信号与系统第二章课件

主要学习内容主要学习内容§2.1引言§2.2微分方程式的建立与求解§2.3起始点的跳变§2.4零输入响应和零状态响应§2.5冲激响应和阶跃响应§2.６卷积§2.7卷积的性质§2.8用算子符号表示微分方程本章主要小节：§2.1引言本章主要小节：§2.1引言一、系统数学模型的时域表示时域分析方法:不涉及任何变换，直接求解系统的微分、差分方程式，这种方法比较直观，物理概念比较清楚，是学习各种变换域方法的基础。本课程中我们主要讨论输入、输出描述法。§2.1引言一、系统数学模型的时域表示时域分析方法二、系统分析过程*经典法:前面电路分析课里已经讨论过，但与(t)有关的问题有待进一步解决——h(t)；*卷积积分法:

任意激励下的零状态响应可通过冲激响应来求。(新方法)二、系统分析过程*经典法:前面电路分析课里已经讨论过，但与§2.2微分方程式的建立与求解一、物理系统的模型许多实际系统可以用线性系统来模拟。若系统的参数不随时间而改变，则该系统可以用线性常系数微分方程来描述。§2.2微分方程式的建立与求解一、物理系统的模型许多实际系二、微分方程的列写根据实际系统的物理特性列写系统的微分方程。对于电路系统，主要是根据元件特性约束和网络拓扑约束列写系统的微分方程。元件特性约束：表征元件特性的关系式。

网络拓扑约束：由网络结构决定的电压电流约束关系,KCL和KVL。二、微分方程的列写根据实际系统的物理特性列写系统的微分方程。电感电阻电容根据KCL代入上面元件伏安关系，并化简有求并联电路的端电压与激励间的关系。

()tisRRiLLiCciab+-()tv阶次：方程的阶次由独立的动态元件的个数决定。【例1】电感电阻电容根据KCL代入上面元件伏安关系，并化简有求并联机械位移系统：质量为m的刚体一端由弹簧牵引，弹簧的另一端固定在壁上。刚体与地面间的惯性力为，外加牵引力为，其外加牵引力与刚体运动速度间的关系可以推导出为msF这是一个代表机械位移系统的二阶微分方程。

【例2】机械位移系统：质量为m的刚体一端由弹簧牵引，弹簧的另一端固定结论：两个不同性质的系统具有相同的数学模型，都是线性常系数微分方程，只是系数不同。对于复杂系统，则可以用高阶微分方程表示。

结论：三、n

阶线性时不变系统的描述若系统为时不变的，则C，E均为常数，此方程为常系数的n阶线性常微分方程。三、n阶线性时不变系统的描述若系统为时不变的，则C四、求解系统微分方程的经典法分析系统的方法：列写方程，求解方程。

求解方程时域经典法就是：齐次解+特解。

齐次解：由特征方程→求出特征根→写出齐次解形式注意重根情况处理方法。特解：根据微分方程右端激励信号形式，设含待定系数的特解函数式→代入原方程，比较系数定出特解。全解：齐次解+特解，由初始条件定出齐次解的常数。四、求解系统微分方程的经典法分析系统的方法：列写方程，求解方常用激励信号对应的特解形式常用激励信号对应的特解形式【例3】

已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程

初始条件y(0)=1,

y’(0)=2,输入信号f(t)=e-tu(t)解：

(1)求齐次方程y''(t)+6y'(t)+8y(t)=0的齐次解yh(t)特征根为齐次解yh(t)特征方程为【例3】已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程

初始条由输入f(t)的形式，设方程的特解为yp(t)=Ce-t将特解带入原微分方程即可求得常数C=1/3。3)求方程的全解2)求非齐次方程的特解yp(t)解得

A=5/2，B=-11/6由输入f(t)的形式，设方程的特解为yp(t)=Ce-t将§2.3起始点的跳变电容电压的突变电感电流的突变冲激函数匹配法确定初始条件§2.3起始点的跳变电容电压的突变1．电容电压的突变由伏安关系1．电容电压的突变由伏安关系当有冲激电流或阶跃电压作用于电容时：当有冲激电流或阶跃电压作用于电容时：电流为冲激信号。【例4】电流为冲激信号。【例4】2．电感电流的突变2．电感电流的突变如果为有限值，冲激电压或阶跃电流作用于电感时：如果为有限值，冲激电压或阶跃电流作用于电感时：【例5】【例5】状态、起始状态-0导出的起始状态状态、初始状态、

