相似三角形的性质-练习题(有答案)

18.6相似三角形的性质同步课堂检测学考试总分：120分考试时间：120分钟学校： 班级: 姓名: 考号:、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）/下的3处走到。处时，测得影子丽的长为1m,继续往前走3m到达E处时，测得影子EF的长为2e,他的身高是［1,5m,那么路灯内的高度八8二G）A.. B. C.‘ D..出.如图，在|△川M中，若\AD:BD=1.2,若AdDF的面积等于2|,则△川北的面积等于（）A. B. C.L』 D.；.如图，△八中，DE//W,如果71D=1,西三圆那么面的值为（）1B.41C.1D.中,，月CB=90"，1B.41C.1D.中,，月CB=90"，0D是4B边上的高,捶=44日二9则近三！）AB.D.'5.如图，是Rt△/1以「斜边八B上的高，|CD=6,M= 则|43的长为（）A.l'j B.A.l'j B.：J C.2:1,则这两个三角形的周长比为（ ）A. B.R C.D.D.I3,4|,目，另一个与它相似的三角形中有条边长为 6,3,4|,目，另一个与它相似的三角形中有条边长为 6,则这个三角形的周长不可能是（ ）72A.亏B..C. D.,△71日C,的面积被平行于它的一边KC的两条线段三等分，如果BC=12cm,则这两条线段中较长的一条是（）A.C.「；A..如图，KtA/l放;中，ACIBCCD平分交"C于点DE■L/tD交4H于点E,间为4E的中点，的F1SC交CA1的延长线于点孔瓯三4,8=3.下列结论①"ED二"QC；②霁=；;③心B〃=12；④3RF=MC],其中结论正确的个数有（）A1个B.2个C3A1个B.2个C3个 D：1'个.如图，D、E分别是△川?C边48、上的点，DE//AC,若&履色ge=13,则而的值为（）A.B7D.A.B7D.二、填空题（共10小题，每小题3分，共30分）⑴若DE//HC（用型（图1）和犬型（图2））则（2）射影定理：若CD为舟△/1&；（2）射影定理：若CD为舟△/1&；斜边上的高（双直角图形）图3则Rt△AECX出△ACDs咫△CHI）12.如图,图中线段的长_△人斤心的周长为12cm，则的周长为14.如图，已知AEHBd\,AC,»日14.如图，已知AEHBd\,AC,»日交于点口,若△AB。中，口、E分别在/IB、\AC±,力0=3,8。=2,|力£=101FC=4,则_也4QE；S△A__ △4HC中，P是〃〃上的动点（P异于小R〕,过点P的直线截△AHC,使截得的三角形与△ABC相似，我们不妨称这种直线为过点 P的&ABC的相似线，简记为（X为自然数）.⑴如图①，"=90：,（8二”,都是过点忸的△人比:的相似线（其中此外还有 此p（4）截得的三角形面积为△,月。面2,士C 此p（4）截得的三角形面积为△,月。面2,士C=90”，点D为腰占心中点，点E在底边乡5上，且I积的录17.如图，在中，AC=HC=则段'的长为-

18.已知：如图，在〔△8/?（",匕18.已知：如图，在〔△8/?（",匕|CB=90口，CDLAB,垂足是|口，EC= ,忸。=1.求AD-.1:3,那么这两个三角形面积的比是20.若△HBOfAOEF,△山/C的面积为giGn）的面积为36um2,且/IB=lZcm则0E= __i.、解答题（共6小题，每小题10分，共60分）21.如图，已知D,21.如图，已知D,E分别是△月8。的从日，上的一点,DE=4,求&C的长.DE//HC,0U=7|,\AD=2,△4HC中，仞平分工RAC,EA4是川D的中垂线，交B0延长线于E,求证:de2=bece..如图所示，在△山?。中，点D是5网上一点，连接CE,△谢-以八8且八。二4,KD=5.求△/!（；口与△外出7的相似比..如图，在△乩孔中,HDUC,CEUB,垂足分别为D、|E,连接DE,试判断^ADE与△小出?是否相似，并说明理由？

.如图，在Rt△48。中，USC=90°，点口为8。边上的点，H尸于点E,延长BE交力。于点F.(1)证明：RE^二AEDE；A88D_而三比二11FFC并说明理由.答案11.^ADE -ADADHDAHBD13.I14.15.11」目16.1§或不17.18.-19.120..解：加|、£分别是△?!/?(?的加、力C边上的点，DE〃HC|,..△如卜△八sADM=2:7DE:瓦=2R.W；=14..证明:连接•；.•・EM是力。的中垂线,EA=EDL.EDA=LEAD・,且乙EZM="+EBAD,^EAD=LDAC+

