大学文科数学之线性代数与概率统计课件

大学文科数学

之

线性代数与概率统计北京师范大学珠海分校国际特许经营学院与不动产学院2004-2005学年第二学期欧阳顺湘2005.5.11

大学文科数学

之

线性代数与概率统计1连续型随机变量复习+进一步学习分布函数的性质连续型r.v及其密度函数的定义重要的连续型r.v连续型随机变量复习+进一步学习分布函数的性质2复习随机变量的分布函数分布函数的概念.分布函数的性质复习随机变量的分布函数分布函数的概念.3随机变量的分布函数

一、分布函数的概念.

定义设X是随机变量，对任意实数x，事件{X<x}的概率P(X<x)称为随机变量X的分布函数。记为F(x)，即F(x)＝P(X<x).易知，对任意实数a,b(a<b),P{aX<b}＝P{X<b}－P{X<a}＝F(b)－F(a).随机变量的分布函数

一、分布函数的概念.定义4二、分布函数的性质

1、单调不减性：若x1<x2,则F(x1)F(x2);2、归一性：对任意实数x，0F(x)1，且

3、左连续性：对任意实数x，反之，具有上述三个性质的实函数，必是某个随机变量的分布函数。故该三个性质是分布函数的充分必要性质。二、分布函数的性质1、单调不减性：若x1<x2,5假设离散型r.v.X具有分布列假设离散型r.v.X具有分布列6

连续型随机变量X所有可能取值充满一个区间,对这种类型的随机变量,不能象离散型随机变量那样,以指定它取每个值概率的方式,去给出其概率分布,而是通过给出所谓“概率密度函数”的方式.连续型随机变量X所有可能取值充满一个区间,对这种类型7连续型r.v及其密度函数的定义

对于随机变量X,如果存在非负可积函数f(x)

,使得X的分布函数F(x)可以写成则称X为连续型r.v,称f(x)为X的概率密度函数，简称为概率密度或密度.连续型r.v及其密度函数的定义对于随机变量X8概率密度函数的性质这两条性质是判定一个函数f(x)是否为某r.vX的概率密度函数的充要条件.

f(x)xo面积为1概率密度函数的性质这两条性质是判定一个f(x)xo面积为9连续r.v.的密度函数

与离散r.v.分布列的性质比较连续r.v.的密度函数103311大学文科数学之线性代数与概率统计课件12连续型r.v取任一指定值的概率为0.即：a为任一指定值这是因为连续型r.v取任一指定值的概率为0.即：a为任一指定值这是因13由此得，1)对连续型r.vX,有由此得，1)对连续型r.vX,有142)由P(X=a)=0可推知而{X=a}并非不可能事件并非必然事件称A为几乎不可能事件，B为几乎必然事件.可见，由P(A)=0,不能推出由P(B)=1,不能推出

B=S2)由P(X=a)=0可推知而{X=a}并非不可能15

故

X的密度f(x)在x这一点的值，恰好是X落在区间上的概率与区间长度之比的极限.这里，如果把概率理解为质量，f(x)相当于线密度.

若x是f(x)的连续点，则：=f(x)4.对f(x)的进一步理解:(4)在f(x)的连续点x处，有故X的密度f(x)在x这一点的值16若不计高阶无穷小，有：它表示随机变量X取值于的概率近似等于.在连续型r.v理论中所起的作用与在离散型r.v理论中所起的作用相类似.若不计高阶无穷小，有：它表示随机变量X取17要注意的是，密度函数f(x)在某点处a的高度，并不反映X取值的概率.但是，这个高度越大，则X取a附近的值的概率就越大.也可以说，在某点密度曲线的高度反映了概率集中在该点附近的程度.

f(x)xo要注意的是，密度函数f(x)在某点处a的18下面给出几个r.v的例子.由于连续型r.v唯一被它的密度函数所确定.所以，若已知密度函数，该连续型r.v的概率规律就得到了全面描述.

f(x)xo下面给出几个r.v的例子.由于连续型r.v唯一被它19例9已知连续型r.v.具有概率密度

求系数k及分布函数F(x),并计算P(1.5<=<=2.5)例9已知连续型r.v.具有概率密度20大学文科数学之线性代数与概率统计课件21设具有概率密度

C为一常数，称X服从区间(a,b)上的均匀分布设具有概率密度C为一常数，称X服从区间(a,b)22（1）若r.vX的概率密度为：则称X服从区间(a,b)上的均匀分布，记作：X～U(a,b)

它的实际背景是：r.vX取值在区间(a,b)上，并且取值在(a,b)中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比.则X具有(a,b)上的均匀分布.（1）若r.vX的概率密度为：则称X服从区间(a,b)23服从均匀分布的随机变量x的分布函数为服从均匀分布的随机变量x的分布函数为24

