数学分析课件之第四章函数的连续性

第四章函数的连续性4.1连续性概念

连续函数的性质

4.3初等函数的连续性

4.2第四章函数的连续性4.1连续性概念连续函数的性质14.1连续性概念一、函数在一点的连续性1.函数的增量4.1连续性概念一、函数在一点的连续性1.函数的增量22.连续的定义2.连续的定义3数学分析课件之第四章函数的连续性4特点:极限计算转化为函数值计算函数值表示转化为极限表示在x0有定义1.在x0附近定义;2.极限存在特点:极限计算转化为函数值计算函数值表示转化为极限表示在x05例1证由定义2知例1证由定义2知63.单侧连续定理3.单侧连续定理7例2解右连续但不左连续,例2解右连续但不左连续,84.连续函数与连续区间在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在该区间上连续.连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.例如,4.连续函数与连续区间在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区9例3证例3证10例4证明证只须证明例4证明证只须证明11二、函数的间断点二、函数的间断点12间断=不连续1.在x0及其附近定义;2.极限存在间断=不连续1.在x0及其附近定义;131.跳跃间断点例5解1.跳跃间断点例5解142.可去间断点例62.可去间断点例615解注意

可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义,则可使其变为连续点.解注意可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义,则16如例6中,跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.特点如例6中,跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.特点173.第二类间断点例7解3.第二类间断点例7解18间断的演示第一类间断点第二类间断点可去间断点跳跃间断点无穷间断点震荡间断点间断的演示第一类间断点第二类间断点可去间断点无穷间断点19间断的演示第一类间断点第二类间断点可去间断点无定义、值太高、值太低跳跃间断点无穷间断点震荡间断点间断的演示第一类间断点第二类间断点可去间断点无穷间断点20间断的演示●●●哎呀,不好!有个洞,还没有支撑，我掉下去了!!!注意到：这种间断点称为可去间断点.G间断的演示●●●哎呀,不好!有个洞,还没有支撑，我掉下去21间断的演示●●●哎呀,不好!有个洞,还没有支撑，我掉下去了!!!注意到：这种间断点称为可去间断点.正好，连上了，我和其他的点连上了！G间断的演示●●●哎呀,不好!有个洞,还没有支撑，我掉下去22间断的演示●●●哎呀,太高了!够不着，又有个洞,我还是掉下去了!!!●注意到：这种间断点称为可去间断点.正好，连上了，我和其他的点连上了！G间断的演示●●●哎呀,太高了!够不着，又有个洞,我还是掉下23间断的演示●●●哎呀,太低了!跳不上去，唉，只能在下面呆着了!!!●●注意到：这种间断点称为可去间断点.正好，连上了，我和其他的点连上了！G间断的演示●●●哎呀,太低了!跳不上去，唉，只能在下面呆着了24间断的演示●●哎呀,前不着村，后不着店的，就是能单边撑着，也靠不住啊，我还是掉下去了!!!●注意到：这种间断点称为跳跃间断点.

这点放哪儿能接上呢？●G间断的演示●●哎呀,前不着村，后不着店的，就是能单边撑着，也25间断的演示●●哎，小红点，你跑哪去了？快救救我，我要跑到未知世界去了！这种间断点称为无穷间断点G间断的演示●●哎，小红点，你跑哪去了？快救救我，我要跑到未知26间断的演示●：Hi,小红点，你能不能停住？我怎么也停不住，那可怎么连上啊？●：Hi,小蓝点，你停不住，我也停不住啊。还想连上，你可真逗！●●●●这种间断点称为震荡间断点。G间断的演示●：Hi,小红点，你能不能停住？我怎么也停不住，27例8解注意不要以为函数的间断点只是个别的几个点.例8解注意不要以为函数的间断点只是个别的几个点.28★狄利克雷函数在定义域R内每一点处都间断,且都是第二类间断点.★仅在x=0处连续,其余各点处处间断.★狄利克雷函数在定义域R内每一点处都间断,且都是第二类间断点29★在定义域R内每一点处都间断,但其绝对值处处连续.判断下列间断点类型:★在定义域R内每一点处都间断,但其绝对值处处连续.判断30例9解例9解31例10讨论若有间断点判别其类型，并作出图形解例10讨论若有间断点判别其类型，并作出图形解32数学分析课件之第四章函数的连续性33三、小结1.函数在一点连续必须满足的三个条件;2.区间上的连续函数;3.间断点的分类与判别;间断点第一类间断点:可去型,跳跃型.第二类间断点:无穷型,振荡型.(见下图)三、小结1.函数在一点连续必须满足的三个条件;2.区间上的连34第一类间断点oyx可去型oyx跳跃型第二类间断点oyx无穷型oyx振荡型第一类间断点oyx可去型oyx跳跃型第二类间断点oyx无穷型35思考题思考题36思考题解答且思考题解答且37但反之不成立.例但但反之不成立.例但384.2连续函数的性质一连续函数的局部性质三反函数的连续性

