs弹性变形阶段(OA):(3)线性强化弹塑性力学模型σεσsEE1当考虑材料的强化性质时，可采用线性强化弹塑性力学模型图中有两条直线，OA和AB，其解析表达式为：oAB式中，E及E1分别为线段OA及AB的斜率(徐3-10)由于OA和AB是两条直线，也称双线性强化模型。εs21特选材料%(3)线性强化弹塑性力学模型σεσsEE1当考虑材料的强化sεε=1（4）

幂强化力学模型n：强化指数：0n1An=1n=0为了避免解析式在处的变化，有时可以采用幕强化力学模型上式所代表的曲线在ε=0处与σ轴相切，而且有下列公式：σ=Aε当n

=

1，（a）σ=A当n=0，（b）(a)式代表理想弹性模型，若将式中的A用弹性模量E代替，则为胡克定律的表达式。而式(b)的A用σs代替。则为理想塑性(或称刚塑性)力学模型。通过求解式(a)和(b)则可得ε=

1，即这两条线在ε=1处相交22特选材料%sεε=1（4）幂强化力学模型n：强化指数：0n（6）

线性强化刚塑性力学模型σsσε（刚塑性力学模型）（5）

理想塑性力学模型σεE1σs在许多实际工程问题中，弹性应变比塑性应变小得多，因而可以忽略弹性应变，若不考虑强化效应，则称这种模型为刚塑性力学模型。这一模型假设:在应力到达屈服极限之前应变为零。线段AB平行于ε轴，卸载线平行于σ轴。卸载线平行于σ轴。ABAB23特选材料%（6）线性强化刚塑性力学模型σsσε（刚塑性力学模型）（5在塑性力学中，刚塑性力学模型具有重要意义。在塑性成形理论中的许多情况下，塑性应变一般都比弹性应变大得多，所以忽略弹性应变而只考虑塑性应变是合理的，对总体的计算结果影响不大。采用刚塑性力学模型给数学计算带来较大的简化。使许多复杂问题能获得完整的解析表达式。在以上所提及的几种力学模型中，理想弹塑性、幂强化及理想刚塑性力学模型应用最为广泛。24特选材料%在塑性力学中，刚塑性力学模型具有重要意义。在塑性成形理论中的3.初始屈服条件和初始屈服

问题：当应力（或变形)发展到什么程度开始屈服呢?也就是要找出在物体内一点开始出现塑性变形时其应力状态所应满足的条件，称为初始屈服条件，有时简称为屈服条件，又称为塑性条件有了这个条件就不难回答上面的问题。物体受到荷载作用以后，最初是产生弹性变形，随着荷载的逐渐增加至一定程度，有可能使物体内应力较大的部位开始出现塑性变形，这种由弹性状态进入塑性状态是初始屈服。（1）初始屈服条件

25特选材料%3.初始屈服条件和初始屈服

问题：当应力（或变形)发展到什对简单的应为状态，这个问题容易回答。-

简单拉伸：当拉应力σ达到材料屈服极限时开始屈服，所以这个条件可写成或-

纯剪状态：当剪应力τ达到材料剪切屈服极限τ时开始屈服，即纯剪的屈服条件为：或复杂应力状态：（确定材料的屈服界限就不那么简单）例如：薄壁圆管受内压P、拉力F和扭矩T作用，管子平均半径r，壁厚为t，t«r。26特选材料%对简单的应为状态，这个问题容易回答。-简单拉伸：当拉应力复杂应力状态：（确定材料的屈服界限就不那么简单）例如：薄壁圆管受内压P、拉力F和扭矩T作用，管子平均半径r，壁厚为t，t«r。TFFT显然，对于不同的外力组合，所产生的应力状态不同。如何确定屈服极限？组合应力27特选材料%复杂应力状态：（确定材料的屈服界限就不那么简单）TFFT显因此，在一般情况下，应力状态是由六个独立的应力分量确定的，显然不能简单地取某一个应力分量作为判断是否开始屈服的标准，何况这六个分量还和坐标轴的选择有关。

对应于不同应力状态的屈服条件：

<ⅰ>在一定的内力组合下，所产生的应力随着内力的增加而进入塑性状态，于是就可得到这种应力状态的屈服条件。

<ⅱ>确定这种屈服条件，也要通过实验确定。由于这种内力组合是多种多样的，实验的次数也将很多，不可能一一做到。所以要以实验为基础，从理论上寻求其规律，找出屈服条件的解析式，建立屈服条件的理论。28特选材料%因此，在一般情况下，应力状态是由六个独立的应力分量确定的，显（2-2）有一点可以肯定的是屈服条件应该和这六个应力分量有关，还和材料的性质有关，即屈服条件可以写成下面的函数关系（2）初始屈服函数

或该函数就称为初始屈服函数屈服条件是与该点的应力状态即6个应力分量有关的，反映了这6个应力分量对屈服的影响：

它是初始弹性阶段的界限，应力点落在此曲面内的应力状态为初始弹性状态，若应力点落在此曲面上，则为塑性状态。29特选材料%（2-2）有一点可以肯定的是屈服条件应该和这六个应力分量有<i>表示在一个六维应力空间内的超曲面，屈服条件成立。<ii>六维应力空间是指6个应力分量x,y,的全体所构成的抽象空间，空间中任一点代表一个确定的应力状态。代表这一空间内的曲面，不同于普通空间内的曲面，称之为超曲面。进一步讲：

-这个曲面就是由达到初始屈服的各种应力状态点集合而成的，它相当于简单拉伸曲线上的初始屈服点。30特选材料%<i>表示在-这个曲面就是由达到初始屈服的各种应力状态点集合而成的，它相当于简单拉伸曲线上的初始屈服点。例：简单拉伸时，屈服应力0，用6维空间来描述，坐标(0,0,0,0,0,0)的点就在屈服面上。受扭转薄壁管的纯剪切屈服应力为0

