知识讲解万有引力定律在天体运动中应用提高

物理总复习：万有引力定律在天体运动中的编稿：审稿【考纲要求【考点梳理考点一、应用万有引力定律分析天体的运1、基把天体（或人造）的运动看成是匀速圆周运动，其所需向心力由万有引力提供

F

m

m2r

m(2f)2 T2、黄金代换式GM要点诠释：在地球表面的物体所受重力和地球对该物体的万有引力差别很小，在一般讨论计算时，可以认为GMmmg，且有GMgR2r们便可以应用变换式GMgR2rr rG

v rR,代入后得vr

gR考点二、宇宙航行1、宇GMmmg（R为地球半径，所以

7.9kmsR R星的最小发射速度，也是人造地球绕地球做圆周运动的最大速度：：2、近要点诠释：近地其轨道半径r近似地等于地球半径R，其运动v

GM R7.9km/s是所有的最大绕行速度；运行周期T=85min，是所有 加速度ag9.8m/s2是所有的最大加速度。3、地球 速度绕地球运行的人造地 。要点诠释：同 具有以下特点T=24h③轨道一定：同步的轨道平面应与赤道平面平行,在赤道上空32 232由(R

)(Rh)得h T

（T为地球自转周期，M、R质量、半径）代入数值得h3.6107m。即：同步都在同一轨道上绕地球做匀速圆

3.6104km④环绕速度大小一定：所有同步绕地球运动的线速度的大小是一定的，都是kms向心加速度大小都相同，约为0.22m/s2。由此可知要发射同步必须同时满足三个条件s距地面高度有确定值（3.6107m 发射（如图。首先，利用第一级火箭将送到180km～200km的高空，然后依靠惯性（A（B为35800km。当到达远地点时，启动发，然后改变方向进（C例、关于人造地 和第一宇宙速度，下列说法正确的是 ①第一宇宙速度是人 绕地球做匀速圆周运动的最大速②第一宇宙速度是发射人 所需的最小速③离地面越高，运动速度越大，周期越④同一轨道上的人造，质量越大，向心加速度越 【答案】【解析第一宇宙速度是所有地球的最大绕行速度是最小发射速度离地面越高运动速度越小，周期越大，同一轨道上 其向心加速度 质量无关。rA【典型例题类型一、比较分析运行的轨道参量问F

m

m2r

m(2f

r

r2 T一种表达式，要注意v、、T、ar（2）人造的绕行速度、角速度、周期、向心加速度与半径的关系由

m

得v ，v1，所以r越大，v越小r2 rr由GMmm2r得 ，rrr2

，所以r越大越小由Gr2

m(2)2r得T ，T ，所以r越大，T越大22r3向心加速度：maa 距地球表面高度为h时，轨道半径rRh，近地 ：rR轨道半径等于地球

GM为了实现飞船与空间的对接，下列措施可行的是（）使飞船与空间在同一轨道上运行，然后飞船加速追上空间实现对使飞船与空间在同一轨道上运行，然后空间等待飞船实现对飞船先在比空间半径小的轨道上加速，加速后飞船逐渐靠近空间，两飞船先在比空间半径小的轨道上，后飞船逐渐靠近空间，两【答案】轨道上运行，则空间将会使空间进入低轨道，也不能实现对接，故B错低的轨道上去运行，无法实现对接，D错误．故选C。 和rB。如果rArB，则 AAAA

BB的线速度大B的角速度大B【答案】【解析】由Gr2

m(2)2r得T ，轨道半径r越大，T越大。A错22r3r 由

得v 轨道半径越大，线速度越小，B对r2 由GMmm2r得 ，所以轨道半径r越大，越小；C对r2由GMmmar2

aGr

，r越大，加速度越小，D【变式2】如图，a、b、c是在地球大气层外圆轨道上运动的3颗卫 b、c的线速度大小相等，且大于ab、c的向心加速度大小相等，且大于aC．c加速可追上同一轨道上的b，b可等候同一轨道上的 【答案】 a2b2【变式3】地球同步到地心的距离r可由r 求出。已知式中a的单位是4的单位是s，c的单位是m/s2，则 A．a是地球半径，b是地球自转的周期，cB．a是地球半径，b是同步绕地心运动的周期，c是同步的加速C．a是赤道周长，b是地球自转周期，c是同步的加速D．a是地球半径，b是同步绕地心运动的周期，c是地球表面处的重力加速【答案】【解析】由G

m(T

)2

GM

解得r3

gR2T

a、b、cBC错误，AD类型二、与相关的两个运动模型(在地面上的圆周运动和在空中的圆周运动Rr a2，第一宇宙速度为v2Rr v1

a1

(R D．v1

【答案 a2ra1r，C错，B r对于同 和以第一宇宙速度运行 都有v 所以r

ADRr举一反Rr 的质量m之比Mm81，行星的半径R行

星与之间的距离r与行星的半径R行之比rR行=60。设表面的重力加速度为gGr2mg 表面的重力加速度为行星表面的重力加速度的千六百分之一。上述结果是否正确?g卫=0.16g【解析】所得的结果是错误的。①式中g卫并不是表面的重力加速度，而是绕行RG表面 RG2卫

