因式分解的通用方法

massS.SIH33S・s^ss^、菖BrnBH*§£S3^s^s^sssff.assssu.sf^sffs.蓉丑ss^,liwa+ss・wfiw^lsmsI，»^H»»:ma+mb+mcnma+b+c)pwaB珍»»・(1二a+3(a&)na2&2a2&2xa+b=a&二(2)(a±s2na2±2ab+ba2±2ab+b2xa±b)2j(4)(a&)(a2+ab+b2)Httw—Fa3&3xa&)(a2+ab+b2).(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2caxa+b+92'(6)a3+b3+c3&abcn(a+b+c)(a2+b2+c2・ab・bcAajIII，s^s.a尸iMRHA〕as+as+bm+bn富」5=S8SM、、<SMsssM、»^WS18S»^3SS7Hsssnlffi・sisffsss.s:cnsm+cm)+(bm+bn)Ha(3+3)+b(m+s^r—H(m+K)(a+b)

92，^llHAI2ax—10ay+5by—bx

SMI-»1，'wlll，BQ^Iffiosn:WJ“»!!，Illu^lffio(p+q—^MP—q—^)Hz—z(q—u)ng—rq+qw—G)nkk-K8—号言—3:KH豪ds・KH^Iks・YI»_&+X—x)(x+x)n(X+§+(X—x)(x+X)n1+a)+(义—zx)HygJ」ttfsi-1a+a+具—片：占£K^ssss^n-(A—K)(g—<)n(g—<)(^—x)n(g—Qz)xg—(g—Qz)Kn(育+&0I—)+21M)Aq7—zg6+gzI+gQ9—zQ(b)(6)4a2x一4a2y-b2x+(6)4a2x一4a2y-b2x+b2yx2一2xy一xz+yz+y2a2-2a+b2-2b+2ab+1y(y-2)-(m-1)(m+1)(10)(a+c)(a-c)+b(b-2a)、十字相乘法.(一)二次项系数为1的二次三项式接利用公式x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)进行分解。特点：(1)二次项系数是1；岬1Hi-(9—x)(I—x)n(9—)(I—)+±(9—)+(I—)」1Q+K/—CKi话H葛，9霆fsm.iSWI+ZXI-Seuss(S+X)R+X)nSXZ+AS+Z)+j9+xg+w;tt•WTZB・ss£mxz、(vxQ.llgxl-lns,x-理TmxzgsHmsRS£.R3、卷9+^+w」ttH葛IxsInu■fiftBF4Hffi«妥—6"v«-L费卧wfW9£OABn・u+xq+zxtQwlsH^=sIK*+ffiwbf-£•MBK雷联*+BEffiQ+K^+sw•JmRQ皿■SMQV0su.s.RSSESSKWH—富)(D+KQ)(D+KQ)nu+Kg+z0-」zIIzzIDQ+DQngDQ+DQng(m)zIs七i(I)：苦ciKSI—M—^R)9S+品I—料(z)rNG)+?)wne^«Ksiun-H1H宥Is妻，9签N+宇I+MDKHa^IXKg97,awHN:3X2—二x+一。攀"X76)+75)n.11s:3x2—llx+10n(x—2)(3x—5)»&7,雷H»:E5X2+7X—6(3)10x2L7x+3(2)3x2—7X+2(4)—6y2+lly+1098.HAIa2—8ab—128z?2学：萝i»s,^ssss^.suws•1X8b1・16b8bx・16bucsob»」a2—8ab—128g*+『86+(—le)M+8bX(lie)n(a+8b)(a—16b)s8,雷HAa)M213xy+2y2(2)m16mn+¥2(3)R2—ab—e2(瑁)lsw^

29，2x2—7w+6y2X・2y1-2(-1)+(-2)=-32-3y(-3y)+(-4y)=-7y1-2(-1)+(-2)=-3解：原式=(尤一2y)(2x-3y)解：=(xy-1)(xy—2)(2)a2x2-6ax+8练习9、分解因式：（1）15x2+7xy一4y2综合练习10、(1)8x6-7x3-1(2)12x2-11xy-15y2(3)(x+y)2-3(x+y)-10(4)(a+b)2-4a-4b+3(5)x2y2-5x2y-6x2(6)m2—4mn+4n2—3m+6n+2(8)5(a+b)2+23(a(2)a2x2-6ax+8(8)5(a+b)2+23(a2-b2)-10(a-b)2义+寸—z(义+6+ZX)(I)KB豪Mlwffi

