2012年高考数学试题分类汇编三角函数

20122012年高考真题理科数学解析汇编：三角函数一、选择题1.（年高考（天津理））在€ABC中内角ABC所对的边分别是a,b,c已知8b=5cC=2B则cosC=A．7258b=5cC=2B则cosC=A．725B．72524D-25年高考（天津理））设„eR则“年高考（天津理））设„eR则“„=0”是“f(x)=cos(x+„)(x…R)为偶函数”的A.充分而不必要条件C.充分必要条件（）B.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件兀兀年高考（新课标理））已知①〉0函数f（x）二sm@x+4）在（亍兀）上单调递减则®的取值范围是A.[J,5减则®的取值范围是A.[J,5]24B.[1,4]241C.(0，2]()D.(0,2]年高考（浙江理））把函数的图像上所有点的横坐标伸长到原来的20122012年高考真题理科数学解析汇编：三角函数（年高考（重庆理））设tana,tan卩是方程x2，3x+2二0的两个根则tan（a+卩）的值为（）A.—3B.，1C.D..（年高考（上海理））在€ABC中若sin2A+sin2B<sin2C则€ABC的形状是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不能确定•（年高考（陕西理））在€ABC中角A,B,C所对边长分别为a,b,c若a2+b2二2c2则cosC的最小值为

A．B．C．D．A．年高考（山东理））若,…B．sin2,=318则sin,=A．B．C．D．A．年高考（山东理））若,…B．sin2,=318则sin,=D．)已知sin<—cos<=、『2n贝I」tan<A.—B.2C.D.11(201年2高考（江西理）)若,tan,则，1111A.B.—C.—D.-5432(201年2高考（湖南理））函数x的值域为1年高考（辽宁理）A．B.-3羽C．D.-32<3~2A.年高考（大纲理））已知＜为第二象限角sin<+cos<=则cos2<=B.二、填空题3（年高考（重庆理））设AABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c且35cosA=—,cosB=,b=3,则c=513年高考（上海春））函数f（x）=sin（2x+扌）的最小正周期为年高考（江苏））设＜年高考（江苏））设＜为锐角'若cos<—'6丿.兀则sin(2a+12)的值为20122012年高考真题理科数学解析汇编：三角函数20122012年高考真题理科数学解析汇编：三角函数（年高考（湖南理））函数函数y=f-（x）的部分图像如图所示其中20122012年高考真题理科数学解析汇编：三角函数轴的交点A为图像与轴的两个交点B为图像的最低点€3、込若X石点的坐标为（亍）则e=（若在曲线段ABC与轴所围成的区域内随机取一点则该点在厶ABC内的概率为（年高考（湖北理））设厶ABC的内角ABC所对的边分别为abc若（a„b-c）（a„b„c），ab贝I」角C，（年高考（福建理））已知AABC得三边长成公比为J2的等比数列则其最大角的余弦值为.（年高考（大纲理））当函数y，sinx-『3cox（总xV兀2取得最大值1cosB，-1cosB，-（年高考（北京理））在厶ABC中若a，2b+c，7b，年高考（安徽理））设AABC的内角A,B,C所对的边为a,b,c则下列命题正确的是€①若€①若ab>c2则CV3€③若a3„b3，c3则CV2€②若a+b>2c则CV3€④若(a„b)cV2ab则C>—2⑤若(a2+b2)c2v2a2b2则C三、解答题€€年高考(天津理))已知函数f(x)=sin(2x+—)+sin(2x-—)+2cos2x-1xeR（I）求函数f（x）的最小正周期€€（ii）求函数f（x）在区间［rF上的最大值和最小值（年高考（浙江理））在△ABC中内角ABC的对边分别为已知A2B=nC3（I）求C的值仃I）若屁求△ABC的面积年高考(重庆理))年高考(重庆理))(本小题满分分(I)小问分(II)小问分)20122012年高考真题理科数学解析汇编：三角函数设f（x）其中①＞0.„4cos（①x一）sin①x一cos设f（x）其中①＞0.6(I)求函数y„f(x)的值域仃I)若f(x)在区间-，込上为增函数求①的最大值(年高考(四川理))函数f(x)„6cos2可+爲cos①x-3(①〉0)在一个周期内的图象如图所示A为图象的最高点B、C为图象与x轴的交点形.求®的值及函数f(x)的值域；若f(x)„卑3且xg(-10,2)求f(x+1)的值050330BC为正三角(201年2高考(上海理))海事救援船对一艘失事船进行定位:以失事船的当前位置为原点以正北方向为轴BC为正三角正方向建立平面直角坐标系(以1海里为单位长度),则救援船恰在失事船的正南方向1海里处如图现假设:①失事船的移动路径可视为抛物线y„12x2:②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援;③救49援船出发t小时后失事船所在位置的横坐标为7t(当t„0.5时写出失事船所在位置的纵坐标若此时两船恰好会合,求救援船速度的大小和方向;20122012年高考真题理科数学解析汇编：三角函数20122012年高考真题理科数学解析汇编：三角函数(2)问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船(年高考(陕西理))函数f(x)，Asin(①x—；)+1(A…0,①…0)的最大值为6€其图像相邻两条对称轴之间的距离为2(求函数f(x)的解析式兀aAcosx<3cos2x)(A…0)(设aG(0,~)则f(—),2Acosx<3cos2x)(A…0)年高考(山东理))已知向量m，(sinx,1),n，(J3a函数f(x)，m-n的最大值为(I)求A€仃I)将函数y，f(x)的图象向左平移12个单位再将所得图象上各点的横坐标缩短为5€原来的2倍纵坐标不变得到函数y，g(x)的图象求g(x)在［°，茹］上的值域(年高考(辽宁理))在AABC中角A、B、C的对边分别为角ABC成等差数列(I)求cosB的值仃I)边成等比数列求sinAsinC的值(年高考(江西理))在厶ABC中角AB啲对边分别为€€€知A，一,bsin(+C)一csin(+B)，a444(求证B一C,2(若a={2求厶ABC的面积

