22点和圆、直线和圆的位置关系同步练习题含答案剖析

24.2点和圆、直线和圆的位置关系2.1点和圆的位置关系碰L预一习一导裳一.如图，。。的半径为r.⑴点A在。O外，则OA__二_r；点B在。O上，则OB=r；点C在。O内，则OC__Sr.（2）若OA>r,则点A在OO外—;若OB=r,则点B在OO__上__;若OCvr,则点C在。。__包___..在同一平面内，经过一个点能作无数个圆:经过两个点可作无数个圆；经过不在同一直线上的三个点只能作一个圆..三角形的外心是三角形外接圆的圆心，此点是―三边垂直平分线的交点—..反证法首先假设命题的一结论不成立，经过推理得出矛盾，由此判定假设错误―,从而得到原命题成立.■课内精练知识点1:点与圆的位置关系.已知点A在直彳至为8cm的。O内，则OA的长可能是（D）A.8cmB.6cmC.4cmD.2cm.已知圆的半径为6cm,点P在圆外，则线段OP的长度的取值范围是OP>6cm..已知。。的半径为7cm,点A为线段OP的中点，当OP满足下列条件时，分别指出点A与。O的位置关系：（1）OP=8cm；（2）OP=14cm；（3）OP=16cm.解：（1）在圆内（2）在圆上（3）在圆外知识点2:三角形的外接圆.如图，点O是4ABC的外心，ZBAC=55°,则/BOC=__110°..直角三角形外接圆的圆心在斜边的中点—上.若直角三角形两直角边长为6和8,则该直角三角形外接圆的面积为25兀―.一个三角形的外心在其内部，则这个三角形是（C）A.任意三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.钝角三角形如图，一只猫观察到一老鼠洞的三个洞口A,B,C,这三个洞口不在同一条直线上请问这只猫应该在什么地方才能最省力地同时顾及三个洞口？作出这个位置.解：图略.连接AB,BC,分别作线段AB,BC的垂直平分线，且相交于点O,点O即为所求知识点3:反证法用反证法证明：“垂直于同一条直线的两条直线平行”第一步先假设（D）A.相交两条直线不垂直C.两条直线不垂直于同一条直线D.垂直于同一条直线的两条直线相交用反证法证明：“△ABC中至少有两个锐角”，第一步假设为4ABC中至多有一个锐角..用反证法证明：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.已知：如图，直线li,12被I3所截，/1+/2=180°,求证：li£I2.证明：假设li不平行12,即li与12相交于一点P,则/1+Z2+ZP=—180°（三角形内角和定理―）,所以/1+/2—三180°,这与已知―矛盾，故—假设不成立，所以」1之2.敏课迪达J®.在数轴上，点A所表示的实数为3,点B所表示的实数为a,。A的半径为2.下列说法中，不正确的是(A)A.当av5时，点B在OA内B,当1vav5时，点B在OA内C.当av1时，点B在OA外D.当a>5时，点B在OA外.如图，△ABC的外接圆圆心的坐标是(—2,—1)—..在平面直角坐标系中，OA的半径是4,圆心A的坐标是(2,0),则点P(-2,1)与。A的位置关系是一点P在。A外—..若O为4ABC的外心，且/BOC=60°,则/BAC=30°或150°—..如图，4ABC中，AC=3,BC=4,/C=90°,以点C为圆心作。C,半径为r.(1)当r在什么范围时，点A,B在OC外？(2)当r在什么范围时，点A在。C内，点B在OC外？解：(1)0<r<3(2)3<r<4.如图，。0'过坐标原点，点O'的坐标为(1,1),试判断点P(-1,1),Q(1,0),R(2,2)与。O'的位置关系.解：点P在OO'外，点Q在OO'内，点R在OO'上.小明家的房前有一块矩形的空地，空地上有三棵树A,B,C,小明想建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边上.(1)请你帮小明把花坛的位置画出来；(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)(2)若在△ABC中，AB=8米，AC=6米，ZBAC=90°,试求小明家圆形花坛的面积.解：(1)用尺规作出两边的垂直平分线，交于O点，以O为圆心，OA长为半径作出。O,OO即为所求作的花坛的位置(图略)(2)25兀平方米县自奥的战.如图①，在4ABC中，BA=BC,D是平面内不与点A,B,C重合的任意一点，/ABC=/DBE,BD=BE.(1)求证：△ABD^ACBE;(2)如图②，当点D是4ABC的外接圆圆心时，请判断四边形BECD的形状，并证明你的结论.图①图②解：(1)由SAS可证(2)四边形BECD是菱形.证明：,「△ABD^ACBE,，CE=AD.点D是△ABC的外接圆圆心,，DA=DB=DC.又..BD=BE,..BD=BE=EC=CD,••.四边形BECD是菱形2.2直线和圆的位置关系