z(9+K9+ZK)nc(K+sH

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ZK+(9+Ks+3(9+KL+3E・s^£a+puqu§s(3oz—x)(I+wooz)n&—H)(I+Jo?)Hu—AI—&)kanJggJE、"soozsMrtti(9+x)(s+x)(z+w+x)(z)30Z—MiIAooz)Iz^ooz(I)KBlg^，羿s由I+ZHZ—寸X(寸+K寸—ZKXI+K)n(I+H)17+(17lx)(I+x)xn(寸+K寸)+(寸IKS—ZK)K起」ZQ—I+mN+ZH+寸X5—x)+AI—3+5+x)(z)ttB豪IXIsAz—W+X)n(寸+争—3(I+X)n(S+XS—I+X—ZX)(I+X)N(I—X)(I+K)S—(I+K—3(I+X)N寸+舟…(I)ttEB匿IXIS值皆隹1,K第二部分：习题大全经典一：一、填空题把一个多项式化成几个整式的的形式，叫做把这个多项式分解因式。TOC\o"1-5"\h\z2分解因式：m3-4m=.分解因式：X2-4y2=—.4、分解因式：-x2-4x-4=。将Xn-yn分解因式的结果为(x2+y2)(x+y)(x-y)，则n的值为6、若X-y=5,xy=6，贝口x2y-xy2=，2x2+2y2=。二、选择题7、多项式15m3^2+5m2n-20m2n的公因式是()A、5mnB、5m2n2C、5m2nD、5mn28、下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是(A、(a+3A、8、下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是(A、(a+3)(a-3)=a2-9B、a2-b2=(a+b)(a-b)C、a2-4a-5=a(a-4)-5dm2m3=

10.下列多项式能分解因式的是（(A)x2-y(B)x2+1(C)x2+y+y2(D)X2-4x+4•把(x-y)2-(y-x)分解因式为()(x-y)(x-y-1)B.(y-x)(x-y-1)C.(y-x)(y-x-1)D.(y-x)(y-x+1).下列各个分解因式中正确的是()A.10ab2c+6ac2+2ac=2ac(5b2+3c)B.(a-b)2-(b-a)2=(a-b)2(a-b+1)C.x(b+c-a)-y(a-b-c)-a+b-c=(b+c-a)(x+y-1)D.(a-2b)(3a+b)-5(2b-a)2=(a-2b)(11b-2a)若k-12xy+9x2是一个完全平方式，那么k应为()2B.4C.2y2D.4y2三、把下列各式分解因式：C、14、nx-ny15、4m2-9n216、m(m一n)+n(n-m)17、a3-2a2b+ab218、(x2+4)-16x219、9(m+n)2-16(m-n)2；五、解答题20、如图，在一块边长」=6.67cm的正方形纸片中，挖去一个边长》=3.33cm的正方形。求纸片剩余部分的面积。III21、如图，某环保工程需要一种空心混凝土管道，它的规格是内径d=45cm，夕卜径D=75cm,长l=3m。利用分解因式计算浇制一节这样的管道需要多少立方米的混凝土？（兀取3.14，结果保留2位有效数字）iDdDd22、观察下列等式的规律，并根据这种规律写出第(5)个等式。iDdDd⑴尤2-1=(x+1)(x-1)⑵X4-1=(x2+1)(x+1)(x-1)⑶X8-1=Cx4+1)(X2+1)(X+1)(X-1)X16-1=(X8+1儿4+1)(x2+1)(X+1)(x-1)经曲—•—J-/、•因式分解小结知识总结归纳因式分解是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，它和整式乘法互为逆运算，在初中代数中占有重要的地位和作用，在其它学科中也有广泛应用，学习本章知识时，应注意以下几点。因式分解的对象是多项式；因式分解的结果一定是整式乘积的形式；分解因式，必须进行到每一个因式都不能再分解为止；公式中的字母可以表示单项式，也可以表示多项式；结果如有相同因式，应写成幕的形式；题目中没有指定数的范围，一般指在有理数范围内分解；因式分解的一般步骤是：