0+O-0+0t+³0t状态、起始状态-0导出的起始状态状态、初始状态、0+O-0配平的原理：t=0时刻微分方程左右两端的δ(t)及各阶导数应该平衡(其他项也应该平衡，我们讨论初始条件，可以不管其他项）【例6】

三．冲激函数匹配法确定初始条件配平的原理：t=0时刻微分方程左右两端的δ(t)及各阶导在中时刻有

分析中的表示到的相对跳变函数，所以，在中时刻有分析中的表示到的相对跳数学描述设则代入方程得出所以得即即数学描述设则代入方程得出所以得即即

例7：给定微分方程、起始状态以及激励信号分别为以下两种情况：

试判断在起始点是否发生跳变，据此对（1）、（2）、（3）分别写出其r(0+)的值。例7：给定微分方程、起始状态以及激励信号分别为以下两种情§2.4零输入响应和零状态响应一、系统响应划分自由响应＋强迫响应

(Natural+forced)零输入响应＋零状态响应

(Zero-input+Zero-state)瞬态响应+稳态响应

(Transient+Steady-state)§2.4零输入响应和零状态响应一、系统响应划分自由响应＋强也称固有响应，由系统本身特性决定，与外加激励形式无关。对应于齐次解。

形式取决于外加激励。对应于特解。是指激励信号接入一段时间内，完全响应中暂时出现的有关成分，随着时间t增加，它将消失。

由完全响应中减去暂态响应分量即得稳态响应分量。

(1)自由响应：(2)暂态响应：稳态响应：强迫响应：各种系统响应定义也称固有响应，由系统本身特性决定，与没有外加激励信号的作用，只由起始状态（起始时刻系统储能）所产生的响应。

不考虑原始时刻系统储能的作用（起始状态等于零），由系统的外加激励信号产生的响应。

(3)零输入响应：零状态响应：没有外加激励信号的作用，只由起二、对系统线性的进一步认识由常系数微分方程描述的系统在下述意义上是线性的。(1)响应可分解为：零输入响应＋零状态响应。(2)零输入线性：当激励为零时，系统的零输入响应对于各起始状态呈线性。(3)零状态线性：当起始状态为零时，系统的零状态响应对于各激励信号呈线性。二、对系统线性的进一步认识由常系数微分方程描述的系统在下述意信号与系统第二章课件解：解得解：解得信号与系统第二章课件零输入响应和零状态响应求解举例例9：描述某系统的微分方程为

y”(t)+3y’(t)+2y(t)=2f’(t)+6f(t)已知y(0-)=2，y’(0-)=0，f(t)=u(t)。求该系统的零输入响应和零状态响应。解：（1）零输入响应yzi(t)激励为0，故可得

yzi(0+)=yzi(0-)=y(0-)=2yzi’(0+)=yzi’(0-)=y’(0-)=0该齐次方程的特征根为–1，–2，故

yzi(t)=Czi1e–t+Czi2e–2t

代入初始值并解得系数为Czi1=4,Czi2=–2，代入得

yzi(t)=4e–t–2e–2t,t>0零输入响应和零状态响应求解举例例9：描述某系统的微分方程为解（2）零状态响应yzs(t)满足

yzs”(t)+3yzs’(t)+2yzs(t)=2δ(t)+6u(t)并有yzs(0-)=yzs’(0-)=0根据冲击函数匹配法可得yzs(0+)=yzs(0-)=0，yzs’(0+)=2+yzs’(0-)=2

