数学文化与数学思维课件

数学文化与数学思维

主讲教师：邮箱：1教材教材：《数学文化》作者：顾沛出版社：高等教育出版社2其他参考书目《数学文化》（第2版），方延明编著，清华大学出版社，2009《数学文化赏析》，李改杨，罗德斌，吴洁，周军

编，科学出版社，2011《数学文化与欣赏》，潘建辉，李玲编著，北京理工大学出版社，2012.《艺术数学》，马传渔，邵进，李栋宁，

编著，科学出版社，2012《数学思维方法》，蒋志萍，汪文贤著，浙江大学出版社，2011

3序言一、学习“数学文化与思维”的目标二、什么是数学三、数学的魅力四、习题56一、学习“数学文化与思维”课的目标了解数学的历史、拓宽对数学的认识引起对数学的兴趣感悟数学思维、精神提高数学素养《数学文化与数学思维》课的特色《数学文化与数学思维》课虽然要以知识为载体，却并不以系统传授数学理论知识为主要目的，而是以教授数学的思想为主，以提升学生的教学素养为主。7《数学文化与数学思维》是从数学问题、数学典故、数学观点等角度切入，并以它们为线索来组织材料，进行教学。数学素养爱因斯坦说：“你把所学的数学定理、数学公式、数学的解题方法都排除，都忘掉以后，还剩下的东西，就是数学素养。”因此，通俗地说，数学素养，就是，“把所学的数学知识都排除或者忘掉后，剩下的东西”。