（1）通常采用一〃提”、二“公”、三〃分”、四〃变”的步骤。即首先看有无公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤都不能实施，可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解；（2）若上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项（添项）等方法；下面我们一起来回顾本章所学的内容。通过基本思路达到分解多项式的目的例1.分解因式分析：这是一个六项式，很显然要先进行分组，此题可把分别看成一组，此时六项式变成二项式，提取公因式后，再进一步分解；也可把，，分别看成一组，此时的六项式变成三项式，提取公因式后再进行分解。解一：原式解二：原式=通过变形达到分解的目的例1.分解因式解一：将拆成，则有解二：将常数拆成，则有解二：将常数拆成，则有在证明题中的应用例：求证：多项式的值一定是非负数分析：现阶段我们学习了两个非负数，它们是完全平方数、绝对值。本题要证明这个多项式是非负数，需要变形成完全平方数。证明：，则因式分解中的转化思想例：分解因式:分析：本题若直接用公式法分解，过程很复杂，观察a+b，b+c与a+2b+c的关系，努力寻找一种代换的方法。解：设a+b=A，b+c=B，a+2b+c=A+B说明：在分解因式时，灵活运用公式，对原式进行〃代换”是很重要的。中考点拨求证：求证：在中，三边a,b,c满足1.若x为任意整数，求证:的值不大于100。将一、填空：（30分）1、若X2+2(m-3)X+16是完全平方式，则m的值等于。2、X2+x+m=(X-n)2则m=n=3、2x3y2与12x6y的公因式是—4、若xm-yn=(x+y2)(x-y2)(x2+y4)，贝Um=,n=。5、在多项式3y2•5y3=15y5中，可以用平方差公式分解因式的有，其结果是。6、若x2+2(m-3)x+16是完全平方式，则m=。7、x2+()x+2=(x+2)(x+8、已知1+X+X2++X2004+X2005=0,贝"x2006=.9、若16J-b）2+M+25是完全平方式M=10、X2+6X+(_)=(X+3)2,X2+()+9=(X-3)10、□、若9x2+k+y2是完全平方式，则k=。14、若x+y=4,x2+y2=6则xy=.12、若x2+4x-4的值为0，则3x2+12x-5的值。TOC\o"1-5"\h\z13、若X2-ax-15=(X+1)(X-⑸则a=。15、方程X2+4X=0,的解二选择题：(10分)1、多项式-a(a-x)(X-b)+ab(a-x)(b-x)的公因式是()A、-a、B、一a(a一x)(x一b)C、a(a一x)D、一a(x一a)2、若mx2+kx+9=(2x-3)2,则m,k的值分别是()A、m=—2,k=6,B、m=2,k=12,C、m=—4,k=—12、Dm=4,k=12、

3、下列名式：X2-y2,f2+y2,72-y2,（—X）2+（一〉）2,X4-/中能用平方差公TOC\o"1-5"\h\z式分解因式的有（）A、1个，B、2个，C、3个，D、4个4、计算（1-±）（1-1）（1-；）（1-《）的值是（）223392102A、1B、L,c._1,D.112201020三、分解因式：（30分）1、x4-2x3-35x22、3x6-3x23、25（x一2y）2一4（2y一x）24、9x4一36y25、x2一4xy一1+4y25、x2一4xy一1+4y26、x5-x7、ax2-bx2-bx+ax+b-a8、x4-18x2+81、代数式求值（15分）L已知2x-y=3，xy=2，求2x4y3—x3y4的值。®g(z+§8q—料)弦、+笛，rnegAX弦、寸！(I+O—K+X)皿、撤底耍必回>xw，CN导寸XZ+胃XMX8+ZMXZ(E)。斐刷寸CN招慝驱,(口—MTZR+膏)、云林菸皿幅出出反，1(A8，s蓄衣浴」、-寸昌写」一。」i—J(z)99.zxm—99.sx<.0(I)£)“・*由2、两个连续奇数的积加上其中较大的数，所得的数就是夹在这两个连续奇数之间的偶数与较大奇数的积。七、利用分解因式计算（8分）1、一种光盘的外D=11.9厘米，内径的d=3.7厘米，求光盘的面积。（结果保留两位有效数字）2、正方形1的周长比正方形2的周长长96厘米，其面积相差960平方厘米求这两个正方形的边长。几老师给了一个多项式，甲、乙、丙、丁四个同学分别对这个多项式进行了描述:甲：这是一个三次四项式乙：三次项系数为1，常数项为1。丙：这个多项式前三项有公因式丁：这个多项式分解因式时要用到公式法若这四个同学描述都正确请你构造一个同时满足这个描述的多项式，并将它分解因式。（4分）