对t>0时，有

yzs”(t)+3yzs’(t)+2yzs(t)=6不难求得其齐次解为Czs1e-t+Czs2e-2t，其特解为常数3，于是有yzs(t)=Czs1e-t+Czs2e-2t+3代入初始值求得yzs(t)=–4e-t+e-2t+3，t≥0（2）零状态响应yzs(t)满足yzs”(t)§2.5冲激响应和阶跃响应一、冲激响应1、定义

系统在单位冲激信号作用下产生的零状态响应，称为单位冲激响应，简称冲激响应，一般用h(t)表示。

§2.5冲激响应和阶跃响应一、冲激响应1、定义系统在单位响应及其各阶导数(最高阶为n次)2、n阶系统的冲激响应对于线性时不变系统,可以用一高阶微分方程表示

激励及其各阶导数(最高阶为m次)响应及其各阶导数(最高阶为n次)2、n阶系统的冲激响应对于二、阶跃响应系统的输入，其响应为。系统方程的右端将包含阶跃函数，所以除了齐次解外，还有特解项。系统在单位阶跃信号作用下的零状态响应，称为单位阶跃响应，简称阶跃响应。1、定义

二、阶跃响应系统的输入，其响应为2、阶跃响应与冲激响应的关系线性时不变系统满足微、积分特性2、阶跃响应与冲激响应的关系线性时不变系统满足微、积分特性§2.６卷积（Convolution）一、卷积的定义利用卷积可以求解系统的零状态响应。§2.６卷积（Convolution）一、卷积的定义利用卷积卷积方法的原理：就是将信号分解为冲击信号之和，借助系统的冲击响应，从而求解系统对任意激励信号的零状态响应。出现在不同时刻的，不同强度的冲激函数的和卷积方法的原理：就是将信号分解为冲击信号之和，借助系统的冲击二、利用卷积求系统的零状态响应这就是系统的零状态响应。二、利用卷积求系统的零状态响应这就是系统的零状态响应。三、卷积的计算解析式法公式法图形法有三种计算方法，它们是？？三、卷积的计算解析式法有三种计算方法，它们是？？【例10】

已知信号

和

求

【例10】已知信号和求用图解法直观，尤其是函数式复杂时，用图形分段求出定积分限尤为方便准确，用解析式作容易出错，最好将两种方法结合起来。

卷积积分的图解分析法

5.变量在范围内变化，重复第三、四、五步操作，最终得到卷积信号

.用图解法直观，尤其是函数式复杂时，用图形分段求出定积已知求反褶已知求反褶t：移动的距离t=0f2(t-)

不移动t<0f2(t-)左移t

-1t：移动的距离t=0f2(t-)不移动t<0

时两波形有公共部分，积分开始不为0，积分下限-1，上限t

，t

为移动时间;-1t

1Ot()t1f111-时两波形有公共部分，积分开始不为0，即1t21t

2Ot()t1f111-即1t21t2Ot()t1f111即2

t42

t

4Ot()t1f111-即2t42t4Ot()t1f11即t4t-31t

4Ot()t1f111-即t4t-31t4Ot()t1f111-卷积结果Ot()tf2323Ot()tf1111-)(tgtO2421-1卷积结果Ot()tf2323Ot()tf1111-)(tgt§2.7卷积的性质一、代数性质1、交换律2、分配律3、结合律§2.7卷积的性质一、代数性质1、交换律2、分配律3、结合系统并联系统并联框图表示：

系统并联系统并联框图表示：系统级联系统级联，框图表示：

系统级联系统级联，框图表示：例11图示系统由三个子系统构成，求复合系统的冲激响应。

解：假如h1(t)=δ(t-2),h2(t)=u(t),则h(t)=？例11图示系统由三个子系统构成，求复合系统的冲激响应。二、卷积的微分积分性质推广：微分性质积分性质联合实用微分n次，积分m次m=n,微分次数＝积分次数二、卷积的微分积分性质推广：微分性质积分性质联合实用微分n次三、与冲激函数或阶跃函数的卷积推广：三、与冲激函数或阶跃函数的卷积推广：例12、求图示系统的冲激响应，其中

h1(t)=e-3t

u(t)，h2(t)=δ(t-1)，h3(t)=u(t)。

解：

子系统h1(t)

