高中数学-椭圆点差法

点差法公式在椭圆中点弦问题中的妙用22定理在椭圆笃爲1〔a>b>0〕中，假设直线I与椭圆相交于M、Nab两点,是弦MN的中点，弦MN所在的直线I的斜率为kMN，那么kMNy。Xob2~2.a证明：设M、N两点的坐标分别为 区，％)、(X2,y2)，那么有2X1~Ta2X2~2~a22y21,1.点P(Xo,yo)(1)(2)2(1)⑵，得X1-2X222y1 y2a20.y2 %X2X1y2y1X2 X1y2y1X2X1yx1bia2同理可证，在椭圆b2~2.ay2X2X22y2x〔a>b>0〕中，假设直线I与椭圆相交于N两点，点2

2

a

衣.P(Xo,yo)是弦MN的中点，弦MN所在的直线I的斜率为kMN,那么kMNZ"Xo典题妙解例1 〔04辽宁〕设椭圆方程为2冷1，过点M(0J)的直线1交椭圆于点A、B,O为坐 1 标原点，点P满足OP-(OAOB)，点N的坐标为2,2.当1绕点M旋转时，求〔1〕动点P的轨迹方程;〔2〕|NP|的最大值和最小值•解：〔1〕设动点P的坐标为(X,y).由平行四边形法那么可知：点P是弦AB的中点

焦点在y上，a2 4,b21.假设直线I的斜率存在2„由kABy 与得：rJy 4.x b xx整理，得：4x2y2y0.当直线I的斜率不存在时，弦AB的中点P为坐标原点0(0,0)，也满足方程。2所求的轨迹方程为4x0.2〔2〕配方，得：2所求的轨迹方程为4x0.2〔2〕配方，得：—116(y1.|NP|2(x-)22(1x2 1 2(x) x\o"CurrentDocument"2 4\o"CurrentDocument"c/1\2 73(x)612(y1)2当x当x-时，|NP|min4时，|NP|max36〔07年海南、宁夏〕在直角坐标系xOy中，经过点(0,••2)且斜率为k的直线〔07年海南、宁夏〕在直角坐标系1有两个不同的交点P和Q.求k的取值范围;〔2〕设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A、B,是否存在常数k，使得向量OPOQ与AB共线？如果存在，求k的取值范围；如果不存在，请说明理由解:〔1〕直线1的方程为ykx■■2.ykx2由x2得：(2k2 1)x2 4屁kx2 0y1.22直线l与椭圆 y2 1有两个不同的交点,2232k 8(2k1)>0.解之得：kv—或k>2.22k的取值范围是-■222〔2〕在椭圆Ly2 1中，焦点在x轴上，a..2,b 1,2A(、、2,0),B(0,1),AB (.2,1).设弦PQ的中点为M(x0,y0)，那么OM (x0,y10).由平行四边形法那么由平行四边形法那么可知： OPOQ2OM.OPOQ与AB共线,OM与AB共线.X。•2Xoyo，从而也X。〔1〕可知-时，直线I与椭圆没有两个公共点,2不存在符合题意的常数k.2x2x2a例3〔09年四川〕椭圆£ 1〔a>b>0〕的左、右焦点分别为F例3〔09年四川〕椭圆b2，右准线方程为x2.2(I)求椭圆的标准方程;(n)过点F1的直线I与该椭圆相交于M、N两点，且|F2MF2N|◎，求直线I的方程.解：〔I〕根据题意，得2.a、2,b1,c 1.所求的椭圆方程为x2y2〔n〕椭圆的焦点为1,0)、由平行四边形法那么知:F2Mf2n2.26由If2m f2n|3得:|F2P2226(x1)y9那么1假设直线1的斜率不存在，与题设相矛盾，故直线l的斜率存在.由kMN 2得：yyx ax1x2 1,2y —(xx).-2②代入①，得(X1)21/22(xx)整理，得：9x245x170.17解之得：x一,或x233由②可知，x177-不合题意.32‘1x 一，从而y33k y 1.x1所求的直线l方程为yx11.2F2P.例4 (09全国n)椭圆，或269(_26I312F2(1,0).设直线l被椭圆所截的弦MN的中点为P(x,y).x轴，这时点P与Fi(1,0)重合，|F2MF2N||2F2F1|4,x1.2x

