可分离变量的微分方程课件

第二节可分离变量的微分方程一、可分离变量的微分方程二、典型例题第二节可分离变量的微分方程一、可分离变量的微分方程二、典型1一、可分离变量的微分方程形如的方程，称为可分离变量的微分方程.分离变量，得：①设

y=(x)

是方程①的解,则有恒等式：两边积分,得即：设函数G(y)和F(x)是g(y)和f(x)的一个原函数,②则有一、可分离变量的微分方程形如2当

G(y)与F(x)可微且

G'(y)=g(y)0时,说明由②确定的隐函数y=(x)是①的解.称②为方程①的隐式通解,或通积分.同样,当F'(x)=f(x)0时,上述过程可逆,由②确定的隐函数x=(y)也是①的解.当G(y)与F(x)可微且G'(y)=g(y)0时3一、可分离变量的微分方程形如的方程，称为可分离变量的微分方程.求解步骤：(变量分离法)1、分离变量,得2、两边积分,得3、求出通解隐函数确定的微分方程的解微分方程的隐式通解一、可分离变量的微分方程形如4例1求解微分方程解分离变量,得两端积分,得二、典型例题解得例1求解微分方程解分离变量,得两端积分,得二、5例2求解微分方程解分离变量,得两端积分,得解得例2求解微分方程解分离变量,得两端积分,得解得6解分离变量,得两端积分,得解得解分离变量,得两端积分,得解得7解根据题意,有(初始条件)对方程分离变量,即利用初始条件,得故所求铀的变化规律为然后积分:解根据题意,有(初始条件)对方程分离变量,即利用初始条件,8解

根据牛顿第二定律,得初始条件为对方程分离变量,然后积分:得利用初始条件,得代入上式后化简,得特解例设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度成正比,并设降落伞离开跳伞塔时(t=0)速度为0,求降落伞下落速度与时间的函数关系.

t

足够大时解根据牛顿第二定律,得初始条件为对方程分离变量,然9解分离变量,解得然后积分:解分离变量,解得然后积分:10可分离变量的微分方程初值问题:的解也可直接用变上限积分来确定：可分离变量的微分方程初值问题:的解也可直接用变上限积分来确定11分离变量法步骤:1.分离变量;2.两端积分——隐式通解.三、小结若是求特解，还需根据初值条件定常数.分离变量法步骤:1.分离变量;2.两端积分——隐式通解.三、12(1)找出事物的共性及可贯穿于全过程的规律列方程.常用的方法:1)根据几何关系列方程,2)根据物理规律列方程,3)根据微量分析平衡关系列方程.(2)利用反映事物个性的特殊状态确定初值条件.(3)求通解,并根据初值条件确定特解.3.解微分方程应用题的方法和步骤(1)找出事物的共性及可贯穿于全过程的规律列方程.常用的方13思考与练习求方程的通解:提示:方程变形为思考与练习求方程的通解:提示:方程变形为14练习题练习题15可分离变量的微分方程课件16练习题答案练习题答案17例9有高为1m的半球形容器,水从它的底部小孔流出,小孔横截面积为1cm2(如图).开始时容器内盛满了水,求水从小孔流出过程中容器里水面的高度h(水面与孔口中心间的距离)随时间t的变化规律.解由力学知识得,水从孔口流出的流量为流量系数孔口截面面积重力加速度例9有高为1m的半球形容器,水从它的底部18设在微小的时间间隔水面的高度由h降至h+dh,比较(1)和(2)得:设在微小的时间间隔水面的高度由h降至h+dh,比较(19即为未知函数的微分方程.可分离变量所求规律为即为未知函数的微分方程.可分离变量所求规律为20第二节可分离变量的微分方程一、可分离变量的微分方程二、典型例题第二节可分离变量的微分方程一、可分离变量的微分方程二、典型21一、可分离变量的微分方程形如的方程，称为可分离变量的微分方程.分离变量，得：①设

y=(x)

是方程①的解,则有恒等式：两边积分,得即：设函数G(y)和F(x)是g(y)和f(x)的一个原函数,②则有一、可分离变量的微分方程形如22当

G(y)与F(x)可微且

G'(y)=g(y)0时,说明由②确定的隐函数y=(x)是①的解.称②为方程①的隐式通解,或通积分.同样,当F'(x)=f(x)0时,上述过程可逆,由②确定的隐函数x=(y)也是①的解.当G(y)与F(x)可微且G'(y)=g(y)0时23一、可分离变量的微分方程形如的方程，称为可分离变量的微分方程.求解步骤：(变量分离法)1、分离变量,得2、两边积分,得3、求出通解隐函数确定的微分方程的解微分方程的隐式通解一、可分离变量的微分方程形如24例1求解微分方程解分离变量,得两端积分,得二、典型例题解得例1求解微分方程解分离变量,得两端积分,得二、25例2求解微分方程解分离变量,得两端积分,得解得例2求解微分方程解分离变量,得两端积分,得解得26解分离变量,得两端积分,得解得解分离变量,得两端积分,得解得27解根据题意,有(初始条件)对方程分离变量,即利用初始条件,得故所求铀的变化规律为然后积分:解根据题意,有(初始条件)对方程分离变量,即利用初始条件,28解

根据牛顿第二定律,得初始条件为对方程分离变量,然后积分:得利用初始条件,得代入上式后化简,得特解例设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度成正比,并设降落伞离开跳伞塔时(t=0)速度为0,求降落伞下落速度与时间的函数关系.

t

足够大时解根据牛顿第二定律,得初始条件为对方程分离变量,然29解分离变量,解得然后积分:解分离变量,解得然后积分:30可分离变量的微分方程初值问题:的解也可直接用变上限积分来确定：可分离变量的微分方程初值问题:的解也可直接用变上限积分来确定31分离变量法步骤:1.分离变量;2.两端积分——隐式通解.三、小结若是求特解，还需根据初值条件定常数.分离变量法步骤:1.分离变量;2.两端积分——隐式通解.三、32(1)找出事物的共性及可贯穿于全过程的规律列方程.常用的方法:1)根据几何关系列方程,2)根据物理规律列方程,3)根据微量分析平衡关系列方程.(2)利用反映事物个性的特殊状态确定初值条件.(3)求通解,并根据初值条件确定特解.3.解微分方程应用题的方法和步骤(1)找出事物的共性及可贯穿于全过程的规律列方程.常用的方33思考与练习求方程的通解:提示:方程变形为思考与练习求方程的通解:提示:方程变形为34练习题练习题35可分离变量的微分方程课件36练习题答案练习题答案37例9有高为1m的半球形容器,水从它的底部小孔流出,小孔横截面积为1cm2(如图).开始时容器内盛满了水,求水从小孔流出过程中容器里水面的高度h(水面与孔口中心间的距离)随时间t的变化规律.解由力学知识得,