与h2(t)

级联，h3(t)支路与h1(t)h2(t)

级联支路并联。例12、求图示系统的冲激响应，其中解：子系例13、计算y(t)=p1(t)*p1(t)。a)-<t

-1b)-1<t

0y(t)=0解：例13、计算y(t)=p1(t)*p1(t)。a)c)0

<

t

1d)t>1y(t)=0c)0<t1d)t>1y(t)=0c)0

<

t

1d)t>1y(t)=0a)-<t

-1b)-1

<

t

0y(t)=0c)0<t1d)t>1y(t)=0a)

练习：计算

y(t)=x(t)*h(t)。练习：计算y(t)=x(t)*h(t)。§2.8用算子符号表示微分方程一、算子符号对于n阶线性常系数微分方程§2.8用算子符号表示微分方程一、算子符号对于n阶线性常系用算子符号可以表示为：进一步简化为：用算子符号可以表示为：进一步简化为：二、算子符号的基本规则1、算子多项式可以进行因式分解，但不能进行公因式相消。二、算子符号的基本规则1、算子多项式可以进行因式分解，但不能2、算子的乘除顺序不可随意颠倒。2、算子的乘除顺序不可随意颠倒。三、传输算子激励与响应之间的关系可以表示为：则定义传输算子为：三、传输算子激励与响应之间的关系可以表示为：则定义传输算子为信号与系统第二章课件主要学习内容主要学习内容§2.1引言§2.2微分方程式的建立与求解§2.3起始点的跳变§2.4零输入响应和零状态响应§2.5冲激响应和阶跃响应§2.６卷积§2.7卷积的性质§2.8用算子符号表示微分方程本章主要小节：§2.1引言本章主要小节：§2.1引言一、系统数学模型的时域表示时域分析方法:不涉及任何变换，直接求解系统的微分、差分方程式，这种方法比较直观，物理概念比较清楚，是学习各种变换域方法的基础。本课程中我们主要讨论输入、输出描述法。§2.1引言一、系统数学模型的时域表示时域分析方法二、系统分析过程*经典法:前面电路分析课里已经讨论过，但与(t)有关的问题有待进一步解决——h(t)；*卷积积分法:

任意激励下的零状态响应可通过冲激响应来求。(新方法)二、系统分析过程*经典法:前面电路分析课里已经讨论过，但与§2.2微分方程式的建立与求解一、物理系统的模型许多实际系统可以用线性系统来模拟。若系统的参数不随时间而改变，则该系统可以用线性常系数微分方程来描述。§2.2微分方程式的建立与求解一、物理系统的模型许多实际系二、微分方程的列写根据实际系统的物理特性列写系统的微分方程。对于电路系统，主要是根据元件特性约束和网络拓扑约束列写系统的微分方程。元件特性约束：表征元件特性的关系式。

网络拓扑约束：由网络结构决定的电压电流约束关系,KCL和KVL。二、微分方程的列写根据实际系统的物理特性列写系统的微分方程。电感电阻电容根据KCL代入上面元件伏安关系，并化简有求并联电路的端电压与激励间的关系。

()tisRRiLLiCciab+-()tv阶次：方程的阶次由独立的动态元件的个数决定。【例1】电感电阻电容根据KCL代入上面元件伏安关系，并化简有求并联机械位移系统：质量为m的刚体一端由弹簧牵引，弹簧的另一端固定在壁上。刚体与地面间的惯性力为，外加牵引力为，其外加牵引力与刚体运动速度间的关系可以推导出为msF这是一个代表机械位移系统的二阶微分方程。

【例2】机械位移系统：质量为m的刚体一端由弹簧牵引，弹簧的另一端固定结论：两个不同性质的系统具有相同的数学模型，都是线性常系数微分方程，只是系数不同。对于复杂系统，则可以用高阶微分方程表示。

结论：三、n

阶线性时不变系统的描述若系统为时不变的，则C，E均为常数，此方程为常系数的n阶线性常微分方程。三、n阶线性时不变系统的描述若系统为时不变的，则C四、求解系统微分方程的经典法分析系统的方法：列写方程，求解方程。

