梯形复习课件1通用

第二十二讲梯形第二十二讲梯形1.了解:梯形的有关概念.2.理解:等腰梯形的性质和一个四边形是等腰梯形的条件.3.掌握:梯形的概念和性质;梯形中位线的概念与性质.4.会:利用梯形的性质和判定进行计算和证明.1.了解:梯形的有关概念.一、梯形1.定义：一组对边_____而另一组对边_______的四边形叫做梯形.2.面积计算：S梯形=_________(其中a，b分别为梯形的上、下底，h为梯形的高).平行不平行一、梯形平行不平行二、等腰梯形的性质和判定性质判定1.同一底边上的_________相等.2.等腰梯形的两条_______相等.3.等腰梯形是___对称图形.1._____相等的梯形是等腰梯形(定义).2.在同一底上的_______相等的梯形是等腰梯形.3.两条_______相等的梯形是等腰梯形.两个内角对角线轴两腰两个角对角线二、等腰梯形的性质和判定性质判定1.同一底边上的_____三、梯形的中位线及面积

概念连结梯形两腰中点的线段中位线的性质

(a,b表示上、下底,h表示高,l表示中位线)1.l∥a∥__2.l=(__+__)面积S梯形=_______=lhab(a+b)hb三、梯形的中位线及面积概念连结梯形两腰中点的线段中位线的性1.下列说法正确的是()A.有一组对边平行的四边形是梯形B.一组对边平行且不相等的四边形是梯形C.有两个角是直角的四边形是直角梯形D.有两个角相等的梯形是等腰梯形2.若梯形的面积为8cm2,高为2cm,则此梯形的中位线长是__cm.B41.下列说法正确的是()B43.如图,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=60°,AD=4,BC=7,则梯形ABCD的周长是___.173.如图,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=60°,A4.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,E是AB的中点,若△DEC的面积为S,则四边形ABCD的面积为___.2S4.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,E是AB的中点,若热点考向一等腰梯形的性质

【例1】(2013·杭州中考)如图,在等腰梯形ABCD中,AB∥DC,线段AG,BG分别交CD于点E,F,DE=CF.求证:△GAB是等腰三角形.热点考向一等腰梯形的性质

【思路点拨】证△DAE≌△CBF→∠DAE=∠CBF→∠GAB=∠GBA→△GAB是等腰三角形【自主解答】∵在等腰梯形ABCD中,AD=BC,∠D=∠C,而DE=CF,∴△DEA≌△CFB(SAS),则∠DAE=∠CBF.又∵等腰梯形ABCD中,∠DAB=∠CBA,∴∠EAB=∠FBA,∴GA=GB,则△GAB为等腰三角形.【思路点拨】【名师助学】梯形中常用的九类辅助线【名师助学】梯形中常用的九类辅助线热点考向二等腰梯形的判别

【例2】(2012·襄阳中考)如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,E为BC的中点,BC=2AD,EA=ED=2,AC与ED相交于点F.(1)求证:梯形ABCD是等腰梯形.(2)当AB与AC具有什么位置关系时,四边形AECD是菱形?请说明理由.热点考向二等腰梯形的判别

【思路点拨】(1)→△AEB≌△DEC→AB=DC→等腰梯形(2)AD∥BC，EB=EC=AD→平行四边形AECD→菱形AECD梯形ABCDE为BC的中点，EA=ED【思路点拨】(1)【自主解答】(1)如图，∵AD∥BC，∴∠1＝∠DAE，∠2＝∠3.∵EA＝ED，∴∠DAE＝∠3.∴∠1＝∠2.又∵EB＝EC，∴△AEB≌△DEC.∴AB＝DC，∴梯形ABCD是等腰梯形.【自主解答】(1)如图，∵AD∥BC，(2)当AB⊥AC时四边形AECD是菱形.证明：∵AD∥BC，EB＝EC＝AD，∴四边形ABED和四边形AECD都是平行四边形.∴AB＝DE.∵AB⊥AC，EB＝EC，∴AE＝EB＝EC.∴四边形AECD是菱形.(2)当AB⊥AC时四边形AECD是菱形.【互动探究】在(1)(2)的条件下,四边形ABED是菱形吗?提示:是,由(2)的证明得四边形AECD是菱形,四边形ABED是平行四边形,∴DC=EC,又∵梯形ABCD是等腰梯形,∴AB=DC,∵E为BC的中点,∴BE=EC,∴AB=BE,∴四边形ABED是菱形.【互动探究】在(1)(2)的条件下,四边形ABED是菱形吗?【名师助学】等腰梯形的三种判定方法1.定义:梯形→两腰相等→等腰梯形.2.角:梯形→同一底上的两个内角相等→等腰梯形.3.对角线:梯形→对角线相等→等腰梯形.【名师助学】等腰梯形的三种判定方法热点考向三梯形的有关计算

