第三章中值定理及导数应用-第一节_第1页
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第一节中值定理一、罗尔中值定理二、拉格朗日中值定理三、柯西中值定理四、小结一、罗尔(Rolle)定理曲线y=f(x)在[a,b]上是一条连续的曲线弧。2.除端点外处处有不垂直于x

轴的切线。3.两个端点的纵坐标相等。结论：在曲线的最高点或最低点C处，曲线有水平的切线。若记C点的横坐标为例如,证明：不妨设证明：证由费马引理有证注意:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其结论可能不成立.例如,注意:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其结论可能不成立.注意:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其结论可能不成立.例1解：二、拉格朗日(Lagrange)中值定理曲线y=f(x)在[a,b]上是一条连续的曲线弧。2.除端点外处处有不垂直与x

轴的切线。结论：在曲线上至少存在一点C

，在该点的切线平行于弦（２）显然，当b<a

时，公式（１）或（２）亦成立（1）又可写成两点说明：成立。证：分析:弦AB方程为作辅助函数证：分析:弦AB方程为拉格朗日中值公式注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.作辅助函数拉格朗日中值定理又称有限增量定理.拉格朗日中值公式又称有限增量公式.微分中值定理推论证明：注意：区间Ｉ可以是任意形状的区间．例3证例4证由上式得三、柯西(Cauchy)中值定理在拉格朗日定理中，若曲线的方程为参数方程而曲线在C

点处的切线斜率为思考题：柯西定理能不能用下列方式证明？为什么？因为F(x)和f(x)在[a,b]上均满足拉氏定理条件，理由：（1）和（2）式中的一般不相同。柯西定理也常用来证明一些等式和不等式。例4证分析:结论可变形为四、小结Rolle定理Lagrange中值定理Cauchy中值定理罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之间的关系；注意定理成立的条件；注意利用中值定理证明等式与不等式的步骤.思考题

试举例说明拉格朗日中值定理的条件缺一不可.思考题解答不满足在闭区间上连续的条件；且不满足在开区

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