三角函数实际应用题 答案解析版本

三角函数的实际应用知识：直角三角形中其他重要概念⑴仰角与俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角．如图⑴．⑵坡角与坡度：坡面的垂直高度h和水平宽度l的比叫做坡度（或叫做坡比），用字母表示为i=y，坡面与水平面的夹角记作a，叫做坡角，则i==tana•坡度越大，坡面就越陡•如图⑵.⑶方向角（或方位角）：方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达为北（南）偏东（西）XX度•如图⑶.2.解直角三角形应用题的解题步骤及应注意的问题：⑴分析题意，根据已知条件画出它的平面或截面示意图，分清仰角、俯角、坡角、坡度、水平距离、垂直距离等概念的意义；⑵找出要求解的直角三角形•有些图形虽然不是直角三角形，但可添加适当的辅助线,把它们分割成一些直角三角形和矩形（包括正方形）；⑶根据已知条件，选择合适的边角关系式解直角三角形；⑷按照题目中已知数据的精确度进行近似计算，检验是否符合实际，并按题目要求的精确度取近似值，注明单位3.0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值（重要）三角函数0°30°45°60°90°sina02V31cosa1七'220tana01cota<310

典型例题类型一.所求线段由两段和差组成。例题1.（2018成都）由我国完全自主设计、自主建造的首舰国产航母于2018年5月成功完成第一次海上试验任务•如图，航母由西向东航行，到达A处时，测得小岛C位于它的北偏东70。方向，且于航母相距80海里，再航行一段时间后到达处，测得小岛C位于它的北偏东37。方向.如果航母继续航行至小岛C的正南方向的D处，求还需航行的距离BD的长.（参考数据：sin70。^0.94，cos70°=0.34，tan70。^2.75，sin37。^0.6,cos37°u0.80，tan37°«0.75）•解：由题知：ZACD=70°，ZBCD=37°，AC=80TOC\o"1-5"\h\zCDCD海里）.海里）.在RtMCD中，cosZACD=，A0.34=，:.CD二27.2海里）.海里）.AC80BDBD在RtABCD中，tanZBCD=，：0.75=，：BD=20.4中CD27.2答：还需要航行的距离BD答：还需要航行的距离BD的长为20.4海里.变式1.为了减轻二环高架上汽车的噪音污染，成都市政府计划在高架上的一些路段的护栏上方增加隔音屏.如图，工程人员在高架上的车道M处测得某居民楼顶的仰角ZABC的度数是20°，仪器BM的高是0.8m，点M到护栏的距离MD的长为11m,求需要安装的隔音屏的顶部到桥面的距离ED的长（结果保留到0.1m,参考数据：sin20°~0.34,cos20°~0.94,tan20°~0.36）—

解：由题意：CD=BM=0.8m,BC=MD=11m,在RtAECB中，EC=BC・tan20°=llX0.36~3.96(m),••・ED=CD+EC=3.96+0.8〜4.8(m),答：需要安装的隔音屏的顶部到桥面的距离ED的长4.8m2.如图，登山缆车从点2.如图，登山缆车从点A出发，途径点B后到达终点C。其中AB段与BC段的运行路程为200m，且AB段的运行路线与水平面的夹角为30。，BC段的运行路线与水平面的夹角为42。，求缆车从点A运行到点C的垂直上升的距离。（参考数据：sin42o«0.67，答案：234米3.（成华二诊）如图，大楼沿右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼。£，在小楼的顶端D处测得障碍物边缘点C的俯角为30。，测得大楼顶端A的仰角为45。（点B,C,E在同一水平直线上）。已知AB二80m，DE二10m，求障碍物B,C两点间的距离。（结果精确到0.1m，参考数据:<2二1.414,3=1.732）Bc£Bc£解：如图，过点D作DF丄AB于点F,过点C作CH丄DF于点H.则DE=BF=CH=10m,在直角△ADF中，TAF=80m-10m=70m,ZADF=45°,