函数的连续性是通过极限来定义的，因而有关函数极限的诸多性质，都可以移到连续函数中来。二闭区间上连续函数的基本性质四一致连续性4.2连续函数的性质一连续函数的局部性质三反39一连续函数的局部性质Th4.2（局部有界性）若在连续。则在某有界.Th4.3（局部保号性）若在连续，且则对任何正数，存在某有.注①在具体应用局部保号性时，若

可取，

②与极限相应的性质做比较

这里只是把“极限存在”，改为改为其余一致。“连续”，把一连续函数的局部性质Th4.2（局部有界性）若在连续。则在40证明连续函数的局部有界性——若处连续，则和，使得．[证]据在连续的定义，满足．现取相应存在，就有

[证毕]

证明连续函数的局部有界性——若处连续，则和，使得．在连续41四则运算的连续性Th4.4例如,连续是用极限定义的，本定理是极限四则运算定理的直接结果，不证自明。四则运算的连续性Th4.4例如,连续是用极限定42Th4.5证Th4.5证43将上两步合起来:意义1.在定理的条件下，极限符号可以与函数符号互换，即极限号可以穿过外层函数符号直接取在内层，将上两步合起来:意义1.在定理的条件下，极限符号可以与函数符44注1.定理的条件：内层函数有极限，外层函数在极限值点处连续例1解注1.定理的条件：内层函数有极限，外层函数例1解45例2解同理可得例2解同理可得46注意定理是定理4.5的特殊情况.例如,注意定理是定理4.5的特殊情47二、最大值和最小值定理定义:例如,二、最大值和最小值定理定义:例如,48一般而言，在其定义域上不一定在Ｄ上有界.无最大（小）值；在［０，１］上也无最大（小）值。有最大（小）值，即使例如：一般而言，在其定义域上不一定在Ｄ上有界.无最大（小）值；在49定理1(最大值和最小值定理)在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值.注意:1.若区间是开区间,定理不一定成立;2.若区间内有间断点,定理不一定成立.定理1(最大值和最小值定理)在闭区间上连续的函数一定有最大50定理2(有界性定理)在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界.证定理2(有界性定理)在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界51定义:定义:52几何解释:几何解释:53证由零点定理,abABMmC几何解释:证由零点定理,abABMmC几何解释:54例3证由零点定理,推论在闭区间上连续的函数必取得介于最大值与最小值之间的任何值.例3证由零点定理,推论在闭区间上连续的函数必取得介于最大55例4证由零点定理,例4证由零点定理,56例5证由零点定理知总之例5证由零点定理知总之57注①方程f(x)=0的根函数f(x)的零点②有关闭区间上连续函数命题的证明方法10直接法：先利用最值定理，再利用介值定理20间接法（辅助函数法）：先作辅助函数，再利用零点定理辅助函数的作法（1）将结论中的ξ(或x0或c)改写成x（2）移项使右边为0，令左边的式子为F(x)则F(x)即为所求注①方程f(x)=0的根函数f(x)的零点②有关闭区间上连续58区间一般在题设中或要证明的结论中已经给出，余下只须验证F(x)在所讨论的区间上连续，再比较一下两个端点处的函数值的符号，或指出要证的值介于F(x)在所论闭区间上的最大值与最小值之间。区间一般在题设中或要证明的结论中已经给出，余59三反函数的连续性定理4.8严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数.例如,反三角函数在其定义域内皆连续.三反函数的连续性定理4.8严格单调的连续函数必有严格单60Th4.8若函数上严格递增(或减)且在相应的定义域（或上连续.连续,则其反函数证明不妨设上严格递增.此时的值域即反函数任取＞0，异于＜＜使它们与的距离Th4.8若函数上严格递增(或减)且在相应的定义域（61

