曲线与曲面积分习题参考答案

66.66.十曲线积分与曲面积分习题(一)对弧长的曲线积分1.计算〔(1.计算〔(X2 y2)ds，其中L为圆周Xacost,yasint(0t2).2 2[(x2 y2)ds (a2cos21a2sin2t)Ja2sin2ta2cos21dt a3dt2a3.002.计算曾ds，其中L为由直线yX及抛物线yX2所围成的区域的整个边界.Dxds x72dx xJ14x2dx丄(5j56寸21).3.y23.y2 4x上从O(0,0)到A(1,2)的一段弧.计算Lyds,其中L是抛物线4.5.Lyds=:対14.5.Lyds=:対1e)2dy 0^4y2dy12S2 2 4 '-0J4y2d(4y2)3(2胡21).4 3L(Xy)ds，其中L为从点O(0,0)到A(1,1)的直线段.1 2Ly)ds=0(xx)J11-v2.0 3Lxyzds,其中L是曲线Xt,y2J2t3,z^t3 2计算L(X计算Lxyzds=t2V2t3■1^'12 (V2t)2t2dt.2212r

t—P2t3(103 '(0t1)的一段.t)dt16^2143计算？/2y2■计算？/2y2■Lds，其中L为圆周X2a2,直线yX及X轴在第一象限所围成的扇形的整个边界7777解？&卞「ds=. +L1L2解？&卞「ds=. +L1L2+L3害aerr〒dx04e0I 2 2y(acost)(asint)dte\/1 012dx=ea(2-a)147.设在xoy面内有一分布着质量的曲线 L,在点x,y处它的线密度为x,y,试用对弧长的曲线积分分别表达(1)这条曲线弧对x轴,y轴的转动惯量Ix，Iy；这条曲线弧的质心坐标x,y.lxL这条曲线弧的质心坐标x,y.lxLy2dSlyLx2dSLy(x,y)dSL(x,y)dSLy(x,y)dSL(x,y)dS1.计算Lydxxdy,其中L为圆周xRcost,yRsint上对应t从0到三Lx(x,y)dSL(x,y)dS(二)对坐标的曲线积分的一段弧.2.Lxdyydx，其中L分别为ydxxdy2.Lxdyydx，其中L分别为01I(2x2x)dx2.0沿抛物线y2x2从0(0,0)到B(1,2)的一段;沿从0(0,0)到B(1,2)的直线段.；沿封闭曲线OABO沿封闭曲线OABO，其中A(1,0),B(1,2).11.计算[xy2dxx2ydy，其中 L为圆周x2y2 a2，取逆时针方向.11.计算[xy2dxx2ydy，其中 L为圆周x2y2 a2，取逆时针方向.(3) xdyydx=L，， OA AB BO0〔(3) xdyydx=L，， OA AB BO0〔(2x2x)dx0.2=0 0dy3.计算Lxdxzdy(xy1)dz，其中是从点(1,1,1)到点(2,3,4)的一段直线.解直线方程为2x1"T"变到1.宁，其参数方程为xt1,y2t1,z3t1，t从010[(t1)2(2t1)3(3t1)]dt 13.4.计算[Xydx(xy)dyx2dz，其中L是螺旋线acost,yasint,zbt5.设0到t上的一段4.计算[Xydx(xy)dyx2dz，其中L是螺旋线acost,yasint,zbt5.设0到t上的一段.[acost?asint(asint)(acostasint)acost0a2bcos2t]dt尹a2b).为曲线xt,yt2,zt3上相应于t从0变到1的曲线弧.把对坐标的曲线积分 PdxQdyRdz化成对弧长的曲线积分.解由于(空理g) (1,2t,3t2) (1,2x,3y)，故dtdtdtcos1&4x29y22x 3ycosr ,cosIJ14x29^ J14x29y"PdxQdyRdz(PcosQcosRcos)dSP2xQ訐(三)格林公式及应用22[xydxxydy= (2xy2xy)dxdy0D2.计算L(x2y)dx(xsin2y)dy，其中L是在圆周yJ2xx2上由点3.4.(0,0)到点(1,1)的一段弧.Px2y,Q(xsin2y)I1 2 .2 . 1.7IxxxsinXdx-Sin2—0 4 62计算(1yex)dx(xex)dy，其中L为椭圆笃L a点A(a,0)到B(a,0)的弧段.P1yex,QxexI0LL1 L1adxdydxD aab2a计算L(2xy3y2cosx)dx2xy2上由点(0,0)到P2xy3y2cosx，(1i，12ysinx3x2y2)dy,其的一段弧.2ysinX3x2y22爲1的上半周由b中L为在抛物线I0LL1 L1 1_25.计算.ydxxdyL2(x2y2)其中L为圆周(X1)2y22，L的方向为逆时针方向.解P解P2(八2)，Q———当x22(x2 y2)'0时，X0 3y0 3x2(x2 y2) yL所围区域为D，由于(0,0)D，故不能直接用格林公式.选适当小的r0,作位于D内的小圆周l:x2y2r2.记L与I所围区域为