，坐标(0,0,0,0,0,0)的点也是屈服面上的一个点。

(以上均为屈服面上的特殊点)31特选材料%-这个曲面就是由达到初始屈服的各种应力状态点集合而成的，它显然，用六个应力分量描绘屈服曲面不容易-若材料不仅是均匀的，而且是各向同性的(即对任一点的任何方向其力学性质都相同)，

f

应该和应力的方向无关。因此，

f

应该用和坐标轴的选择无关的应为不变量来表示如用三个主应力来表示为：或用应力张量的三个不变量来表示为：（2-3）（2-4）（3）如何描绘屈服曲面32特选材料%显然，用六个应力分量描绘屈服曲面不容易-若材料不仅是均匀的实验结果证明，各向均匀应力状态，即球形应力状态（静水压力）只产生弹性的体积变化，而对材料的屈服几乎没有影响，因此，可以认为这个屈服条件和平均应力，亦即和

无关，所以f

又可以用应力偏张量的不变量来表示。注意：（2-5）或用应力偏张量的三个不变量来表示为：33特选材料%实验结果证明，各向均匀应力状态，即球形应力状态（静水压力）（2-5）讨论：1°屈服条件可化为应力偏量的函数。

2°屈服函数可在主应力构成的坐标空间（主应力空间）内来讨论。

3°主应力空间是一个三维空间，在这一空间内，屈服函数的几何图像可以直观的绘出，有利于对屈服面的认识。

4°由因应力偏量第二不变量恒为正值，第三不变量I3当应力变号时I3也变号，故屈服函数f必为I3的偶函数。34特选材料%（2-5）讨论：1°屈服条件可化为应力偏量的函数。34特选材-屈服面：在应力空间中，将实验所得各种应力状态下初始屈服时的应力点连起来构成一个空间曲面，即屈服面。屈服面的定义--它将应力空间分成两部分：应力点在屈服面内属弹性状态，在屈服面上属弹性状态的极限和塑性状态的开始；在屈服面外则属于塑性状态的继续。--回顾π平面和静力应力线35特选材料%-屈服面：在应力空间中，将实验所得各种应力状态下初始屈服时的DENABS1P1P1'P1"S2P2Oπ平面法线上应力点矢量特征讨论：(a)

若应力空间中一点P1已达到屈服状态：其应力矢量OP1在π平面上分矢量OS1.过P1点且平行于π平面法线ON的直线AB上的任一点P(P1’,P1’’,…)，其应力矢量在π平面上的分矢量皆为OS1，即应力偏量相同。即当P1点达到屈服状态（屈服面上的一点）时，AB线上各应力点亦同时达到屈服。AB是屈服面上的一条直线。(b)同样过P2点平行于ON的DE线上的各点也随着P2点同时达到屈服。36特选材料%DENABS1P1P1'P1"S2P2Oπ平面法线上讨论：π平面法线上应力点矢量特征讨论：(c)由此判定，屈服面的几何图形是柱形体，其轴线为ON，其母线垂直于π平面。屈服面是柱形体屈服曲线在π面上(d)既然是柱面，它在任意垂直于ON的平面上的情况是一样的。所以，要研究这个柱面上各点的情况，只要研究柱面在与其垂直的π平面上的投影即可。该投影是一个曲线C。--初始屈服曲线:

因此屈服面的形状可用与平面的截线C来表示。截线C称之为“屈服轨迹”，也叫初始屈服曲线。DENABS1P1P1'P1"S2P2OS2S1P2σ3σ2σ1EDABP1Cπ面--初始屈服曲面：这个柱面就是初始屈服曲面.37特选材料%π平面法线上讨论：屈服面是柱形体(d)既然是柱面，它在任意以上讨论由三方面含义：①应力空间中任一条平行于平面法线ON的直线AB上各点的应力偏量分量均相等，只是静水压力分量不同。②一点的塑性屈服只取决于应力偏量状态，与静水应力无关。③屈服函数在平面上是一条封闭曲线，称之为屈服曲线。π平面法线上应力点矢量特征屈服面是柱形体屈服曲线在π面上DENABS1P1P1'P1"S2P2OS2S1P2σ3σ2σ1EDABP1Cπ面38特选材料%以上讨论由三方面含义：π平面法线上屈服面是柱形体DENAB屈服曲线C具有如下性质：（1）屈服曲线是一条封闭曲线，坐标原点一定被包围在曲线之内。从物理概念上理解：坐标原点是一个无应力状态，材料当然不能在无应力下屈服，所以屈服曲线不可能通过原点。又由于在初始屈服面内是弹性状态所以屈服曲线一定是封闭的，否则将出现不屈服的状态，这是不可能的。BAEFCDσ3′σ2′σ1′OLL'NN'M'M39特选材料%屈服曲线C具有如下性质：（1）屈服曲线是一条封闭曲线，BA-材料的初始屈服只有一次，所以由O向外作的直线与C只能相交一次，即曲线C是外凸的.如图所示的那种情况是不可能的。(2)屈服曲线与任一坐标原点出发的向径必相交一次，且仅有一次。材料在一种应力状态下达到屈服，就不可能又在与此应力状态形态一致的另一应力状态达到屈服，即初始屈服只有一次。40特选材料%-材料的初始屈服只有一次，所以由O向外作的直线与C只能相交（3）如以纸面为平面，三个主应力轴1,2,3在平面上投影为1,2,3

，考虑材料是初始各向同性的，因此坐标变换对屈服没有影响。所以曲线C对称于直线LL（1），MM（2）

，NN（3）。例如应力点(1,2,3)是屈服面上一点，则(1,3,2)也必是屈服面上一点。因此，1保持不变，轨迹C必然和直线LL（1）对称。同理屈服轨迹必和MM（2）

