【最新资料】概率论与数理统计第二章2模版课件

分布函数及其基本性质

定义设

X是一个随机变量，x

是任意实数，函数称为

X的分布函数。对于任意的实数a,b

(a<b)，有：abXo0xX分布函数及其基本性质定义设X是一个随机变量，x是1注：1）分布函数的定义域为：（－∞，＋∞）；值域为：［0,1］。

2）分布函数的含义：Xx

分布函数F(x)的值等于X的取值落入区间(-∞,x]内的概率值。注：1）分布函数的定义域为：（－∞，＋∞）；值域为：［0,23）引进分布函数F(x)后，事件的概率可以用F(x)的函数值来表示。0(]ab3）引进分布函数F(x)后，事件的概率可以用F(3例1

设随机变量X

的分布列为：求

X的分布函数.Xpk

-123解：当

x<-1

时，满足0２xX３-1x例1设随机变量X的分布列为：X-14当满足Xx的X取值为X=-1,

２xX３-1xXpk

-123当满足Xx的X取值为X=-1,或2，

当满足Xx的X取值为X=-1,２xX３-1x5同理当-10123x1同理当-101236-10123x1-101237分布函数F(x)在x=xk

(k=1,2,…)处有跳跃，其跳跃值为

pk=P{X=xk}.设离散型随机变量X的分布率为由概率的可列可加性得X的分布函数为1

-123Xpk分布函数F(x)在x=xk(k=1,2,8§2.2多维随机变量、联合分布列和边际分布列§2.2多维随机变量、9如果每个试验结果可以有n个数值与之对应，这是就称这种对应关系是一个n维随机变量，也称为n维随机变量。定义2.2若是定义在同一样本空间上的n个离散型随机变量，则称为n维离散型随机变量或随机向量。如果每个试验结果可以有n个数值与之对应，这是10一、二维分布函数及其基本性质定义【2.1】设X,Y是定义在同一个概率空间上的两个随机变量，则(X,Y)称为二维随机向量。一、二维分布函数及其基本性质定义【2.1】设X,Y是定11

定义【2.2】设是一个二维随机变称为二维随机变量的分布函数，随机变量和的联合分布函数或二维分布函数。量，对于任意实数，二元函数或称为定义【2.2】设是一个二维随机变称为二维随机变量12（1）二维随机变量也称为二维随机向量。是一个整体，（3）在集合上，说明：因为与之间是有联系的。平面上的随机点。二维随机变量可看成（2）二维随机变量（1）二维随机变量也称为二维随机向量。是一个整体，（3）在集13二维随机变量举例

1考察某地区成年男子的身体状况：令：该地区成年男子的身高：该地区成年男子的体重则就是一个二维随机变量。

2对一目标进行射击：令：弹着点与目标是水平距离：弹着点与目标的垂直距离则就是一个二维随机变量。二维随机变量举例1考察某地区成年男子的身体状况：令：143考察某地区的气候状况：令：该地区的温度：该地区的湿度则就是一个二维随机变量。4考察某钢厂钢材的质量：令：钢材的含碳量：钢材的含硫量则就是一个二维随机变量。3考察某地区的气候状况：令：该地区的温度：该地区的15分布函数的几何意义表示平面上的随机点落在以为右上顶点的无穷矩形中的概率。分布函数的几何意义表示平面上的随机点落在以16重要公式设，则重要公式设，则17分布函数的基本性质（1）是变量

的不减函数，即对任意固定的，对任意固定的，（2）且对于任意固定的，对于任意固定的，当时，当时，分布函数的基本性质（1）是变量的不减函数，即对任18

（3）

关于左连续，关于也左连续（4）（3）关于左连续，关于也左连续（4）19说明上述四条性质是二维随机变量分布函数的更进一步地，还可以证明如果某一二元函数具有这四条性质，最基本的性质，数都具有这四条性质。即任何二维随机变量的分布函么，那它一定是某一二维随机变量的分布函数。说明上述四条性质是二维随机变量分布函数的更进一步地，还可20二维离散型随机变量

定义【2.3】设二维随机变量的取

定义【2.4】设为二维离散型随机则称变量，的（联合）分布列。为二维离散型随机变量为值是有限个或可列无穷个，维离散型随机变量。则称为二的取值为；的取值二维离散型随机变量定义【2.3】设二维随机变量的21二维离散型随机变量的联合分布列的联合分布列可以用下表表示二维离散型随机变量的联合分布列的联合分布列可以用下22二维离散型随机变量联合分布列的性质性质1对任意的性质2有二维离散型随机变量联合分布列的性质性质1对任意的性质2有23

例1将两个球等可能地放入编号为1，令：放入1号盒中的球数；：放入2号盒中的球数.试求的联合分布列。

解的可能取值为0，1，2的可能取值为0，1，22，3的盒子中。例1将两个球等可能地放入编号为1，令：放入1号盒中24【最新资料】概率论与数理统计第二章2模版课件25由此得的联合分布列为