第1课时直线和圆的位置关系仙预a导裳..直线和圆有相交—、__WL___、相离三种位置关系..直线a与。O有唯一公共点,则直线a与。O相切；直线b与。O有两个―公共点，则直线b与。O相交；直线c与。O__更巨―公共点，则直线c与。O相离..设。。的半径为r,直线到圆心的距离为d,则：(1)直线li与OO__也邕,则d__二—r;(2)直线12与。O__相切,则d__：―r；(3)直线13与OO__相交,则d_<_r.d课内精练知识点1:直线与圆的位置关系的判定.(2014白银)已知。。的半径是6cm,点O到同一平面内直线1的距离为5cm,则直线1与。O的位置关系是(A)A.相交B,相切C.相离D.无法判断.已知一条直线与圆有公共点，则这条直线与圆的位置关系是(D)A.相离B.相切C.相交D.相切或相交.在平面直角坐标系xOy中，以点(一3,4)为圆心，4为半径的圆(C)A.与x轴相交，与y轴相切B.与x轴相离，与y轴相交C.与x轴相切，与y轴相交D.与x轴相切，与y轴相离.在RtAABC中，Z0=90°,AB=4cm,BC=2cm,以C为圆心，r为半径的圆与AB有何种位置关系？请你写出判断过程.(1)r=1.5cm；(2)r=3cm；(3)r=2cm.解：过点C作CD^AB,垂足为D,可求CD=J3.(1)r=1.5cm时，相离；(2)r=43cm时，相切；(3)r=2cm时，相交知识点2:直线与圆的位置关系的性质.直线1与半彳仝为r的。O相交，且点O到直线1的距离为5,则半径r的取值范围是(A)A.r>5B.r=5C.0<r<5D.0<r<5.如图，OO的半径OC=5cm,直线1，OC,垂足为H,且1交。。于A,B两点，AB=8cm,则1沿OC所在的直线向下平移，当1与。。相切时，平移的距离为(B)A.1cmB.2cmC.3cmD.4cm已知。O的圆心O到直线1的距离为d,OO的半径为r,若d,r是方程x2-4x+m=0的两个根，且直线1与。O相切，则m的值为4.在RtAABC中，/A=90°,/C=60°,BO=x,。。的半径为2,求当x在什么

范围内取值时，AB所在的直线与。O相交、相切、相离?11解：过点O作ODLAB于D,可得OD=]OB=]x.当AB所在的直线与。O相切时，OD=r=2,，BO=4,，0vxv4时，相交；x=4时，相切；x>4时，相离敏课迪达J®9,已知。。的面积为9兀cm2,若点O到直线l的距离为兀cm,则直线l与。O的位置关系是(C)A.相交B,相切C.相离D.无法确定.已知。O的半径为3,直线l上有一点P满足PO=3,则直线l与。O的位置关系是(D)A.相切B,相离C.相离或相切D.相切或相交.已知。O的半径为r,圆心O到直线l的距离为d.若直线l与。O相切，则以d,r为根的一元二次方程可能为(B)A.x2-3x=0B.x2-6x+9=0C.x2—5x+4=0D.x2+4x+4=0DC.如图，在矩形ABCD中，AB=6,BC=3,OO是以AB为直径的圆，则直线DC与。O的位置关系是—相切..已知。。的半径是5,圆心O到直线AB的距离为2,则。O上有且只有__3一个点到直线AB的距离为3..如图，OP的圆心P(-3,2),半径为3,直线MN过点M(5,0)且平行于y轴，点N在点M的上方.(1)在图中彳^出。P关于y轴对称的。P',根据作图直接写出。P与直线MN的位置关系；(2)若点N在(1)中的。P'上，求PN的长.八十十十个•一1