设与对应的函数值分别为由的严格增性知＜＜令则当时，对应的的值都落在与之间，故有＜这就证明了在点连续，从而在内连续.类似地可证在其定义区间的端点与分别为右连续与左连续.所以在上连续.设与对应的函数值分别为由的严格增性知＜＜令则当时，对应的的62四函数的整体连续性­——一致连续：设在某一区间Ｉ连续，按照定义，也就是在区间Ｉ内每一点都连续。即对时，就有在一致连续定义中与无关，是在区间放在何处而皆准的普适常数。四函数的整体连续性­——一致连续：设在某一区间Ｉ63数学分析课件之第四章函数的连续性64{

{

{{65数学分析课件之第四章函数的连续性66１．一致连续的定义定义2设为定义在区间Ｉ上的函数。若对任给的，存在一个，使得对任何，只要，就有则称函数在区间Ｉ上一致连续。在一致连续定义中与无关，是在区间放在何处而皆准的普适常数。１．一致连续的定义定义2设为定义在区间Ｉ上的函数。若对任给67数学分析课件之第四章函数的连续性68数学分析课件之第四章函数的连续性69数学分析课件之第四章函数的连续性70五、小结连续函数的局部性质反函数的连续性.复合函数的连续性.一致连续性.定义区间与定义域的区别;求极限的又一种方法.五、小结连续函数的局部性质反函数的连续性.复合函数的连续性71思考题思考题72思考题解答是它的可去间断点思考题解答是它的可去间断点734.3初等函数的连续性