及NN（3）对称。BAEFCDσ3′σ2′σ1′OLL'NN'M'M屈服轨迹的特性41特选材料%（3）如以纸面为平面，三个主应力轴1,2,3在(4)考虑到材料的拉伸与压缩屈服极限相等，如果应力点(1,2,3)在屈服面上，则应力点(-1,-2,-3)亦必在屈服面上。因此通过O点作一直线，其两端与曲线C的交点一定与点O对称。联系性质3则屈服轨迹必和LL，MM，NN的垂直线AB，CD，EF对称。这样，屈服轨迹就有6个对称轴，曲线C由12个相同的弧段组成。因此进行屈服条件的实验研究中，只要确定一个弧段，即30o范围的图形即可。然后利用对称性，就可确定整个屈服曲线，进而得到三维主应力空间中的屈服面。BAEFCDσ3′σ2′σ1′OLL'NN'M'M屈服轨迹的特性42特选材料%(4)考虑到材料的拉伸与压缩屈服极限相等，如果应力点(1棍据上面的分析可知屈服曲线C可分成形状相同的12个部分(如图所示)。为此，只要考虑C的1/12即可，而这C的1/12的具体形状应根据材料实验决定。这时只要采用代表应力状态的矢量OP位于某一选定幅角中的应力组和就足够了。譬如，决定应力矢量OP的位置的应力Lode角取为，则根据公式，此时应力Lode参数为，实验时，采用这样一个取值范围内的应力组合就能够完全确定屈服曲线的具体形状。43特选材料%譬如，决定应力矢量OP的位置的应力Lode角取为4.Tresca(特雷斯卡）和Mises（米泽斯）屈服条件对屈服条件的研究已有两个世纪。所谓屈服条件，就是材料进入塑性状态时应力分量之间所必须满足的条件。伽俐略(Galilieo)曾认如材料进人塑性状态是最大主力所引起的。此后圣维南(Saint-Venant)又认为最大主应变能判断材料是否进人塑性状态。这两个假说都被后来的实验所否定，因为在各向等压时，压应力可以远远超过材料的屈服极限σs，而材料并未进入塑性状态。这个实验结果与他们所提出的假说是矛盾的。44特选材料%4.Tresca(特雷斯卡）和Mises（米泽斯）屈服条在此之后的贝尔特拉密（Beltrami)提出，当物体的弹性能达到某一极限值时，材料便进入塑性状态。但这个假说由于将形状改变能和体积变形能混在一起考虑，因而和实验结果也是不符合的。

1864年法国工程师特雷斯卡（Tresca)在作了一系列金属挤压实验的基础上，发现了在变形的金属表面有很细的痕纹，而这些痕纹的方向很接近最大剪应力的方向，因此他认为金属的塑性变形是由于剪切应力引起金属中晶体滑移而形成的。这就是我们要学的特雷斯卡（Tresca)屈服条件45特选材料%在此之后的贝尔特拉密（Beltrami)提出，当物体的弹性（1）特雷斯卡（Tresca)屈服条件(i)Tresca屈服条件定义：当最大剪应力达到材料所固有的某一极限值τ0时，材料开始进入塑性状态，即开始屈服。所以这个条件就称为最大剪应力条件，又称为Tresca屈服条件。因此，Tresca屈服条件可用数学式表示为：τmax=KK为材料的剪切屈服应力，对不同材料的K值，要由实验确定。如果主应力次序已知时：

则Tresca屈服条件也可写成：或或（2-6）（2-7）46特选材料%（1）特雷斯卡（Tresca)屈服条件(i)Tresca屈单向拉伸时：σσ纯剪切应力状态时：τ47特选材料%单向拉伸时：σσ纯剪切应力状态时：τ47特选材料%例：1o.对简单拉伸，1=0，2=3=0

屈服条件：0=2K

即

2o.对纯剪切，1=-3=τ0

，2=0

屈服条件：τ0=K

即K=τ0于是：纯剪切屈服极限是简单拉伸屈服极限的一半，即在一般情况下，往往无法事先判明物体内各点的三个主应力大小的顺序，所以通常将该条件写成如下形式：48特选材料%例：1o.对简单拉伸，1=0，2=3=0上式中至少有一个等式成立时，材料才开始塑性变形，否则仍处于弹性阶段。或者如果将该条件表示成完整的式子,则上式可改写成一般形式

写成应力偏量不变量的表达式：这个式子太复杂了，在一般情况下都不采用。显然，在不知道主应力大小次序时，该条件使用起来很不方便。（2-8a）（2-8b）（2-8c）49特选材料%上式中至少有一个等式成立时，材料才开始塑性变形，否则仍处于弹-表示：和平均应力σm

和σ1无关。所以在应力空间中，它表示一对平行于σ1和L

直线（π平面法线）的平面。-表示：和平均应力σm

和σ2无关。所以在应力空间中，它表示一对平行于σ2和L

直线（π平面法线）的平面。-表示：和平均应力σm

和σ3无关。所以在应力空间中，它表示一对平行于σ3和L

直线（π平面法线）的平面。(ii)Tresca屈服条件在主应力空间中的表示：S2S1P2σ3σ2σ1EDABP1Cπ面50特选材料%-表示：和平均应力σm和σ1无--由这六个平面组成的屈服曲面是一个以L为轴线的正六棱柱体，其在π平面上的投影即屈服曲线为一个正六边形。--故Tresca屈服条件建立了与坐标轴成等倾斜的各边相等的正六棱柱体，称为Treasca六边形.σ3σ2σ12KOσ3σ2σ1Tresca六角形Mises圆纯剪切线51特选材料%--由这六个平面组成的屈服曲面是一个以L为轴线的正六棱柱体σ3σ2σ12KOσ3σ2σ1Tresca六角形Mises圆纯剪切线正六棱柱体在π平面上的投影即屈服曲线为一个正六边形，即：屈服轨迹是一个正六边形，外接圆半径为 （即2K