一斗竹科一।■十十十十■十十十十一r十〒十■(■■减।■十十十十■十十十十一r-十十十十刊卜十十4-H解：(1)图略，OP，与直线MN相交(2)连接PP并延长交MN于点Q,连接PN,P'N.由题意可知：在RtAP'QN中，P'Q=2,P'N=3,由勾股定理可求出QN=J5;在Rt^PQN中，PQ=3+5=8,QN=45,由勾股定理可求出PN：,2+(邓)2=晒.如图，半径为2的。P的圆心在直线y=2x—1上运动.(1)当。P和x轴相切时，写出点P的坐标，并判断此时y轴与。P的位置关系；(2)当。P和y轴相切时，写出点P的坐标，并判断此时x轴与。P的位置关系；⑶。P是否能同时与x轴和y轴相切？若能，写出点P的坐标；若不能，说明理由.解：:。P的圆心在直线y=2x—1上，・•・圆心坐标可设为(x,2x-1).(1)当。P和x轴相切时，2x—1=2或2x—1=—2,解得x=1.5或x=—0.5,「•Pi(1.5,2),P2(—0.5,—2).1.5<2,|-0.5|<2,，y轴与。P相交(2)当。P和y轴相切时，x=2或—2,得2x—1=3或2x—1=—5,.“1(2,3),P2(-2,-5).v|-5|>2,且|3|>2,x轴与。P相离⑶不能..当x=2时，y=3,当x=—2时，y=-5,|-5|^2,3^2,「.OP不能同时与x轴和y轴相切出自臭的战.已知/MAN=30°,O为边AN上一点，以O为圆心，2为半径作。O,交AN于D,E两点，设AD=x.(1)如图①，当x取何值时，。。与AM相切？(2)如图②，当x取何值时，。。与AM相交于B,C两点，且/BOC=90°?图①图②解：(1)过O点作OFLAM于F,当OF=r=2时，。。与AM相切，此时OA=4,故x=AD=2(2)过O点作OG^AM于G,-.OB=OC=2,/BOC=90°,，BC=2V2,，BG=CG=72,.•.OG=V2..ZA=30°,..OA=2^/2,..x=AD=26—2第2课时切线的判定与性质则预a导学二…一.经过半径的外端—,并且垂直于这条半径的直线是圆的切线..圆的切线必_垂直__于过切点的半径.立课内精练知识点1:切线的判定.下列说法中，正确的是（D）A.AB垂直于。O的半径，则AB是。O的切线B.经过半径外端的直线是圆的切线C.经过切点的直线是圆的切线D.圆心到直线的距离等于半径，那么这条直线是圆的切线.如图，4ABC的一边AB是。O的直径，请你添加一个条件，使BC是。O的切线，你所添加的条件为/ABC=90°..如图，点D在0O的直径AB的延长线上，点C在OO±,AC=CD,/D=30°求证：CD是。。的切线.解：连接OC...AC=CD,/D=30°,.•-/A=ZD=30°.「OA=OC,../OCA=/A=30°,.•./COD=60°,.•./OCD=90°,z.OCXCD,•.CD是。O的切线.（2014孝感）如图，在RtAABC中，ZACB=90°.（1）先作/ABC的平分线交AC边于点O,再以点O为圆心，OC为半径作。O;（要求:尺规作图，保留作图痕迹，不写彳^法）（2）请你判断（1）中AB与OO的位置关系，并证明你的结论.解：（1）如图（2）AB与。O相切.证明：作ODXAB于点D,/BO平分/ABC,/ACB=90°,ODXAB,，OD=OC,•.AB与。O相切知识点2:切线的性质.（2014邵阳）如图，4ABC的边AC与。O相交于C,D两点，且经过圆心O,边AB与。O相切，切点为B.已知/A=30°,则/C的大小是（A）A.30°B.45°C.60°D,40°.如图，。。的半径为3,P是CB延长线上一点，PO=5,PA切。。于A点，则PA=__4..如图，已知△ABC内接于。O,BC是。O的直径，MN与。O相切于点A.若/MAB=30°,则/B=60°..如图，等腰△OAB中，OA=OB,以点O为圆心作圆与底边AB相切于点C.求证：AC=BC.解：「AB切。O于点C,OCXAB.•••OA=OB,，AC=BC课时达怖.如图，AB为。O的直径，PD切。O于点C,交AB的延长线于点D,且CO=CD,贝叱PCA=(DA.30°)B.45D.67.5°，第9贝叱PCA=(DA.30°)B.45D.67.5°，第9题图），第10题图）C.60°，第11题.如图，已知线段OA交。O于点B,且OB=AB,点P是。O上的一个动点，那么/OAP的最大值是（A）A.30°A.30°B.45°C.60°D,90°.如图，已知AB是。O的直径，AD切。O于点A,点C是EB的中点，则下列结论不成立的是（不成立的是（DA.OC//AE)B.EC=BCC.ZDAE=ZABED.ACLOE12题图），第13题图）.（2014自贡）如图，一个边长为4cm的等边三角形ABC的高与。O的直径相等.OO与BC相切于点C,与AC相交于点E,则CE的长为12题图），第13题图）.如图，直线PA过半圆的圆心O,交半圆于A,B两点，PC切半圆于点C,已知PC=3,PB=1,则该半圆的半径为4..（2014毕节）如图，在RtAABC中，ZACB=90°,以AC为直径作。O交AB于点D,连接CD.（1）求证：/A=/BCD.（2）若M为线段BC上一点，试问当点M在什么位置时，直线DM与。O相切？并说明理由.D.■ID0D.■ID0解：(1)/AC为直径，，/ADC=90°,.•./A+ZACD=90°/.ZACB=90°,「•/BCD+/ACD=90°,.•-/A=ZBCD(2)当点M是BC的中点时，直线DM与。。相切.理由：如图，连接DO..「DO=CO,.•./1=Z2./ZBDC=90°，点M是BC的中点，•.DM=CM,.•./4=Z3..Z2+Z4=90°,，/1+/3=90°,•.直线DM与。O相切