cr

a2yb21〔a>b>0〕的离心率为二卫，过右焦点F的直3线I与C相交于A、B两点•当I的斜率为1时，坐标原点0到I的距离为二.2〔1〕求a,b的值;0a0b成立？假设存在,〔2〕c上是否存在点p,使得当I绕f转到某一位置时，有0a0b成立？假设存在,求出所有点p的坐标与I的方程；假设不存在，说明理由解〔1〕椭圆的右焦点为F(c,0)，直线I的斜率为1时，那么其方程为xc，即xyc0.原点o到I的距离:|00c|<22c2-3.从而2.椭圆的方程为x21.设弦AB的中点为Q(x,y).由OPOAOB可知，点Q是线段OP的中点，点P的坐标为(2x,2y).4x22y2 1.假设直线I的斜率不存在，那么x轴，这时点Q与F(1,0)重合，OP(2,0)，点P不在椭圆上，故直线I的斜率存在.bjbj2由kAB2(23(xx).由①和②解得:3x;,y34,y2时,4kAB— 3、22，点P的坐标为(一，——)，直线22I的方程为■-2xy34,y2时,kAB■■-2，点P的坐标为(-,222，直线I的方程为2xy.2 0.金指点睛21.21.椭圆x22y2 4，那么以(1,1)为中点的弦的长度为〔A.32 A.32 B.23D.2.〔06江西〕椭圆Q:a2.〔06江西〕椭圆Q:a22b-1[a>b>0〕的右焦点为F(c，0)，过点F的一动直线m绕点F转动，并且交椭圆于A、B两点，P为线段AB的中点•〔1〕求点P〔1〕求点P的轨迹H的方程;〔2〕略.3.〔05上海〕〔1〕求右焦点坐标是(2,0)且过点(2,-2)的椭圆的标准方程;〔2〕椭圆C的方程为2〔2〕椭圆C的方程为2x~2a2爲1〔a>b>0〕•设斜率为k的直线I，交椭圆C于A、Bb2两点，AB的中点为M.证明：当直线I平行移动时，动点M在一条过原点的定直线上;〔3〕略.22〔3〕略.224.(05湖北)设A、B是椭圆3xy上的两点，点N(1,3)是线段AB的中点，线段AB的垂直平分线与椭圆相交于 C、D两点.〔1〕确定 的取值范围，并求直线〔2〕略.AB的方程;5•椭圆C的中心在原点，并以双曲线5•椭圆C的中心在原点，并以双曲线1的焦点为焦点，以抛物线x26.6y的准线为其中一条准线•〔1〕求椭圆C的方程;〔2〕设直线I:ykx2(k0)与椭圆C相交于A、B两点，使A、B两点关于直线I:ymx1(m0)对称，求k的值.参考答案221•解：由x2y4得2x2y1, a24,b2 2.42弦MN的中点(1,1),由kMN1b2/2得kMN1—, 直线MN的方程为y1-(x1)xa22即x2y3.k22,由：2；3得：6y212y52,y“2设M(Xi,yJ,N(X2,y2)，那么yi2,y“2|MN|1|MN|1k2)(y1点仆y::105(4 3)30~3~故答案选C.2•解：〔1〕设点P的坐标为〔x,y〕,由kABb22•解：〔1〕设点P的坐标为〔x,y〕,由kABb2~2，a整理，得：b2 2 2 2 ,2 cxaybcx0.点P的轨迹22222H的方程为bxaybcx0.3•解：〔1〕右焦点坐标是〔2,0〕， 左焦点坐标是〔2,0〕.c2.由椭圆的第一定义知,2a22)2(22)2 ( 2)2 42，a22.bb2a2c2 4.x2所求椭圆的标准方程为-〔2〕设点x2所求椭圆的标准方程为-〔2〕设点M的坐标为〔x,y〕，由kAB虽，整理得：b2xa2. aky0.aa、b、k为定值,当直线l平行移动时，动点2M在一条过原点的定直线bx当直线l平行移动时，动点2M在一条过原点的定直线bxa2ky0上.4.解：〔1〕点N〔1,3〕在椭圆3x2内,2231 3<，即>12.的取值范围是的取值范围是〔12,〕.22由3x22由3x2y2得- —,b2，焦点在y轴上.假设直线AB的斜率不存在，那么直线ABX轴，根据椭圆的对称性,不合题意，故直线假设直线AB的斜率不存在，那么直线ABX轴，根据椭圆的对称性,不合题意，故直线AB的斜率存在•线段AB的中点N在x轴上,由kAB—22得：kAB3xb1所求直线AB的方程为y3—,kAB1•31(x1)，即xy4 0.从而线段AB的垂直平分线CD的方程为y1(x1)，即xy2 0.225.解：⑴在双曲线冷y1中，a2，b 2，c a2b2 6，焦点为F1(0, 6),F2(,.6).在抛物线x226y中，p'.6，准线为y在抛物线x226y中，p'.6，准线为y在椭圆中,a2从而a3,b.3.22yx所求椭圆C的方程为 1.xoxo1得：kyo由①、②得：Xo2由①、②得