现代材料加工力学-第六章课件

第6章塑性本构方程

Chapter6ConstitutiveEquations

ofPlasticDeformation第6章塑性本构方程

Chapter6Consti16.1塑性变形的力学特点(回顾)6.1.1变形力学特点(与弹性变形相比)1.（弹塑性共存）——线性函数——非线性函数2.塑性变形阶段加载阶段非线性变形阶段卸载阶段线性变形阶段σ0.2对应于0.2%的永久应变时的应力，作为条件屈服限。6.1塑性变形的力学特点(回顾)6.1.1变形力学特点(2

3.存在加工硬化（硬化指数n）↑→↑，↓，组织劣化——加工硬化（——变形抗力）

4.塑性变形的应力—应变关系与加载历史有关

5.使变形材料的组织与性能发生变化defects,dislocation,texture,phases,matrix……

6.变形机理：滑移，孪生，晶界机制，扩散机制弹性变形的本质是原子间距的变化。3.存在加工硬化（硬化指数n）36.1.2本构方程材料在外力作用下的或的关系方程，反映变形体的物理本质。

1.各向同性弹性体的广义虎克定律：

（单向受力状态）6.1.2本构方程（单向受力状态）4也即各向同性材料（isotropicmaterials）E——elasticmodulusμ——Posson’sratio反过来，——柔度矩阵——刚度矩阵且有：G=E/2（1+μ）也即G=E/2（1+μ）52.各向异性弹性体的广义虎克定律在线性弹性体中，物体的应力与应变关系服从广义虎克定律。根据这个定律，在物体的任何一点上，6个应力量中的每一个分量都可以表示成6个应变分量的线性函数，即

式中为材料的弹性常数。应该指出：由于弹性体存在变形能，弹性常数应满足对称性，所以物体即使是在各向异性的最一般情况下，独立的弹性常数只有21个。2.各向异性弹性体的广义虎克定律式中63.正交各向异性弹性体的广义虎克定律正交各向异性弹性体的柔度矩阵为其中——依次为2-3，3-1，1-2平面的剪切模量。——分别为1，2，3方向上的弹性模量。——为应力在i方向作用时j方向的横向应变的泊松比，即

对于正交各向异性材料，只有9个独立常数，因为3.正交各向异性弹性体的广义虎克定律其中74.塑性变形：（后面详述）5.塑性变形本构关系：——应变速度敏感指数此即Backfon公式，主要应用于超塑性变形。4.塑性变形：（后面详述）86.1.3基本假设与材料模型1.基本假设a.变形材料均质、连续、各向同性；b.静水压力不影响材料的大小；c.拉伸与压缩的相同（即不计包辛格效应）2.材料变形模型理想弹塑性材料（例如热轧）理想刚塑性材料（例如热挤压）线性硬化弹塑性材料（例如冷变形）6.1.3基本假设与材料模型理想弹塑性材料理想刚塑性材料线9线性硬化刚塑性材料一般硬化材料粘塑性材料线性硬化刚塑性一般硬化材料粘塑性材料106.2屈服条件(塑性条件)定义:材料从弹性变形状态进入塑性变形状态，并使塑性变形继续进行的力学条件。例如:单向拉伸：时材料开始屈服。多向变形：(i,j=1,2,3)更一般的—屈服函数，在应力空间构成一个屈服面。描述这个屈服面的数学表达式称为屈服函数或屈服条件。

建立，有两种方法：①数理逻辑推理（预测→实验验证）②实验研究（理论原理→揭示实质→获得经验公式）(i,j=x,y,z)6.2屈服条件(塑性条件)定义:材料从弹性变形状态进入塑性11实验研究方法：Tresca屈服准则

1864年法国工程师Tresca在研究单向拉伸时发现金属表面出现吕德斯带（与拉伸方向成45o），其后在压缩、剪切、挤压（挤铅管）等实验中也出现类似现象。于是作了一系列的挤压实验来研究屈服条件，发现从金属变形上来看，可以在变形表面看到很细的痕迹，而这些痕纹的方向很接近由最大剪切应力所引起的晶体网格的滑移线。于是Tresca认为，当最大剪切应力达到某一极限值时，材料即进入塑性状态。这个条件可以写成如下公式：

