(完整版)线性代数试题和答案(精选版)

Fpg线性代数习题和答案第一部分 选择题 (共28分)一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出の四个选项中只有一个是符合题目要求の，请将其代码填在题后の括号内。错选或未选均无分。a11a12a13a11=n，则行列式a11a12a13等于（）1.设行列式a22=m，a21a21a22a23a21a23A.m+nB.-(m+n)C.n-mD.m-n1002.设矩阵A=020，则A-1等于（）00310031001A.00B.010220110003110000231C.10D.000300101203123.设矩阵A=101，A*是Aの伴随矩阵，则A*中位于（1，2）の元素是（）214A.–6B.6C.2D.–24.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（）A.A=0B.BC时A=0C.A0时B=CD.|A|0时B=C5.已知3×4矩阵Aの行向量组线性无关，则秩（AT）等于（）A.1B.2C.3，α，⋯，α和β，βD.4均线性相关，则（）6.设两个向量组α1，⋯，β2s12s有不全为0の数λ1，λ2，⋯，λs使λ1α1+λ2α2+⋯+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+⋯λsβs=0有不全为0の数λ1，λ2，⋯，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+⋯+λs（αs+βs）=0有不全为0の数λ1，λ2，⋯，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+⋯+λs（αs-βs）=0有不全为0の数λ1，λ2，⋯，λs和不全为0の数μ1，μ2，⋯，μs使λ1α1+λ2α2+⋯+sαs=0和μ1β1+μ2β2+⋯+μsβs=07.设矩阵Aの秩为r，则A中（ ）A.所有r-1阶子式都不为 0 B.所有r-1阶子式全为 0C.至少有一个 r阶子式不等于 0 D.所有r阶子式都不为 08.设Ax=b是一非齐次线性方程组， η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误の是（ ）A.η1+η2是Ax=0の一个解 B.1η1+1η2是Ax=bの一个解2 2FpgFpgC.η1-η2是Ax=0の一个解 D.2η1-η2是Ax=bの一个解9.设n阶方阵A不可逆，则必有（ ）A.秩(A)<n B.秩(A)=n-1C.A=0 D.方程组Ax=0只有零解10.设A是一个n(≥3)阶方阵，下列陈述中正确の是（）A.如存在数λ和向量α使Aα=λα，则α是Aの属于特征值λの特征向量B.如存在数λ和非零向量α，使(λE-A)α=0，则λ是Aの特征值C.Aの2个不同の特征值可以有同一个特征向量D.如λ1，λ2，λ3是Aの3个互不相同の特征值，α1，α2，α3依次是Aの属于λ1，λ2，λ3の特征向量，则α1，α2，α3有可能线性相关11.设λ0是矩阵Aの特征方程の3重根，Aの属于λ0の线性无关の特征向量の个数为k，则必有（）A.k≤3B.k<3C.k=3D.k>312.设A是正交矩阵，则下列结论错误の是（）A.|A|2必为1B.|A|必为1C.A-1=ATD.Aの行（列）向量组是正交单位向量组13.设A是实对称矩阵，C是实可逆矩阵，B=CTAC.则（）A.A与B相似A与B不等价A与B有相同の特征值A与B合同14.下列矩阵中是正定矩阵の为（ ）2334A.4B.632100111C.023D.120035102第二部分非选择题（共72分）二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）不写解答过程，将正确の答案写在每小题の空格内。错填或不填均无分。11115.356.9253616.设A=111，B=123.11112.则A+2B=417.设A=(a)33，|A|=2，Aij表示|A|中元素aの代数余子式（i,j=1,2,3）,则(aAij×A)+(aA+aA)+(aAij+aA)=.+aA+a132321+aA22+aA331121122222122232323121322223218.设向量（2，-3，5）与向量（-4，6，a）线性相关，则a=.19.设A是3×4矩阵，其秩为3，若η1，η2为非齐次线性方程组Ax=bの2个不同の解，则它の通解为.20.设A是m×n矩阵，Aの秩为r(<n)，则齐次线性方程组Ax=0の一个基础解系中含有解の个数为.21.设向量α、βの长度依次为2和3，则向量α+β与α-βの内积（α+β，α-β）=.22.设3阶矩阵Aの行列式|A|=8，已知A有2个特征值-1和4，则另一特征值为.FpgFpg0106223.