>>>>(年高考(江苏))在€ABC中已知AB,AC=3BA,BC(求证tanB=3tanA(若cosC吕,求的值．(2012年高考(湖北理))已知向量a=(cos,x一sin,x,sin,x)b=(-cos,x-sin,x,2J3cos，x)设函数f(x)=a…b+„(xgR)的图象关于直线x=n对称其中,„为常数且，丘(-,1)2(I)求函数f(x)的最小正周期仃I)若y=f(x)的图象经过点(n,0)求函数f(x)在区间［0,迹］上的取值范围45(年高考(广东理))(三角函数)已知函数f(x)=2cos，x+—(其中，‘0xgR)k6丿的最小正周期为10兀(I)求，的值(II)设'、(II)设'、“g1617求cos('+“)的值(201年2高考(福建理))某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数()sin213°+cos17°-sin13°cos17°()sin215°+cos15°-sin15°cos15°()sin218°+cos12°-sin18°cos12°(4)sin2(-18°)+cos48°-sin(-18°)cos48°20122012年高考真题理科数学解析汇编：三角函数()in2(—25°)+cos55。—sin(—25°)cos55oI试从上述五个式子中选择一个求出这个常数II根据(I)的计算结果将该同学的发现推广三角恒等式并证明你的结论(201年2高考(大纲理))(注．意．:．在．试．卷．上．作．答．无．效．)AABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c已知cos(A一C)+cosB„1,a„2c求C(sinx—cosx)sin2x(年高考(北京理))已知函数f(x)„:sinx(求f(x)的定义域及最小正周期(求f(x)的单调递增区间(年高考(安徽理))设函数f(x)„〒cos(2x,-),sing(x)„-—f(x)求函数g(x)g(x)„-—f(x)求函数g(x)在［-…,0］上的解析式(求函数f(x)的最小正周期…(设函数g(x)对任意xGR有g(x+—)„g(x)且1年2高考真题理科数学解析汇编：三角函数参考答案1年2高考真题理科数学解析汇编：三角函数参考答案20122012年高考真题理科数学解析汇编：三角函数、选择题【答案】【命题意图】本试题主要考查了正弦定理、三角函数中的二倍角公式.考查学生分析、转化与计算等能力【解析】*.*8b=5c,由正弦定理得8sinB=5sinC，又:C=2B,:.8sinB=5sin2B,所sB€以8BsiB4,i*.cosB=5,cosC=cos2B=2cos2B-1725【答案】【命题意图】本试题主要考查了三角函数的奇偶性的判定以及充分条件与必要条件的判定.【解析】•：,=0nf(x)=cos(x+,)(x„R)为偶函数，反之不成立,=0”是“f(x)=cos(x+,)(x„R)为偶函数”的充分而不必要条件【解析】选A…5…9…®—2n（①x+）„［二-，］不合题意排除（D）444…3…5…①二1n（①x+）„［,］合题意排除（B）（C）444另cd（…一…）<…0①<2（①x+—）„[—rn+—,…rn+—]<[—°3…]24244223—15<o<d<—224得-①+一\,…①+一2424【答案】【解析】把函数=的图像上所有点的横坐标伸长到原来的倍纵坐标不变得=向左平移个单位长度得=再向,下平移个单位长度【解析】ta+卩=aaP=nta+a+P=n—1+aPa—=-tP—tn得=令=得=—-1，得=观察即得答案3323【答案】【考点定位】此题考查学生灵活运用韦达定理及两角和的正切公式化简求值解析由条件结合正弦定理，得a2+b2<c2,再由余弦定理，得cosC=a2+b2-c2<0,2ab所以是钝角，选a2+b2一c2a2+b21,解析由余弦定理得，cosC==当且仅当a=b时取“=”，选2ab4ab220122012年高考真题理科数学解析汇编：三角函数【解析】因为—0G—迈],所以—20G[―,兀]2cos20„0,所以co20s=1-si2n201^一又cos20=1-2sin201^一所以88sin20=93sin0=选164答案】解析一】€•sin€一cos€=、2；2sin(€-—)f'2,二sin(€)二144•€€G(0,、3—4兀),.•.€=tan€=-1故选4【解析二】€•sin€-cos€=2,:.(sin€-cos€)2=2,/.sin2€=-1,3—•€€G(0,兀),2€G(0,2—),2€=——2.tan€=-1故选【点评】本题主要考查三角函数中的和差公式、倍角公式、三角函数的性质以及转化思想和运算求解能力难度适中i【解析】本题考查三角恒等变形式以及转化与化归的数学思想因为tan,+1