4.3初等函数的连续性74一初等函数的连续性★三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的.★★一初等函数的连续性★三角函数及反三角函数在它们的定义域内是75★(均在其定义域内连续)Th4.12基本初等函数在定义域内是连续的.Th4.13一切初等函数在其定义区间内都是连续的.定义区间是指包含在定义域内的区间.★(均在其定义域内连续)Th4.12基本初等函数在定义76注意1.初等函数仅在其定义区间内连续,在其定义域内不一定连续;例如,这些孤立点的邻域内没有定义.在0点的邻域内没有定义.注意2.初等函数求极限的方法代入法.注意1.初等函数仅在其定义区间内连续,在其定义域内77例1求解它的一个定义区间是例1求解它的一个定义区间是78例2解例2解79例3求解不能应用差的极限运算法则，须变形——先分子有理化，然后再求极限例3求解不能应用差的极限运算法则，须变形80数学分析课件之第四章函数的连续性81习题课习题课82一、主要内容（一）函数的定义（二）极限的概念（三）连续的概念一、主要内容（一）函数的定义（二）极限的概念（三）连续的概念83函数的定义函数的性质单值与多值奇偶性单调性有界性周期性反函数隐函数反函数与直接函数之间关系基本初等函数复合函数初等函数双曲函数与反双曲函数（一）函数函数函数反函数隐函数反函数与直接基本初等函数复合函841.函数的定义函数的分类2.函数的性质有界、单调、奇偶、周期3.反函数4.隐函数5.基本初等函数幂、指、反、对、三6.复合函数7.初等函数8.双曲函数与反双曲函数1.函数的定义函数的分类2.函数的性质有界、单调、奇偶、周期85数列极限函数极限左右极限极限存在的充要条件无穷大两者的关系无穷小的性质极限的性质求极限的常用方法无穷小判定极限存在的准则两个重要极限无穷小的比较等价无穷小及其性质唯一性（二）极限数列极限函数极限左右极限极限存在的无穷大两861、极限的定义：单侧极限2、无穷小与无穷大无穷小；无穷大；无穷小与无穷大的关系无穷小的运算性质3、极限的性质四则运算、复合函数的极限极限存在的条件1、极限的定义：单侧极限2、无穷小与无穷大无穷小；无穷大；无874、求极限的常用方法a.多项式与分式函数代入法求极限;b.消去零因子法求极限;c.无穷小因子分出法求极限;d.利用无穷小运算性质求极限;e.利用左右极限求分段函数极限.5、判定极限存在的准则夹逼定理、单调有界原理4、求极限的常用方法a.多项式与分式函数代入法求极限;5、判886、两个重要极限7、无穷小的比较8、等价无穷小的替换性质9、极限的唯一性、局部有界性、保号性6、两个重要极限7、无穷小的比较8、等价无穷小的替换性质9、89（三）连续左右连续连续的充要条件间断点定义振荡间断点无穷间断点跳跃间断点可去间断点第一类第二类在区间[a,b]上连续连续函数的运算性质初等函数的连续性非初等函数的连续性连续函数的性质（三）连续左右连续连续的间断点定义振荡间断点第一类901、连续的定义单侧连续连续的充要条件闭区间的连续性2、间断点的定义间断点的分类第一类、第二类3、初等函数的连续性连续性的运算性质反函数、复合函数的连续性4、闭区间上连续函数的性质最值定理、有界性定理、介值定理、零点定理1、连续的定义单侧连续连续的充要条件闭区间的连续性2、间断点91二、典型例题例1解利用函数表示法的无关特性代入原方程得代入上式得二、典型例题例1解利用函数表示法的无关特性代入原方程得代入上92解联立方程组解联立方程组93例2求下列极限①②例2求下列极限①②94③④③④95⑤⑤96例3解一例3解一97解二例4解二例498解解法讨论解解法讨论99例5证明①②例5证明①②100证①（整体和大于部分和）由夹逼定理知证①（整体和大于部分和）由夹逼定理知101②由夹逼定理知例6求极限②由夹逼定理知例6求极限102[分析]要用夹逼定理，须进行放缩不能这样用夹逼定理，解注意到分子成等差数列[分析]要用夹逼定理，须进行放缩不能这样用夹逼定理，解注意到103例7证例7证104即xn单调减，有下界故由单调有界原理得即xn单调减，有下界故由单调有界原理得105例8解例8解106例9解例9解107数学分析课件之第四章函数的连续性108例10求下列极限①②例10求下列极限①②109③只记住了重要极限的形式，而没有掌握其实质例11③只记住了重要极限的形式，而没有掌握其实质例11110解因f(x)在x=0处为无穷间断，即又x=1为可去间断，解因f(x)在x=0处为无穷间断，即又x=1为可去间断，111例12①例12①112②②113例13解例13解114从而由等价无穷小的代换性质得从而由等价无穷小的代换性质得115例14解例14解116数学分析课件之第四章函数的连续性117例15证明若f(x)和g(x)连续，则函数证由于f(x)和g(x)连续，故f(x)+g(x)连续例15证明若f(x)和g(x)连续，则函数证由于f(x)和118例16利用介值定理证明，当n为奇数时，方程至少有一实根证例16利用介值定理证明，当n为奇数时，方程至少有一实根证119故由函数极限的保号性质可知又n是奇数，所以故由零点定理知故由函数极限的保号性质可知又n是奇数，所以故由零点定理知120例17证由题设知故在上必存在最大值M和最小值m例17证由题设知故在上必存在最大值M和最小值m121由介值定理可得由介值定理可得122第四章函数的连续性4.1连续性概念