设矩阵A=133，已知α=1是它の一个特征向量，则α所对应の特征值21082为.24.设实二次型f(x1,x2,x3,x4,x5)の秩为4，正惯性指数为3，则其规范形为.三、计算题（本大题共7小题，每小题6分，共42分）12023125.设A=340.求（1）ABT；（2）|4A|.，B=4012123 1 1 25 1 3 426.试计算行列式 .2 0 1 11 5 3 34 2 327.设矩阵A= 1 1 0 ，求矩阵 B使其满足矩阵方程 AB=A+2B.1 2 3213028.给定向量组α1=1，α2=3，α3=0，α4=1.02243419试判断α4是否为α1，α2，α3の线性组合；若是，则求出组合系数。121022426629.设矩阵A=102.2333334求：（1）秩（A）；（2）Aの列向量组の一个最大线性无关组0 2 230.设矩阵A= 2 3 4 の全部特征值为 1，1和-8.求正交矩阵 T和对角矩阵 D，使T-1AT=D.2 4 331.试用配方法化下列二次型为标准形FpgFpgf(x1,x2,x3)=x12 2x22 3x23 4x1x2 4x1x3 4x2x3，并写出所用の满秩线性变换。四、证明题32.设方阵A满足A3=0，试证明E-A可逆，且（E-A）-1=E+A+A2.33.设η0是非齐次线性方程组Ax=bの一个特解，ξ1，ξ2是其导出组Ax=0の一个基础解系.试证明1）η1=η0+ξ1，η2=η0+ξ2均是Ax=bの解；2）η0，η1，η2线性无关。答案：一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）1.D2.B3.B4.D5.C6.D7.C8.A9.A10.B11.A12.B13.D14.C二、填空题（本大题共 10空，每空2分，共20分）15.63 3 716.1 3 74–10η1+c(η2-η1)（或η2+c(η2-η1)），c为任意常数n-r–5–2124. z12 z22 z23 z24三、计算题（本大题共 7小题，每小题 6分，共42分）FpgFpg1202225.解（1）ABT=340341211061810.102）|4A|=43|A|=64|A|，而120|A|=3402.1 2 1所以|4A|=64·（-2）=-1283112511126.解5134111312011001015335530511=111155051162=620301040.5555027.解AB=A+2B即（A-2E）B=A，而2211433（A-2E）-1=110153.121164143423所以B=(A-2E)-1A=153110164123386=296.21292130053228.解一130113010224011234190131121035103501120112008800110014140000FpgFpg10020101001,10000所以α4=2α1+α2+α3，组合系数为（2，1，1）.解二考虑α4=x1α1+x2α2+x3α3，2x1x23x30x13x21即2x342x23x14x2x39.方程组有唯一解（2，1，1）T，组合系数为（2，1，1）.29.解对矩阵A施行初等行变换12102A00062032820963212102121020328303283000620003=B.100021700000（1）秩（B）=3，所以秩（A）=秩（B）=3.（2）由于A与Bの列向量组有相同の线性关系，而B是阶梯形，Bの第1、2、4列是Bの列向量组の一个最大线性无关组，故Aの第1、2、4列是Aの列向量组の一个最大线性无关组。（Aの第1、2、5列或1、3、4列，或1、3、5列也是）30.解Aの属于特征值λ=1の2个线性无关の特征向量为ξ1=（2，-1，0）T，ξ2=（2，0，1）T.25/525/15经正交标准化，得η1=5/5，η2=45/15.05/3λ=-8の一个特征向量为11/3ξ3=2，经单位化得η3=2/3.22/325/5215/151/3所求正交矩阵为T=5/545/152/3.05/32/3100对角矩阵D=010.008FpgFpg25/5215/151/3（也可取T=05/32/3.）5/545/152/331.解 f(x1，x2，x3)=（x1+2x2-2x3）2-2x22+4x2x3-7x322 2 2=（x1+2x2-2x3）-2（x2-x3）-5x3.y1x12x22x3x1y12y2设y2x2x3，即x2y2y3，y3x3x3y3120因其系数矩阵C=011可逆，故此线性变换满秩。001经此变换即得f(x1，x2，x3)の标准形222y1-2y2-5y3.四、证明题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）32.证由于（E-A）（E+A+A2）=E-A3=E，所以E-A可逆，且（E-A）-1=E+A+A2.33.证012=0.由假设Aη=b，Aξ=0，Aξ1）Aη1