这就是Tresca屈服准则（最大剪应力准则，第3强度理论）或写成实验研究方法：Tresca屈服准则或写成12数理逻辑推理：Mises屈服准则

1913年，Mises曾指出，在的平面（π平面）上Tresca六边形的六个顶点是由实验得到的，但是连接六个点的直线却是假设的。这种假设是否合理尚需证明。他认为，如果用一个圆来连接这六个点可能更合理，而且又可以避免由于曲线不光滑而产生数学上的困难。他认为Tresca条件是个准确的条件，而他的条件却是个近似的条件。Mises条件是一个垂直于π平面的圆柱面，在平面上则是个椭圆。

Mises屈服准则的提出：单项拉伸：得到数理逻辑推理：Mises屈服准则13

多向变形：，有6个独立分量。

由于不计包申格效应，故应为偶函数（拉伸和压缩时σs相同）。

（应力偏量影响形状改变和塑性变形相关）(I1，I2，I3是点的应力状态改变的确定判据）而（奇函数）多向变形：14将单向拉伸屈服条件代入，则有

既Misese屈服条件（歪形能定理，第四强度理论）将单向拉伸屈服条件代入，则有15两种准则的比较1.区别

①表达式不同：②物理含义不同：Tresca——最大剪切应力到某极限Mises——形状变形能到某极限③对中间主应力的考虑不同：Trseca——只有最大和最小主应力对屈服有影响Mises——三个主应力对屈服都有影响④几何表达不同两种准则的比较16现代材料加工力学-第六章课件172.联系①几何上：内接关系，两种准则有六个点重合。②表达式上：

（β为中间应力影响系数，μσ为lode参数）

2.联系18应变硬化材料的屈服准则随着ε的提高，σT也提高。①等强硬化准则：同心圆——等强强化。

（后继加载曲面）②移动强化（复杂）略应变硬化材料的屈服准则19双剪应力屈服准则（有意可参考《双剪理论》俞茂宏著，52.55）

或

回顾：主剪切应力在主应力空间是（110）面族。如果：材料屈服材料屈服双剪应力屈服准则材料屈服材料屈服20

当b=0时：（Tresca准则）

当b=1时：或

即当两个较大的主剪切应力之和达到某一极限时材料屈服

现代材料加工力学-第六章课件21即时，材料屈服。或时材料屈服Hill准则（后节详述）即时，材料屈服。226.3塑性本构方程

■引言

回顾：1）塑性变形过程的特点

2）塑性变形过程与加载历史（路径）的关系

■增量理论

1．Levy-Mises增量理论

Levy-Mises增量理论包括以下假设：

（1）材料是刚塑性体。

（2）材料符合Mises塑性条件。

（3）塑性变形时体积不变，即。

（4）应变增量主轴与偏应力主轴相重合。

（5）

式中dλ为瞬时非负比例系数，它在加载过程中是变化的。经数学推导和整理，可得：

6.3塑性本构方程

■引言

回顾：1）塑性变形过23于是可得出类似广义Hooke定律的塑性本构方程：式中，类似于弹性模量与剪切模量。

于是可得出类似广义Hooke定律的塑性本构方程：24

应当指出的是，Levy-Mises增量理论对于理想材料而言，若已知σij只能求出dεij之间的比值，而无法求出它们的值。若已知dεij，只能求出，而无法求出σij，这是该理论的主要缺陷。对于强化材料（应力与应变一一对应）而言，若已知σij，要求出dεij之间的比值，则必须给出dσij;若已知dεij，在给出了εij的条件下，也只能求出。

应当指出的是，Levy-Mises增量理论对于理想252．Saint-Venant塑性流动理论（应力应变速率关系方程）

假设条件几乎同前，有：其中

同样也可写成广义Hooke定律形式。由于上式和粘性流体的牛顿公式相似，故称为塑性流动方程。Levy-Mises方程实际上是塑性流动方程的增量形式。若不考虑应变速度对材料性能的影响，二者是一致的。2．Saint-Venant塑性流动理论（应力应变速率关系方263．Prandtl-Reuss增量理论在Levy-Mises增量理论基础上考虑了弹性变形的影响，得出了Prandtl-Reuss增量理论，其中弹性部分同弹性广义Hooke定律。