.如图，已知AB是。O的直径，点P是AB延长线上的一个动点，过点P作。O的切线，切点为C,/APC的平分线交AC于点D,求/CDP的度数.解：PC是。。的切线，・•.OCLOP,即/OCP=90°..•・AB是。。的直径，・・•/ACB=90°,.ACB—/OCB=/OCP—/OCB,即/ACO=/BCP.又OA=OC,../A=/ACO/ACO,/BCP=/BAC.PD是/APC+/APD+/BCP,ZBAC+ZABC=90°/CDP=/APD+/BAC=45°的平分线，/CPD=/APD.../ABC=/CPD

,BAC+ZCPD+ZAPD+ZBCP=90°,自_遴越战自_遴越战.(2014德州)如图，OO的直径AB为10cm,弦BC为6cm,D,E分别是/ACB的平分线与。O,AB的交点，P为AB延长线上一点，且PC=PE.(1)求AC,AD的长;(2)试判断直线PC与。O的位置关系，并说明理由.中，AC=解：(1)连接BD.•••AB是直径，・./ACB=/ADB=90°.中，AC=MaB2—BC2=耳102—62=8(cm)..•・CD平分/ACB,AD=Bd,/.AD=BD.在RtAABD中，AD2+BD2=AB2,..AD=^AB=(x10=5V2(cm)(2)直线PC与OO相切.理由：连接OC.「OC=OA,CAO=/OCA..・PC=PE,/PCE=/PEC../PEC=/CAE+/ACE,「./PCB+/ECB=/CAE+/ACE.「CD平分/ACB,.•./ACE=ZECB,•./PCB=/CAE,•./PCB=/ACO.「/ACB=90°,・./OCP=/OCB+/PCB=/ACO+/OCB=/ACB=90°,OCXPC,•.直线PC与OO相切第3课时切线长定理则预a导学二…一.经过圆外——点作圆的切线，这点与切点之间线段—的长，叫做这点到圆的切线长..圆的切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相等—,这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角..与三角形各边都相切—的圆叫做三角形的内切圆，圆心叫做三角形的内心,它是三角形三条角平分线的交点.Q课内精练知识点1:切线长定理.如图，从。O外一点P引。O的两条切线PA,PB,切点分别为A,B.如果/APB=60°,PA=8,那么弦AB的长是（B）A.4B.8C.4V3D.8m.如图，半圆O与等腰直角三角形两腰CA,CB分别切于D,E两点，直径FG在AB上，若BG=<2—1,则4ABC的周长为（A）A.4+272B.6C.2+2mD.4.（2014天水）如图，PA,PB分别切。O于点A,B,点C在OO±,且/ACB=50°,则/P=80；..如图，PA,PB是。O的两条切线，A,B为切点，ZOAB=30°.（1）求/APB的度数；（2）当OA=3时，求AP的长.解：(1)/APB=60(2)AP=3g知识点2:三角形的内切圆A.如图，点O是^ABC的内切圆的圆心，若/BAC=80°,则/BOC=(A)A.130°B,120°C.100°D,90°.已知△ABC的周长为24,若^ABC的内切圆半径为2,则4ABC的面积为24—..在RtAABC中，/C=90°,AC=6,BC=8,则4ABC的内切圆的半径为2..如图，4ABC的内切圆。O与BC,CA,AB分别相切于点D,E,F,且AB=18cm,BC=28cm,CA=26cm,求AF,BD,CE的长.DC解：根据切线长定理得AE=AF,BF=BD,CE=CD.设AE=AF=xcm,则CE=CD=(26—x)cm,BF=BD=(18-x)cm.「BC=28cm,(18-x)+(26-x)=28,解得x=8,.•.AF=8cm,BD=10cm,CE=18cm课时达怖.