\lCAE=zifl,^eLlAEC=lBEA,：.^AEC-ABEA,?故△ACD与△48。的相似比为:24.解:相似.理由如下:而三通?丹a, 边上的高,•工A是公共角，・.△ADE,△*丈25.相似三角形的性质知识精要相似三角形对应边的比称为这两个三角形的相似比，形似比用字母 k表示。如AABS△ABC',则幽_BC_CALk,注意：相似比具有方向A'B'B'C'C'A'性，若写作△A'B'C's/XABC则相似比为-ok根据合比容易得到“相似三角形的周长比等于相似比"，记^AB/必A'B'C'的周长分别为CABC和CA'B'C'，则CABC：CA'B'C'k.类型一相似比与周长比在有关相似三角形的计算问题中，通过对应边的比例式建立方程式常用的方法。例题精解例1如图，已知等边三角形ABC勺边长为6,过重心G作DE//BC,分别交AB,AC于点D,E.点P在BC上，若^BDP与△CEPff似，求BP的长。的1H//A?'FjAliAh6.ABDI1代理CE'士/(:一:要使ABDP与ACEP相似，有的科情笈：BPCE设F=*♦卯」一=一小±，/―6x—4

BPCE—3±v写.—=—tvBD=CE,上13产JPCA3.BPPC二3fjp=3+J5或3—75或3时，ZiBDP与ACEF相似,

点评：这是一类常见的有关三角形相似的分类讨论的问题。图中只能确定一组相等的角(/B=/C)为对应角，但“这个角的两组夹边对应成比例”的比例式排列顺序还不能完全确定，因此要分为两种情况进行讨论。【举一反三】1、如图，△ABC^,CD是角平分线，E在AC上，CD=CB・CE.(1)求证：△AD曰AACD(2)如果AD=6AE=4DE=5求BC的长。、"：一HUD、"：一HUDZ/X'r.A△BCDsAPCE.二HIX'=/DEC.A^ADC=ZAED.U：/4=NA.，△ADFs△八CD.:'：:'：AADEgoAz\CD,.ADAEDE*AC=ADDC；J。=6,AH=4,DE=5.ADAEADAE点评：先根据判定定理2得到△BCMz\DCE再根据乎U定定理1得到△ADE^AACD这种类似于“二次全等”的“二次相似”是证明相似三角形常用的方法。2、如图，ZXABC中,DE〃BE,分另交AB于D,交AC于E。已知AB=7BC=8AC=5且/XADEf四边形BCED勺周长相等，求DE的长。«;L：J'Zttlfrlltitj-却“到力和㈠一”*TOC\o"1-5"\h\z:..1H(i^ttift'ILtJt*=--= ™k।7H5A1「 ，*/”：X#・」E 5此E；但LH「IE口H$H「+「E,即"+54=(7-7n+E+(5徒人耳小=? :已代咏氏为未知所列方程）设DE==；fE/>C..'.能=龄■二=:工，同理AE——rtijEfit 8 8由也葭一二=卜-5）+（5-於）+8•解得*=g,二DE点评：无论是以相似比k作为未知量，还是以DE=x作为未知量，目的都是为了把其他的量用k或x来表示，根据题设的等量关系列方程。这一解题思路可称为“方程思想”，这是用代数方法解决几何问题的基本思想。3、如图，正三角形ABC的边长为1,点E,F分别在边AB,AC上，沿EF将4AEF翻折，使点A恰好落在BC上的点D.已知AE:AF=5:4,求BD的长。证明’；△XBC是等边三箱形，:ZA=/氏V一八EF翻折得到&D£F,工/EDF=/A,1=/E「F.'；^EDC-ZB+ZBETP=NEDF+4DF,；1HEU=/CDF.ZB-/('JABED09，DE=AE,DF=AFfAC-〔 =DE$DF-AE*AF=5l4.试HI」=.t.则RE+Ely=tJE十EM—It***C八,Ke=1…上网理C”..1daf—£一h.J—，,*■2,口口启D=g.〜工4 3 1