式中G、E分别为弹性剪切模量和弹性模量。

分析上式可知，若已知和，不论材料是理想还是强化的，均可以确定。反过来，若已知，对理想材料而言，仍不能求出。对硬化材料而言，则可给出。

3．Prandtl-Reuss增量理论27全量理论（形变理论）若已知应变变化历史，即知道了加载路径，则沿这个路径可以积分得出应力与应变全量之间的关系，建立全量理论或形变理论，尤其是在简单加载条件下，把增量理论中的增量符号“d”取消即可。用Prandtl-Reuss增量理论的积分形式表达即为：

上式称为Hencky全量理论方程，只适用于小塑性变形或简单加载的大塑性变形。全量理论（形变理论）若已知应变28全量理论（形变理论）在简单加载条件不成立的情况下全量理论照理是不能使用的。但由于全量理论解题的方便与直观，在简单加载条件不成立的情况下，也经常使用全量理论求解。最令人奇怪的是象板材的塑性失稳问题，在失稳时刻，应力分量之间的比例变化激烈，而实验结果却更接近于全量理论的计算结果。这就使人们估计全量理论的适应范围比简单加载宽得多，因此提出了所谓偏离简单加载问题，探讨应力路径可以偏离简单加载路径多远而仍能应用全量理论的问题。至于为什么在失稳问题中全量理论计算结果比增量理论好，目前仍未得到很好的解释，还在继续研究之中。全量理论（形变理论）在简单加载条件不成立的情况296.4塑性势6.4.1弹性应变能与弹性势

现代材料加工力学-第六章课件30加载储能Ue卸载释放Ue加载储能Ue316.4.2塑性势

1938年Melon类比弹性势提出塑性势○塑性势概念：g（）——塑性势函数○性质：数量函数○物理意义：应该具有能量内涵现代材料加工力学-第六章课件32现代材料加工力学-第六章课件33现代材料加工力学-第六章课件346.4.3塑性势的应用例1：应用于各向异性材料的屈服准则与流动法则(本构关系)正交各向异性材料的Hill屈服准则,即是Mises屈服准则的推广6.4.3塑性势的应用例1：应用于各向异性材料的屈服准则与流356个各向异性参数可以通过试验确定即在6个不同方向取6组样品,进行单拉试验,可以得到6个方程；联合求解,这样就可以求得6个各向异性参数。然后利用塑性势求解该材料的本构方程（应力——应变关系）及等效应力与等效应变。6个各向异性参数可以通过试验确定即在6个不同方向取6组样品,36设:轧制方向为x方向,宽为y方向,原向为z方向

例2:深冲板成形性能Al合金深冲板:1.制罐料3004；2.汽车深冲.r-----厚向异性系数,塑性比冷轧薄板:平面各向异性(R与T各向异性)深冲时,材料处于平面应力状态设:轧制方向为x方向,宽为y方向,原向为z方向例2:深冲37现代材料加工力学-第六章课件38现代材料加工力学-第六章课件396.5Drucker公设与最大塑性消耗原理1951年,Drucker提出了关于材料变形稳定性的判据例如:单向拉伸6.5Drucker公设与最大塑性消耗原理1951年,D40A’dσdεε0σdσdεA’dσdεε0σdσdε41有关推论:加载曲线是外凸的,②与最大功耗原理等价的循环路径.③应力与应变增量主轴重合时才符合增量理论.Drucker将这种情况推广到一般应力状态:有关推论:加载曲线是外凸的,②与最大功耗原理等价的循环路径.42思考:塑性(plasticity)是材料的属性还是材料的状态?材料在不同状态下表现出不同的力学行为(塑变方式,大小),屈服条件的改变,引起塑性本构关系的改变；变形条件（如应力状态）的改变不仅会引起变形状态的改变，还将引起材料性能的变化。塑性是表征材料在不同条件下发生塑性变形(永久的不可恢复的变形)而不开裂的能力,

区别于塑性变形。

参考: 《金属塑性成形原理》王祖唐75/WZT类似的问题同样可以针对材料的超塑性、硬度、强度、刚度、韧性、热膨胀系数、导电率等提出。思考:塑性(plasticity)是材料的属性还是材料的状态43第6章塑性本构方程

Chapter6ConstitutiveEquations

ofPlasticDeformation第6章塑性本构方程

Chapter6Consti446.1塑性变形的力学特点(回顾)6.1.1变形力学特点(与弹性变形相比)1.（弹塑性共存）——线性函数——非线性函数2.塑性变形阶段加载阶段非线性变形阶段卸载阶段线性变形阶段σ0.2对应于0.2%的永久应变时的应力，作为条件屈服限。6.1塑性变形的力学特点(回顾)6.1.1变形力学特点(45