Di，在Di上应用格林公式，得ydxxdyydxxdy—c口 2 厂—口 2 —0L2(x y) '2(x2y2)其中l取逆时针方向.所以ydxxdy"2(xydxxdy"2(x2y2)°L2(x2y2)2.222rsinrcos2r26.计算星形线xacos6.计算星形线xacos3t,yasin3t,(0t2)所围成区域的面积. 2 4 2 2 4 2A-oxdyydx=(3acostsint3asintcost)dtL 07.y4)dx(x24xy37.y4)dx(x24xy3)dy在整个xoy面内与路径(1,0)无关，并计算积分值.(1)P2xyy4，Qx24xy3P2x4y3yQ在整个xoy面上成立x故曲线积分(：：(2xyy4)dx(x24xy3)dy在整个xoy面内与路径无故曲线积分L28.验证2xydxx2dy在整个xoy平面内是某一函数u(x,y)的全微分，并求这样的一个u(x,y).(1)验证略;y2J 2xdyxyAB0AB9.试用曲线积分求(2xsiny)dx(xcosy)dy的原函数.解解P 2xsiny,Qxcosy,解解P 2xsiny,Qxcosy,cosyQ在整个xoy面上成立x所以(x,y)所以u(x,y)(2xsiny)dx(xcosy)dy(0,0)x2xdxx2xdx0xcosydyx(血1)(x2(血1)(x2Dxy0对面积的曲面积分1.计算c(x21.计算c(x2y2)dS，其中是锥面zJx2y2及平面z1所围成的区域的整个边界曲面解 o(x2y2)dS=(x2Dxy川dxdy(x2y2)dxdyDxyy2)dxdy=“22.计算Q(x32y其中z1在第一卦限的部2(12(1(xDxyDxy6/921527、(9x一x)(442,0y33、7x)54/61.酝230(Dxy: 0 x 2Y61 dx303|x3.计算z2dS，其中为球面x2y2z2z2dS=2(a2x2Dxyy2\/1Z：zydxdy2aJa2Dxyx2y2dxdy4.计算（X2a _ ~2 , 44=2adJa d-a0 0 3yz)dS,是球面x2y2z2a,z0.有问题I(XDxy；222yVaxy)Ja2 x2y2dxdy5.1.(x y)Ja2Dxy2a=0d(a200求抛物面壳zMzdS=2)d如2Dxy厶2(3/31)计算15dxdy(a2Dxyx2y2)dxdyy2)(o（五）x2y2zdxdy，其中2zdxdy= x2y2jRDxyz1）的质量，此壳的面密度为 z., 12)J1x2y2dxdy=-d20对坐标的曲面积分是球面x222xydxdy2r71054 2 ・2COSsin计算oxzdxdyxydydzyzdzdxR2的下半部分的下Jr2 2d是平面x0,y 0,z 0,x yz x0,y 0,z 0,x yz 1所围成的空间区域的整个边界曲面的2D2Dyz Dyzx0,y 0,z 0,x yz x0,y 0,z 0,x yz 1所围成的空间区域的整个边界曲面的2D2Dyz Dyz3.4.外侧.xzdxdy计算数，I1I3xydydzyzdzdx3 x(1Dxyxy)dxdy1 1x2=3dx(xx00xy)dy=-8of(x)dydzg(y)dxdz为平行六面体:0of(x)dydzGg(y)dxdz[h(c)h(O)]ab所以II1I2=[f(a)计算 x2dydz上侧.h(z)dxdy，其中xa,Oyb,Ozf,g,h为已知连续函c表面的外侧.f(O)dydzDyzg(0)dxdzDyzI3f(O)]bcy2dzdx解 x2dydz x2dydz1(a2[g(b)f(a)dydz=[f(a)Dyzg(b)dxdz=[g(b)Dyzf(0)]bcg(O)]acg(O)]ac[h(c)h(O)]ab.z2dxdy，其中为半球面zJa2x2y2的x2dydzy2z2)dydz(a2y2z2)dydz0(x(x(x(xaa2 2o(a2 2)d同理：y2dzdx0z2dxdy (a2x2y2)dxdyDxy故x2dydzy2dzdxz2dxdy=4—a25.计算xdydzydzdxzdxdy,其中是柱面x2y21被z0及z3所截得的在第一卦限内的部分的前侧解zdxdy0xdydz』y2xdydz』y2dydzDyzody。