【例3】(2013·扬州中考)如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=AD=CD,BC=12,∠ABC=60°,则梯形ABCD的周长为

.【思路点拨】过A作AE∥DC,得▱ADCE和等边△ABE,求出BE=AB=AE=DC=AD=CE.热点考向三梯形的有关计算

【自主解答】过A作AE∥DC交BC于E.∵AD∥BC,∴四边形ADCE是平行四边形,∴AD=EC=DC,AE=DC,∵AB=DC,∴AB=AE,又∠ABC=60°,∴△ABE是等边三角形,∴BE=AB=AE=DC=AD=EC,∵BC=12,∴AB=AD=DC=6,∴梯形ABCD的周长是AD+DC+BC+AB=6+6+12+6=30.答案:30【自主解答】过A作AE∥DC交BC于E.【名师助学】1.梯形的有关计算一般是指梯形的腰长、高、中位线、周长、面积以及底角的相关计算.采用的方法一般是对梯形作高线、对角线、中位线、作一腰的平行线或延长两腰等,利用三角形或平行四边形的知识求解.2.注意事项:(1)梯形的两条对角线互相垂直时,梯形的面积等于梯形的两条对角线乘积的一半.(2)在直角梯形中,梯形的高是直角梯形中垂直于上下底的腰.【名师助学】梯形的中位线【典例】(2012·滨州中考)我们知道“连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线”,“三角形的中位线平行于三角形的第三边,且等于第三边的一半”.类似地,我们连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,点E,F分别是AB,CD的中点,那么EF就是梯形ABCD的中位线.通过观察、测量,猜想EF和AD,BC有怎样的位置和数量关系?并证明你的结论.梯形的中位线【思路点拨】创新点让学生借助三角形中位线定理推导、证明梯形中位线定理突破口(1)连结AF并延长交BC的延长线于点G(2)证明△ADF≌△GCF【思路点拨】创新点让学生借助三角形中位线定理推导、证明梯形中【自主解答】结论为：EF∥AD∥BC,EF=(AD+BC).证明：连结AF并延长交BC的延长线于点G.∵AD∥BG,∴∠DAF=∠G,在△ADF和△GCF中,∠DAF=∠G，∠DFA=∠CFG，

DF=FC，【自主解答】结论为：EF∥AD∥BC,EF=(AD+B∴△ADF≌△GCF.∴AF=FG,AD=CG.又∵AE=EB,∴EF∥BG,EF=BG,即EF∥AD∥BC,EF=(AD+BC).∴△ADF≌△GCF.【思考点评】1.方法感悟:梯形的中位线是梯形中的一条重要线段,由于它的性质与线段的中点及平行线紧密相连,因此,它在几何图形的计算及证明中有着广泛的应用.2.技巧提升:(1)过梯形一腰的中点,作底边的平行线,必平分另一腰.(2)如果把三角形看成是上底为零时的梯形,这时梯形的中位线就变成三角形的中位线.【思考点评】【学以致用】(2012·达州中考)如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,E,F分别是AB,CD的中点,则下列结论:①EF∥AD;②S△ABO=S△DCO;③△OGH是等腰三角形;④BG=DG;⑤EG=HF.其中正确的个数是(

)A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【学以致用】【解析】选D.(1)根据梯形的中位线定理可推出①正确.(2)△ABD和△ACD是同底等高的两个三角形,所以面积相等,都减去△AOD的面积,即S△ABO=S△DCO,故②正确.(3)∵EF∥BC,∴∠OGH=∠OBC,∠OHG=∠OCB,已知四边形ABCD是梯形,不一定是等腰梯形,即∠OBC和∠OCB不一定相等,即∠OGH和∠OHG不一定相等,∠GOH和∠OGH或∠OHG也不能证出相等,∴△OGH是等腰三角形不对,∴③错误.【解析】选D.(1)根据梯形的中位线定理可推出①正确.(4)∵EF∥BC,AE=BE(E为AB中点),∴BG=DG,∴④正确.(5)易知EG,HF分别是△ABD和△ACD的中位线,∴EG=AD,HF=AD,∴EG=FH,∴⑤正确.综上所述,结论正确的个数是4个.(4)∵EF∥BC,AE=BE(E为AB中点),【变式训练】(2012·南京模拟)如图,已知点G是梯形ABCD的中位线EF上任意一点,若梯形ABCD的面积为20cm2,则图中阴影部分的面积为

.【变式训练】(2012·南京模拟)【解析】当△AEG与△CFG以EG,FG为底时,它们的高都等于梯形ABCD的高的一半,所以图中阴影部分的面积为梯形ABCD的面积的四分之一,又因为梯形ABCD的面积为20cm2,所以图中阴影部分的面积为5cm2.答案:5cm2【解析】当△AEG与△CFG以EG,FG为底时,它们的高都等1.(2013·金华模拟)等腰梯形的腰长为10cm,周长为44cm,则它的中位线长为(