:・DF=AF=70m.在直角ACDE中，•:DE=10m,ZDCE=30°,心=10込(m),:.BC=BE-CE=70-1013^70-17.32^52.7(m).答：障碍物B,C两点间的距离约为52.7m.（千米）,（千米）,类型二：辅助线技巧例题1（2017成都）科技改变生活，手机导航极大方便了人们的出行。如图，小明一家自驾到古镇C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西60。方向行驶4千米至B地，再沿北偏东45。方向行驶一段距离到达古镇C，小明发现古镇C恰好在A地的正北方向，求B,C两地的距离。「解：过B作BD丄AC于点D.在Rt^ABD中，AD=AB・cosZBAD=4cos60°=4X=22BD=AB・sinZBAD=4X'=2•迢（千米），2•「△BCD中，ZCBD=45。，•••△BCD是等腰直角三角形，・・・CD=BD=2i叼（千米），•BC=迈BD=2.左（千米）.答：B，C两地的距离是2..飞千米.

变式1如图，南沙群岛是我国固有领土，现在我南海渔民要在南沙某海岛附近进行捕鱼作业，当渔船航行至海面B处时，测得该岛位于正北方向20、+晶＞海里的C处，为了防止某国海巡警干扰，就请求我A处的渔监船前往C处护航，已知C位于A处的北偏东45。方向上，A设CD=x，在Rt^ACD中，可得AD=x,在Rt^ABD中，可得BD=f3x,又VBC=20（1W3）,CD+BD=BC,即x+3x=20（1+小3）,解得：x=20,.•・AC=lE=20l迈（海里）.

2.（2017武侯二诊）为促进我市经济的快速发展，加快道路建设，某高速公路建设工程中需修隧道AB，如图，在山外一点C测得BC距离为200m,ZCAB=45°,ZCBA=30°,求隧道AB的长。C解：过点C作CD丄AB于D,CVBC=800m,ZCBA=30°,・•.在RtABCD中，CD=^BC=400m,BD=BC・cos30°=800乂=40013^693(m),22VZCAB=54°,在Rt^ACD中，AD=心'^231(m),tan541.73/.AB=AD+BD693+231924(m).答：隧道AB的长为924m．3•渔船上的渔民在A处看见灯塔M在北偏东60°方向，这艘渔船以28海里/时的速度向正东航行，半小时到B处•在B处看见灯塔M在北偏东15°方向，求此时灯塔M与渔船的距离.BM=7*2

在罠处测得DF6米A1.例题2（锦江二诊）如图，在电线杆CD上的C处引拉线CE、CF固定电线杆，拉线CE和地面所成的角ZCED=60°,在离电线杆6米的B处安置高为1.5米的测角仪电线杆上C处的仰角为30°,求拉线CE的长在罠处测得DF6米A1.CE=4+<3变式1如图，某中学在主楼的顶部D和大门A的上方之间挂一些彩旗，经测量，大门距主楼的距离BC=90m，在大门处测得主楼顶部的仰角是30°，而当时测倾器离地面BE=1.5m.求：学校主楼CD的高度（结果精确到0.01m）D./A解：（1）作EF〃BC交DC于点F，•.•BC=45m,.°.EF=45m,VZDEF=30°，ZDFE=90°，解得，DE=解得，DE=15七Atan30°=I=t•:EB=3m，.°.DC=152+.：2=16一：3m，即学校主楼的高度是16•迂m；(2)作AGIIBC交DC于点G,•.•BC=AG=45m,AB=S.一3m,DC=16一空m,:.GC=AB=y；3m,:、DG=16■3-y；3=1313m,VZAGD=90°,・：AD=；：45莓(12②—633m,即大门上方A与主楼顶部D的距离是2宓m.2如图，放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB长为40cm，灯罩BC长为30cm，底座厚度为2cm，灯臂与底座构成的ZBAD=60°.使用发现，光线最佳时灯罩BC与水平线所成的角为30°，此时灯罩顶端C到桌面的高度CE是多少cm?（结果精确到0.1cm，参考数据：〔41.732）解：由题意得：AD丄CE,过点B作BM丄CE,BF丄EA,•・•灯罩BC长为30cm，光线最佳时灯罩BC与水平线所成的角为30°,'：CM丄MB,即三角形CMB为直角三角形,・•“。CMCM：Sin30=匪=而':CM=15cm,在直角三角形ABF中,sin60°=丽解得：BF=20.3,