连续函数的性质

4.3初等函数的连续性

4.2第四章函数的连续性4.1连续性概念连续函数的性质1234.1连续性概念一、函数在一点的连续性1.函数的增量4.1连续性概念一、函数在一点的连续性1.函数的增量1242.连续的定义2.连续的定义125数学分析课件之第四章函数的连续性126特点:极限计算转化为函数值计算函数值表示转化为极限表示在x0有定义1.在x0附近定义;2.极限存在特点:极限计算转化为函数值计算函数值表示转化为极限表示在x0127例1证由定义2知例1证由定义2知1283.单侧连续定理3.单侧连续定理129例2解右连续但不左连续,例2解右连续但不左连续,1304.连续函数与连续区间在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在该区间上连续.连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.例如,4.连续函数与连续区间在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区131例3证例3证132例4证明证只须证明例4证明证只须证明133二、函数的间断点二、函数的间断点134间断=不连续1.在x0及其附近定义;2.极限存在间断=不连续1.在x0及其附近定义;1351.跳跃间断点例5解1.跳跃间断点例5解1362.可去间断点例62.可去间断点例6137解注意

可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义,则可使其变为连续点.解注意可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义,则138如例6中,跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.特点如例6中,跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.特点1393.第二类间断点例7解3.第二类间断点例7解140间断的演示第一类间断点第二类间断点可去间断点跳跃间断点无穷间断点震荡间断点间断的演示第一类间断点第二类间断点可去间断点无穷间断点141间断的演示第一类间断点第二类间断点可去间断点无定义、值太高、值太低跳跃间断点无穷间断点震荡间断点间断的演示第一类间断点第二类间断点可去间断点无穷间断点142间断的演示●●●哎呀,不好!有个洞,还没有支撑，我掉下去了!!!注意到：这种间断点称为可去间断点.G间断的演示●●●哎呀,不好!有个洞,还没有支撑，我掉下去143间断的演示●●●哎呀,不好!有个洞,还没有支撑，我掉下去了!!!注意到：这种间断点称为可去间断点.正好，连上了，我和其他的点连上了！G间断的演示●●●哎呀,不好!有个洞,还没有支撑，我掉下去144间断的演示●●●哎呀,太高了!够不着，又有个洞,我还是掉下去了!!!●注意到：这种间断点称为可去间断点.正好，连上了，我和其他的点连上了！G间断的演示●●●哎呀,太高了!够不着，又有个洞,我还是掉下145间断的演示●●●哎呀,太低了!跳不上去，唉，只能在下面呆着了!!!●●注意到：这种间断点称为可去间断点.正好，连上了，我和其他的点连上了！G间断的演示●●●哎呀,太低了!跳不上去，唉，只能在下面呆着了146间断的演示●●哎呀,前不着村，后不着店的，就是能单边撑着，也靠不住啊，我还是掉下去了!!!●注意到：这种间断点称为跳跃间断点.

这点放哪儿能接上呢？●G间断的演示●●哎呀,前不着村，后不着店的，就是能单边撑着，也147间断的演示●●哎，小红点，你跑哪去了？快救救我，我要跑到未知世界去了！这种间断点称为无穷间断点G间断的演示●●哎，小红点，你跑哪去了？快救救我，我要跑到未知148间断的演示●：Hi,小红点，你能不能停住？我怎么也停不住，那可怎么连上啊？●：Hi,小蓝点，你停不住，我也停不住啊。还想连上，你可真逗！●●●●这种间断点称为震荡间断点。G间断的演示●：Hi,小红点，你能不能停住？我怎么也停不住，149例8解注意不要以为函数的间断点只是个别的几个点.例8解注意不要以为函数的间断点只是个别的几个点.150★狄利克雷函数在定义域R内每一点处都间断,且都是第二类间断点.★仅在x=0处连续,其余各点处处间断.★狄利克雷函数在定义域R内每一点处都间断,且都是第二类间断点151★在定义域R内每一点处都间断,但其绝对值处处连续.判断下列间断点类型:★在定义域R内每一点处都间断,但其绝对值处处连续.判断152例9解例9解153例10讨论若有间断点判别其类型，并作出图形解例10讨论若有间断点判别其类型，并作出图形解154数学分析课件之第四章函数的连续性155三、小结1.函数在一点连续必须满足的三个条件;2.区间上的连续函数;3.间断点的分类与判别;间断点第一类间断点:可去型,跳跃型.第二类间断点:无穷型,振荡型.(见下图)三、小结1.函数在一点连续必须满足的三个条件;2.区间上的连156第一类间断点oyx可去型oyx跳跃型第二类间断点oyx无穷型oyx振荡型第一类间断点oyx可去型oyx跳跃型第二类间断点oyx无穷型157思考题思考题158思考题解答且思考题解答且159但反之不成立.例但但反之不成立.例但1604.2连续函数的性质一连续函数的局部性质三反函数的连续性