)A.34cm B.17cm C.12cm D.24cm【解析】选C.因为等腰梯形的腰长为10cm,周长为44cm,所以等腰梯形的上下底的和为44-20=24(cm),所以中位线长为12cm.1.(2013·金华模拟)等腰梯形的腰长为10cm,周长为42.(2013·石家庄模拟)如图,在梯形ABCD中,AB∥DC,AD=DC=CB,若∠ABD=25°,则∠BAD的大小是(

)A.40° B.45° C.50°D.60°【解析】选C.∵AB∥DC,∴∠BDC=∠ABD=25°,又∵DC=CB,∴∠DBC=25°,∴∠ABC=50°,∵在梯形ABCD中,AD=DC=CB,∴∠BAD=∠ABC=50°.2.(2013·石家庄模拟)如图,在梯形ABCD中,AB∥D3.(2013·海淀模拟)如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AD=2,BC=8,AC=6,BD=8,则此梯形的面积是(

)A.24 B.20 C.16 D.123.(2013·海淀模拟)如图,在梯形ABCD中,AD∥BC【解析】选A.过D作DE∥AC交BC延长线于E,可得CE=AD,DE=AC,∴BE=10,∴△BDE的三边为6,8,10,∴△BDE为直角三角形,∵△ADB和△CED等底等高,∴S梯形ABCD=S△BDE,即S梯形ABCD=6×8×=24.【解析】选A.过D作DE∥AC交BC4.(2013·柳州模拟)如图,等腰梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=45°,AD=2,BC=4,则梯形的面积为(

)A.3

B.4

C.6

D.8【解析】选A.作AE⊥BC于E,作DF⊥BC于F,则四边形AEFD是矩形,△ABE是等腰直角三角形,因为AD=2,BC=4,所以AE=BE=1,所以梯形的面积为×(2+4)×1=3.4.(2013·柳州模拟)如图,等腰梯形ABCD中,AD∥B5.(2013·济南模拟)等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AD=5cm,BC=9cm,∠C=60°,则梯形的腰长是

cm.【解析】过A作AE∥CD交BC于E,∵AD∥EC,∴EC=AD=5cm,AE=CD,∴BE=BC-EC=9-5=4(cm),∵梯形ABCD是等腰梯形,∴AB=CD,∴AB=AE.∵∠C=60°,∴△ABE是等边三角形,∴AB=BE=4cm,即梯形的腰长是4cm.答案:45.(2013·济南模拟)等腰梯形ABCD中,AD∥BC,A6.(2013·昆山模拟)如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=70°,∠C=40°,DE∥AB交BC于点E,若AD=3cm,BC=10cm,,则CD的长是

cm.6.(2013·昆山模拟)如图,在梯形ABCD中,AD∥BC【解析】∵AD∥BC,DE∥AB,∴四边形ABED为平行四边形,∴BE=AD=3cm,∵BC=10cm,∴CE=BC-BE=10-3=7(cm),又∵∠B=70°,DE∥AB,∴∠DEC=∠B=70°,∵∠C=40°,∴∠EDC=180°-∠DEC-∠C=70°,∴∠EDC=∠DEC,∴DC=EC=7cm.答案:7【解析】∵AD∥BC,DE∥AB,7.(2013·武汉模拟)等腰梯形两底之差为6,高为3,则等腰梯形的钝角为

.7.(2013·武汉模拟)等腰梯形两底之差为6,高为3,则等【解析】如图,过D作DF∥AB交BC于点F,则FC=6,由题意得△DFC为等腰三角形,高为DE,所以EF=3,所以△DEC为等腰直角三角形,所以∠C=45°,所以梯形的钝角为180°-45°=135°.答案:135°【解析】如图,过D作DF∥AB交BC于点F,则FC=6,由题8.(2013·日照模拟)如图,在四边形ABCD中,已知AB与CD不平行,∠ABD=∠ACD,请你添加一个条件:

,使得加上这个条件后能够推出AD∥BC且AB=CD.8.(2013·日照模拟)如图,在四边形ABCD中,已知AB【解析】可添加条件OB=OC,∵∠ABD=∠ACD,∠AOB=∠DOC,∴△AOB≌△DOC,∴AB=CD,OA=OD,∠BAC=∠CDB,∴∠OBC=∠OCB,∠OAD=∠ODA,∴∠BAD=∠CDA,∠ABC=∠DCB,∴∠BAD+∠ABC=∠CDA+∠DCB=180°,∴AD∥BC.答案:OB=OC(答案不唯一)【解析】可添加条件OB=OC,∵∠ABD=∠ACD,∠AOB9.(2013·潍坊模拟)如图,等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC,AC⊥BD,过D点作DE∥AC交BC的延长线于E点.(1)求证:四边形ACED是平行四边形.(2)若AD=3,BC=7,求梯形ABCD的面积.9.(2013·潍坊模拟)如图,等腰梯形【解析】(1)∵AD∥BC,∴AD∥CE.又∵DE∥AC,∴四边形ACED是平行四边形.(2)过D点作DF⊥BE于F点,∵DE∥AC,AC⊥BD,∴DE⊥BD,即∠BDE=90°.【解析】(1)∵AD∥BC,∴AD∥CE.又∵DE∥AC,由(1)知DE=AC,CE=AD=3,∵四边形ABCD是等腰梯形,∴AC=DB,∴DE=DB,∴△DBE是等腰直角三角形,∴△DFB也是等腰直角三角形,∴DF=BF=(7+3)=5,∴S梯形ABCD=(AD+BC)·DF=(7+3)×5=25.由(1)知DE=AC,CE=AD=3,1.(2012·长沙中考)下列四边形中,对角线一定不相等的是(

)A.正方形 B.矩形C.等腰梯形 D.直角梯形【解析】选D.正方形,矩形,等腰梯形的对角线都相等,只有直角梯形的对角线不相等.1.(2012·长沙中考)下列四边形中,对角线一定不相等的是2.(2012·遂宁中考)如图,等腰梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=60°,AD=2,BC=8,此等腰梯形的周长是(

)A.19 B.20 C.21 D.222.(2012·遂宁中考)如图,等腰梯形ABCD中,AD∥B【解析】选D.分别过点A,D作BC边的高,交点为M,N,如图:因为等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AD=2,BC=8,所以BM=CN=×(8-2)=3;又∠B=60°,所以所以等腰梯形ABCD的周长是:AB+BC+CD+AD=6+8+6+2=22.【解析】选D.分别过点A,D作BC边的高,交点为M,N,如图3.(2013·张家界中考)顺次连结等腰梯形四边中点所得的四边形一定是(

)A.矩形 B.正方形C.菱形 D.直角梯形【解析】选C.EF

BD,GH

BD,∴EFGH,∴四边形EFGH是平行四边形.又GF=AC,且AC=BD,∴EF=GF,∴四边形EFGH是菱形.3.(2013·张家界中考)顺次连结等腰梯形四边中点所得的四4.(2012·莱芜中考)如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠BCD=90°,BC=2AD,F,E分别是BA,BC的中点.则下列结论不正确的是(

)A.△ABC是等腰三角形B.四边形EFAM是菱形C.S△BEF=S△ADCD.DE平分∠FDC4.(2012·莱芜中考)如图,在梯形ABCD中,AD∥BC【解析】选D.在梯形ABCD中,AD∥BC,BC=2AD,点E是BC中点,所以四边形ADEB是平行四边形,AB=DE,又直角三角形ADC与直角三角形ECD的两条直角边AD=CE,CD=CD,所以它们全等,故DE=AC=AB,△ABC是等腰三角形;EF∥AC,EM∥AB,所以四边形AFEM是平行四边形,又EF=AF=AB,故四边形EFAM是菱形;点F是AB的中点,所以点F到BC边的距离是点D到BC的距离的一半,而BE=AD,所以S△BEF=S△ADC;A,B,C都正确.【解析】选D.在梯形ABCD中,AD∥BC,BC=2AD,点5.(2013·巴中中考)如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,点E,F分别是AB,CD的中点且EF=6,则AD+BC的值是(

)A.9

B.10.5C.12

D.15【解析】选C.因为梯形的中位线的长等于两底和长的一半,所以AD+BC=2EF=12.5.(2013·巴中中考)如图,在梯形6.(2013·六盘水中考)如图,梯形ABCD中,AD∥BC,AD=4,AB=5,BC=10,CD的垂直平分线交BC于E,连结DE,则四边形ABED的周长等于

.【解析】由垂直平分线的性质可知DE=CE,所以四边形ABED的周长=AD+AB+BE+DE=4+5+BE+CE=9+BC=9+10=19.答案:196.(2013·六盘水中考)如图,梯形ABCD中,AD∥BC7.(2012·厦门中考)如图,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,对角线AC与BD相交于点O,若OB=3,则OC=

.【解析】∵四边形ABCD为等腰梯形,∴AB=DC,AC=DB,∵BC=CB,∴△ACB≌△DBC,∴∠ACB=∠DBC,∴OB=OC=3.答案:37.(2012·厦门中考)如图,在等腰梯形ABCD中,AD∥8.(2012·丹东中考)如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,E是CD的中点,连结AE并延长交BC的延长线于点F,且AB⊥AE.若AB=5,AE=6,则梯形上下底之和为