Y

X012091929119292029100由此得的联合分布列为YX01209192926

例2将一枚硬币掷三次，令：三次抛掷中正面出现的次数；：三次抛掷中正面出现的次数与反面出现的试求的联合分布列。

解的可能取值为0，1，2，3的可能取值为1，3次数之差的绝对值。例2将一枚硬币掷三次，令：三次抛掷中正面出现的次数；27【最新资料】概率论与数理统计第二章2模版课件28由此得的联合分布列为由此得的联合分布列为29解由题意知，的取值情况整数，且是等可能的；由乘法公式求得的分布律其中可能地取值，可能地取一整数值。

例3设随机变量在1,2,3,4四个数中等试求的分布列。取不大于

的正另一个随机变量

在中等解由题意知，的取值情况整数，且是等可能的；由30XY12341234XY12331二维离散型随机变量的联合分布函数

定义【2.5】设为二维离散型随机变为的联合分布函数。量，其联合分布律为二维离散型随机变量的联合分布函数定义【2.5】设为32二、边沿分布定义【2.6】若是一个二维随机变量，因此，称X（或Y）的分布函数为二维随机变量(X,Y)关于X（或Y）的边沿分布函数。

边沿分布也称为边缘分布或边际分布则它的分量（或）是一维随机变量,分量（或）也有分布函数。二、边沿分布定义【2.6】若是一个二维随机变量，因33已知联合分布列求边沿分布列设二维随机变量的联合分布列为则随机变量的分布列为同理，随机变量的分布列为已知联合分布列求边沿分布列设二维随机变量的联合分布34及的分布列也可以由下表表示边沿分布边沿分布联合分布及的分布列也可以由下表表示边沿分布边沿分布联合分布35

例2从1,2,3,4这4个数中随机取出一个，则当时，当时，由乘法公式得

解与的取值都是1,2,3,4，记所取的数为，数，列和及的边沿分布列。再从1到中随机取出一个记所取的数为试求的联合分布且例2从1,2,3,4这4个数中随机取出一个，则当时36再由得与及的边沿分布列为再由得与及的边沿分布列为37成立，则称随机变量相互独立。【定义2.7】设离散型随机变量的可能取值为可能取值为,如果对任意的,有三、独立性成立，则称随机变量相互独立。【定义2.38例1

掷两颗骰子，用ξ与η分别表示第一颗与第二颗的点数。ξ与η是否独立。ξη可见对所有i,j有pij=pipj故ξ与η是相互独立的。例1掷两颗骰子，用ξ与η分别表示第一颗与第二颗的点数39

例2设二维离散型随机变量的联合分布列为试确定常数，使得与相互独立。例2设二维离散型随机变量的联合分布列为试确定常数40解：由表得与的边沿分布律为若与相互独立，则有解：由表得与的边沿分布律为若与相互独立，则有41由此得由此得而当时，联合分布列及边沿分布列由此得由此得而当时，联合分布列及边沿分布列42可以验证，此时有即当时，与相互独立。可以验证，此时有即当时，与相互独立。43

例3

将两个球等可能地放入编号为的三个盒子中，放入1号盒中的球数；放入2号盒中的球数解：试判断随机变量与是否相互独立？可能取值为可能取值为与的联合分布列及边沿分布列为令例3将两个球等可能地放入编号为的三个盒子中，放入1号盒44由于所以，随机变量与不相互独立。由于所以，随机变量与不相互独立。45【最新资料】概率论与数理统计第二章2模版课件46分布函数及其基本性质

定义设

X是一个随机变量，x

是任意实数，函数称为

X的分布函数。对于任意的实数a,b

(a<b)，有：abXo0xX分布函数及其基本性质定义设X是一个随机变量，x是47注：1）分布函数的定义域为：（－∞，＋∞）；值域为：［0,1］。

2）分布函数的含义：Xx

分布函数F(x)的值等于X的取值落入区间(-∞,x]内的概率值。注：1）分布函数的定义域为：（－∞，＋∞）；值域为：［0,483）引进分布函数F(x)后，事件的概率可以用F(x)的函数值来表示。0(]ab3）引进分布函数F(x)后，事件的概率可以用F(49例1

设随机变量X

的分布列为：求

X的分布函数.Xpk

-123解：当

x<-1

时，满足0２xX３-1x例1设随机变量X的分布列为：X-150当满足Xx的X取值为X=-1,

２xX３-1xXpk

-123当满足Xx的X取值为X=-1,或2，

当满足Xx的X取值为X=-1,２xX３-1x51同理当-10123x1同理当-1012352-10123x1-1012353分布函数F(x)在x=xk

(k=1,2,…)处有跳跃，其跳跃值为

pk=P{X=xk}.设离散型随机变量X的分布率为由概率的可列可加性得X的分布函数为1

-123Xpk分布函数F(x)在x=xk(k=1,2,54§2.2多维随机变量、联合分布列和边际分布列§2.2多维随机变量、55如果每个试验结果可以有n个数值与之对应，这是就称这种对应关系是一个n维随机变量，也称为n维随机变量。定义2.2若是定义在同一样本空间上的n个离散型随机变量，则称为n维离散型随机变量或随机向量。如果每个试验结果可以有n个数值与之对应，这是56一、二维分布函数及其基本性质定义【2.1】设X,Y是定义在同一个概率空间上的两个随机变量，则(X,Y)称为二维随机向量。一、二维分布函数及其基本性质定义【2.1】设X,Y是定57