8数学素养从数学专业的角度来说，数学素养包括：（1）主动探寻并善于抓住数学问题的背景和本质的素养；（2）熟练地运用准确、简明、规范的数学语言表达自己思想的素养；（3）具有良好的科学态度和创新精神，合理地提出新思想、新概念、新方法的素养；（4）对各种问题以“数学方式”理性地思维，从多角度探寻解决问题的方法的素养；（5）善于对现实世界中的现象和过程进行合理的简化和量化，建立数学模型的素养。10为什么现代大学生需要良好的数学素养数学的重要性体现在三个层面：一个人不识字可以生活，但是若不识数，就很难生活。一个学科只有当它成功地运用数学的时候，才算达到了成熟的程度。一个国家科学的进步，可以用它消耗的数学来衡量。12在普通人眼中，数学神秘而深奥，让常人难以捉摸。数学与文学风马牛不相及。前者是理性思维，后者属形象思维。在许多人们心目中，数学家生活在高耸入云的象牙塔里，埋头在成堆的公式和符号之中，日夜痴迷于数学，时时都在与数字和定理打交道。事实上，历史上许多大数学家都有较好的文学素养，在他们身上数学与文学已熔于一炉，真正做到了文理渗透。更有一些数学家对诗歌情有独钟。数学家的文学素养数学家的文学素养笛卡儿认为“诗是激情和想象力的产物”，诗人靠想象力让知识的种子迸发火花。莱布尼兹从小就对诗歌和历史怀有浓厚的兴趣。他充分利用家中藏书，博古通今，为后来在哲学、数学等一系列学科取得开创性成果打下坚实基础。高斯在哥廷根大学就读期间，最喜欢的两名学科是数学和语言，并保持终生对它们的爱好。他大学一年级从图书馆所借阅的25本书中，人文学科类就占了20本。正当将来是成为数学家还是语言学家的念头在脑子徘徊时，19岁的高斯成功解决了正17边形的尺规作图问题，从而坚定了从事数学研究的信念。数学家的文学素养柯西从小喜爱数学，当一个念头闪过脑海时，他常会中断其他事，在书本上算术画图。他的数学天赋被数学家拉普拉斯和拉格朗日发现。据说拉格朗日曾预言柯西将成为了不起的大数学家，并告诫其父不要让孩子过早接触数学，以免误入歧途，成为“不知道怎样使用自己语言”的大数学家。庆幸的是，柯西的小学是在家里上的，在其父循循诱导下，他系统学习了古典语言、历史、诗歌等。更具传奇色彩的是，柯西政治流亡国外时，曾在意大利的一所大学里讲授过文学诗歌，并有《论诗词创作法》一书留世。柯西的文学功底由此可见一斑。数学家的文学素养G.波利亚年轻时对文学特别感兴趣，尤其喜欢德国大诗人海涅的作品，并以与海涅同日出生而骄傲，曾因把其作品译成匈牙利文而获奖。罗素是著名的哲学家、数理学家，“理发师悖论”的发现者。但他也是一个文学家，有多篇小说集出版发行，不仅如此，非科班出身的罗素还于1950年获得诺贝尔文学奖。数学家的文学素养法国数学家塞尔是迄今为止数学界唯一获得阿贝尔奖、菲尔兹奖、沃尔夫奖三项大奖的“三冠王”。在他60岁时，他接受法国的记者采访，在谈到自己的文学阅读时说：“从我童年起，读书就是我的一大爱好……在我喜欢的作家中，我可以举出圣西门、司汤达、普鲁斯特、吉奥诺、凯诺、尤瑟纳、道尔麦森，还有诗人魏尔兰、兰波、佩斯，英国作家吉普林、福斯特，德国作家托马斯.曼和伯尔，意大利作家布扎蒂、卡尔维诺，阿根廷作家博尔赫斯…..”谁能否认塞尔在数学研究上的造诣与其文学阅读广泛无关呢？数学家的文学素养中国科学院院士、复旦大学教授谷超豪认为：数学与古诗词是相通的，古典文学可以对人的数学思维起到潜移默化的作用，读理科要有文学功底作支撑；文学和语言的培养，对任何一个从事科学工作的人来说，都是必不可少的；要学好数理不应仅仅是终日和数字、公式、公理、定理打交道，要注意提高文学素养。他还认为，一方面文学作品很讲究逻辑，比如“诸葛亮舌战群儒”一段，诸葛亮与群儒都是聪明人，他们的逻辑推理能力很强，辩论起来，能使对方无懈可击。另一方面，中国文学作品中，非常精炼、简朴的词句往往包含许多深刻的内容，比如“欲穷千里目，更上一层楼”“野火烧不尽，春风吹又生”等名句，在具体事物中蕴含深刻的哲理，即具体又抽象。在欣赏古典文学的同时也是对自身数学思维的一个拓展。数学家的文学素养在2005年的上海IT分论坛上，著名数学家、台湾清华大学校长刘炯朗教授曾作了“数里有诗？诗里有数！”的发言，他认为，文学和科学是相通的。他指出诸如“上海自来水来自海上”、顶真格“后宫佳丽三千人，三千宠爱在一身”和数学中的“归纳”、“列举”“递归关系”等原理无不有着异曲同工之妙！数学思想与数学方法“数学思想”往往是观念的、全面的、普遍的、深刻的、一般的、内在的、概括的。“数学方法”往往是操作的、局部的、特殊的、表象的、具体的、程序的、技巧的。数学思想常常通过数学方法去体现；而数学方法又常常反映了某种数学思想。23二、什么是数学恩格斯说：“数学是研究现的数量关系与空间形式的一门科学。”美国数学家柯朗“数学，作为人类智慧的一种表达形式，反应生动活泼的意念，深入细致的思考，以及完美和谐的愿望，它的基础是逻辑和直觉，分析和推理，共性和个性。”法国数学家博雷尔说：“数学是我们确切知道我们在说什么，并肯定我们说的是否对的唯一的一门科学。”24三、数学的魅力“9对3说，除了你，还是你”迪卡尔的“心形线”r=a(1-sinθ)“数学是最浪漫的，它比世上任何东西都要完美，它从不说谎，也从不背叛。”26数学奇异美数字金字塔1·1=111·11=121111·111=123211111·1111=123432111111·11111=123454321111111·111111=123456543211111111·1111111=123456765432111111111·11111111=123456787654321111111111·111111111=1234567898765432127神奇的数字宝塔之一三、数学的魅力数学奇异美神奇的数字宝塔之二三、数学的魅力数学奇异美