又ZADC=ZBMD=ZBFD=90°,・•・四边形BFDM为矩形，:.MD=BF,:.CE=CM+MD+DE=CM+BF+ED=15+20一g+2~51.6cm.答：此时灯罩顶端C到桌面的高度CE是51.6cm.3如图，要在宽为22米的大道两边安装路灯，路灯的灯臂CD长2米,且与灯柱BC成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线DO与灯臂CD垂直，当灯罩的轴线DO通过公路路面的中心线时照明效果最佳，求路灯的灯柱BC高度.解：如图，延长OD，BC交于点P.VZODC=ZB=90°，ZP=30°，OB=11米，CD=2米,・•・在直角ACPD中，DP=DC・cos30°=T3m，PC=CDF(sin30°)=4米,VZP=ZP，ZPDC=ZB=90°，.•.△PDCsApbo,.PDJD'*PB"OB.•・BC=PB-PC=(11-4)米.类型三.双直角三角形与方程思想例题1•如图，为了测量某条河的宽度，现在河边的一岸边任意取一点A，又在河的另一岸边取两点B,C，测得厶=30。,zp=45。，量得BC长为100米，求河的宽度（结果保留解答:50\；3+50变式1如图，小明在一块平地上测山高，先在B处测得山顶A的仰角为30°，然后向山脚直行100米到达C处，再测得山顶A的仰角为45°，那么山高AD为多少米？（结果保留整数，测角仪忽略不计，\2~1.414，;'3~1.732）解：如图，ZABD=30°，ZACD=45°，BC=100m,设AD=xm,AD在RtMCD中，TtanZACD=CD，.・.CD=AD=x,.•・BD=BC+CD=x+100,AD在Rt^ABD中，°.°tan/ABD=BD，・=並・・x=3x+100），4分.•・x=50G;'3+1-137即山高AD为137米.

2.如图，是某市一座人行天桥的示意图，天桥离地面的高BC是10米，坡面10米处有一建筑物HQ,为了方便使行人推车过天桥，市政府部门决定降低坡度，使新坡面DC的倾斜角ZBDC=30°，若新坡面下D处与建筑物之间需留下至少3米宽的人行道，问该建筑物是否需要拆除（计算最后结果保留一位小数）.（参考数据：『2=1.414,73=1.732）【解析】由题青得,月圧10米，米，在中，ZtM=45°，二血二EG在沁DEC申,ZCD5=30°,：.D3=———=10^3』:.DH=AH—AD=AH—（.-AS）tan^CDB=10-10T3+10=20-1（XA^2.7（米〕、米＜3米…：该建筑物需要拆除.3•为了测量白塔的高度AB,在D处用高为1.5米的测角仪CD,测得塔顶A的仰角为42°,再向白塔方向前进12米，又测得白塔的顶端A的仰角为61°，求白塔的高度AB.（参考数据sin42°~0.67,tan42°~0.90,sin61°~0.87,tan61°~1.80，结果保留整数）解：设AE=x,在RtAACE中，CE=AE=1.1x.tan42Q，AF在Rt^AFE中，FE==0.55x,tanSl由题意得，CF=CE-FE=l.lx-0.55x=12,解得：x=詈，240故AB=AE+BE=+1.5~23米.答：这个电视塔的高度AB为23米.例题2(2014成都)如图，从地面上的点A看一山坡上的电线杆PQ,测得杆顶端点P的仰角是45°，向前走6m到达B点，测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60°和30°。求ZBPQ的度数；求该电线杆PQ的高度(结果精确到1m)备用数据:壬3-1.7，、:'2沁1.430度，9米变式1.如图：某电信部门计划修建一条连结B、C两地的电缆，测量人员在山脚A点测得B、C两地的仰角分别为30。、45。，在B地测得C地的仰角为60。，已知C地比A地高200m，电缆BC要多少米？（结果保留根号）2•数学兴趣小组向利用所学的知识了解某广告牌的高度，已知CD=2m，经测量，得到其它数据如图所示，其中ZCAH=30°,ZDBH=60°,AB=10m，请你根据以上数据计算GH解：延长CD交AH于点E，设DE=x，贝9BE=^x，VZA=30°，-CE二2斗葢=血…=〒—x=5l3-3，.•・GH=EC=5一g-1(m)答：GH的长为=(5lg-1)m.H伽A告H伽A告3某数学社团成员想利用所学的知识测量某广告牌的宽度（图中线段MN的长），直线MN垂直于地面，垂足为点P.在地面A处测得点M的仰角为58°、点N的仰角为45°,在B处测得点M的仰角为31°,AB=5米，且A、B、P三点在一直线上.请根据以上数据求广告牌的宽MN的长.（参考数据:sin58°=0.85,cos58°=0.53,tan58°=1.60,sin31°=0.52,cos31°=0.86,tan31°=0.60.）解：在Rt^APN中，ZNAP=45°,:.PA=PN,irp在Rt^APM中，tanZMAP=,设PA=PN=x,VZMAP=58°,:.MP=AP・tanZMAP=1.6x,irp在RtABPM中，tanZMBP=,VZMBP=31°,AB=5,A0.6=,Ax=3,AMN=MP-NP=0.6x=1.8（米），答：广告牌的宽MN的长为1.8米.课后练习：1.（2016成都）在学习完“利用三角函数测高”这节内容之后，某兴趣小组开展了测量学校旗杆高度的实践活动。如图，在测点A处安置测倾器，量出高度AB=1.5m，测得旗杆顶端D的仰角ZDBE=32。，量出测点A到旗杆底部C的水平距离AC=20m，根据测量数据，求旗杆CD的高度。（参考数据：sin32°u0.53，cos32°«0.85，tan32°«0.62）2.如图，海面上以点A为中心的4海里内有暗礁，在海面上点B处有一艘海监船，欲到C处去执行任务，若ZABC=45°,ZACB=37°,B,C两点相距10海里，如果这艘海监船沿BC直接航行，会有触礁的危险吗？请说明理由.（参考数据：sin37°~0.60,cos37°~0.80,tan37°~0.75）A】解：如果这艘海监船沿BC直接航行，不会有触礁的危险；理由如下:作AMLBC于M,如图所示：VZABC=45°,•••△ABM是等腰直角三角形，:.AM=BM，设AM=BM=x海里，则CM=10-x（海里），在RtAACM中，^=tanZACB=tan37°~0.75,L-JIL•_X…解得:工=号^,经检验，x=^是方程的根，••・AM=晋海里＞4海里，・•・如果这艘海监船沿BC直接航行，不会有触礁的危险.

