机械故障诊断学钟秉林第章动态系统特性的频谱

第4章动态系统特性的频域分析

傅里叶变换

随机信号的功率谱

极大熵谱、倒谱2022/12/191机械故障诊断理论与方法特征分析的目的：去伪存真（研究特征量的变化规律）去粗取精（选择对工况最敏感的特征量）特征分析的手段：时域频域及其各种变换域时频域

概述2022/12/192在数学中，为了把较复杂的运算转化为较简单的运算，常常采取一种变换手段。积分变换（傅氏变换、拉氏变换）也是如此。2022/12/193数量的乘积或商对数的和或差对数变换原数量的乘积或商反对数一、傅里叶级数及频谱

周期信号的傅里叶级数及幅值谱傅里叶变换：2022/12/194一个周期为T0且满足狄利克雷（Dirichlet）条件的周期函数x(t)可以展开成如下的傅里叶级数（Fourierseries）其中，狄利克雷（Dirichlet）条件：①连续或只有有限个第一类间断点；②只有有限个极值点。常值分量：余弦分量幅值：正弦分量幅值：2022/12/195重复频率：（例题）方波信号……T0T0T02T020tx(t)2022/12/1964A4A34A50A()03050003050()/2幅值谱相位谱2022/12/197x(t)0tT02022/12/198方波信号可以看成一系列频率不等的正弦波叠加而成。周期方波信号的时域、频域（幅值、相位）描述2022/12/199n=0,1,2,…其中，傅里叶级数系数：傅立叶级数的复指数形式：幅频谱图：|Fn|——实频谱图：FnR——虚频谱图：FnI

