计算机与信息技术学院-大二2.3概率论数理统计

上节课 对任意的自然npn0;⑵n

X~B1p若X表示n重贝努里试验中成功出现的次数X~B(n,pnPXkCn

pk1

k0，1，，n掌握kPXkk

e k0，1，2，k!Poisson定理的若 量X~Bn，npn则有PXkCn

pk1 PXk1 k1,2,, F(x)P{Xx}F(x是一个单调不减右连续的函数；0FxF()0,F()PaXbFbF1PXaF(a)F(a -

14-

2 第二章 §4连续型随 均匀正态分布与标准正§4连续型 量的概率密§4连续型 量的概率密一、连续型 量的概念与性1)定义如果对于随 量X的分布函数F(x)，存在非负函数f(x)，使得对于任意实数x，有xF(x) f(t)dt 量，其中函数f(x)称量的分布函数F(x)是连续§4连续型 量的概率§4连续型 量的概率密由定义知道，概率密度f(x)具有以下1020

f(x)0.f(x)dx

f(前两个条件是概率的充分必1 30 P{ Xx}F(x)F f0

f(x)dx.(x1

x2§4连续型 量的概率§4连续型 量的概率密40 若fx)在点xF(x)f(x).即f(x) limF(xx)F(x)x0 lim P{xXxx)x0 若不计高阶无穷P{xXxx}f(x)x.

fFF(x)xf(t)dt, xxx§4连续型 量的概率密§4连续型 量的概率密注意连续型随量密度函数的性质与离散型随机我们不能认为：PXafa连续型 量的一个重要特点设X是连续型 量，则对任意的实数a， PXa§4连续型 量的概率§4连续型 量的概率密说明⑴由上述性质可知，对于连续型 量，若已知连续型 量X的密度函数为f，X在任意区间（G可以是开区间也可以是闭区间，或半开半闭区间可以是有限区间，也可以XG

§4连续型 量的概率§4连续型 量的概率密例1设X是连续型 量，其密度函数c4x2x20x 其求：⑴常数c；解

⑵PXfxdx§4连续型 量的概率§4连续型 量的概率密2得12

fxdx

c4x2x2

c2x

2x3 83

c

PXGf所以，8

G223 2⑵PX 1

xdx84x2 1232x

2x3 8

§4连续型 量的概率§4连续型 量的概率密例2某电子元件 X（单位：小时）是 xfxx

x 量．求5个同类型的元件在使用的前150小时内恰有2个需要更换的概率.解设A某元件在使用150小时内需要更换第二 2（续

150

§4§4连续型 量的概率密

则PAPX150fxdx

dxx 100 可以看作是在做一个5Bernoulli设Y表示5个元件中使 不超过150小时的件数

Y~B(5,1/3 故所求概率为P{Y2}C

1

2

3

3 §4连续型 量的概率密§4连续型 量的概率密例 设 量X的密度函数 0xfx2 1x 其它X的分布函数．解 当x0时，Fxftdt 当0x1时，Fxftdtftdtf §4连续型 量的概率密§4连续型 量的概率密3（续x xtdt 当1x2时 ft ftdtftdtf tdt2t 1x22x2§4连续型 量的概率密§4连续型 量的概率密3（续x当x2时，Fxf 1 22t2011ftdtft1 22t2011量的概率密§4连续型量的概率密§4连续型3（续综上所述，可得随 量X的分布函 x xFx

2 2x221

0x1x2量的概率密§4连续型量的概率密§4连续型二、一些常用的连续型 若 量X的密度函数 axfxb 其则称随．

X服从区间a上的均匀分布X~U[a§4连续型 量的概率§4连续型 量的概率密密度函数设X~Uab，fx是其密度函数，则有：任意的x，有fx0 ⑵fxdxfxdxfxdxf badx1a由此可知，

ax b

确是密度函数． 其§4连续型 量的概率密§4连续型 量的概率密说明似地，我们可以定区间上的均匀分布；区间b上的均匀分布；§4连续型 量的概率§4连续型 量的概率密均匀分布的概率如果 量X服从区间a，b上的均匀分布，则 X在区间ab上的任意一个子区间上取值的概率与该子区间的长度成正比，而与该子区间的位置这时，可以认为 量X在区间a，b上取值是等可的cP{cXcl}

f(x)dxXc XX dx bX b b §4连续型 量的概率§4连续型 量的概率密均匀分布的分布 量X服从区间a，上的均匀分布，则X的分布函数为 xbFxx ab

F1 b

§4连续型 量的概率§4连续型 量的概率密如果某乘客到达此站的时间是7:00到7:30之间的均 率解：设该乘客于7时X分到达此站 则X~U0，其密度函数为

fx

0x 其它令：B={候车时间不超过5分钟 PBP10X15P25X15 10

dx

3011 dx1125 §4连续型 量的概率密§4连续型 量的概率密例6设 量Y服从区间1，3上的均匀分布试求方程4x24Yx(Y2)有实根的概率．解： 量Y的密度函数为fy 1fy 其它fy1fy141y其§4连续型 量的概率密6（续设：A方程4x24Yx(Y2)0有实根PAP4Y244(Y20PY1Y20PY1或Y1 10dx4 14§4连续型 量的概率§4连续型 量的概率密如果 量X的密度函 e

xx其中0为常数，则称随 量服从参数为的指数分布,记作X~E()．若 量X服从参数指数分布，则X的分布函数Fx

x1e

x§4连续型 量的概率§4连续型 量的概率密指数分布常用各种“”分布的近似，如无线电元件的，动物的，问题中的通话时间，随 对于任意s,t>0,有P{Xst|Xs}P{Xst,XP{XP{XstP{X