3.存在加工硬化（硬化指数n）↑→↑，↓，组织劣化——加工硬化（——变形抗力）

4.塑性变形的应力—应变关系与加载历史有关

5.使变形材料的组织与性能发生变化defects,dislocation,texture,phases,matrix……

6.变形机理：滑移，孪生，晶界机制，扩散机制弹性变形的本质是原子间距的变化。3.存在加工硬化（硬化指数n）466.1.2本构方程材料在外力作用下的或的关系方程，反映变形体的物理本质。

1.各向同性弹性体的广义虎克定律：

（单向受力状态）6.1.2本构方程（单向受力状态）47也即各向同性材料（isotropicmaterials）E——elasticmodulusμ——Posson’sratio反过来，——柔度矩阵——刚度矩阵且有：G=E/2（1+μ）也即G=E/2（1+μ）482.各向异性弹性体的广义虎克定律在线性弹性体中，物体的应力与应变关系服从广义虎克定律。根据这个定律，在物体的任何一点上，6个应力量中的每一个分量都可以表示成6个应变分量的线性函数，即

式中为材料的弹性常数。应该指出：由于弹性体存在变形能，弹性常数应满足对称性，所以物体即使是在各向异性的最一般情况下，独立的弹性常数只有21个。2.各向异性弹性体的广义虎克定律式中493.正交各向异性弹性体的广义虎克定律正交各向异性弹性体的柔度矩阵为其中——依次为2-3，3-1，1-2平面的剪切模量。——分别为1，2，3方向上的弹性模量。——为应力在i方向作用时j方向的横向应变的泊松比，即

对于正交各向异性材料，只有9个独立常数，因为3.正交各向异性弹性体的广义虎克定律其中504.塑性变形：（后面详述）5.塑性变形本构关系：——应变速度敏感指数此即Backfon公式，主要应用于超塑性变形。4.塑性变形：（后面详述）516.1.3基本假设与材料模型1.基本假设a.变形材料均质、连续、各向同性；b.静水压力不影响材料的大小；c.拉伸与压缩的相同（即不计包辛格效应）2.材料变形模型理想弹塑性材料（例如热轧）理想刚塑性材料（例如热挤压）线性硬化弹塑性材料（例如冷变形）6.1.3基本假设与材料模型理想弹塑性材料理想刚塑性材料线52线性硬化刚塑性材料一般硬化材料粘塑性材料线性硬化刚塑性一般硬化材料粘塑性材料536.2屈服条件(塑性条件)定义:材料从弹性变形状态进入塑性变形状态，并使塑性变形继续进行的力学条件。例如:单向拉伸：时材料开始屈服。多向变形：(i,j=1,2,3)更一般的—屈服函数，在应力空间构成一个屈服面。描述这个屈服面的数学表达式称为屈服函数或屈服条件。

建立，有两种方法：①数理逻辑推理（预测→实验验证）②实验研究（理论原理→揭示实质→获得经验公式）(i,j=x,y,z)6.2屈服条件(塑性条件)定义:材料从弹性变形状态进入塑性54实验研究方法：Tresca屈服准则

1864年法国工程师Tresca在研究单向拉伸时发现金属表面出现吕德斯带（与拉伸方向成45o），其后在压缩、剪切、挤压（挤铅管）等实验中也出现类似现象。于是作了一系列的挤压实验来研究屈服条件，发现从金属变形上来看，可以在变形表面看到很细的痕迹，而这些痕纹的方向很接近由最大剪切应力所引起的晶体网格的滑移线。于是Tresca认为，当最大剪切应力达到某一极限值时，材料即进入塑性状态。这个条件可以写成如下公式：

这就是Tresca屈服准则（最大剪应力准则，第3强度理论）或写成实验研究方法：Tresca屈服准则或写成55数理逻辑推理：Mises屈服准则

1913年，Mises曾指出，在的平面（π平面）上Tresca六边形的六个顶点是由实验得到的，但是连接六个点的直线却是假设的。这种假设是否合理尚需证明。他认为，如果用一个圆来连接这六个点可能更合理，而且又可以避免由于曲线不光滑而产生数学上的困难。他认为Tresca条件是个准确的条件，而他的条件却是个近似的条件。Mises条件是一个垂直于π平面的圆柱面，在平面上则是个椭圆。