神奇的数字宝塔之四三、数学的魅力数学奇异美神奇的数字宝塔之五三、数学的魅力数学奇异美神奇的数字宝塔之六三、数学的魅力数学奇异美神奇的数字宝塔之七三、数学的魅力数学奇异美神奇的数字宝塔之八三、数学的魅力数学奇异美神奇的数字宝塔之九三、数学的魅力数学奇异美三、数学的魅力数字美37毕达哥拉斯说：“数，统治着宇宙。”也可说，数统治着整个世界，从人类社会乃至自然界，最重要的就是数。数字中许多颇具魅力、令人惊异的性质，使许多科学家、艺术家大为感慨。伽利略曾说：“数学是上帝用来书写宇宙的文字。”毕达哥拉斯学派的学者对于数字的崇拜达到“神话”的程度，他们崇拜“4”，因为它代表四种元素：火、水、气、土；他们把“10”看成是“圣数”，因为10是由前四个自然数1，2，3，4结合而成的；他们还认为“1”代表理性，因为理性是不变的；“2”代表意见；“4”代表公平，因为它是第一个平方数；“5”代表婚姻，因为它是第一个阴数2与第一个阳数3的结合。三、数学的魅力数字美38近年来，人们喜欢“8”，是因为它意味着“发”，也有人喜欢“6”，因为那意味着“六六大顺”。人们不惜出高价抢注末尾是“8”或“6”的汽车牌号、移动电话号码等。可见，数字中蕴含着丰富的文化。三、数学的魅力数字美亲和数远古时代，人类的一些部落把220和284两个数字视若神明，男女青年缔结婚姻时，往往把这两个数字分别写在不同的签上，两个青年在抽签时，若分别抽到了220和284，便被确定为终身伴侣；若抽不到这两个数，他们则天生无缘，只好分道扬镳。这种缔婚方式固然只是这些部落的风俗，但在某些迷信色彩的背后，也有些道理。表面上看，这两个数字似乎没有什么神秘之处，然而，它们却存在着某些内在联系：三、数学的魅力数字美能够整除220的全部正整数（不包括220）恰好等于284；而能够整除284的全部正整数（不包括284）之和又恰好等于220。这真是绝妙的吻合！也许有人认为，这样的“吻合”极其偶然，抹去迷信色彩，很难有什么规律蕴含其中。恰恰相反，这偶然的“吻合”引起了数学家们极大的关注，他们花费了大量的经历进行研究、探索，终于发现这种“相亲”的数绝对不是唯一的。他们在自然数中构成了一个独特的数系，人们称具有这种性质的两个数为亲和数（或相亲数对）。三、数学的魅力数学与自然41三叶草的数学方程式三、数学的魅力42睡莲叶子的数学方程式数学与自然三、数学的魅力43数学与经济三、数学的魅力今天，数学与经济的联系已经是众所周知。我们看下面2个线索。1）普遍运用数学方法，建立经济模型，使得代数学、分析学、运筹学、概率论和数理统计等大量数学进入到经济科学中，并反过来促进了数学的发展。2）获诺贝尔经济学奖的学者中，数学家出身的和有数学背景的人占一把以上。

今天，数学功底薄弱的经济学家是不会成为一位杰出的经济学家的。44数学与经济三、数学的魅力为了强调数学对于经济学理论的重要性，1970年诺贝尔经济学奖得主、美国经济学家萨缪尔森讲述了19世纪美国著名物理学家吉布斯的一个故事。

有一次，耶鲁大学的教授们正激烈地争论一个问题：是否要求某些学生修语言或数学？

对于这两门学科孰优孰劣，教授们仁者见仁智者见智，争论不休。最后，只见不善言辞的吉布斯站了起来，说出五个字：“数学即语言。”

数学的公理化方法和证明技术，将经济学上原先一大堆模糊的、互相矛盾的概念变成了系统的、逻辑上连贯的实体。45数学与经济三、数学的魅力萨谬尔森指出：

经济理论的问题——诸如税收的归宿、货币贬值的影响——本质上都是量的问题……当我们用文字来解决它们时，我们实际上和写出方程式的情形一样是在解方程。大错误出在前提的表述上……数学媒介——或严格说，数学家惯用的阐述证明的准则，不论用文字还是用符号——的好处之一是，我们不得不摊牌，使所有人都能看到我们的前提。