tan,sin,cos,sin2,+cos2,+=cos,sin,sin,cos,1sin2,2=420122012年高考真题理科数学解析汇编：三角函数1sin20=—2【点评】本题需求解正弦值显然必须切化弦因此需利用公式tan0【点评】本题需求解正弦值显然必须切化弦因此需利用公式tan0=sin0cos,转化;另20122012年高考真题理科数学解析汇编：三角函数20122012年高考真题理科数学解析汇编：三角函数外sin20+cos20在转化过程中常与“1”互相代换从而达到化简的目的关于正弦、余弦的齐次分式常将正弦、余弦转化为正切即弦化切达到求解正切值的目的体现考纲中要求理解三角函数的基本关系式,二倍角公式.来年需要注意二倍角公式的正用,逆用等11【答案】【解析】=sinx-空cosx+-sinx=2•/sin(x-—)g[-1,1].f(x)值域为-3v36【点评】利用三角恒等变换把f(x)化成Asino(x+申的形式利用sino(x+申g[-]1求得f(x)的值域1答案

【命题意图】本试题主要考查了三角函数中两角和差的公式以及二倍角公式的运用.首先利用平方法得到二倍角的正弦值,然后然后利用二倍角的余弦公式,将所求的转化为单角的正弦值和余弦值的问题.【解析】sin€【解析】sin€+cos€，,.-3才，两边平方可得1+sin2a，12

nsin2a，„33•€€是第二象限角，因此•€€是第二象限角，因此sina…0,cosa<0,所以cosa—sinacosa—sina)2，—；1+—,—^il5:.cos2a，cos:.cos2a，cos2a—sin2a，(cosa+sina)(cosa—sina)，3法二:单位圆中函数20122012年高考真题理科数学解析汇编：三角函数20122012年高考真题理科数学解析汇编：三角函数线估算，因为a是第二象限的角，又sina+cosa，書…；所以“正弦线”要比“余弦线”长一半多点，如图，故cos2a的“余弦线”应选A二、填空题答案】解析】14c答案】解析】14c，-535由cosA，,cosB，nsinA，5133x4bsinA3513a，，，—sinB125135，sinB，12，由正弦定理aA，bB513sinAsinB20122012年高考真题理科数学解析汇编：三角函数a2a2，c2+b2—2bccosAn25c2—90c+56，0nc，5【考点定位】利用同角三角函数间的基本关系求出sinB的值是本题的突破点，然后利

用正弦定理建立已知和未知之间的关系，同时要求学生牢记特殊角的三角函数值.兀答案】考点】解析】-<250答案】考点】解析】-<250同角三角函数，倍角三角函数，和角三角函数兀Va为锐角，即0<aV—,2兀兀兀兀2兀<a+—<+—=-66263cossincossinsin，2sincos=2d3匸里sin，2sincos=2d3匸里5525cos12a+玛I3丿725HYPERLINK\h\z25225250€3,3,3

~T€解析】y二f'(x)=<cos(<x+申)当甲二点的坐标为解析】6HYPERLINK\h\z€€€€因为/(x)在区间［^—，&］上是增函数在区间［—,丁］上是减函数又4884/(—)=，1,()=、：2,/(,)=1故函数/(x)在区间［,,,］上的最大值为248444最小值为，1【点评】该试题关键在于将已知的函数表达式化为y=Asin(<x+申)的数学模型再根