.8.(2012·丹东中考)如图,在梯形ABCD中,AD∥BC【解析】∵AD∥BC,∴∠DAE=∠F,又∵E是CD的中点,∴DE=CE,又∠AED=∠FEC,∴△AED≌△FEC,∴AE=EF=6,即AF=12,AD=CF,又∵AB⊥AE,AB=5,∴BF=BC+CF=BC+AD=13.答案:13【解析】∵AD∥BC,∴∠DAE=∠F,又∵E是CD的中点,9.(2012·盐城中考)如图所示,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠BDC=90°,E为BC上一点,∠BDE=∠DBC.(1)求证:DE=EC.(2)若AD=BC,试判断四边形ABED的形状,并说明理由.9.(2012·盐城中考)如图所示,在梯形ABCD中,AD∥【解析】(1)∵∠BDC=90°,∴∠BDE+∠CDE=90°,∠DBC+∠C=90°,∵∠BDE=∠DBC,∴∠CDE=∠C,∴DE=EC.(2)∵∠BDE=∠DBC,∴BE=DE,∴BE=EC,又∵AD=BC,∴AD=BE,又∵AD∥BC,∴四边形ABED是平行四边形,又∵BE=DE,∴四边形ABED是菱形.【解析】(1)∵∠BDC=90°,∴∠BDE+∠CDE=90【变式训练】(2013·临沂中考)如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，DE⊥BC，BD⊥DC，垂足分别为E，D,DE=3，BD=5，则腰长AB=

.【变式训练】(2013·临沂中考)【解析】因为DE⊥BC,DE=3,BD=5,所以BE=4.设EC=x,则DC2=DE2+x2=9+x2.又因为BD⊥DC,所以BC2-BD2=DC2,即(4+x)2-52=x2+9,解得所以又∵在等腰梯形ABCD中AB=CD,∴AB=.答案:【解析】因为DE⊥BC,DE=3,BD=5,所以BE=4.梯形复习课件1通用梯形复习课件1通用有关的数学名言

数学知识是最纯粹的逻辑思维活动，以及最高级智能活力美学体现。——普林舍姆

历史使人聪明，诗歌使人机智，数学使人精细。——培根

数学是最宝贵的研究精神之一。——华罗庚

没有哪门学科能比数学更为清晰地阐明自然界的和谐性。——卡罗斯

数学是规律和理论的裁判和主宰者。——本杰明

有关的数学名言第二十二讲梯形第二十二讲梯形1.了解:梯形的有关概念.2.理解:等腰梯形的性质和一个四边形是等腰梯形的条件.3.掌握:梯形的概念和性质;梯形中位线的概念与性质.4.会:利用梯形的性质和判定进行计算和证明.1.了解:梯形的有关概念.一、梯形1.定义：一组对边_____而另一组对边_______的四边形叫做梯形.2.面积计算：S梯形=_________(其中a，b分别为梯形的上、下底，h为梯形的高).平行不平行一、梯形平行不平行二、等腰梯形的性质和判定性质判定1.同一底边上的_________相等.2.等腰梯形的两条_______相等.3.等腰梯形是___对称图形.1._____相等的梯形是等腰梯形(定义).2.在同一底上的_______相等的梯形是等腰梯形.3.两条_______相等的梯形是等腰梯形.两个内角对角线轴两腰两个角对角线二、等腰梯形的性质和判定性质判定1.同一底边上的_____三、梯形的中位线及面积

概念连结梯形两腰中点的线段中位线的性质

(a,b表示上、下底,h表示高,l表示中位线)1.l∥a∥__2.l=(__+__)面积S梯形=_______=lhab(a+b)hb三、梯形的中位线及面积概念连结梯形两腰中点的线段中位线的性1.下列说法正确的是()A.有一组对边平行的四边形是梯形B.一组对边平行且不相等的四边形是梯形C.有两个角是直角的四边形是直角梯形D.有两个角相等的梯形是等腰梯形2.若梯形的面积为8cm2,高为2cm,则此梯形的中位线长是__cm.B41.下列说法正确的是()B43.如图,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=60°,AD=4,BC=7,则梯形ABCD的周长是___.173.如图,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=60°,A4.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,E是AB的中点,若△DEC的面积为S,则四边形ABCD的面积为___.2S4.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,E是AB的中点,若热点考向一等腰梯形的性质

【例1】(2013·杭州中考)如图,在等腰梯形ABCD中,AB∥DC,线段AG,BG分别交CD于点E,F,DE=CF.求证:△GAB是等腰三角形.热点考向一等腰梯形的性质

【思路点拨】证△DAE≌△CBF→∠DAE=∠CBF→∠GAB=∠GBA→△GAB是等腰三角形【自主解答】∵在等腰梯形ABCD中,AD=BC,∠D=∠C,而DE=CF,∴△DEA≌△CFB(SAS),则∠DAE=∠CBF.又∵等腰梯形ABCD中,∠DAB=∠CBA,∴∠EAB=∠FBA,∴GA=GB,则△GAB为等腰三角形.【思路点拨】【名师助学】梯形中常用的九类辅助线【名师助学】梯形中常用的九类辅助线热点考向二等腰梯形的判别