1F(st)1F(s)

e(st eFx01xFx01xx §4连续型 量的概率§4连续型 量的概率密例7设打一 所用的时间X（单位：分钟）以1/10为参数的指数随 量．如果 刚好在你前面走进公 ，求(1)你需等待10分钟到20钟之间的概率;(2)若已经等了10分钟，还需再等10分钟的概率．X的密度函数

10fx10

e10 x 令：B={等待时间为10~20分钟

x则PBP10X

10x20xe1010

10e1e 第二 7（续

§4连续§4连续型 量的概率密10fx10

e100

xx(2所求概率为

PX20|XPX10

e10 10e10

e110§4连续型 量的概率§4连续型 量的概率密如果连续型 量X的密度函数f

x2

x 其中，0为参数则称 量X服从参数为，2的正态布．记X~N，2

f §4连续型 量的概率§4连续型 量的概率密标准正态01，我们N01为标准正态分布标准正态分布的密度函数为1x1x

x§4连续型 量的概率§4连续型 量的概率密密度函数设X~N2，fx是其密度函数，则有：xfx e 2 2 x下面验证：fxdx

2

x2

dx§4连续型 量的概率§4连续型 量的概率密密度函数的验证22

首先验证：xdx22

2dx2 或验证：

2dx x 为此，我们只需证明：e2dx x

x

y e

2dx

2dxx y

2

x2y

2 2dxdy

§4连续型 量的概率§4连续型 量的概率密密度函数xrcosyrsin x r e

2dx

d

2r22e

2 2因此，

2dx §4连续型 量的概率§4连续型 量的概率密密度函数下面验证

x2

2

dx作变换uxdu x

1则 2

2

dx

2

2 2 2§4连续型 量的概率§4连续型 量的概率密密度函数综上所述fx

12

x 2

x满足密度函数的两项基本条件，因此fx确是一个密度函数．§4连续型 量的概率§4连续型 量的概率密正态分布密度函数的图对于正态分布的密度函数fx 2数

x 2

x由高等数学中的知识，我们有：线关于直线x对称，这表于任意的h0，有

fPhXPXh0

§3连续型 量的概率§3连续型 量的概率密正态分布密度函数的图形性质（续xfx取到最大值f

2x离越远，fx的值就越小．这表明，对于同样长度的区间，当区间离越远时，随机变量X落在该区间中的概率就越小．f0

§4连续型 量的概率§4连续型 量的概率密正态分布密度函数的图形性质（续yfxx处有拐点；曲线yfx以Ox轴为渐近线．⑷若固定，而改变的值，则fx的图形沿x轴平行移动，但不改变其形状．因此yfx图形的位置完全由参数所确定．

f0

§4连续型 量的概率§4连续型 量的概率密正态分布密度函数的图形性质（续改变的值，由于fx的最大值

2越小时，yfx图形越陡X落在附近的概率越大越大时，yfx的图形越平坦，这表明X的取值越分散．f §4连§4连续型 量的概率密正态分布的重⑴正，大量的随机现象都是服从或近似服从正态§4连续型 量的概率§4连续型 量的概率密标准正态分布的计如果 量X~N0，1，则其密度函数xx其分布函数为x

e

, txtdt

2 x2§4连续型 量的概率§4连续型 量的概率密标准正态分布的计算（续对于x0我们可直接查表xPX如果x0，我们可由

(2 xtdt

2

2作变换tu，dtduxx x2

2

-

2du 2

2

2

1x第二 一般正态分布的

§4连续型 量的概率密设X~N2，则YX~N(01FYyPYy

X

P{Xt

2

t2 作变换u 1

du入上式yyYFy 2 yY2

X x

xFX(x)P{Xx}P{

} §4连续型 量的概率§4连续型 量的概率密一般正态分布的计算（续其中，x是标准正态分布法故对任意的

(xFX(x)bP{aXb}(b-)(a §4连续型 量的概率密§4连续型 量的概率密例8设 量X~N0，1，试求⑴P1X2；⑵P1X解：⑴P1X220.97725 ⑵P1X22210.977251 §4连续型 量的概率§4连续型 量的概率密例9设 量X~N2，9，试求：⑴

P1X⑵PX解：

PX⑴P1X5F(5)F(52)(12)11 3

10.841340.629303§4连续型 量的概率密§4连续型 量的概率密⑵PX261PX21P6X21P4X1[(82)(42 1221210.97725§4连续型 量的概率§4连续型 量的概率密⑶PX01PX1(02312 32

3§4连续型 量的概率密§4连续型 量的概率密例10假设某地区成年男子的身高(单位：X~N(170,7.692 该地区成年男子的身高超过175cm公共汽车门的高度是按成年男子与车门碰头机会0.01以下来设解（1）PX175}1PX175}1(175170)1(0.65)P{Xh}§4连续型 量的概率§4连续型 量的概率密例10（续P{Xh}即PXh而PXh

h170

查表得(2.33)0.9901所以h170