经典四：因式分解一、选择题TOC\o"1-5"\h\z1、代数式a3b2-1a2b3,1asb4+a4bs,a4b2-a?b4的公因式是()22A、a3b2B、a2b2C、a2b3D、a3b32、用提提公因式法分解因式5a(x-y)-10b・(x-y),提出的公因式应当为()A、5a-10bB、5a+10bC、5(x-y)D、y-x3、把-8m3+12m2+4m分解因式，结果是()A、-4m(2m2-3m)B、-4m(2m2+3m-1)C、-4m(2m2-3m-1)D、-2m(4m2-6m+2)4、把多项式-2x4-4x2分解因式，其结果是()A、2(-x4-2x2)B、-2(x4+2x2)C、-x2(2x2+4)D、-2x2(x2+2)5、(-2)1998+(-2)1999等于()A、-21998B、21998C、-21999D、219996、把16-X4分解因式，其结果是()A、(2-x)4B、(4+X2)(4-X2)C、(4+X2)(2+x)(2-x)D、(2+x)3(2-x)7、把a4-2a2b2+b4分解因式，结果是()A、a2(a2-2b2)+b4B、(a2-b2)2C、(a-b)4D、(a+b)2(a-b)28、把多项式2x2-2x+1分解因式，其结果是()2A、(2x-1)2B、2(x-1)2C、(x-1)2D、1(x-1)222229、若9a2+6(k-3)a+1是完全平方式，则k的值是()A、±4B、±2C、3D、4或210、-(2x-y)(2x+y)是下列哪个多项式分解因式的结果()A、4x2-y2B、4x2+y2C、-4x2-y2D、-4x2+y211、多项式x2+3x-54分解因式为()A、(x+6)(x-9)B、(x-6)(x+9)C、(x+6)(x+9)D、(x-6)(x-9)二、填空题1、2x2-4xy-2x=(x-2y-1)2、4a3b2-10a2b3=2a2b2()