3•某海域有A,B两个岛屿,B岛屿在A岛屿北偏西30。方向上，距A岛120海里，有一艘船从A岛出发，沿东北方向行驶一段距离后，到达位于B岛屿南偏东75。方向的C处，求出该船与B岛之间的距离CB的长（结果保留根号）.4•一艘轮船位于灯塔P南偏西60。方向的A处，它向东航行20海里到达灯塔P南偏西45。方向上的B处，若轮船继续沿正东方向航行，求轮船航行图中与灯塔P的最短距离。（结果保留根号）5.如图，已知楼房AB高40米，铁塔CD塔基中心C到AB楼房房基B点的水平距离BC为50米，从A望D的仰角为26.6°，求塔CD的高.（参考数据：sin26.6°=0.45,cos26.6°=0.89,tan26.6°=0.50）

贝yAE=BC=50米，AB=CE=40米，nir•・•在RtAAED中,ZDAE=26.6°,tanZDAE=AE.\DE=AEXtanZDAE=50Xtan26.6^50X0.50=25,CD=CE+DE=40米+25米=65米，即塔CD的高约为65米.6.如图，C地在A地的正东方向，因有大山阻隔，由A地到C地需绕行B地.已知B地位于A地北偏东67°方向，距离A地520km，C地位于B地南偏东30°方向.若打通穿山隧道，建成两地直达高铁，求A地到C地之间高铁线路的长.（结果保留整数）(参考数据：sin67°ag^,cos67°~¥「tan67°ag^,13^1.73)13135北解：过点B作BD丄AC于点D,VB地位于A地北偏东67°方向，距离A地520km,:.ZABD=67°,TOC\o"1-5"\h\z6240:.AD=AB・sin67°=520乂=■■=480km,13BD=AB・cos67°=520X，=■■=200km.1313VC地位于B地南偏东30°方向，.•・ZCBD=30°,:,CD=BD・tan30°=200乂=罰］