函数的连续性是通过极限来定义的，因而有关函数极限的诸多性质，都可以移到连续函数中来。二闭区间上连续函数的基本性质四一致连续性4.2连续函数的性质一连续函数的局部性质三反161一连续函数的局部性质Th4.2（局部有界性）若在连续。则在某有界.Th4.3（局部保号性）若在连续，且则对任何正数，存在某有.注①在具体应用局部保号性时，若

可取，

②与极限相应的性质做比较

这里只是把“极限存在”，改为改为其余一致。“连续”，把一连续函数的局部性质Th4.2（局部有界性）若在连续。则在162证明连续函数的局部有界性——若处连续，则和，使得．[证]据在连续的定义，满足．现取相应存在，就有

[证毕]

证明连续函数的局部有界性——若处连续，则和，使得．在连续163四则运算的连续性Th4.4例如,连续是用极限定义的，本定理是极限四则运算定理的直接结果，不证自明。四则运算的连续性Th4.4例如,连续是用极限定164Th4.5证Th4.5证165将上两步合起来:意义1.在定理的条件下，极限符号可以与函数符号互换，即极限号可以穿过外层函数符号直接取在内层，将上两步合起来:意义1.在定理的条件下，极限符号可以与函数符166注1.定理的条件：内层函数有极限，外层函数在极限值点处连续例1解注1.定理的条件：内层函数有极限，外层函数例1解167例2解同理可得例2解同理可得168注意定理是定理4.5的特殊情况.例如,注意定理是定理4.5的特殊情169二、最大值和最小值定理定义:例如,二、最大值和最小值定理定义:例如,170一般而言，在其定义域上不一定在Ｄ上有界.无最大（小）值；在［０，１］上也无最大（小）值。有最大（小）值，即使例如：一般而言，在其定义域上不一定在Ｄ上有界.无最大（小）值；在171定理1(最大值和最小值定理)在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值.注意:1.若区间是开区间,定理不一定成立;2.若区间内有间断点,定理不一定成立.定理1(最大值和最小值定理)在闭区间上连续的函数一定有最大172定理2(有界性定理)在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界.证定理2(有界性定理)在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界173定义:定义:174几何解释:几何解释:175证由零点定理,abABMmC几何解释:证由零点定理,abABMmC几何解释:176例3证由零点定理,推论在闭区间上连续的函数必取得介于最大值与最小值之间的任何值.例3证由零点定理,推论在闭区间上连续的函数必取得介于最大177例4证由零点定理,例4证由零点定理,178例5证由零点定理知总之例5证由零点定理知总之179注①方程f(x)=0的根函数f(x)的零点②有关闭区间上连续函数命题的证明方法10直接法：先利用最值定理，再利用介值定理20间接法（辅助函数法）：先作辅助函数，再利用零点定理辅助函数的作法（1）将结论中的ξ(或x0或c)改写成x（2）移项使右边为0，令左边的式子为F(x)则F(x)即为所求注①方程f(x)=0的根函数f(x)的零点②有关闭区间上连续180区间一般在题设中或要证明的结论中已经给出，余下只须验证F(x)在所讨论的区间上连续，再比较一下两个端点处的函数值的符号，或指出要证的值介于F(x)在所论闭区间上的最大值与最小值之间。区间一般在题设中或要证明的结论中已经给出，余181三反函数的连续性定理4.8严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数.例如,反三角函数在其定义域内皆连续.三反函数的连续性定理4.8严格单调的连续函数必有严格单182Th4.8若函数上严格递增(或减)且在相应的定义域（或上连续.连续,则其反函数证明不妨设上严格递增.此时的值域即反函数任取＞0，异于＜＜使它们与的距离Th4.8若函数上严格递增(或减)且在相应的定义域（183