3、(1-a)mn+a-1=((mn-1)4、m(m-n)2-(n-m)2=()()5、X2-()+16y2=()26、X2-()2=(x+5y)(x-5y)7、a2-4(a-b)2=(•()8、a(x+y-z)+b(x+y-z)-c(x+y-z)=(x+y-z)・()9、16(x-y)2-9(x+y)2=()•()10、(a+b)3-(a+b)=(a+b)・(•()11、x2+3x+2=()()12、已知x2+px+12=(x-2)(x-6),则p=.三、解答题1、把下列各式因式分解。(1)x2-2x3(2)3y3-6y2+3y(3)a2(x-2a)2-a(x-2a)2(4)(x-2)2-x+2(5)25m2-10mn+n2(6)12a2b(x(5)25m2-10mn+n2(8)a2+5a+6(7)(x-1)2((8)a2+5a+6(9)x2-11x+24(10)y2-12y-28(11)x2+4x-5(12)y4-3y3-(11)x2+4x-5CNLnrnx9LnCN+&rA。"(CN)666+Z666(L。M贵着晅旺，CN。eg义X+WZXCN+参弦.IH用T+XCZ笛，rn8661X9661—M66IC66Ig四、探究创新乐园1、若a-b=2,a-c=1,求(b-c)2+3(b-c)+9的值。242、求证：1111-1110-119=119X109经典五:因式分解练习题4a3+8a2+24a=4a()；(a-3)(3-2a)=(3-a)(3-2a);a^b-ab-3=ab(a—b)()；(1-a)mn4-a~1=()(mn-1)；。，如够妒=(已a)+U=r一16()a2-6a+1=()2；源-(q曷—)(+&+9)；z3-y3-z2+2yz=k2-=()()；2ax-1Oay+5by—bx=2a()—b()—()()；TOC\o"1-5"\h\zx2+3x-10=(x)(x)；12.若m2-3m+2=(m+a)(m+b),则a=,b=31M1=OZL角'一阮+ab一角c：=(技+北)—()=(X);15.当m=时，x2+2(m-3)x+25是完全平方式.二选择题：1.下列各式的因式分解结果中，正确的是A.a2b+7ab-b=b(a2+7a)B.3x2y-3xy-6y=3y(x-2)(x+1)C.8xyz-6x2y2=2xyz(4-3xy)D.-2a2+4ab-6ac=-2a(a+2b-3c).多项式m(n-2)-m2(2-n)分解因式等于[](n-2)(m+m2)B.(n-2)(m-m2)C.m(n-2)(m+1)D.m(n-2)(m-1)在下列等式中，属于因式分解的是[]A.a(x-y)+b(m+n)=ax+bm-ay+bna2-2ab+b2+1=(a-b)2+1-4a2+9b2=(-2a+3b)(2a+3b)x2-7x-8=x(x-7)-8下列各式中，能用平方差公式分解因式的是[]A.a2+b2B.-a2+b2C.-a2-b2D.-(-a2)+b2C.-a2-b2(I+CU+嵬(I&I+UCU•a(I■rnErucu•g(cu■寸Eucu<e®<R1+3■寸+*宿国0里.9z*•aCNIJ寸CN4-I，sZT•<暇egEvgFTR、宿何汁^保<-—瞰z>91+>XE+ZX6W2e宿B®<R9I+zErn+£)8■寸Ern+NEW*T、IHX•a¥、THx•uml、IHX•g¥、IHX-<7R=n-R<Res>、XSRROHOI+>9ICN+CN>+CNXsa•wmaOToeg8•<TRegrn+寻，CNPTrn用+葛夜、I;*CNew，ZA.(m+1)4(m+2)2(m-1)2(m-2)2(m2A.(m+1)4(m+2)2C.(m+4)2(m-1)2(m+1)2(m+2)2(m2+3m-2)2.把x2-7x-60分解因式，得B.(x+5)(x-12)A.(x-10)(x+6)B.(x+5)(x-12)C.(x+3)(x-20)D.(x-5)(x+12).把3x2-2xy-8y2分解因式，得B.(3x-4)(x+2)A.(3x+4)(x-2)C.(3x+4y)(x-2y)D.(3x-4y)(x+2y)B.(3x-4)(x+2)C.(3x+4y)(x-2y)D.(3x-4y)(x+2y).把a2+8ab-33b2分解因式，得A.(a+11)(a-3)(a-11b)(a-3b)A.(a+11)(a-3)(a+11b)(a-3b)(a-11b)(a+3b).把x4-3x2+2分解因式，得A.(x2-2)(x2-1)(x2-2)(xA.(x2-2)(x2-1)C.(x2+2)(x2+1)D.(x2+2)(x+1)(x-1).多项式x2-ax-bx+ab可分解因式为[]A.-(x+a)(x+b)B.(x-a)(x+b)(x-a)(x-b)D.(x+a)(x+b).一个关于x的二次三项式，其x2项的系数是1,常数项是-12，且能分解因式，这样的二次三项式是[]x2-11x-12或x2+11x-12x2-x-12或x2+x-12C.x2-4x-12或x2+4x-12以上都可以.下列各式x3-x2-x+1,x2+y-xy-x,x2-2x-y2+1,(x2+3x)2-(2x+1)2中，不含有(x-1)因式的有[]A.1个B.2个D.4个[](x-6y+3)(x-6x-3)-(x-6y+3)(x-6y-3)C.-(x-6y+3)(x+6y-3)D.-(x-6y+3)(x-6y+3).下列因式分解错误的是[]a2-bc+ac-ab=(a-b)(a+c)ab-5a+3b-15=(b-5)(a+3)x2+3xy-2x-6y=(x+3y)(x-2)x2-6xy-1+9y2=(x+3y+1)(x+3y-1).已知a2x2±2x+b2是完全平方式，且a,b都不为零，则a与b的关系为[]A.互为倒数或互为负倒数B.互为相反数相等的数D.任意有理数A.不能分解因式B.有因式x2+2x+2A.不能分解因式(xy+2)(xy-8)D.(xy-2)(xy-8).把a4+2a2b2+b4-a2b2分解因式为[]A.(a2+b2+ab)2B.(a2+b2+ab)(a2+b2-ab)(a2-b2+ab)(a2-b2-ab)D.(a2+b2-ab)2.-(3x-1)(x+2y)是下列哪个多项式的分解结果[]A.3x2+6xy-x-2yB.3x2-6xy+x-2yC.x+2y+3x2+6xyD.x+2y-3x2-6xy23.64a8-b2因式分解为[]A.(64a4-b)(a4+b)B.(16a2-b)(4a2+b)C.(8a4-b)(8a4+b)D.(8a2-b)(8a4+b)24.9(x-y)2+12(x2-y2)+4(x+y)2因式分解为必宿B®<RCN(q&寸+&q，嵬寸■CN(q+E里•9CNcn(txtq)•0CN(I+>CN，xm)•uCN(I+>CN+Xrn)•gCN(I^Irn)-<7R®<R宿BI+(>乎xm)CN■cn(xt&•LnCNz舄，X，•a舄+xm)舄，xm)•uCN(>+xLn)•gCN(>ILn)-<I•s0-<TRegm夜、(>+x乎1)必宿B<-—/十CN>ux¥>xizw•8CN(q-EZU-0z(q+EZU•uCN(q3)u•gCN(q+Eu•<必宿B®<RCN。，Ezq+(u+q)。&q用■CN。+q)CNp里•口CN(q+w)•aCN(vqrn)•uCN(*qrn)•sCN(q3m)-<C.-1.分解因式3a2x-4b2y-3b2x+4a2y，正确的是[]A.-(a2+b2)(3x+4y)B.(a-b)(a+b)(3x+4y)C.(a2+b2)(3x-4y)D.(a-b)(a+b)(3x-4y).分解因式2a2+4ab+2b