据此三角模型的图像与性质进行解题即可.【.解析】本题主要考察三角恒等变换,正弦定理,余弦定理及三角形面积求法等知识点八、、(I)Tcoscos〉0,.°.sin3sin据此三角模型的图像与性质进行解题即可.【.解析】本题主要考察三角恒等变换,正弦定理,余弦定理及三角形面积求法等知识点八、、(I)Tcoscos〉0,.°.sin3sinB=sin(A+C)v1一cos2A=sinAcosC+sinCcos<52.——cos-sin33整理得=5又由正弦定理知acsinAsinC故c解（）（得b=J3ob2,c2一a2b2,c2一a222bc=3空(舍去)3【答案】（—）乎.【考点定位】本题以三角函数的化简求值为主线,三角函数的性质为考查目的的一道综合题,考查学生分析问题解决问题的能力,由正弦函数的单调性结合条件可列'3„兀——n——2一4…,从而解得…的取值范围，即可得…的最在值兀兀—<一cos…x,-sin…cos…x,-sin…xsin…x,cos2…x20122012年高考真题理科数学解析汇编：三角函数20122012年高考真题理科数学解析汇编：三角函数…x+2sin2…x+cos2…x—sin2…x=、：'3sin2…x+1因—1<sin2…x<1,所以函数y=f(x)的值域为-1-w’3，1+V3•）因y=sinx在每个闭区间）因y=sinx在每个闭区间2k„-1，2„+1(k£Z)上为增函数,故f(x)f(x)=J3sin2…x,1(…〉0)在每个闭区间k„„k„„——+…4…'…4…（keZ）上为增函3€€3€€k€—€,k€€—•)~~„—-•)—+…22」4®®4®依题意知对某个k<Z成立此时必有k二0于是厂3€€——n——<24①解得①‘1故®的最大值为1€‘€66、2一4®解析］(1)由已知可得:(X)二6COS2€sin①x=23sin(①x+y)又由于正三角形的高为3则2€€所以函数f(x)的周期T=4”2=8，即——=8，得®®4所以函数f(x)的值域为［-23,23］仃I)因为f(x)=853,由(I)有05f(xo)=2<(-巴？)，得竺+€)<(上,€34322€x€€x€所以即cos(寸+3=€x1-(54)2TOC\o"1-5"\h\z€x€€€x€€故f(xo+1二23sin(寸+4+3二23sin[G4°+3)+4]€x€€€x€€3[sm(—o+)cos—+cos(o+)sm344343(42丄32)25276点评］本题主要考查三角函数的图像与性质同三角函数的关系、两角和的正(余)弦公