Mises屈服准则的提出：单项拉伸：得到数理逻辑推理：Mises屈服准则56

多向变形：，有6个独立分量。

由于不计包申格效应，故应为偶函数（拉伸和压缩时σs相同）。

（应力偏量影响形状改变和塑性变形相关）(I1，I2，I3是点的应力状态改变的确定判据）而（奇函数）多向变形：57将单向拉伸屈服条件代入，则有

既Misese屈服条件（歪形能定理，第四强度理论）将单向拉伸屈服条件代入，则有58两种准则的比较1.区别

①表达式不同：②物理含义不同：Tresca——最大剪切应力到某极限Mises——形状变形能到某极限③对中间主应力的考虑不同：Trseca——只有最大和最小主应力对屈服有影响Mises——三个主应力对屈服都有影响④几何表达不同两种准则的比较59现代材料加工力学-第六章课件602.联系①几何上：内接关系，两种准则有六个点重合。②表达式上：

（β为中间应力影响系数，μσ为lode参数）

2.联系61应变硬化材料的屈服准则随着ε的提高，σT也提高。①等强硬化准则：同心圆——等强强化。

（后继加载曲面）②移动强化（复杂）略应变硬化材料的屈服准则62双剪应力屈服准则（有意可参考《双剪理论》俞茂宏著，52.55）

或

回顾：主剪切应力在主应力空间是（110）面族。如果：材料屈服材料屈服双剪应力屈服准则材料屈服材料屈服63

当b=0时：（Tresca准则）

当b=1时：或

即当两个较大的主剪切应力之和达到某一极限时材料屈服

现代材料加工力学-第六章课件64即时，材料屈服。或时材料屈服Hill准则（后节详述）即时，材料屈服。656.3塑性本构方程

■引言

回顾：1）塑性变形过程的特点

2）塑性变形过程与加载历史（路径）的关系

■增量理论

1．Levy-Mises增量理论

Levy-Mises增量理论包括以下假设：

（1）材料是刚塑性体。

（2）材料符合Mises塑性条件。

（3）塑性变形时体积不变，即。

（4）应变增量主轴与偏应力主轴相重合。

（5）

式中dλ为瞬时非负比例系数，它在加载过程中是变化的。经数学推导和整理，可得：

6.3塑性本构方程

■引言

回顾：1）塑性变形过66于是可得出类似广义Hooke定律的塑性本构方程：式中，类似于弹性模量与剪切模量。

于是可得出类似广义Hooke定律的塑性本构方程：67

应当指出的是，Levy-Mises增量理论对于理想材料而言，若已知σij只能求出dεij之间的比值，而无法求出它们的值。若已知dεij，只能求出，而无法求出σij，这是该理论的主要缺陷。对于强化材料（应力与应变一一对应）而言，若已知σij，要求出dεij之间的比值，则必须给出dσij;若已知dεij，在给出了εij的条件下，也只能求出。

应当指出的是，Levy-Mises增量理论对于理想682．Saint-Venant塑性流动理论（应力应变速率关系方程）

假设条件几乎同前，有：其中

同样也可写成广义Hooke定律形式。由于上式和粘性流体的牛顿公式相似，故称为塑性流动方程。Levy-Mises方程实际上是塑性流动方程的增量形式。若不考虑应变速度对材料性能的影响，二者是一致的。2．Saint-Venant塑性流动理论（应力应变速率关系方693．Prandtl-Reuss增量理论在Levy-Mises增量理论基础上考虑了弹性变形的影响，得出了Prandtl-Reuss增量理论，其中弹性部分同弹性广义Hooke定律。

式中G、E分别为弹性剪切模量和弹性模量。

分析上式可知，若已知和，不论材料是理想还是强化的，均可以确定。反过来，若已知，对理想材料而言，仍不能求出。对硬化材料而言，则可给出。

3．Prandtl-Reuss增量理论70全量理论（形变理论）若已知应变变化历史，即知道了加载路径，则沿这个路径可以积分得出应力与应变全量之间的关系，建立全量理论或形变理论，尤其是在简单加载条件下，把增量理论中的增量符号“d”取消即可。用Prandtl-Reuss增量理论的积分形式表达即为：

上式称为Hencky全量理论