在π面上投影）。52特选材料%σ3σ2σ12KOσ3σ2σ1Tresca六角形Misσ2σ12=s1=s1-2=s2=-s1=-s1-2=-sMises椭圆Tresca斜六边形例：在平面应力状态下，令3=0则1-2=2K 1=2K 2=2K屈服轨迹是斜六边形。σ1σ2053特选材料%σ2σ12=s1=s1-2=s2=-s1σ3σ2σ12KOσ3σ2σ1Tresca六角形Mises圆纯剪切线①应力点处于六边形内部时，材料处于弹性状态。②当应力点达到屈服六边形上任一点时,材料开始进入塑性状态。③Tresca条件的局限性：

<ⅰ>屈服轨迹不是光滑曲线，数学上应用困难。

<ⅱ>没有考虑中间应力影响。(iii)Tresca屈服条件中的特点及局限性：54特选材料%σ3σ2σ12KOσ3σ2σ1Tresca六角形Mis（2）米泽斯（Mises)屈服条件特雷斯卡屈服条件在π平面上的投影是一个正六边形，它的六个顶点是由实验得到的，但连接这六个点的直线却是假设的，而且屈服曲线上有角点，给数学处理上带来了困难。因此，在1913年，米泽斯(Mises)提出采用一个圆来连接特雷斯卡正六边形的六个顶点可能更加合理，因为它可以避免由于屈服曲线不光滑而造成的数学上的困难。(i)米泽斯（Mises)屈服曲线的定义：根据上面的设想，米泽斯（Mises)屈服曲线就是特雷斯卡六边形的外接圆

Mises圆的方程为：55特选材料%（2）米泽斯（Mises)屈服条件特雷斯卡屈服条件在π平面上

矢量OQ作端点Q的坐标为讨论：应力状态矢OP作π平面上的投影OQ在π平面上的位置和大小：取x,y坐标如图所示，已知应力偏量矢在轴上的分量：所以,应力偏斜张量的模为56特选材料%矢量OQ作端讨论：应力状态矢OP作π平面上的投影OQ在π代入并加以整理，得屈服函数为：

(1-2)2+(2-3)2+(3-1)2=2(2K)2（2-9）57特选材料%代入并加以整理，得屈服函数为：（2-9）57特选材料%(ii)米泽斯(Mises)屈服函数：

(1-2)2+(2-3)2+(3-1)2=2(2K)2如果上式的左侧小于右侧，则认为材料仍处于弹性阶段。如果上式为等式，则认为材料已进入塑性状态。由上式看出：米泽斯条件和特雷斯卡条件一样都不受静水压力的影响，而且也满足应力互换原则。虽然米泽斯在提出这一条件时，并未认为它是准确的条件，但实验结果证明，对于韧性金属材料，这个条件更接近实际情况。58特选材料%(ii)米泽斯(Mises)屈服函数：如果上式的左侧小于右

1924年德国力学家亨奇(H.Hencky)经过反复研究对米泽斯条件进行了物理解释，亨奇认为米泽斯条件相当于弹性形变比能（歪形能）达到一定值时，材料进入塑性状态。若用W、Ws和Wv分别表示弹性总比能、弹性变形能和体积变化比能，则有：

弹性总比能体积变化比能弹性形变比能=弹性总比能-体积变化比能(iii)米泽斯(Mises)屈服函数的讨论：

59特选材料%1924年德国力学家亨奇(H.Hencky)经过反复研

弹性形变比能=弹性总比能-体积变化比能亨奇认为米泽斯条件相当于弹性形变比能（歪形能）达到一定值时，材料进入塑性状态，事实上波兰力学家胡贝尔(M.Huber)早在1904年便曾提出过这一条件，因此这一条件有时称为胡贝如-米泽斯-亨奇屈服条件，简称米泽斯屈服条件。此后纳戴(A.L.Nadai)对米泽斯屈服提件进行了另一种解释，他认为当正八面体上的剪应力达到某一定值时，材料便进入塑性状态。60特选材料%弹性形变比能=弹性总比能-体积变化比能亨奇认为米

原苏联力学家伊柳辛提出了应力强度σi

(或称等效应力）的概念。应力强度是表征物体受力程度的一个参数。-伊柳辛认为，当应力强度σi

等于材料单向拉伸的屈服极限σs时，材料便进入塑性状态。伊柳辛的这个提法不仅概念明确，而且将复杂应力状态的σi和单向拉伸的屈服极限σs联系起来，因此在使用时是十分方便。根据伊柳辛的提法：

i=s但是亨奇和纳戴(A.L.Nadai)都没能指出这一定值是多大。由简单拉伸实验s=2K有

(1-2)2+(2-3)2+(3-1)2=2s2vonMises屈服条件61特选材料%原苏联力学家伊柳辛提出了应力强度σi(或称等效应

--八面体剪应力：应力强度乘上--若用第二应力偏量不变量J2来表示，62特选材料%--八面体剪应力：应力强度乘上--若用第二应力偏量不变

--可以看出：因为应力强度i和应力偏量第二不变量J2及八面体剪应力τ8

只差一个倍数关系。所以，Mises条件也可以认为是当应力偏张量第二不变量达到某-定数值或八面体剪应力达到一定数值时开始屈服则，(1-2)2+(2-3)2+(3-1)2=2s2

可表示为：--由于由于应力强度可由应力分量表示（2-10）63特选材料%--可以看出：因为应力强度i和应力偏量第二不变(iv)Mises条件的常用形式：应力强度形式：应力张量第二不变量形式：64特选材料%(iv)Mises条件的常用形式：应力强度形式：应力应力张量分量形式：等倾面上的剪应力形式：（A.L.Nadai）弹性形变比能形式：（Hencky）65特选材料%应力张量分量形式：等倾面上的剪应力形式：（A.L.Na--平面应力状态下，令3=0，有:12-12+22=s2