求解方程时域经典法就是：齐次解+特解。

齐次解：由特征方程→求出特征根→写出齐次解形式注意重根情况处理方法。特解：根据微分方程右端激励信号形式，设含待定系数的特解函数式→代入原方程，比较系数定出特解。全解：齐次解+特解，由初始条件定出齐次解的常数。四、求解系统微分方程的经典法分析系统的方法：列写方程，求解方常用激励信号对应的特解形式常用激励信号对应的特解形式【例3】

已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程

初始条件y(0)=1,

y’(0)=2,输入信号f(t)=e-tu(t)解：

(1)求齐次方程y''(t)+6y'(t)+8y(t)=0的齐次解yh(t)特征根为齐次解yh(t)特征方程为【例3】已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程

初始条由输入f(t)的形式，设方程的特解为yp(t)=Ce-t将特解带入原微分方程即可求得常数C=1/3。3)求方程的全解2)求非齐次方程的特解yp(t)解得

A=5/2，B=-11/6由输入f(t)的形式，设方程的特解为yp(t)=Ce-t将§2.3起始点的跳变电容电压的突变电感电流的突变冲激函数匹配法确定初始条件§2.3起始点的跳变电容电压的突变1．电容电压的突变由伏安关系1．电容电压的突变由伏安关系当有冲激电流或阶跃电压作用于电容时：当有冲激电流或阶跃电压作用于电容时：电流为冲激信号。【例4】电流为冲激信号。【例4】2．电感电流的突变2．电感电流的突变如果为有限值，冲激电压或阶跃电流作用于电感时：如果为有限值，冲激电压或阶跃电流作用于电感时：【例5】【例5】状态、起始状态-0导出的起始状态状态、初始状态、

0+O-0+0t+³0t状态、起始状态-0导出的起始状态状态、初始状态、0+O-0配平的原理：t=0时刻微分方程左右两端的δ(t)及各阶导数应该平衡(其他项也应该平衡，我们讨论初始条件，可以不管其他项）【例6】

三．冲激函数匹配法确定初始条件配平的原理：t=0时刻微分方程左右两端的δ(t)及各阶导在中时刻有

分析中的表示到的相对跳变函数，所以，在中时刻有分析中的表示到的相对跳数学描述设则代入方程得出所以得即即数学描述设则代入方程得出所以得即即

例7：给定微分方程、起始状态以及激励信号分别为以下两种情况：

试判断在起始点是否发生跳变，据此对（1）、（2）、（3）分别写出其r(0+)的值。例7：给定微分方程、起始状态以及激励信号分别为以下两种情§2.4零输入响应和零状态响应一、系统响应划分自由响应＋强迫响应

(Natural+forced)零输入响应＋零状态响应

(Zero-input+Zero-state)瞬态响应+稳态响应

(Transient+Steady-state)§2.4零输入响应和零状态响应一、系统响应划分自由响应＋强也称固有响应，由系统本身特性决定，与外加激励形式无关。对应于齐次解。

形式取决于外加激励。对应于特解。是指激励信号接入一段时间内，完全响应中暂时出现的有关成分，随着时间t增加，它将消失。

由完全响应中减去暂态响应分量即得稳态响应分量。

(1)自由响应：(2)暂态响应：稳态响应：强迫响应：各种系统响应定义也称固有响应，由系统本身特性决定，与没有外加激励信号的作用，只由起始状态（起始时刻系统储能）所产生的响应。