正三角形的内切圆半径为1,那么三角形的边长为（B）A.2B.2小C.y/3D.3.如图，AB,AC与。。相切于点B,C,ZA=50°,点P是圆上异于B,C的一动点，则/BPC的度数是（C）A.65°B,115°C.65°或115°D,130°或50°，第11题图）.（2014泰安）如图，P为。O的直径BA延长线上的一点，PC与。O相切，切点为C,点D是。O上一点，连接PD.已知PC=PD=BC.下列结论：（1）PD与。O相切；（2）四边形PCBD是菱形；（3）PO=AB;（4）ZPDB=120°.其中正确的个数为（A）A.4B.3C.2D.1.如图，已知PA,PB分别切。O于点A,B,点C在OO±,/BCA=65°，则/P50，第13题图），第，第13题图）.如图，PA,PB分别与。O相切于点A,B,。。的切线EF分别交PA,PB于点E,F,切点C在AB上，若PA长为2,则4PEF的周长是4..如图，点I为△ABC的内心，点。为^ABC的外心，若/BOC=140°,求/BIC的度数.解：•・•点O为4ABC的外心，/BOC=140°,，/A=70°.又二.点I为△ABC的内、，一一11,一。心，・./BIC=180。-2(180°-ZA)=900+2/A=125°.如图，PA,PB是。O的切线，A,B为切点，AC是。O的直径，AC,PB的延长线相交于点D.（1）若/1=20°,求/APB的度数；（2）当/1为多少度时，OP=OD?并说明理由.

解：(1);PA是。。的切线，BAP=90°—/1=70°.又,「PA,PB是。。的切线，.•.PA=PB,.•./BAP=ZABP=70°,，/APB=180°—70°X2=40°(2)当/1=30°,•./APB=180°—60°时，OP=OD.理由：当/1=30°时，由(1)知/,•./APB=180°—60°X2=60°..PA,60°—30°=30°PB是。X2=60°..PA,60°—30°=30°PB是。O的切线，・./OPB=1/APB=30°2,•./OPB=/D,OP=OD.又•./D=ZABP-Z1=自16.如图，AB是。16.如图，AB是。O的直径，AM和BN是它的两条切线，于点D,交BN于点C,F是CD的中点，连接OF.(1)求证:OD//BE;(2)猜想：OF与CD有何数量关系？并说明理由.ADMDE切。O于点E,交AMCN解：(1)连接OE,AM,DE是。O的切线，OA,OE是。O的半径，/ADO=/EDO,/DAO=ZDEO=90°,AOD=ZEOD=1/AOE.「/ABE=/OEB,/ABE+ZOEB'2'=/AOE,•=/AOE,•./ABE=1/AOE2,•./AOD=/ABE,OD//BE_1_1(2)OF=QCD,理由：连接/ADO=ZEDO..AM//BN,/OCE=90°,.•./DOC=90°OC,•••BC,CE是。。的切线，OCB=/OCE.同理：••.ZADO+ZEDO+ZOCB+ZOCE=180°,../EDO+1.在Rt^DOC中，•••F是DC的中点，，OF='2cD专题训练（七）切线证明的方法一、有交点，连半径，证垂直（一）利用角度转换证垂直.如图，AB是。O的弦，ODLOB,交AB于E,且AD=ED.求证：AD是OO的切解：连接OA...OA=OB,B=ZOAB.又=AD=DE,:'人DAE=ZDEA,而/DEA=/BEO,/B+/BEO=90°,../DAE+/OAB=90°,，OA，AD,..AD是OO的切线.如图，^ABC内接于。O,/B=60°,CD是。O的直径，点P是CD延长线上的一点，且AP=AC.求证：PA是。。的切线.解：连接OA.「/B=60°,.•./AOC=120°,.•./AOP=60°,/OA=OC,/OAC=ZACP=1/AOP=30°,又..AP=AC,../P=/ACP=30°,，/PAO=90°,.-.OA±AP,，PA是。O的切线（二）利用全等证垂直

.如图，AB是。O的直径，BOXAB于点B,连接OC,弦AD//OC.求证：CD是。O的切线.解：连接OD.由SAS证△CBO^^CDO,得/CDO=/CBO=90°,..CDIOD,CD是OO的切线（三）利用勾股定理逆定理证垂直.如图，AB为。O的直径，点P为AB延长线上一点，点C为。O上一点，PC=8,PB=4,AB=12.求证：PC是。。的切线.解：连接OC.根据题意，可得OC=6,PO=10,PC=8,••.OC2+PC2=PO2,「.△POC为直角三角形且/PCO=90°,.1.OCXC