设与对应的函数值分别为由的严格增性知＜＜令则当时，对应的的值都落在与之间，故有＜这就证明了在点连续，从而在内连续.类似地可证在其定义区间的端点与分别为右连续与左连续.所以在上连续.设与对应的函数值分别为由的严格增性知＜＜令则当时，对应的的184四函数的整体连续性­——一致连续：设在某一区间Ｉ连续，按照定义，也就是在区间Ｉ内每一点都连续。即对时，就有在一致连续定义中与无关，是在区间放在何处而皆准的普适常数。四函数的整体连续性­——一致连续：设在某一区间Ｉ185数学分析课件之第四章函数的连续性186{

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{{187数学分析课件之第四章函数的连续性188１．一致连续的定义定义2设为定义在区间Ｉ上的函数。若对任给的，存在一个，使得对任何，只要，就有则称函数在区间Ｉ上一致连续。在一致连续定义中与无关，是在区间放在何处而皆准的普适常数。１．一致连续的定义定义2设为定义在区间Ｉ上的函数。若对任给189数学分析课件之第四章函数的连续性190数学分析课件之第四章函数的连续性191数学分析课件之第四章函数的连续性192五、小结连续函数的局部性质反函数的连续性.复合函数的连续性.一致连续性.定义区间与定义域的区别;求极限的又一种方法.五、小结连续函数的局部性质反函数的连续性.复合函数的连续性193思考题思考题194思考题解答是它的可去间断点思考题解答是它的可去间断点1954.3初等函数的连续性

4.3初等函数的连续性196一初等函数的连续性★三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的.★★一初等函数的连续性★三角函数及反三角函数在它们的定义域内是197★(均在其定义域内连续)Th4.12基本初等函数在定义域内是连续的.Th4.13一切初等函数在其定义区间内都是连续的.定义区间是指包含在定义域内的区间.★(均在其定义域内连续)Th4.12基本初等函数在定义198注意1.初等函数仅在其定义区间内连续,在其定义域内不一定连续;例如,这些孤立点的邻域内没有定义.在0点的邻域内没有定义.注意2.初等函数求极限的方法代入法.注意1.初等函数仅在其定义区间内连续,在其定义域内199例1求解它的一个定义区间是例1求解它的一个定义区间是200例2解例2解201例3求解不能应用差的极限运算法则，须变形——先分子有理化，然后再求极限例3求解不能应用差的极限运算法则，须变形202数学分析课件之第四章函数的连续性203习题课习题课204一、主要内容（一）函数的定义（二）极限的概念（三）连续的概念一、主要内容（一）函数的定义（二）极限的概念（三）连续的概念205函数的定义函数的性质单值与多值奇偶性单调性有界性周期性反函数隐函数反函数与直接函数之间关系基本初等函数复合函数初等函数双曲函数与反双曲函数（一）函数函数函数反函数隐函数反函数与直接基本初等函数复合函2061.函数的定义函数的分类2.函数的性质有界、单调、奇偶、周期3.反函数4.隐函数5.基本初等函数幂、指、反、对、三6.复合函数7.初等函数8.双曲函数与反双曲函数1.函数的定义函数的分类2.函数的性质有界、单调、奇偶、周期207数列极限函数极限左右极限极限存在的充要条件无穷大两者的关系无穷小的性质极限的性质求极限的常用方法无穷小判定极限存在的准则两个重要极限无穷小的比较等价无穷小及其性质唯一性（二）极限数列极限函数极限左右极限极限存在的无穷大两2081、极限的定义：单侧极限2、无穷小与无穷大无穷小；无穷大；无穷小与无穷大的关系无穷小的运算性质3、极限的性质四则运算、复合函数的极限极限存在的条件1、极限的定义：单侧极限2、无穷小与无穷大无穷小；无穷大；无2094、求极限的常用方法a.多项式与分式函数代入法求极限;b.消去零因子法求极限;c.无穷小因子分出法求极限;d.利用无