不考虑原始时刻系统储能的作用（起始状态等于零），由系统的外加激励信号产生的响应。

(3)零输入响应：零状态响应：没有外加激励信号的作用，只由起二、对系统线性的进一步认识由常系数微分方程描述的系统在下述意义上是线性的。(1)响应可分解为：零输入响应＋零状态响应。(2)零输入线性：当激励为零时，系统的零输入响应对于各起始状态呈线性。(3)零状态线性：当起始状态为零时，系统的零状态响应对于各激励信号呈线性。二、对系统线性的进一步认识由常系数微分方程描述的系统在下述意信号与系统第二章课件解：解得解：解得信号与系统第二章课件零输入响应和零状态响应求解举例例9：描述某系统的微分方程为

y”(t)+3y’(t)+2y(t)=2f’(t)+6f(t)已知y(0-)=2，y’(0-)=0，f(t)=u(t)。求该系统的零输入响应和零状态响应。解：（1）零输入响应yzi(t)激励为0，故可得

yzi(0+)=yzi(0-)=y(0-)=2yzi’(0+)=yzi’(0-)=y’(0-)=0该齐次方程的特征根为–1，–2，故

yzi(t)=Czi1e–t+Czi2e–2t

代入初始值并解得系数为Czi1=4,Czi2=–2，代入得

yzi(t)=4e–t–2e–2t,t>0零输入响应和零状态响应求解举例例9：描述某系统的微分方程为解（2）零状态响应yzs(t)满足

yzs”(t)+3yzs’(t)+2yzs(t)=2δ(t)+6u(t)并有yzs(0-)=yzs’(0-)=0根据冲击函数匹配法可得yzs(0+)=yzs(0-)=0，yzs’(0+)=2+yzs’(0-)=2

对t>0时，有

yzs”(t)+3yzs’(t)+2yzs(t)=6不难求得其齐次解为Czs1e-t+Czs2e-2t，其特解为常数3，于是有yzs(t)=Czs1e-t+Czs2e-2t+3代入初始值求得yzs(t)=–4e-t+e-2t+3，t≥0（2）零状态响应yzs(t)满足yzs”(t)§2.5冲激响应和阶跃响应一、冲激响应1、定义

系统在单位冲激信号作用下产生的零状态响应，称为单位冲激响应，简称冲激响应，一般用h(t)表示。

§2.5冲激响应和阶跃响应一、冲激响应1、定义系统在单位响应及其各阶导数(最高阶为n次)2、n阶系统的冲激响应对于线性时不变系统,可以用一高阶微分方程表示

激励及其各阶导数(最高阶为m次)响应及其各阶导数(最高阶为n次)2、n阶系统的冲激响应对于二、阶跃响应系统的输入，其响应为。系统方程的右端将包含阶跃函数，所以除了齐次解外，还有特解项。系统在单位阶跃信号作用下的零状态响应，称为单位阶跃响应，简称阶跃响应。1、定义

二、阶跃响应系统的输入，其响应为2、阶跃响应与冲激响应的关系线性时不变系统满足微、积分特性2、阶跃响应与冲激响应的关系线性时不变系统满足微、积分特性§2.６卷积（Convolution）一、卷积的定义利用卷积可以求解系统的零状态响应。§2.６卷积（Convolution）一、卷积的定义利用卷积卷积方法的原理：就是将信号分解为冲击信号之和，借助系统的冲击响应，从而求解系统对任意激励信号的零状态响应。出现在不同时刻的，不同强度的冲激函数的和卷积方法的原理：就是将信号分解为冲击信号之和，借助系统的冲击二、利用卷积求系统的零状态响应这就是系统的零状态响应。二、利用卷积求系统的零状态响应这就是系统的零状态响应。三、卷积的计算解析式法公式法图形法有三种计算方法，它们是？？三、卷积的计算解析式法有三种计算方法，它们是？？【例10】

已知信号

和

求

【例10】已知信号和求用图解法直观，尤其是函数式复杂时，用图形分段求出定积分限尤为方便准确，用解析式作容易出错，最好将两种方法结合起来。

卷积积分的图解分析法

5.变量在范围内变化，重复第三、四、五步操作，最终得到卷积信号

.用图解法直观，尤其是函数式复杂时，用图形分段求出定积已知求反褶已知求反褶t：移动的距离t=0f2(t-)

不移动t<0f2(t-)左移t

-1t：移动的距离t=0f2(t-)不移动t<0

时两波形有公共部分，积分开始不为0，积分下限-1，上限t

，t

为移动时间;-1t

1Ot()t1f111-时两波形有公共部分，积分开始不为0，即1t21t

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