公交线路上两辆公共汽车前后通过某汽车停车站的时间，即乘客的候车时间等.均匀分布常见于下列情形：

如在数值计算中，由于四舍五入，小数点后某一位小数引入的误差；公交线路上两辆公共汽车前后通过某汽车停车站25

例10

某路公共汽车每5分钟一趟，设为乘客在某站口的候车时间,试求他候车时间不超过3分钟的概率.解：X～U(0,30)

例10某路公共汽车每5分钟一趟，设为乘客在某站口26则称X

服从参数为的指数分布.指数分布常用于可靠性统计研究中，如元件的寿命.（2）若r.vX具有概率密度常简记为X~E().则称X服从参数为的指数分布.指27

服从以为参数的指数分布的随机变量X的分布函数为

服从以为参数的28

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线性代数与概率统计29连续型随机变量复习+进一步学习分布函数的性质连续型r.v及其密度函数的定义重要的连续型r.v连续型随机变量复习+进一步学习分布函数的性质30复习随机变量的分布函数分布函数的概念.分布函数的性质复习随机变量的分布函数分布函数的概念.31随机变量的分布函数

一、分布函数的概念.

定义设X是随机变量，对任意实数x，事件{X<x}的概率P(X<x)称为随机变量X的分布函数。记为F(x)，即F(x)＝P(X<x).易知，对任意实数a,b(a<b),P{aX<b}＝P{X<b}－P{X<a}＝F(b)－F(a).随机变量的分布函数

一、分布函数的概念.定义32二、分布函数的性质

1、单调不减性：若x1<x2,则F(x1)F(x2);2、归一性：对任意实数x，0F(x)1，且

3、左连续性：对任意实数x，反之，具有上述三个性质的实函数，必是某个随机变量的分布函数。故该三个性质是分布函数的充分必要性质。二、分布函数的性质1、单调不减性：若x1<x2,33假设离散型r.v.X具有分布列假设离散型r.v.X具有分布列34

连续型随机变量X所有可能取值充满一个区间,对这种类型的随机变量,不能象离散型随机变量那样,以指定它取每个值概率的方式,去给出其概率分布,而是通过给出所谓“概率密度函数”的方式.连续型随机变量X所有可能取值充满一个区间,对这种类型35连续型r.v及其密度函数的定义

对于随机变量X,如果存在非负可积函数f(x)

,使得X的分布函数F(x)可以写成则称X为连续型r.v,称f(x)为X的概率密度函数，简称为概率密度或密度.连续型r.v及其密度函数的定义对于随机变量X36概率密度函数的性质这两条性质是判定一个函数f(x)是否为某r.vX的概率密度函数的充要条件.

f(x)xo面积为1概率密度函数的性质这两条性质是判定一个f(x)xo面积为37连续r.v.的密度函数

与离散r.v.分布列的性质比较连续r.v.的密度函数383339大学文科数学之线性代数与概率统计课件40连续型r.v取任一指定值的概率为0.即：a为任一指定值这是因为连续型r.v取任一指定值的概率为0.即：a为任一指定值这是因41由此得，1)对连续型r.vX,有由此得，1)对连续型r.vX,有422)由P(X=a)=0可推知而{X=a}并非不可能事件并非必然事件称A为几乎不可能事件，B为几乎必然事件.可见，由P(A)=0,不能推出由P(B)=1,不能推出

B=S2)由P(X=a)=0可推知而{X=a}并非不可能43

故

X的密度f(x)在x这一点的值，恰好是X落在区间上的概率与区间长度之比的极限.这里，如果把概率理解为质量，f(x)相当于线密度.

若x是f(x)的连续点，则：=f(x)4.对f(x)的进一步理解:(4)在f(x)的连续点x处，有故X的密度f(x)在x这一点的值44若不计高阶无穷小，有：它表示随机变量X取值于的概率近似等于.在连续型r.v理论中所起的作用与在离散型r.v理论中所起的作用相类似.若不计高阶无穷小，有：它表示随机变量X取45要注意的是，密度函数f(x)在某点处a的高度，并不反映X取值的概率.但是，这个高度越大，则X取a附近的值的概率就越大.也可以说，在某点密度曲线的高度反映了概率集中在该点附近的程度.

f(x)xo要注意的是，密度函数f(x)在某点处a的46下面给出几个r.v的例子.由于连续型r.v唯一被它的密度函数所确定.所以，若已知密度函数，该连续型r.v的概率规律就得到了全面描述.

f(x)xo下面给出几个r.v的例子.由于连续型r.v唯一被它47例9已知连续型r.v.具有概率密度

求系数k及分布函数F(x),并计算P(1.5<=<=2.5)例9已知连续型r.v.具有概率密度48大学文科数学之线性代数与概率统计课件49设具有概率密度

C为一常数，称X服从区间(a,b)上的均匀分布设具有概率密度C为一常数，称X服从区间(a,b)50（1）若r.vX的概率密度为：则称X服从区间(a,b)上的均匀分布，记作：X～U(a,b)

它的实际背景是：r.vX取值在区间(a,