AE5一点评：本题的难点是将比值——？转化为△BED?口z\CDF勺相似比和周长比。AF4类型二相似比与对应线段之比如图AABS△ABC',相似比为k,若AH,AM,AE和A'H',A'M',A'E'分别是△ABCffi△ABC'的高、中线和角平分线，则AH AM--k0A'H'MA'M'A'E'广义地说，所谓“对应线段”应当包括两个相似三角形对应位置上的所有对应线段，如上图广义地说，所谓“对应线段”应当包括两个相似三角形对应位置上的所有对应线段，如上图2中BE和B'E',ME和M'E'等；而相似三角形对对应位置上的所有三角形也都是相似三角形，如图2中的AABE^△ABE',z\AM团△A'M'E'等。例2如图，△ABC中，D在BC上，/DACWB,角平分线CE交AD于F.已知BD=1DC=3.求CF:EF的值。,AC/;(■*DC=4C二小J=I」心=3•二AC7-BC-DC=12,AC=工枭.CE分别是ADAC和AAUC的角平分线.・叱_江_2有代.CF痣「FF—丁.二,EF= =21+&点评：本题考查了相似三角形中对应角平分线的相似比问题。【举一反三】1、如图，/BAE=90,AB=AC=CD=DE是BC的中点,联结BE,BD,DF.(1)找出图中的相似三角形并说明理由；(2)求DF:DB的值。

解门―CHE3s/MF0,则it7b\V<JJ-DE.L'F-FZJ,二FD必HE十二L「FD『二#R£丫.Ji.lE-9C\AB-AC=CD=DE.：*(HMi:+AC1=2AC1-AC-MC=CD-CE.0,CE,.zbcD=Z^CBtAACDBACBE.Cl)CB一「REs△匚口BsA「F/X白DFCD72'：乙CDDsAC'HE"口尸、DB是对应中就，,万石=而』彳点评：第（2）小题也可以将DF看作是△CFMz\CDB勺对应边之比。DB2、如图，RtzXABC中，CD是斜边AB上的高，DHAC,DF!BC,垂足分别为E,F。求证：DE2:DF2=AD:DB.证明:，ac一例二_」=_=浜/乂V-NLDH二四)，△ADC.5ACDB.rDE,DF分网足△4DC和48B的对应商..,2八小DE1.干一.五±= rm—, BC2DF1'又二$ ="AD*CD,久亡咄«^DB-CD，J：£ 2 3点评：解题思路从相似三角形的面积比入手。一方面，相似三角形的面积比等于相似比的平方；另一方面，登高的三角形面积之比等于相应的边长之比，从而建立起与线段平方比有关的比例式。3、一块直角三角形木板的两条直角边AB长为1.5米，BC长为2米，工人师傅要把它加工成一个面积最大的的正方形桌面，请甲乙两位同学进行设计加工方

kJHIHH点评：利用“相似三角形的对应高之比等于相似比”，是解三角形的内接矩形问题的常用方法。类型三相似比与面积比相似三角形的面积之比等于相似比的平方。例如，如图1-4-12,△ABC中，D,E和F,G分别是AB和ACkJHIHH点评：利用“相似三角形的对应高之比等于相似比”，是解三角形的内接矩形问题的常用方法。类型三相似比与面积比相似三角形的面积之比等于相似比的平方。例如，如图1-4-12,△ABC中，D,E和F,G分别是AB和AC的三等分点，则^ADF,^AEG△ABC勺周长比是1:2:3,面积比是1:4:9,而DF,EG等△ABC分成的三部分面积之比1:3:5.Q乙激汁的正为酎臬陆边长为3射.二口产步 KtAHPEFRr&R1L.同号Q计的方XiL方花百积拉大.MI'jH巾Kl/Wfmic上的塞《『庄FP"1f"唱二能吟声看,kmm।।g•若甲设计的正力形束断边氏为工米.nr「『jtil/'/-•得RtZSCDEsRtACBA,△」=?.即ABKCLS2另外，两个有公共高的三角形的面积之比等于对应的底边之比。例如，如图1-4-13,△ABC中，/另外，两个有公共高的三角形的面积之比等于对应的底边之比。例如，如图1-4-13,△ABC中，/C=90°,、 S AC2CD是高，则4AD&CDB,S-AD^'，另ScdbBC2S外，CD是它们的公共高，故注SCDBAD,这样我们就很容易得到一个比例式:DB2果警这种证明方法称为“面积法”例3如图，△ABC中，过重心G作DE〃BC分别交AB,AC于点D,E,作DF//AC交BC于点BC于点F.求证：SADE S四边形DECF。证明联结AG并抵长交干点M.丁G为zXABC的重心为中线.凡笠号.