是为椭圆方程。(为Tresca斜六边形的外接圆）σ2σ12=s1=s1-2=s2=-s1=-s1-2=-sMises椭圆Tresca斜六边形66特选材料%--平面应力状态下，令3=0，有:σ2σ12=s1（3）Tresca屈服条件与Mises屈服条件的讨论：<ⅰ>几何上：--按Tresca屈服条件，屈服面是π平面正六边形为母线的正六角柱体，屈服曲线为一正六边形。6个角点由实验得到，6边形连接成直线是假设的结果。--按Mises屈服条件，在π平面内的屈服曲线就是Tresca六边形的外接圆，屈服面便是Tresca屈服面的外接圆柱。σ3σ2σ1Tresca六角形Mises圆纯剪切线σ2σ12=s1=s1-2=s2=-s1=-s1-2=-sMises椭圆Tresca斜六边形67特选材料%（3）Tresca屈服条件与Mises屈服条件的讨论：<ⅰ<iii>Tresca条件忽略了中间主应力对材料屈服的影响，有欠缺，而Mises条件克服了这一点不足。<ⅳ>实验证明，Mises条件比Tresca条件更接近于实验结果。＜ii＞Tresca最大剪应力条件是主应力分量的线性函数，对已知主应力方向及主应力间的相对值的一类问题，是比较简便的，而Mises畸变能条件则显然复杂的多。68特选材料%<iii>Tresca条件忽略了中间主应力对材料屈服的影响，(4)两种屈服条件的比较：Tresca屈服条件：Mises屈服条件：两个屈服条件中的常数K是和材料有关的量.它可以通过简单拉伸或纯剪切等简单试验来加以确定。因为这些屈服条件对各种应力状态都是适用的，当然也适用于简单的应力状态。69特选材料%(4)两种屈服条件的比较：Tresca屈服条件：Mise（a）单向拉伸时：s1s2s30xy此时除σ1以外其余的主应力分量为零，且时屈服，将它们代入上述的屈服条件表达式：Tresca屈服条件：Mises屈服条件：Tresca六边形内接于Mises圆70特选材料%（a）单向拉伸时：s1s2s30xy此时除σ1以外其余s1s2s30xy如作纯剪试验，此时除，其它应力分量都为零。从试验知道，当达到材料剪切屈服极限时，即时开始屈服。Tresca屈服条件：Mises屈服条件：（b）纯剪切时：由

1=-3=τs

，2=0

Tresca六边形外切于Mises圆71特选材料%s1s2s30xy如作纯剪试验，此时除，试验表明，对一般的工程材料，=(0.56--0.6）。因此Mises条件比Tresca条件更符合实际些。但是，在事先可判明主方向并能确定其三个主应力数值大小次序的情况下，应用Tresca条件更方便些。从这里可以看出，根据Tresca条件，材料的剪切屈服极限，应该是拉伸屈服极限的0.5倍，而根据Mises条件，应是0.577倍72特选材料%试验表明，对一般的工程材料，=(0.56--0.6）(5)两种屈服条件的差别：Tresca屈服条件：可表示为：由Lode参数表示，然后代入Mises屈服条件（徐，95）现在，简单地说明一下两个条件的差别。设取，则由Lode参数公式：

（2-11)（2-12a)73特选材料%(5)两种屈服条件的差别：Tresca屈服条件：Tresca屈服条件：Mises屈服条件:令

（2-11)（2-12a)因为，所以（2-12b)纯剪状态：，比较式（2-11)和(2-12b)可知，此时两个条件相差为15%。单向拉伸或压缩状态：，此时两个条件是一致的事实上Tresca条件和Mises条件的差别并不大，如果取处于外接圆和内切圆中间的圆作为屈服曲线，则差别将更减小。74特选材料%Tresca屈服条件：Mises屈服条件:令

Trresca条件和Mises条件主要是适用于延性金属材料。-虽然在工程上也有将Tresca条件用于一些只具有粘聚强度的土壤和岩石，以及将Mises条件用于某些岩石和水饱和粘土的情况。-但一般来说，这两个条件用于土壤、混凝土和某些岩石这类非金属材料是不理想的。因为这两个条件都是忽略了平均应力即静水应力对屈服的影响，而实验证实，平均应力对这类非金属时料的屈服起着重要的作用。-为了考虑这种影响，可以修改Trresca条件和Mises条件，在本书第12章讨论。75特选材料%Trresca条件和Mises条件主要是适用于延性金例1写出平面应力状态的两种屈服条件[解]因为对平面应力状态，σ3=0（1）Tresca屈服条件：此时屈服条件公式则1-2=2K 1=2K 2=2K屈服轨迹是斜六边形。σ1σ2076特选材料%例1写出平面应力状态的两种屈服条件[解]因为对平面应力状[解]因为对平面应力状态，

3=0（2）Mises屈服条件：此时屈服条件公式(1-2)2+(2-3)2+(3-1)2=2s2令3=0，有:12-12+22=s2

是为椭圆方程。(为Tresca斜六边形的外接圆）σ1σ2077特选材料%[解]因为对平面应力状态，3=0(1-2)2+(例2：试写出圆杆在拉伸和扭转联合作用下的屈服条件[解]杆内各点的应力为(图b)（1）Mises屈服条件：将上述各应力分量值代入由应力分量表达的Mises屈服条件：得Mises屈服条件：78特选材料%例2：试写出圆杆在拉伸和扭转联合作用下[解]杆内各点的应[解]杆内各点的应力为(图b)（2）Tresca

