函数的极限与连续

关于函数的极限与连续第一页，共三十六页，2022年，8月28日1第一节函数及其性质

一、函数的概念二、函数的性质本节主要内容:第二页，共三十六页，2022年，8月28日2

一、函数的概念(一)区间与邻域1.区间研究函数时,常常要用到区间的概念.设开区间闭区间右半开区间左半开区间实数a,b叫相应区间的端点,数b-a

称为区间的长度.规定:第三页，共三十六页，2022年，8月28日3无限区间第四页，共三十六页，2022年，8月28日42.邻域点

的

邻域其中,

称为邻域中心,

正数

称为邻域半径.点的去心

邻域点的左

邻域:右

邻域:以为中心的任何开区间称为点的邻域,记作第五页，共三十六页，2022年，8月28日5(二)函数的概念子集，任意

x∈D，变量

y按照某个对应关系则称

f是定义在

D上的函数，x称为自变量,f,有唯一确定的实数与之对应(记作

y=f(x))

,

设x,y是两个变量，D是R的非空y称为因变量.D称为函数

f的定义域，数集f(D)={f(x)|x∈D}称为函数

f的值域

.

1.函数的定义第六页，共三十六页，2022年，8月28日6定义域:

是指使表达式及实际问题都有意义的自变量集合.确定函数的两要素：(1)对应关系;(2)定义域.如,绝对值函数定义域值域与函数

g(x)=x,定义域

D=R,值域

f(D)=R,在

x<0时对应关系不相同,所以,是两个不同的函数.但f(x)与则是同一个函数.两个函数只有当两要素都相同时，才是同一个函数.第七页，共三十六页，2022年，8月28日7例1确定函数的定义域，并求该函数的定义域应为满足不等式组解之得：故该函数的定义域为解第八页，共三十六页，2022年，8月28日8常用的方法有：表格法、图示法和公式法。（1）以表格形式表示函数的方法称为函数的表格表示.（2）以图形表示函数的方法称为函数的图示法.（3）用数学式表示函数的方法称为函数的公式表示法，也称解析法.2.函数的表示方法第九页，共三十六页，2022年，8月28日9习惯上,

的反函数记成定义1.1.2

设有函数y=f(x)，其定义域为D，值域为M．如果对于M中的每一个y值(y∈M)，都可以从关系式y=f(x)确定唯一的x值(x∈D)与之对应，那么所确定的以y为自变量的函数3.反函数叫做函数y=f(x)的反函数，它的定义域为M，值域为D．第十页，共三十六页，2022年，8月28日10(1)

y＝f(x)单调递增(减),其反函数存在,且反函数也单调递增(减).反函数性质:(2)函数y=f(x)与其y=x对称.反函数的图形关于直线第十一页，共三十六页，2022年，8月28日114.基本初等函数及其图象:幂函数指数函数对数函数三角函数反三角函数以上五类函数称为基本初等函数.基本初等函数的图像及性质请自行复习.第十二页，共三十六页，2022年，8月28日125.复合函数定义1.1.3第十三页，共三十六页，2022年，8月28日13说明：1.不是所有函数都能构成复合函数.例如：1.函数因为u=x2+2的值域为y=arcsinu的定义域为[-1,1],由于

所以不能构成复合函数.第十四页，共三十六页，2022年，8月28日14例如：函数复合而成的函数为3.对于复合函数要会“分解”.分解复合函数原则:由处层向内层逐层分解,并观察各层函数是否为基本初等函数或简单函数.2.复合函数还可以由两个以上函数的复合而成.注:由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算构成的函数叫简单函数.第十五页，共三十六页，2022年，8月28日15例2试将下列函数复合成一个函数:(1)与(2)(1)所求的复合函数为它的定义域为：[-1,1](2)所求的复合函数为它的定义域为：解第十六页，共三十六页，2022年，8月28日16例3指出下列函数是由哪些简单函数复合而成的:(1)(2)解复合而成.(2)(1)是由复合而成.是由第十七页，共三十六页，2022年，8月28日17定义1.1.4

由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合所构成，且可用一个式子表示的函数，称为初等函数．表面形式复杂,但依然是初等函数.6.初等函数第十八页，共三十六页，2022年，8月28日18不是初等函数是初等函数不是初等函数是初等函数第十九页，共三十六页，2022年，8月28日19对定义域的某些不同部分，对应关系用不同的式子表示的函数，称为分段函数.例如：注意:☆分段函数一般不是初等函数.☆分段函数不可认为是若干函数的和,也不是几个函数,而是一个函数!只是随着自变量

x取不同范围的值,函数对应的表达式不同.7.分段函数第二十页，共三十六页，2022年，8月28日20例4设求其定义域、值域及f(2)、f(0)和f(-2)．定义域D=R，值域M={-1，0，1}f(2)=1,f(0)=0,f(-2)=-1.f(x)叫符号函数,记为：sgnx

解第二十一页，共三十六页，2022年，8月28日21定义域D=[0,+∞)，值域M=[0,+∞)求其定义域、值域及t≤0时，无意义;t>0时，解例5设第二十二页，共三十六页，2022年，8月28日22

定义1.1.5

设函数y=f(x)的定义域关于原点对称，如果对于定义域中的任何x，都有

二.函数的性质(一)奇偶性如果对于定义域中的任何x

，都有不是偶函数也不是奇函数的函数，称为非奇非偶函数.则称y=f(x)为奇函数．则称y=f(x)为偶函数.第二十三页，共三十六页，2022年，8月28日23

如果一个函数是奇函数,则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形.反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形,则这个函数是奇函数.奇函数与偶函数图象的对称性如果一个函数是偶函数，则它的图形是以y轴为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数.第二十四页，共三十六页，2022年，8月28日24定义域D=且有例6判断函数所以该函数是奇函数．解的奇偶性．第二十五页，共三十六页，2022年，8月28日25定义1.1.6

设函数y=f(x),x1,x2为区间(a,b)内任意两个数，若当x1<x2时，有f(x1)<f(x2)，则称函数f(x)在区间(a,b)内是单调增加的；若当x1<x2时，有f(x1)>f(x2)，则称函数f(x)在区间(a,b)内是单调减少的．

(二)单调性第二十六页，共三十六页，2022年，8月28日26几何特征单调增加单调减少第二十七页，共三十六页，2022年，8月28日27定义1.1.7

设函数y=f(x)在区间I上有定义，当任意x∈I，恒有|f(x)|≤M成立，则称函数y=f(x)I上的有界函数;如果不存在这样的正数M，则称函数y=f(x)为I上的无界函数．(三)有界性第二十八页，共三十六页，2022年，8月28日28几何特征我们说一个函数是有界的或是无界的，应同时指出其自变量的相应范围．第二十九页，共三十六页，2022年，8月28日29定义1.1.8

对于函数y=f(x)，如果存在一个不为零的正数L，使得对于定义域内的一切x,等式f(x+L)=f(x)都成立，则y=f(x)叫做周期函数，L叫做这个函数的周期．(四)周期性周期函数若存在最小正周期，通常将最小正周期简称为周期.第三十页，共三十六页，2022年，8月28日30复习反三角函数1.反正弦函数:定义域:值域:函数单调增加且有界.在上的反函数叫反正弦函数,记作:它的第三十一页，共三十六页，2022年，8月28日312.反余弦函数:定义域:[-1,1],值域:函数单调减少且有界.在叫反余弦函数,记作:它的上的反函数第三十二页，共三十六页，2022年，8月28日32渐近线渐近线3.反正切函数:在内的反函数叫反正切函数,记作:它的定义域:值域:函数单调增加且有界.第三十三页，共三十六页，2022年，8