『尸AAADh： /.■UJr『尸AAADh： /.■UJr则5•.而FAGAMfit)\Ii口FAC.AADBFAABC\S^ifrS^t>rih=51~s~s=G''，"'§耳=5西进.口el'f"点评：这个结果说明，三角形ADE与四边形DECF这积相等，这种等积变换很难通过画平行线的方法验证，只有利用相似三角形的性质通过计算来验证。【举一反三】1、如图，△ABC^,点D在BC上，/DACWB.求证：AB2:AD2=BC:DC.证朋力法一士丽1-彳-15,过点八作八口_LU。JF:、w=J"<lit5AfMt=1八"''心:*£皿：Syw=tDUV」L10=/B,且/八CHqNACD，/.AAJiCs/\D4C*二：S/kMc=AB:AD*，48工..AD1=BC：DC.Ap Dp4R AC方篦二,由△4BCsADAC,得黑=色・笑♦公,两式相果即得AD ACAD DCAB2MDZ=HC：DC.2、如图，梯形ABCDKAD〃BC,AC交BDTO.(1)若Saod2、如图，梯形ABCDKAD〃BC,AC交BDTO.(1)若Saod8,SBOC18,求Saob;(2)若Saod2Qm，SBOCn2（m,n为正数），试用m,n表示梯形ABCD勺面积S.‘：占"心"AMB有相网的高*，黑S.‘：占"心"AMB有相网的高*，黑-二-2smM-123日MinUDN 2f2i由门山」的证明.可蹲5」山n,八心*_空_OP_AUrit_ »3-=BC7"京，而h就一;，曰S一SA«K-x'mm-mft.:S-n「+/+2tnn=(m+n)’.点评：在梯形中，两条对角线将梯形分为4个小三角形，其中分别以两底为边的两个小三角形是相似关系，它们不可能全等（因为两底是对应边，不可能相等）；另两个以腰为边的小三角形是等积关系（面积相等） ，它们可能全等（当等腰梯形时），但不可能是非全等的相似关系。3、如图，平行四边形ABCDfr,AHBC于E,AF，CDTF,联结EF,AC.（1）求证：△ABSAEAF.（2）若AB=3BE,AD=9平行四边形ABCD勺面积为3672,求EF的长Ub*Ji<4打-/J.，/"HiAfi..tiKAt-!Cl).AFiAH, -刖j"_/H4忖-/FjIf*AHC/zAK.lA.丁「其打「口中51品mm=AF,自C=我,£1C■△山.- 3672 ,b■Ahh----=1V2t产,**Aii-3SE,二改修E一八八0-3*.:也斤二/用，H炉=/®F"_2®.由2图=4也，得去-Z.HK-Z.AB-6*AEC=BC-BE-9-2=7¥而AAEC中.JU?-?AE'+"，=J14统”=91VA4BCs£^EAFt/,——, EF=X‘推i区ACEF 6内容提炼1、相似三角形的性质包括三个方面：(1)由定义确定的性质----相似三角形的对应角相等，对应边成比例，对应边的比值称为相似比，用k表示；注意相似比的“方向性”，必须是排在前面的三角形边长除以排在后面的三角形边长。若^ABS4DEF则当k>1时，说明由△ABC到4DEF是缩小的；当k<1时，说明由△ABC到△DEF是放大的；当k=1时，AABCi△DEF,因此，全等是相似的特殊情况。(2)性质1:相似三角形对应线段的比等于相似比， “对应线段”包括对应角的角平分线，对应边上的中线和对应边上的高。实际上“对应线段”还可以推广到两个相似三角形的对应位置上的任何一种对应线段，例如：两个相似三角形外接圆半径的比、内切圆半径的比都等于相似比。(3)性质2:相似三角形面积的比等于相似比的平方，实际上还可以推广到两个相似三角形对应位置上的任何图形的面积比都等于相似比的平方，例如：两个相似三角形外接圆面积的比、内切圆面积的比都等于相似比的平方。2、学习本节内容时要克服一些常见的错误。例如：(1)在利用相似三角形的性质时，在书写过程中忘记交代“相似”这一条件，或是没有注意对应关系。(2)误认为通过“两个三角形的周长比等于某一对应边的比”或“两个三角形的面积的比等于对应边的平方比”就可以判断这两个三角形相似。(3)在运用性质2时忘记加平方，认为面积比等于相似比。巩固提高(必做题，要求步骤完整，逻辑清晰)1、如图，DF〃EG//BC,AD:DE:EB=1:2:3,如果蚪为4ADF面积，S2为梯形DEGF面积，S3为梯形EBCG面积，那么&:S2：S3为()(A)1:4:9; (B)1:9:36; (C)1:8:27; (D)1:7:192、已知一个三角形的三边之比为 3:4:5,与此三角形相似的另一个三角形最短TOC\o"1-5"\h\z边的边长为6cm^则另一个三角形的周长为( )(A)12cm;(B)24cm;(C)36cm;(D)48cm3、若一个三角形的一条边长为6