g

RG2RG行

gg=mR

所以

类型三、宇宙飞船的发射、运行问题（变轨问题变轨问题：绕地球稳定运行时，万有引力提供了做圆周运动的向心力，r rG

，得v ，由此可知，轨道半径r越大，的线速度v越小，当rvGr

和需要的向心力 不再r等，将偏离原轨道运动。当

m

时，做近心运动，其轨道半径r变小r2 由于万有引力做功，因而速度v越来越大。反之，当

m

时，做离心运动 r越来越大，速度v如发射“一号”时，到达P点要“制动”或者说“刹车”，就是，要向前喷气，减小轨道半径，做近例3发射地球同步时可认为先将发射至距地面高度为h1的圆形近地轨道上，在经过A点时点火（喷气发工作）实施变轨进入椭圆轨道，椭圆轨道的近地点为A，远地点为B。在沿椭圆轨道（远地点B在同步轨道上，如图所示。两次点火过程都使沿切向方向加速，并且点火时间很短。已知同步的运动周期为T，地球的半径Rg，求：（1）在近地圆形轨道运行接近A点时的加速度大小（2）同步轨道距地面的高度((Rh 21

（2）

gR2T 【解析（1）设地球质量为M，质量为m，万有引力常量为G、在近地圆轨道动接近A点时的加速度为aA，根 第二定

1(Rh1

G

1解得aA(Rh)21设同步轨道距地面高度为h2，根据第二定律有3gR2T3gR2T 2(Rh T2

(Rh2

由上式解得：h2 式GMgR2

Gr2

的高度要用到黄金代换表举一反【课堂：万有引力在天体运动中的应用例5【变式1】发射地球同步时，先将发射至近地圆轨道1，然后经点火，使其沿椭轨道2运，最后再次点火，将送入同步轨道3。道1、2相于Q点，轨道2、3相切于P点（如图，则分别在、2、3轨上正常运行时，以下说法正确的是()A．在轨道3上的速率大于在轨道1上的速B．在轨道3上的角速度小于在轨道1上的角速C．在轨道1上经过Q点时的加速度大于它在轨道QD．在轨道2上经过P点时的加速度等于它在轨道PP 【答 D【变式2 M MMN对接前，MN【答案】错。“神舟八号”开始轨道低，轨道半径小，线速度大，经过一定时间就会“追上”（不是真这样就可以实现对接。CD对。类型四、被遮拦的时间问题、相距最近最远问例4、某颗地球同步正下方的地球表面有一观察者，他用天文望远镜观察被光照射的此。试问：春分那天（光直射赤道）在日12小时内有多长时间该观察者看不见此？已知地球半径为R，地球表面处的重力加速度为g，地球自转周期为T，3gT【答案】t【解析】设所求的时间为t，用m、M分别表示和地球质量，r表 到地心的距离。有Gr

mr(2T春分时，光直射地球赤道，如图所示，图中圆E表示赤道，S表示，A表示观察者，O表示地心。由图看出当S绕地心O转到图示位置以后（设地球自转是沿图中逆时针方向其正下方的观察者将看不见它.据此再考虑到对称性，有rsin

t2GM

T3gT【总结升华】解题的关键是根据题意作出平面图形，利用几何关系，“看不见”式t

T举一反。位置的视野内。现有一个可看成漫反射体的人造，其圆形轨道与地球的赤道共面R=6.4106mg=10m/s2，试估算：。(1)轨道离地面的高度(2)的线速度的大小v(结果保留2位有效数字（1）h=R（2）【解析 从北极沿地轴往下看的地球俯视图如图所示设离地高h，Q点日8h时能看到它反射的阳光，8h，Qθ。（1）

8

hR2

=6.4106m（2）因 轨道半径rR地+h2R根据万有引力定律，引力与距离的平方成反比，轨道处的重力加速gg地=2.5m

mv 5.7103m/或者：轨道半

r

G(2R)2m

GM1212解得v 7.9103m/s5.6103m1212例5（2015 O在三角形所在的平面内做相同角速度的圆周运动（A、B、C三颗星体质量不相同时的A2m，B、Cm（1）A（2）B（3）C（4）三星体做圆周运动的周期T

2

（1）AB、CFBAFCAG

FA

3FBA

2（2BAFABFBAG

mBCFCBGa2mFB

F2F2F2 2由对称性知，OABCRCRBA223Gm2

2m B

7Gm2

m2 )2a B联立解得R 3R，在三角形中，(3a ()R，解得R )2a B 7 即7RB4 7（4）把⑤式代入④式，得2 ，即T 【课堂：万有引力在天体运动中的应用例6例5利星系统中两颗恒星的运动特征可推算出它们的总质量已知（）M

1m1，绕圆心运动的轨道半径为r1，2星的质量为m2r2则r1r2

研究m1，根据万