屈服条件：将上述各应力分量值代入求解主应力的三次方程：得三个主应力为：79特选材料%[解]杆内各点的应力为(图b)（2）Tresca屈服条（2）Tresca

屈服条件：将上述各应力分量值代入求解主应力的三次方程：得三个主应力为这里已按σ1>σ2>σ3的次序排列，则最大剪应力为：Tresca

屈服条件：s=2K得Tresca

屈服条件：80特选材料%（2）Tresca屈服条件：将上述各应力分量值代入求解主在假设的基础上提出的屈服条件是否正确，需要用实验来验证。为了研究屈服条件，已经做了各种各样的实验。（5）Tresca屈服条件与Mises屈服条件的实验验证：由于三向应力状态在实验中较难实现，所以一般以二向应力状态进行实验。-通常采用薄壁圆简试件，所受荷载为轴向拉伸和内压或扭转相组合。下面就介绍早期的两个有名的实验。81特选材料%在假设的基础上提出的屈服条件是否正确，需要用实验来验证。为了（i）Lode实验pPPσ2σ11926年W.Lode做了使薄壁圆管在不同的轴向拉力和内压力的联合作用下获得不同的应力状态的实验，检验了中间主应力对屈服的影响。Tresca条件和Misas条件可表示为：Tresca条件Misas条件如以μσ为水平坐标轴，为垂直坐标轴，则这些式子所表示的屈服条件的理论曲线分别为一水平直线和一抛物线。（2-11)（2-12a)82特选材料%（i）Lode实验pPPσ2σ11926年W.LodTresca条件Misas条件如以μσ为水平坐标轴，为垂直坐标轴，则这些式于所表示的屈服条件的理论曲线分别为一水平直线和一抛物线。1.101.0511.15M10-1T83特选材料%Tresca条件Misas条件如以μσ为水平坐标轴，pPPσ2σ1薄壁管受轴向拉力P和内压力p联合作用时，设管的平均半径r,壁厚为t，因为t/r<<1，则管内近似地处于均匀应力状态，且忽略次耍的应力分量σr，则管内应力：则84特选材料%pPPσ2σ1薄壁管受轴向拉力P和内压力p联合作用时，设对这样的应力状态，实验过程中应力主方向是保持不变的。实验时，采用不同的轴向拉力P和内压力p的组合，可得到不同应力状态的μσ和屈服应力值并将它们在图上标出，如图所示1.101.0511.15M10-1TpPPσ2σ1实验结果表明，Mises条件比较符合实验结果，由于Tresca条件不计中间主应力的影响，而Mises条件考虑了中间主应力对屈服的影响，实验表明中间主应力对屈服是有影响的。Tresca条件Mises条件85特选材料%对这样的应力状态，实验过程中应力主方向是保持不变的。实验1.G.I.Tylor和H.Quinney在1931年也用薄壁管，但在轴向拉伸和扭转的联合作用下进行实验。在这个情况下，沿管壁产生平面的应力状态。PPTTτσ（ii）Taylor和Quinney实验若取x轴与管轴平行，而y轴沿管的切线方向，则在xy平面内的应力分量为:σx

--由轴向拉力产生的正应力：σy=0

τxy

--由扭转产生的剪应力：86特选材料%G.I.Tylor和H.Quinney在1931年也由例2的结果：PPTTτσ得Tresca

屈服条件：得Mises屈服条件：（2-13)（2-14)87特选材料%由例2的结果：PPTTτσ得Tresca屈服条件：得Mis1010.60.4MTMises屈服条件：Tresca

屈服条件：如图所示，

给出由上式方程所确定的两个椭圆（理论曲线)，以及用不同的轴向拉力P和扭矩T的组合而获得的实验结果的点。可以看出，实验结果也是和Mises条件更为接近。虽然多数金属材料符合Mises条件，但由于Tresca条件可表示成主应力的线性函数，在主应力大小次序可以事先判别的情况下，使用是很方便的，何况两者的差别并不很大。所以，究竟采用哪一个条件，应视情况而定。88特选材料%1010.60.4MTMises屈服条件：Tresca屈前面已经指出，在单向拉伸的情况下，当材料进入塑性状态后卸载，此后再重新加载时，拉伸应力和应变的变化仍服从弹性关系，直至应力到达卸载前曾经达到的最高应力点时，材料才再次进入塑性状态，产生新的塑性变形。5.后继屈服条件及加、卸载准则（i)后继屈服点或硬化点：这个应力点就是材料在经历了塑性变形后的新的屈服点。由于材料的硬化特性，它比初始屈服点为高。为了和初始屈服点相区别，将它称为后继屈服点或硬化点。（1）后继屈服条件89特选材料%前面已经指出，在单向拉伸的情况下，当材料进入塑性状态后卸载，和初始屈服点不同，它在应力-应变曲线上的位置不是固定的，而是依赖于塑性变形的过程即塑性变形的大小和历史的。这后继屈服点是材料在经历一定塑性变形后再次加载时，变形规律是按弹性还是按塑性规律变化的区分点，亦即后继弹性状态的界限点(如图所示)和单向应力状态相似，材料在复杂应力状态也有初始屈服和后继屈服的问题。关于初始屈服的问题前面已经讨论过了，这里进一步讨论后继屈服的问题。90特选材料%和初始屈服点不同，它在应力-应变曲线上的位置不是固定的，而(ii)初始屈服面和后继屈服面：在复杂应力状态下，由于会有各种应力状态的组合能达到初始屈服或后继屈服，在应力空间中这些应力点的集合而成的面就称为初始屈服面和后继屈服面，--它们分别相当于单向应力状态应力-应变曲线上的初始屈服点和后继屈服点。--当代表应力状态的应力点由原点O移至初始屈服面Σ0

