相似三角形六大证明技巧

相似三角形6大证明技巧模块一相似三角形证明方法模块一相似三角形证明方法相似三角形的判定方法总结：.平行于三角形一边的直线与其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似..三边成比例的两个三角形相似.（SSS）.两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.（SAS）.两角分别相等的两个三角形相似.（AA）.斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似（HL）相似三角形的模型方法总结：“反A”型与“反乂”型.示意图结论尸C B反A型：如图，已知△ABC,NADE=/。,则4ADE^AACB(AA),・'.AE-AC=AD•AB.若连CD、BE,进而能证明AACDsAABE(SAS)工D C反X型：如图，已知角NBAO=ZCDO,则4AOB^ADOC(AA),AOA•OC=OD.OB.若连AD,BC,进而能证明△AODsABOC.“类射影”与射影模型示意图结论C B类射影：如图，已知4八8。，NABD=NC,则△ABDsAACB(AA),AAB2=AD-AC.C/\射影定理如图，已知/ACB=90。，CH±AB于H，贝UAC2=AH-AB,BC2=BH-BA,HC2=HA-HBAH B

AC旋转相似：如图,已知^ABC^AADE,则 — ，/BACAEAC=ZDAE,AZBAD=ZCAE,・•・△BADsACAE(SAS)D///VdABC一线三等角：如图，已知/A=ZC=ZDBE,则^DABsABCE(AA)“旋转相似”与“一线三等角”示意图结论巩固练习反八型与反X型已知△ABC中，NAEF=NACB,求证:(1)AE-AB=AF-AC(2)ZBEO=ZCFO,ZEBO=ZFCO(3)ZOEF=ZOBC,ZOFE=ZOCB类射影如图，已知AB2如图，已知AB2=AC-AD，求证:BDABBC-AC射影定理已知^ABC,ZACB=90°,CH±AB于H，求证:AC2=AH.AB,BC2=BH-BA,HC2=HA-HB模块二比例式的证明方法模块二比例式的证明方法通过前面的学习，我们知道，比例线段的证明，离不开“平行线模型"㈠型，X型，线束型），也离不开上述的6种“相似模型”.但是，王老师认为，“模型”只是工具，怎样选择工具，怎样使用工具，怎样用好工具,取决于我们如何思考问题.合理的思维方法，能让模型成为解题的利刃，让复杂的问题变简单。

在本模块中，我们将学比例式的证明中，会经常用到的思维技巧.技巧一：三点定型法技巧二：等线段代换技巧三：等比代换技巧四：等积代换技巧五:证等量先证等比技巧六：几何计算技巧一：三点定型【例1】如图，平行四边形ABCD中，E是AB延长线上的一点，DE交BC于F【例1】证:空_CF•AE~ADDCBDCB【例2【例2】如图,△ABC中，ZBAC=90。，M为BC的中点,DM1BC交CA的延长线于D,交AB于E.求证:AM2=MD-ME【例3】AD于【例3】AD于F.求证:BFABBEBC如图，在RtAABC中，AD是斜边BC上的高，ZABC的平分线BE交AC于E,交技巧二：等线段代换悄悄地替换比例式中的某条线段…【例4】如图，在AABCAD平分NBAC,AD的垂直平分线交AD于E,交BC的延长线于F,求证：FD2=FB-FC

AA【例5】如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在边BA的延长线上，CE交AD于F，ZECA=ZD•求证:AC-BE=CE•AD•【例6】如图,△ACB为等腰直角三角形，AB=AC，/BAC=90°,ZDAE=45°,求证:AB2=BE-CD【例7】如图,△ABC中，AB=AC,AD是中线,。是AD上一点，过C作CF//AB，延长BP交AC于E，交CF于F.求证：BP2=PE-PF.技巧三：等比代换技巧三：等比代换E、交CD的延长线【例8】如图，平行四边形ABCD中，过B作直线AC、AD于O,于F，求证:OB2=OE-E、交CD的延长线【例9】如图,在^ABC中，已知ZA=90。时,AD1BC于D,E为直角边AC的中点，过E作直线交AB的延长线于F.求证:AB-AF=AC-DF.，【例10］如图，在^ABC中(AB>AC)的边AB上取一点D，在边AC上取一点E，使BP-CE=CP-在边AC上取一点E，使BP-CE=CP-BD技巧四：等积代换【例11］如图，△ABC中，BD、CE是高,EH1BC于H、交BD于G、交CA的延长线于M.求证:HE2=HG-MH.MM【例12］如图，在△ABC中，AD1BC于D,DE1AB于E,DF1AC于F,连EF,求证:AA【例13］如图,在^ABC中，ZBAC=90。,D为AC中点，AE±BD,E为垂足，求证：ZCBD=ZECD.【例14］在RtAABC中，AD±BC,P为AD中点，MN±BC,求证MN2=AN-NC技巧五：证等量先证等比技巧五：证等量先证等比过A点的直线分别交BD过A点的直线分别交BD、CE于D、E.【例15］已知，平行四边形ABCD中,E、F分别在直线AD、CD上,EF.//AC,BE、BF分别交AC于M、N.,求证：AM=CN.【例16］已知如图AB=AC,BD//AC,AB//CE,求证:AM=NC,MN//DE.【例17］如图，△ABC为等腰直角三角形，点P为AB上任意一点，PF±BC,PE±AC,AF交PE于N,BE交PF于M.,求证：PM=PN,MN//AB.

【例18]如图,正方形BFDE内接于△ABC,CE与DF交于点N,AF交ED于点M,CE与AF交于点P.求证：(1)MN//AC;(2)EM=DN.EFEF【例19](X)设E、F分别为AC、AB的中点,D为BC上一点,P在BF上，DP//CF,Q在CE上，DQ//BE,PQ交BE于R,交CF于S,求证:RS【例20](※汝口图，梯形ABCD的底边AB上任取一点M，过M作MK//BD,MN//AC,分别交AD、BC于K、N,连KN,分别交对角线AC、BD于P、Q,求证:KP=QN.

技巧六：几何计算【例21】(2016年四月调考)如图,在^ABC中，AC>AB,AD是角平分线,A£是中线，BF±AD于G,交AC于点M,EG