【例2】(2012·襄阳中考)如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,E为BC的中点,BC=2AD,EA=ED=2,AC与ED相交于点F.(1)求证:梯形ABCD是等腰梯形.(2)当AB与AC具有什么位置关系时,四边形AECD是菱形?请说明理由.热点考向二等腰梯形的判别

【思路点拨】(1)→△AEB≌△DEC→AB=DC→等腰梯形(2)AD∥BC，EB=EC=AD→平行四边形AECD→菱形AECD梯形ABCDE为BC的中点，EA=ED【思路点拨】(1)【自主解答】(1)如图，∵AD∥BC，∴∠1＝∠DAE，∠2＝∠3.∵EA＝ED，∴∠DAE＝∠3.∴∠1＝∠2.又∵EB＝EC，∴△AEB≌△DEC.∴AB＝DC，∴梯形ABCD是等腰梯形.【自主解答】(1)如图，∵AD∥BC，(2)当AB⊥AC时四边形AECD是菱形.证明：∵AD∥BC，EB＝EC＝AD，∴四边形ABED和四边形AECD都是平行四边形.∴AB＝DE.∵AB⊥AC，EB＝EC，∴AE＝EB＝EC.∴四边形AECD是菱形.(2)当AB⊥AC时四边形AECD是菱形.【互动探究】在(1)(2)的条件下,四边形ABED是菱形吗?提示:是,由(2)的证明得四边形AECD是菱形,四边形ABED是平行四边形,∴DC=EC,又∵梯形ABCD是等腰梯形,∴AB=DC,∵E为BC的中点,∴BE=EC,∴AB=BE,∴四边形ABED是菱形.【互动探究】在(1)(2)的条件下,四边形ABED是菱形吗?【名师助学】等腰梯形的三种判定方法1.定义:梯形→两腰相等→等腰梯形.2.角:梯形→同一底上的两个内角相等→等腰梯形.3.对角线:梯形→对角线相等→等腰梯形.【名师助学】等腰梯形的三种判定方法热点考向三梯形的有关计算

【例3】(2013·扬州中考)如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=AD=CD,BC=12,∠ABC=60°,则梯形ABCD的周长为

.【思路点拨】过A作AE∥DC,得▱ADCE和等边△ABE,求出BE=AB=AE=DC=AD=CE.热点考向三梯形的有关计算

【自主解答】过A作AE∥DC交BC于E.∵AD∥BC,∴四边形ADCE是平行四边形,∴AD=EC=DC,AE=DC,∵AB=DC,∴AB=AE,又∠ABC=60°,∴△ABE是等边三角形,∴BE=AB=AE=DC=AD=EC,∵BC=12,∴AB=AD=DC=6,∴梯形ABCD的周长是AD+DC+BC+AB=6+6+12+6=30.答案:30【自主解答】过A作AE∥DC交BC于E.【名师助学】1.梯形的有关计算一般是指梯形的腰长、高、中位线、周长、面积以及底角的相关计算.采用的方法一般是对梯形作高线、对角线、中位线、作一腰的平行线或延长两腰等,利用三角形或平行四边形的知识求解.2.注意事项:(1)梯形的两条对角线互相垂直时,梯形的面积等于梯形的两条对角线乘积的一半.(2)在直角梯形中,梯形的高是直角梯形中垂直于上下底的腰.【名师助学】梯形的中位线【典例】(2012·滨州中考)我们知道“连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线”,“三角形的中位线平行于三角形的第三边,且等于第三边的一半”.类似地,我们连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,点E,F分别是AB,CD的中点,那么EF就是梯形ABCD的中位线.通过观察、测量,猜想EF和AD,BC有怎样的位置和数量关系?并证明你的结论.梯形的中位线【思路点拨】创新点让学生借助三角形中位线定理推导、证明梯形中位线定理突破口(1)连结AF并延长交BC的延长线于点G(2)证明△ADF≌△GCF【思路点拨】创新点让学生借助三角形中位线定理推导、证明梯形中【自主解答】结论为：EF∥AD∥BC,EF=(AD+BC).证明：连结AF并延长交BC的延长线于点G.∵AD∥BG,∴∠DAF=∠G,在△ADF和△GCF中,∠DAF=∠G，∠DFA=∠CFG，