——相频谱图：n——2022/12/1910非周周期期信信号号的的傅傅里里叶叶变变换换非周期信号

准周期信号信号中各简谐成分的频率比为无理数具有离散频谱

瞬变信号在一定时间区间内存在或随时间的增长衰减至零x(t)0t准周期信号x(t)=Asin9t+Asin[sqrt(31)t]x(t)0t瞬变信号

Ix(t)=exp(-t)*sint0tx(t)瞬变信号

II2022/12/7112022/12/712时域矩形形周期信信号傅里叶级级数系数数Fn时域矩形形周期信信号（周期增增大）傅里叶级级数系数数Fn时域矩形形周期信信号（周期增增大）Fn/0波形时域矩形形周期信信号（周期∞∞）周期∞时时的频谱谱2022/12/713从上上图图可可知知，，当当矩矩形形脉脉冲冲的的重重复复周周期期愈愈大大，，谱线线愈愈靠靠近近，，即即谱谱线线间间的的间间隔隔0=2ππ/T0变小小，，当T0—>∞∞时，，0—>0，则则离离散散谱谱就就变变成成连连续续谱谱了了。。这是是我我们们就就不不能能再再利利用用傅傅里里叶叶级级数数的的方方法法来来说说明明非周周期期信信号号频频谱谱，，而而必必须须采采用用频谱谱密密度度的概概念念傅里里叶叶变变换换公公式式：：或：：X(f)=2X()2022/12/7140为重复频率率=2πf（例题）求矩形窗窗函数w(t)的频谱。1-T/2T/2tw(t)0fW(f)T01T1T3T3T2T2T(f)01T2T3T1T2T3Tf2022/12/715二、、随随机机信信号号的的功功率率谱谱为自自相相关关函函数数自功功率率谱谱(自谱谱)密度度函函数数定义义Sx(f)为x(t)的自功功率率谱谱密密度度函函数数（自谱谱或自功功率率谱谱）。2022/12/716注意意到到：：即Sx(f)曲线线与与频频率率轴轴所所包包围围的的面面积积等等于于信信号号的的平平均均功功率率（（均均方方值值）），，因因此此，，Sx(f)反映映了了信信号号平平均均功功率率对对频频率率的的变变化化率率，，表表达达了了信信号号在在单单位位频频带带宽宽度度内内的的功功率率。。故故称称为为自功率率谱密密度函函数。2022/12/717可以证证明：：即可以以通过过时域域信号号的傅傅氏变变换获获得Sx(f)。实际根根据上上式计计算自自谱时时，只只能在在有限限时间间长度度上获获得Sx(f)的估计值值，这这种方方法称称为周期图图法。由于于FFT的出现现，使使得该该方法法十分分方便便、快快捷，，甚至至在计计算信信号的的自相相关函函数时时通常常也首首先通通过该该方法法获得得自谱谱，然然后再再经由由傅氏氏反变变换获获得rx()，以提提高rx()的计算算速度度。2022/12/718自谱的的应用用：线性系系统幅幅频特特性辨辨识检测信信号中中的周周期成成分周期信信号的的频谱谱是脉脉冲函函数，，但实实际处处理时时，用用矩形形窗函函数对对信号号进行行了加加窗截截断，，在频频域成成为陡陡峭的的sinc函数，从从而可以以根据自自谱中的的陡峭谱谱峰确定定相应的的周期信信号。2022/12/7192022/12/720互功功率率谱谱(互谱)密度度函函数数为互相相关关函函数数由于于互互相相关关函函数数非非偶偶函函数数，，因因而而Sxy(f)为复复数数。。对线线性性系系统统，，Sxy(f)=H(f)Sx(f)。2022/12/721相干函数数（凝聚聚函数））相干函数数是在频频域内鉴鉴别两信号相相关程度度的指标。。例如对对于测试试系统，，可以通通过相干干函数评评价其输入信号号与输出出信号间的因果果性，即即输出信信号的功功率谱中中有多少少是由所所测试输输入信号号所引起起的响应应。2022/12/722船用柴油油机润滑滑油泵压压油管振振动和压压力脉动动间的相相干分析析润滑油泵泵转速为为n=781rpm，油泵泵齿轮轮的齿齿数为为z=14，测得得油压压脉动动信号号x(t)和压油油管振振动信信号y(t)，压油油管压压力脉脉动的的基频频为f0=nz/60=182.24(Hz).由图c可以看看到，，当f=f0=182.24Hz时，γ2xy(f)=0.3；当f=2f0=361.12Hz时，γ2xy(f)=0.37；当f=3f0=546.54Hz时，γ2xy(f)=0.4；当f=4f0=722.24Hz时；γ2xy(f)=0.75...，齿轮轮引起起的各各次谐谐频对对应的的相干函函数值值都比较较大，，而其其它频频率对对应的的相干函函数值值很小，，由此此可见见，油油管的的振动动主要要是由由油压压脉动动引起起的。。从x(t)和y(t)的自谱谱图也也明显显可见见油压压脉动动的影影响(图a,b所示）。2022/12/723润滑油泵转转速n=781rpm，油泵齿轮齿齿数z=14。油压脉动的的基频为f0=nz/60=182.24Hz。结论：油管振动由由油压脉动动引起。船用柴油机机润滑油泵泵压油管振振动和压力力脉动间的的相干分析析:

三、极大熵熵谱传统的功率率谱估计是是从已知的的等等n+1个自协方差函函数的估计值作作傅里叶变变换求得，，此法的优优点是简单单便于实现现，缺点是是估计的方差较大，谱的分辨辨率与数据据长度的倒倒数有关，，不适宜于于短数据段段。这些缺缺点都来自自于窗函数数之外的数数据为零，，在窗函数数之外的自自协方差函函数也也假假定为零。。2022/12/7251967年Burg提出了了这个个问题题，他他的解解决思思路是是用外推法法计算，，因因为是未知知的，，我们们并没没有任任何先先验信信息，，因此此它们们的取取值是是最随机机的，即对对的的熵熵或熵熵率，，应取取最大大值，，若从从数学学上描描述，，其必必要条条件为为：2022/12/726极大熵熵谱：ARMA模型的的自谱谱函数数2022/12/727因为j<0时，Gj=0，故有：：2022/12/728注意到：：因此有：：即ARMA(n,m)模型的自自谱函数数为：2022/12/729AR谱：极大熵谱：若AR模型适用用，则AR谱与极大大熵谱等等价。2022/12/730倒谱谱分分析析也也称称为为二次次频频谱谱分分析析，是是检检测测复复杂杂谱谱图图中中周周期期分分量量的的有有力力工工具具工程程上上实实测测的的振振动动、、噪噪声声信信号号往往往往不不是是振振源源信信号号本本身身，，而而是是振振源源/音源源信信号号经经传递递系系统统到测测点点输输出四、、倒倒谱谱2022/12/731上式表表明，，时域域中信信号的的卷积关关系在倒谱上表现现为信号迭迭加。2022/12/732钢带速速度的的检测测2022/12/733地下管管道泄泄漏的的检测测漏损处处K视为向向两侧侧传播播声响响的声声源,漏油的的音响响传至至两传传感器器就有有时差差,在互相相关图图上时时差处处有最最大值值.2022/12/734发动机机与司司机座座的振振动相相关性性较差