上一点A

时，材料开始屈服，当荷载的变化使应力点突破初始屈服面而到达邻近的后继屈服面Σ1，的B点，由于加载，材料产生新的塑性变形。91特选材料%(ii)初始屈服面和后继屈服面：在复杂应力状态下，由于会有各--如果由B点卸载，应力点退回到后继屈服面内而进入后继弹性状态。--如果再重新加载，当应力点重新达到卸载开始时曾经达到过的后继屈服面Σ1

上的某点C(C不一定和B重合)时，重新进入塑性状态。--继续加载，应力点又会突破原来的后继屈服面Σ1

而到达另一个相邻近的后继屈服面Σ2（如图所示）。92特选材料%--如果由B点卸载，应力点退回到后继屈服面内而进入后继弹性状--如果是理想塑性材料，后继屈服面是和初始屈服面重合的，但对于硬化材料，由于硬化效应，两者是不重合的。σsσε(iii)硬化面或加载面：随着塑性变形的不断发展，后继屈服面是不断变化的，所以又将后继屈服面称为硬化面或加载面，它是后继弹性阶段的界限面。93特选材料%--如果是理想塑性材料，后继屈服面是和初始屈服面重合的，但后继屈服条件或称为硬化条件：确定材料是处于后继弹性状态还是塑性状态的准则就是后继屈服条件或称为硬化条件。表示这个条件的函数关系亦即后继屈服面的方程就称为后继屈服函数或硬化函数，或加载函数。94特选材料%后继屈服条件或称为硬化条件：确定材料是处于后继弹性状态还是--由于后继屈服不仅和该瞬时的应力状态有关，而且和塑性变形的大小及其历史(即加载路径)有关，因此后继屈服条件即硬化条件，表示为：其中K就是反映塑性变形大小及其历史的参数，称为硬化参数。因此，后继屈服面就是以K为参数的一族曲面我们的任务就是要确定后继屈服面的形状以及它随塑性变形的发展的变化规律（2-15)95特选材料%--由于后继屈服不仅和该瞬时的应力状态有关，而且和塑性变形在单向应力状态，虽然屈服以后，加载和卸载时变形规律是不同的，但由于只有一个应力分量不等于零，由这个分量的大小的增减就可以判断是加载还是卸载。对于复杂应力状态，六个独立的应力分量都可增可减，如何判断是加载还是卸载，有必要提出一个准则。（2）加、卸载准则96特选材料%在单向应力状态，虽然屈服以后，加载和卸载时变形规律是不同的σsσε由于理想塑性材料是无硬化的，它的后继屈服条件和初始屈服条件是一致的，后继屈服画和初始屈服面重合。由于屈服面是唯一的，则它与加载历史无关，以下列屈服函数表示：①

理想塑性材料的加卸载准则在荷载改变的过程中，应力点如保持在屈服面上，则此时塑性变形可以任意增长，就称为加载。当应力点从屈服面移动到屈服面内,则:表示状态从塑性退回到弹性，此时不产生新的塑性变形，称为卸载.（2-16)97特选材料%σsσε由于理想塑性材料是无硬化的，它的后继屈服条件和初始理想塑性材料加载和卸载准则，用数学形式表示为：弹性状态：加载：卸载：为了使加载和卸载的概念更为直观，可以用几何关系来说明-在应力空间以矢量

表示即的各个分量是：以为分量的矢量就是函数的梯度。（2-17)（2-18)98特选材料%理想塑性材料加载和卸载准则，用数学形式表示为：弹性状态：加为了使加载和卸载的概念更为直观，可以用几何关系来说明-在应力空间以矢量

表示即的各个分量是：以为分量的矢量就是函数的梯度，且的方向和屈服面的外法线方向一致的。设n为屈服而外法向单位矢量，则上述加、卸载准则可用矢量乘积表示为：99特选材料%为了使加载和卸载的概念更为直观，可以用几何关系来说明-在加载：卸载：表示两矢量正交，亦即沿屈服面切向变化表示两矢量的夹角大于900，亦即分处于屈服面的两侧，即指向屈服面内。由于屈服面不能扩大，所以不可能指向屈服面外。以上讨论是假定屈服曲面是正则的，即处处是光滑的。如果屈服面是非正则的，但是由分段光滑面构成的，如像Tresca条件的屈服面，也只要应力点保持在屈服面上就是加载，返回到屈服面内即为卸载。（2-19a)（2-19b)100特选材料%加载：卸载：表示两矢量正交，亦即沿屈服面切向变化表示两对于硬化材料，后继屈服面和初始屈服面不同，它是随塑性变形的大小和历史的发展而不断变化的。②硬化材料的加卸载准则-后继屈服函数：-如果后继屈服面是正则的，则：如图所示：--如果应力变化使应力点从此瞬时状态所处的后继屈服面向内移，则变化的结果使材料从一个塑性状态退回到一个弹性状态，即为卸载过程，不会产生新的塑性变形，所以参数K不变，即dK=0，由此得卸载准则为：101特选材料%对于硬化材料，后继屈服面和初始屈服面不同，它是随塑性变形的如图所示：--如果应力变化使应力点从此瞬时状态所处的后继屈服面向内移，则变化的结果使材料从一个塑性状态退回到一个弹性状态，即为卸载过程，不会产生新的塑性变形，所以参数K不变，即dK=0，由此得卸载准则为：且即：这里矢量关系说明：dσ和n