DF=FC，【自主解答】结论为：EF∥AD∥BC,EF=(AD+B∴△ADF≌△GCF.∴AF=FG,AD=CG.又∵AE=EB,∴EF∥BG,EF=BG,即EF∥AD∥BC,EF=(AD+BC).∴△ADF≌△GCF.【思考点评】1.方法感悟:梯形的中位线是梯形中的一条重要线段,由于它的性质与线段的中点及平行线紧密相连,因此,它在几何图形的计算及证明中有着广泛的应用.2.技巧提升:(1)过梯形一腰的中点,作底边的平行线,必平分另一腰.(2)如果把三角形看成是上底为零时的梯形,这时梯形的中位线就变成三角形的中位线.【思考点评】【学以致用】(2012·达州中考)如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,E,F分别是AB,CD的中点,则下列结论:①EF∥AD;②S△ABO=S△DCO;③△OGH是等腰三角形;④BG=DG;⑤EG=HF.其中正确的个数是(

)A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【学以致用】【解析】选D.(1)根据梯形的中位线定理可推出①正确.(2)△ABD和△ACD是同底等高的两个三角形,所以面积相等,都减去△AOD的面积,即S△ABO=S△DCO,故②正确.(3)∵EF∥BC,∴∠OGH=∠OBC,∠OHG=∠OCB,已知四边形ABCD是梯形,不一定是等腰梯形,即∠OBC和∠OCB不一定相等,即∠OGH和∠OHG不一定相等,∠GOH和∠OGH或∠OHG也不能证出相等,∴△OGH是等腰三角形不对,∴③错误.【解析】选D.(1)根据梯形的中位线定理可推出①正确.(4)∵EF∥BC,AE=BE(E为AB中点),∴BG=DG,∴④正确.(5)易知EG,HF分别是△ABD和△ACD的中位线,∴EG=AD,HF=AD,∴EG=FH,∴⑤正确.综上所述,结论正确的个数是4个.(4)∵EF∥BC,AE=BE(E为AB中点),【变式训练】(2012·南京模拟)如图,已知点G是梯形ABCD的中位线EF上任意一点,若梯形ABCD的面积为20cm2,则图中阴影部分的面积为

.【变式训练】(2012·南京模拟)【解析】当△AEG与△CFG以EG,FG为底时,它们的高都等于梯形ABCD的高的一半,所以图中阴影部分的面积为梯形ABCD的面积的四分之一,又因为梯形ABCD的面积为20cm2,所以图中阴影部分的面积为5cm2.答案:5cm2【解析】当△AEG与△CFG以EG,FG为底时,它们的高都等1.(2013·金华模拟)等腰梯形的腰长为10cm,周长为44cm,则它的中位线长为(

)A.34cm B.17cm C.12cm D.24cm【解析】选C.因为等腰梯形的腰长为10cm,周长为44cm,所以等腰梯形的上下底的和为44-20=24(cm),所以中位线长为12cm.1.(2013·金华模拟)等腰梯形的腰长为10cm,周长为42.(2013·石家庄模拟)如图,在梯形ABCD中,AB∥DC,AD=DC=CB,若∠ABD=25°,则∠BAD的大小是(

)A.40° B.45° C.50°D.60°【解析】选C.∵AB∥DC,∴∠BDC=∠ABD=25°,又∵DC=CB,∴∠DBC=25°,∴∠ABC=50°,∵在梯形ABCD中,AD=DC=CB,∴∠BAD=∠ABC=50°.2.(2013·石家庄模拟)如图,在梯形ABCD中,AB∥D3.(2013·海淀模拟)如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AD=2,BC=8,AC=6,BD=8,则此梯形的面积是(

)A.24 B.20 C.16 D.123.(2013·海淀模拟)如图,在梯形ABCD中,AD∥BC【解析】选A.过D作DE∥AC交BC延长线于E,可得CE=AD,DE=AC,∴BE=10,∴△BDE的三边为6,8,10,∴△BDE为直角三角形,∵△ADB和△CED等底等高,∴S梯形ABCD=S△BDE,即S梯形ABCD=6×8×=24.【解析】选A.过D作DE∥AC交BC4.(2013·柳州模拟)如图,等腰梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=45°,AD=2,BC=4,则梯形的面积为(

)A.3

B.4

C.6

D.8【解析】选A.作AE⊥BC于E,作DF⊥BC于F,则四边形AEFD是矩形,△ABE是等腰直角三角形,因为AD=2,BC=4,所以AE=BE=1,所以梯形的面积为×(2+4)×1=3.4.(2013·柳州模拟)如图,等腰梯形ABCD中,AD∥B5.(2013·济南模拟)等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AD=5cm,BC=9cm,∠C=60°,则梯形的腰长是

cm.【解析】过A作AE∥CD交BC于E,∵AD∥EC,∴EC=AD=5cm,AE=CD,∴BE=BC-EC=9-5=4(cm),∵梯形ABCD是等腰梯形,∴AB=CD,∴AB=AE.∵∠C=60°,∴△ABE是等边三角形,∴AB=BE=4cm,即梯形的腰长是4cm.答案:45.(2013·济南模拟)等腰梯形ABCD中,AD∥BC,A6.(2013·昆山模拟)如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=70°,∠C=40°,DE∥AB交BC于点E,若AD=3cm,BC=10cm,,则CD的长是