式、二倍角公式等基础知识,考查运算能力,考查树形结合、转化等数学思想2解(1)€0.5时，的横坐标7t€子，代入抛物线方程y€12x2P249中，得的纵坐标3由949，得救援船速度的大小为949海里时2由tanZ€千，得Zatan故救援船速度的方向3+123030为北偏东atan弧度30⑵设救援船的时速为v海里，经过t小时追上失事船，此时位置为(7t,12t2)由vt€(71)2+(1212+12)2，整理得V2€144(12+亠)+337t2因为12+壬，2，当且仅当11时等号成立，t2所以v2,144x2+337=252，即v,25因此,救援船的时速至少是2海里才能追上失事船2解析:(1)：°函数f(x)的最大值为3，.°.A+1€3,即A=2•・•函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为-,・••最小正周期为T€„・•・…€2，故函数f(x)的解析式为y€sin(2x-”+1a兀(2)Vf()€2sin(a-)+1€226即sin(a-—)€12•/0<a<—一一<a-—<一2663A(„'Asin2xA(„'Asin2x+—cos2x=Asin2x+—，2I6丿，„<A3f(x)€m-n€3Acosxsinx+cos2x=-22仃I)函数的图象像左平移12个单位得到函数y€6sin[2(x+12)+6]的图象,再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数4420122012年高考真题理科数学解析汇编：三角函数€g(x)，6sin(4x+3)当xg[0,]时4x+w[—,],sin(4x+)g[„,1]g(x)w[—3,6]24336325€故函数g(x)在[0,牙]上的值域为[—3,6]€€另解由g(x)，6sin(4x+y)可得g'(x)，24cos(4x+亍)令g'(x)，0TOC\o"1-5"\h\z€€5€€则4x+，k€+(kgZ)而xg[0,]则x，-22424€€€5€7€于是g(0),6sin，33,g()，6sin，6,g()，6sin，—332422465€故—3<g(x)<6即函数g(x)在[0,茹]上的值域为[—3,6]答案及解析】€1由已知2B=A+CA+B+C=€,B=,cosB=32解法一b2=ac由正弦定理得sinAsinC=sin2B=&a2+c2-b2a2+c2-ac解法二b2=ac—=cosB==由此得a2+c2-ac=ac,得a=c2ac2ac€3所以A=B=C=一sinAsinC=—34【点评】本题主要考查三角形的正弦定理、余弦定理、三角形内角和定理及等差、等比数列的定义,考查转化思想和运算求解能力,属于容易题.第二小题既可以利用正弦定理把边的关系转化为角的关系,也可以利用余弦定理得到边之间的关系,再来求最后的结果【解析】€€解证明由bsin(-+C)—csin(-+B)，a及正弦定理得€€sinBsin(+C)一sinCsin(+B)，sinA即sin44即sin又0<B,C<sinC吟状C)一sinC呼状BV又0<B,C<整理得sinBcosC一cosBsinC，1所以sin(B一C)，1所以B一C,yTOC\o"1-5"\h\z_3€5兀€，兀f—由及B+C=可得B=Q，CHq又A=，a884asinB5€asinC€所以b，，2sin,c，，2sinsinA8sinA820122012年高考真题理科数学解析汇编：三角函数所以三角形ABC的面积人•人i5€i€/2.€€J2.兀1=—besinA=、：2sinsin=、：2sincos=sin=—8888242【点评】本题考查解三角形,三角形的面积,三角恒等变换、三角和差公式以及正弦定理的应用.高考中,三角解答题一般有两种题型:一、解三角形:主要是运用正余弦定理来求解边长,角度,周长,面积等;二、三角函数的图像与性质:主要是运用和角公式,倍角公式,辅助角公式进行三角恒等变换,求解三角函数的最小正周期,单调区间,最值（值域）等.来年需要注意第二种题型的考查1【答案】解：（1）丁AB,AC=3BA,BCABOACOcosA=3BAQBC0cosB,即AC,cosA=3BC,cosB.ACBC由正弦定理,得=,.sinBEcosA=3sinAEosBsinBsinAsinBsinA又0<A,B<€,.cosA>0,cosB>0=3,即tanB=3tanAcosBcosA()・•cosC=¥21・・tanC=()・•cosC=¥21・・tanC=25「5丿.•・tan「€—(A,B)]=2,即tan(A+B)=—2tanA+tanB=_2L」1一tanADtanB由(1)得一"曲A=—2,解得tanA=1,tanA=一-1—3tan2A3€*/cosA>0tanA=1A=—4【考点】平面微量的数量积,三角函数的基本关系式,两角和的正切公式,解三角形【解析】（1）先将AB,AC=3BA,BC表示成数量积，再根据正弦定理和同角三角函数关系式证明（由cosC=£,可求tanC，由三角形三角关系，得到tan「€-（A,B）］，从而根据两角和的正切公式和（1）的结论即可求得的值考点分析:本题考察三角恒等变化，三角函数的图像与性质解析：（1）因为f（x）=sin2①x—cos2①x,2q3sin①x•cos①x+‘=—cos2wx+*3sin2wx+‘=2sin(2®x——)+‘6n由直线x=n是y=f(x)图象的一条对称轴，可得sin(2①n—)=±1,6nnk1所以2on—=kn,(k”Z)，即o=-,(k”Z)6223又®”(2,1),k”Z,所以k=1，故®=6

所以f（x）的最小正周期是丁(II)由y€f(X)的图象过点(n,0)得f(n)€044即X€，2sin(—x—，—)=_2sin€一、：2即九=—t2TOC\o"1-5"\h\z6264故f(x)€2sin(—x，—)一263nn5n5n由0„x„有—„—x—„-—6366所以一1„sin(—x一)„1得一1一叮2„2sin(—x_—)—丫2„2—\/223636故函数f(x)在［0,:］上的取值范围为［-1-2-Q］2…1解析(I)T€€10…所以3=一®5(5<-1(5<…(…'€2cos+一€2costt+‘3丿_5(5<-1(5<…(…'€2cos+一€2costt+‘3丿_5‘3丿6”‘2'€—2sin€—5所以3(5<-1(5<…sittn=-f5•——…€2cos5卩——…+_5‘6丿5‘6丿6(I)f为所以1682cos卩€万所以co"17因卩-0，-Co—+•)€coosc［0-scotts—COS2sin1517所以csin•six51715x1713一5.【考点定位】本题主要考查同角函数关系、两角和与差的三角函数公式、二倍角公式、考查运算能力、特殊与一般思想、化归与转化思想.13TOC\o"1-5"\