/y2dzo^COS2d|o2(1cos2)d同理：ydzdx3故xdydzydzdxzdxdy=3-6.设为平面6.设为平面xza在柱面a2内那一部分的上侧，下面两个积分的解法是否正确？如果不对，给出正确解法(1)(xz)dSadSa(的面积)72a3；(xz)dxdyadxdya的面积)72a3.(1)正确;(2)错误.正确解法是:a3.z)dxdyadxdya3.Dxy(六)高斯公式利用高斯公式计算:1.计算ox3dydzy3dzdxz3dxdy，其中为球面xz2a2的内23 (x2y2z2)dv 30d0dR4rsindr0125R52.计算xdydzydzdxzdxdy，其中是曲面y2在第一卦限z1部分的下侧.补充曲面:1:z1,(x21,x0,y0)，取上侧;2：y0,(0A21,xz1)，取左侧;3:x0,(01，y2z1),取后侧.3构成闭曲面，所围的空间闭区域记为 ，由高斯公式，xdydzydzdxzdxdy=oxdydzydzdxzdxdy3.3dvdxdyDxy0dzdx0Dzx=302d计算3y(xz)dydzx2dzdx(y2取外侧，其中{(x,y,z)|0xxz)dxdy,a,0yI(yx)dv=计算O(x2cosdz— .4为正方体a,0za}.aaa4dxdy(xy)dza000y2cos z2cos)dS,其中的表面并y2z2及h(h0)所围成的闭曲面的外侧，cos,cos,cos是此曲面的外法线的方向余弦.0000(Xyz)dxdydz2(xy)dxdydz2zdxdydzdxdyDxyhFV2zdz(h2Dxyx2y2)dxdyh4.斯托克斯公式1.计算1.计算[(2yz)dx(Xz)dy(yz)dz,其中L为平面xyz1与各Q-Q-P)dxdyxydzdxdxdyDzx Dxy坐标面的交线，取逆时针方向为正向解由斯托克斯公式，得[(2$z)dx(Xz)dy(yz)dz(-R—)dydz(上-R)dzdx(yz zx2dydzdzdxdxdy= 2dydzDyz=1.2.计算[(zy)dx(xz)dy(yx)dz，其中L是从(a,0,0)经(0,a,0)和(OQa)回到(a,0,0)的三角形.解由斯托克斯公式，得[(zy)dx(xz)dy(yx)dz(卫厶dxdyxy(迟2)dydz(卫厶dxdyxy22dydz2dxdy2dydz2dxdy4dxdy2a.Dyz Dxy Dxy(八)曲线积分与曲面积分自测题1.计算曲线积分PePexsiny2y,Qexcosyy2(1)iJx2y2ds，其中L为圆周x2y2ax；解L:racos(-2dsJr解L:racos(-2dsJr2r2dJ(acos)22(asin)daJx2yracos[Jx2y2ds=acosgad2a2.Lzds，其中为曲线Lzds，其中为曲线xtcost,ytsint,zt(0tto)；ds賦~y~z2J2t2dttozdstozds=tj2t2dt0(2t2)% 242L(2ay)dxxdy,其中LL(2ay)dxxdy,其应t从0到2的一段弧;L(2ay)dxxdy={[(2aa(1cost))]ga(1cost)a(tsint)gasint}dt02a2tsintdt2a2.0(y2z2)dx2yzdyx2dz，其中是曲线xt,yt2,zt3上由tl0到t21的一段弧;t4)dt35(y2z2)dx2yzdyx2t4)dt35[(t4t6)a2t2gt3g2tt2gt2]dt(3t6中L为上半圆周i^(exsiny2y)dx(excosy2)dy中L为上半圆周(xa)2y2a2,y0沿逆时针方向;补充积分路径L1:y0,x从0到2a.Jexsiny2y)dx(excosy2)dyL?1Li(卫上)dxdyDxy2a(exsin002g))dx2.计算曲面积分(1)dS~2 22xyz，其中是介于平面z0及zH之间的圆柱面x2R2；dSj1Xy2ydydzR7RrydzdS=~~2 22=xyz丿1=2侧;Dyz( Jr2 y2)2右dydzy £Dyz(Jr2y2)2arctan旦.R(y2z)dydz(z==dydzy_1D R2"Ayz-2^=^dydzzJr2y22x)dzdx(x2y)dxdy,其中为锥面y2(0zh）的外侧;—)dxdydz (xz Dxy2y)dxdy0才4匸h4.xdydzydzdxzdxdy,其中为半球面zJrX2—y2的上(上x)dxdydz0dxdyz DxydvR3.ydzdxzdxdy(5)xdydz厂 3J(X2y2z2)M4(z0)的上侧;16 9(利用高斯