cm.6.(2013·昆山模拟)如图,在梯形ABCD中,AD∥BC【解析】∵AD∥BC,DE∥AB,∴四边形ABED为平行四边形,∴BE=AD=3cm,∵BC=10cm,∴CE=BC-BE=10-3=7(cm),又∵∠B=70°,DE∥AB,∴∠DEC=∠B=70°,∵∠C=40°,∴∠EDC=180°-∠DEC-∠C=70°,∴∠EDC=∠DEC,∴DC=EC=7cm.答案:7【解析】∵AD∥BC,DE∥AB,7.(2013·武汉模拟)等腰梯形两底之差为6,高为3,则等腰梯形的钝角为

.7.(2013·武汉模拟)等腰梯形两底之差为6,高为3,则等【解析】如图,过D作DF∥AB交BC于点F,则FC=6,由题意得△DFC为等腰三角形,高为DE,所以EF=3,所以△DEC为等腰直角三角形,所以∠C=45°,所以梯形的钝角为180°-45°=135°.答案:135°【解析】如图,过D作DF∥AB交BC于点F,则FC=6,由题8.(2013·日照模拟)如图,在四边形ABCD中,已知AB与CD不平行,∠ABD=∠ACD,请你添加一个条件:

,使得加上这个条件后能够推出AD∥BC且AB=CD.8.(2013·日照模拟)如图,在四边形ABCD中,已知AB【解析】可添加条件OB=OC,∵∠ABD=∠ACD,∠AOB=∠DOC,∴△AOB≌△DOC,∴AB=CD,OA=OD,∠BAC=∠CDB,∴∠OBC=∠OCB,∠OAD=∠ODA,∴∠BAD=∠CDA,∠ABC=∠DCB,∴∠BAD+∠ABC=∠CDA+∠DCB=180°,∴AD∥BC.答案:OB=OC(答案不唯一)【解析】可添加条件OB=OC,∵∠ABD=∠ACD,∠AOB9.(2013·潍坊模拟)如图,等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC,AC⊥BD,过D点作DE∥AC交BC的延长线于E点.(1)求证:四边形ACED是平行四边形.(2)若AD=3,BC=7,求梯形ABCD的面积.9.(2013·潍坊模拟)如图,等腰梯形【解析】(1)∵AD∥BC,∴AD∥CE.又∵DE∥AC,∴四边形ACED是平行四边形.(2)过D点作DF⊥BE于F点,∵DE∥AC,AC⊥BD,∴DE⊥BD,即∠BDE=90°.【解析】(1)∵AD∥BC,∴AD∥CE.又∵DE∥AC,由(1)知DE=AC,CE=AD=3,∵四边形ABCD是等腰梯形,∴AC=DB,∴DE=DB,∴△DBE是等腰直角三角形,∴△DFB也是等腰直角三角形,∴DF=BF=(7+3)=5,∴S梯形ABCD=(AD+BC)·DF=(7+3)×5=25.由(1)知DE=AC,CE=AD=3,1.(2012·长沙中考)下列四边形中,对角线一定不相等的是(

)A.正方形 B.矩形C.等腰梯形 D.直角梯形【解析】选D.正方形,矩形,等腰梯形的对角线都相等,只有直角梯形的对角线不相等.1.(2012·长沙中考)下列四边形中,对角线一定不相等的是2.(2012·遂宁中考)如图,等腰梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=60°,AD=2,BC=8,此等腰梯形的周长是(

)A.19 B.20 C.21 D.222.(2012·遂宁中考)如图,等腰梯形ABCD中,AD∥B【解析】选D.分别过点A,D作BC边的高,交点为M,N,如图:因为等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AD=2,BC=8,所以BM=CN=×(8-2)=3;又∠B=60°,所以所以等腰梯形ABCD的周长是:AB+BC+CD+AD=6+8+6+2=22.【解析】选D.分别过点A,D作BC边的高,交点为M,N,如图3.(2013·张家界中考)顺次连结等腰梯形四边中点所得的四边形一定是(

)A.矩形 B.正方形C.菱形 D.直角梯形【解析】选C.EF

BD,GH

BD,∴EFGH,∴四边形EFGH是平行四边形.又GF=AC,且AC=BD,∴EF=GF,∴四边形EFGH是菱形.3.(2013·张家界中考)顺次连结等腰梯形四边中点所得的四4.(2012·莱芜中考)如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠BCD=90°,BC=2AD,F,E分别是BA,BC的中点.则下列结论不正确的是(

)A.△ABC是等腰三角形B.四边形EFAM是菱形C.S△BEF=S△ADCD.DE平分∠FDC4.(2012·莱芜中考)如图,在梯形ABCD中,AD∥BC【解析】选D.在梯形ABCD中,AD∥BC,BC=