定义【2.2】设是一个二维随机变称为二维随机变量的分布函数，随机变量和的联合分布函数或二维分布函数。量，对于任意实数，二元函数或称为定义【2.2】设是一个二维随机变称为二维随机变量58（1）二维随机变量也称为二维随机向量。是一个整体，（3）在集合上，说明：因为与之间是有联系的。平面上的随机点。二维随机变量可看成（2）二维随机变量（1）二维随机变量也称为二维随机向量。是一个整体，（3）在集59二维随机变量举例

1考察某地区成年男子的身体状况：令：该地区成年男子的身高：该地区成年男子的体重则就是一个二维随机变量。

2对一目标进行射击：令：弹着点与目标是水平距离：弹着点与目标的垂直距离则就是一个二维随机变量。二维随机变量举例1考察某地区成年男子的身体状况：令：603考察某地区的气候状况：令：该地区的温度：该地区的湿度则就是一个二维随机变量。4考察某钢厂钢材的质量：令：钢材的含碳量：钢材的含硫量则就是一个二维随机变量。3考察某地区的气候状况：令：该地区的温度：该地区的61分布函数的几何意义表示平面上的随机点落在以为右上顶点的无穷矩形中的概率。分布函数的几何意义表示平面上的随机点落在以62重要公式设，则重要公式设，则63分布函数的基本性质（1）是变量

的不减函数，即对任意固定的，对任意固定的，（2）且对于任意固定的，对于任意固定的，当时，当时，分布函数的基本性质（1）是变量的不减函数，即对任64

（3）

关于左连续，关于也左连续（4）（3）关于左连续，关于也左连续（4）65说明上述四条性质是二维随机变量分布函数的更进一步地，还可以证明如果某一二元函数具有这四条性质，最基本的性质，数都具有这四条性质。即任何二维随机变量的分布函么，那它一定是某一二维随机变量的分布函数。说明上述四条性质是二维随机变量分布函数的更进一步地，还可66二维离散型随机变量

定义【2.3】设二维随机变量的取

定义【2.4】设为二维离散型随机则称变量，的（联合）分布列。为二维离散型随机变量为值是有限个或可列无穷个，维离散型随机变量。则称为二的取值为；的取值二维离散型随机变量定义【2.3】设二维随机变量的67二维离散型随机变量的联合分布列的联合分布列可以用下表表示二维离散型随机变量的联合分布列的联合分布列可以用下68二维离散型随机变量联合分布列的性质性质1对任意的性质2有二维离散型随机变量联合分布列的性质性质1对任意的性质2有69

例1将两个球等可能地放入编号为1，令：放入1号盒中的球数；：放入2号盒中的球数.试求的联合分布列。

解的可能取值为0，1，2的可能取值为0，1，22，3的盒子中。例1将两个球等可能地放入编号为1，令：放入1号盒中70【最新资料】概率论与数理统计第二章2模版课件71由此得的联合分布列为

Y

X012091929119292029100由此得的联合分布列为YX01209192972

例2将一枚硬币掷三次，令：三次抛掷中正面出现的次数；：三次抛掷中正面出现的次数与反面出现的试求的联合分布列。

解的可能取值为0，1，2，3的可能取值为1，3次数之差的绝对值。例2将一枚硬币掷三次，令：三次抛掷中正面出现的次数；73【最新资料】概率论与数理统计第二章2模版课件74由此得的联合分布列为由此得的联合分布列为75解由题意知，的取值情况整数，且是等可能的；由乘法公式求得的分布律其中可能地取值，可能地取一整数值。

例3设随机变量在1,2,3,4四个数中等试求的分布列。取不大于

的正另一个随机变量

在中等解由题意知，的取值情况整数，且是等可能的；由76XY12341234XY12377二维离散型随机变量的联合分布函数

定义【2.5】设为二维离散型随机变为的联合分布函数。量，其联合分布律为二维离散型随机变量的联合分布函数定义【2.5】设为78二、边沿分布定义【2.6】若是一个二维随机变量，因此，称X（或Y）的分布函数为二维随机变量(X,Y)关于X（或Y）的边沿分布函数。

边沿分布也称为边缘分布或边际分布则它的分量（或）是一维随机变量,分量（或）也有分布函数。二、边沿分布定义【2.6】若是一个二维随机变量，因79已知联合分布列求边沿分布列设二维随机变量的联合分布列为则随机变量的分布列为同理，随机变量的分布列为已知联合分布列求边沿分布列设二维随机变量的联合分布80及的分布列也可以由下表表示边沿分布边沿分布联合分布及的分布列也可以由下表