分处屈服面两侧，即dσ指向屈服面内。（2-20a)102特选材料%如图所示：且即：这里矢量关系说明：dσ和n分处屈服面两侧如图所示：--如果应力变化使应力点沿后继屈服面变化，实验证明此过程也不产生新的塑性变形，所以参数K也不变，dK=0.比过程称为中性变载，则且即：这里矢量关系说明：矢量dσ和n正交，表示中性变载时应力点沿屈服面切向变化。（2-20b)103特选材料%如图所示：且即：这里矢量关系说明：矢量dσ和n正交，表示如图所示：--如果应力和参数K都变化，使材料从一个塑性状态过渡到另一个塑性状态，应力点从原来的后继屈服面外移到相邻的另一个后继屈服面时即为加载，此时加载准则表示为：且即：两矢量的点积大于零，表示两者的夹角小于900，即dσ也是指向屈服面外侧的。如果屈服面不是正则的，而是由几个正则面构成的，则上述加载和卸载准则的几何意义也同样成立。（2-20c)104特选材料%如图所示：且即：两矢量的点积大于零，表示两者的夹角小于900由于后继屈服的问题是一个很复杂的问题，不易用实验的方法来完全确定后继屈服函数的具体形式，特别是随着塑性变形的增长，材料的各向异性效应愈益显著，问题变得更加复杂了。所以，这是一个有待于进一步研究的问提。为了便于应用，通常从一些实验资料出发作一些假定来建立一些简化的硬化模型，并由此给出硬化条件，即后继屈服条件，下面介绍几种常用的模型及其相应的硬化条件。6.几种硬化模型105特选材料%由于后继屈服的问题是一个很复杂的问题，不易用实验的方法来完全单一曲线假设认为，对于塑性变形中保持各向同性的材料，在各应力分量成比例增加的所谓简单加载的情况下，其硬化特性可用应力强度和应变强度的确定的函数关系来表示，即（1）单一曲线假设并且认为这个函数的形式和应力状态的形式无关，而只和材料特性有关，所以可以根据在简单应力状态下的材料实验，如简单拉伸实验来确定。在简单拉伸的状态下，正好就是拉伸应力σ，就是拉伸正应变ε，所以上式所代表的曲线就是和拉伸应力-应变曲线一致的。（2-21)106特选材料%单一曲线假设认为，对于塑性变形中保持各向同性的材料，在（1）此时，材料的硬化条件为-曲线的切线模量为正，即另外，要求：式中：E

为弹性模量，为割线模量，为切线模量对体积不可压缩材料，泊松比υ=0.5，则弹性模量E和剪切弹性模量G满足下列关系：（2-22)（2-23)（2-24)107特选材料%此时，材料的硬化条件为-曲线的切线模量为正，即另公式所示的条件称为单一曲线假设，它可以用于全量理论。（2）等向硬化模型对于复杂加载(非简单加载)，寻找一个合适的描述硬化特性的数学式即硬化条件的问题就相当复杂。可以说，到目前为止，这个问题并没有得到很好的解决。但是已经提出了几种硬化模型，并在实际中得到了应用。这些硬化模型中最简单的一种称为等向硬化模型或各向同性硬化模型。108特选材料%公式所示的条件称为单一曲线假设，它可以用等向硬化模型假定既不考虑静水应力的影响，也不考虑Bauschinger效应即由于塑性变形而引起的各向异性。这样，该模型假定后继屈服面在应力空间中的形状和中心位置O保持不变，但随着塑性变形的增加，而逐渐等向地扩大（只胀不缩）。如采用Mises条件，在π平面上就是一系列的同心圆。如采用Tresca条件，在π平面上就是一连串的同心正六边形。如图所示。109特选材料%等向硬化模型假定既不考虑静水应力的影响，也不考虑这样，该如果初始屈服条件为：，则等向硬化的后继屈服条件即硬化条件可表示为：这里函数是决定屈服面形状的，在π平面，它们是以K(k）为参数的一组同心圆，而圆的半径是由函数K(k）决定的。对初始屈服，，则上式就成为Mises条件的表达式：其中参数K是标量内变量k的函数，如果初始屈服条件取Mises条件，则相应的等向硬化条件表示为：随着塑性变形的发展和硬化程度的增加，K(k)从初始值按一定的函数关系递增。（2-25)（2-26)110特选材料%如果初始屈服条件为：，则等向硬化的后继屈服条该模型忽略了由于塑性变形引起的各向异性的影响，因此，只有在变形不太大，以及应力偏量之间的相互比例改变不大时，利用它求得的结果才比较符合实际。111特选材料%111特选材料%当塑性变形较大，特别是应力有反复变化时，等向硬化模型与实验结果相差较大。（3）随动硬化模型随动硬化模型:是考虑Bauschinger效应的简化模型。该模型假定材料将在塑性变形的方向OP+(如图所示)上被硬化(即屈服值增大)，而在其相反方向OP-上被同等地软化了(即屈服值减小)。这样，在加载过程中，随着塑性变形的发展，屈服面的大小和形状都不变，只是整体地在应力空间中作平移，如图所示。所以，这个模型可在一定程度上反映Bauschinger效应。112特选材料%当塑性变形较大，特别是应力有反复变化时，等向硬化模型与实验结如初始屈服条件为：则对随动硬化模型，后继屈服条件即硬化条件可表示为：式中:C为常数，为初始屈服面在应力空间内的位移。如选用中心点O为参考点，则它就是中心点的位移，它的大小反映了硬化程度，就是表示硬化程度的参数，是的函数。若令这里α为材料常数，由实验确定。这就是线性随动硬化模型。（2-27)（2-28)113特选材料%如初始屈服条件为：则对随动硬化模型，后继屈服条件即硬化条件可为了更好地反映材料的Bauschinger效应，可以将随动硬化模型和等向硬化模型结合起来，即认为后继屈服面的形状、大小和位置一起随塑性变形的发展而变化，如图所示（4）组合硬化模型这种模型称为组合硬化模型。虽然这种模型可以更好地去符合实验结果，由于十分复杂，不便于应用。114特选材料%为了更好地反映材料的Bauschinger效应，可以将随动介绍了材料在塑性变形过程中的硬化条件，以及加载、卸载和中性变载的准则。这里将