在萨缪尔森眼里，数学对于经济学理论的发展是不可或缺的。

因此，他忠告年轻人，要想研究经济，就必须打好数学基础。

数学与文学46数学与文学都有自己的语言。文学语言是对日常语言的加工提高，而数学语言是对数字、图形、符号等的提炼。文学语言具有一定的地域性，是本民族或某些地域拥有的文字表达方式，几乎每一个国家、种族或地区都有不同的文学语言，全世界有成千上万种语言，呈现出丰富多彩的局面。数学语言具有国际通用性，数学语言是一切科学的共同语言，全球的数学工作者与科技人员都知晓数学符号、数学公式的运用。文学语言具有形象、生动、笼统等特点，数学语言具有简洁、精确、深刻等特性。三、数学的魅力数学与文学47我国著名数学家华罗庚利用减法谈学习与探索：“在学习中要敢于做减法，就是减去前人已经解决的部分，看看还有哪些问题没有解决，需要我们去探索解决。”大发明家爱迪生利用加号谈天才：“天才=1%的灵感+99%的血汗。”著名国际工人活动家季米特洛夫（1882-1949）利用正负号评价一天的工作：“要利用时间，思考一下一天之中做了些什么，是“正号”还是“负号”？倘若是“正号”，则进步；倘若是“负号”，就得吸取教训，采取措施。”三、数学的魅力数学与文学48近代最伟大的科学家爱因斯坦利用公式描述成功的秘诀，并解释道：“代表成功，代表艰苦的劳动，代表正确的方法，代表少说空话。”古希腊哲学家芝诺（约前490-约前425）利用圆描述学习知识：“如果小圆代表你们学到的知识，用大圆代表我学到的知识，那么大圆的面积是多一点，但两圆之外的空白都是我们的无知面。圆越大其圆周接触的无知面就越多。”三、数学的魅力数学与文学49数字与成语成语是固定词组的一种，它言简意赅，是文学语言中的瑰宝，其中有些是由数字组成的。

半斤八两一刀两断两面三刀三令五申四分五裂五花八门六亲不认七嘴八舌八面玲珑九死一生十全十美百孔千疮千真万确万无一失十万火急一鸣惊人四平八稳五体投地九州四海万古长青九霄云外一暴十寒八面威风五湖四海一往情深千锤百炼三心二意一意孤行一举两得百折不挠十年寒窗一本正经一举成名一呼百应一脉相承三、数学的魅力数学与文学前苏联的著名长篇小说《静静的顿河》，有人认为，该书是肖洛霍夫（M.A.Sholokhov）剽窃了一个无名作者的作品后加工而成的，原作者究竟是谁一直是苏联现代文坛的一大疑案。有学者用数理统计的观点，探讨该作品与他后期作品的相关度，从而还了肖洛霍夫的清白。50三、数学的魅力数学与考古1986年在上海浦东陆家嘴地区挖出了一块元朝时代伊斯兰教信徒所挂的玉挂，玉挂的正面写着：「万物非主，惟有真宰，默罕默德，为其使者」，而玉挂的另一面就是一个四阶幻方.51伊斯兰教佩戴的玉挂过去以为只有印度历史上才有这种“完美幻方”。三、数学的魅力数学与美术杜勒（1471-1528年）是德国宗教改革运动时期著名的油画家、版画家、雕塑家、建筑家，也是一位著名的数学家。52三、数学的魅力十五世纪德国画家阿尔布莱希特.杜勒（自画像）数学与美术53三、数学的魅力杜勒的画作《梅伦可利亚》（Melencolia），又称为《忧郁》其周围列置的东西都是有象征意义的，如多面几何体和圆规象征几何学，锯、刨、锤等工具代表木匠。计量工具的天平和计时工具沙漏等代表科学。在神话传说中，几何学、木匠、科学都属于大地之神来统管的，而这个内藏智慧外露深沉的人则是思想家、文艺家的化身。对绘画细节一丝不苟地精确表现是丢勒作品的风格特点，在这幅画中尤其发挥得淋漓尽致，所以曾被后人