七章未改-第六章

1§6.2

n维线性空间的维数、基与坐标6.2.1.n维线性空间的基与维数定义1:在线性空间V中，如果存在n个元素满足线性无关;(i)(ii)V中任一元素α总可由线性表示;则就称为V的一个基，n称为V的维数.记为dimV.维数为n的线性空间称为n维线性空间.上页下页返回2注:1)线性空间R2中:i=(1,0),j=(0,1)是它的一个基;线性空间R3中:i=(1,0,0),j=(0,1,0),k=(0,1,0)Rn中:e1,e2,…,en是它的一个基;是它的一个基;2)只含零向量的线性空间的维数为零，没有基.定义2:若线性空间V的维数是有限的，则称V为有限维线性空间，否则称V为无限维线性空间.如R，R2，R3，Rn都是有限维线性空间，而P[x]是一个无限维线性空间,1,x,x2,,…,xn,…是它的上页下页返回一个基.3例1:求齐次线性方程组的解空间的维数.解:得取得上页下页返回4故所求方程组的通解为为方程组的基础解系.即其中∴此方程组的解空间的维数为2.上页下页返回5定理1:向量组是n维线性空间V

的一个基的充要条件是证:充分性:由上式知且V中的基,也可由线性表示,与线性无关的向量组由基的定义知，线性空间中的任何元素总可由空间的一个基线性表示，因此基又可与生成子空间的概念联系起来.即等价.上页下页返回6必要性:由故而且可由基线性表示,即故因此也线性无关,是V的一个基.上页下页返回7例2:求R上二阶方阵的集合所构成的线性空间的基与维数.解:设Eij表示第i行第j

列处的元素为1,其余元素都为零的二阶方阵,且kij∈R(i,j=1,2,),即上页下页返回令8于是这表明线性无关.若任取矩阵则因此故为的基，且维数为上页下页返回9类似可得的基为:其中也表示第i行第j列处元素为1,其余元素皆为零的矩阵，且维数为上页下页返回10定理2:向量组的生成子空间的维数等于该向量组的秩，即证:设的一个极大无关组为则与等价,故由§6.1.3中的性质2及定理1且为的一个基,从而有上页下页返回11注:求基的方法:①按定义求:先求(证)V中一组向量线性无关,再证V中向量可由它们线性表示(如例1);②利用定理1:先求生成子空间L,若L与V相等,则L中的向量就是V的基(如例2).定理3:若W是线性空间V的子空间，则dimW≤dimV.上页下页返回126.2.2向量在基下的坐标

若是V的一个基,则对任何都存在唯一的一组有序数使反之，任给一组有序数有唯一的元素这样，一一对应关系(即为向量的坐标).上页下页返回13定义3:设是V的一个基，对于任一元素总有且仅且有一组有序数使则就称为元素在这个基下的坐标.记为称为坐标向量.上页下页返回14例3:求四维线性空间中矩阵在基下的坐标.解:在基下的坐标为上页下页返回15注:1)建立了坐标后，向量中的有序数组联系起来了.2）此对应关系还有下列性质:若则①②上页下页返回16说明该对应关系保持向量与坐标各自的线性组合关系对应不变.因此我们可认为V与的结构.这叫同构.一般地，有有相同的定义4:设是两个线性空间.若在的元素之间存在一个一一对应关系，且该对应关系保持间各自的线性组合关系一一对应,则称线性空间同构.上页下页返回17注:1)任何n维线性空间2)维数相等的线性空间也都同构.3)利用同构关系，可通过向量坐标间的各种线性相关性来讨论向量间的线性相关性.上页下页返回18例4:设且向量组试讨论的线性相关性.解:取定中的一个基则上页下页返回19故由向量组的坐标所成的矩阵:上页下页返回20即所以线性无关，从而也线性无关.上页下页返回21例5:在线性空间中,就是它的一个基.因为是线性无关的，并属于且任一不高于三次的多项式都可由它们表示,即因此p在这个基下的坐标为若取证明它们也可作为的一个基,并求出p在此基下的坐标.上页下页返回22解:先证是的基.设有使即亦即∵1,x,x2,x3

线性无关，故线性无关.因此能用表示,则一定能用表示,所以是的一个基.上页下页返回23再求p在此基下的坐标.故解得此时因此p在这个基下的坐标为上页下页返回24例6:

设中的向量在基下的坐标为试求在另一个基下的坐标.解:设向量在基下的坐标为则故解方程组得在基下的坐标为上页下页返回256.2.3基变换与坐标变换

由例5、6知，线性空间V的任一个给定向量在V中不同的基下有不同的坐标,那么这两组坐标之间的关系是什么呢?定义5:设及是Vn中的两个基，且上页下页返回26利用向量和矩阵的形式，(1)式可表示为或则(1)或(2)称为基变换公式，的过渡矩阵，且A可逆.称为由基到基矩阵上页下页返回27定理4:设和是n维线性空间V中的两个基，V中的元素α在基下的坐标为在基下的坐标为若两个基满足(2)式，则有坐标变换公式:或(3)即新旧坐标之间的关系.上页下页返回28X=AY或Y=A-1X.证:也可表示为由于线性无关,两边左乘及A-1得(3)式.上页下页返回29例7:在三维空间内以为基的某一向量的坐标为(2，3，－1)，若以为基，求该向量在后一基下的新坐标.解:设即为(1)式.故上页下页返回即30由(3)式，有∴该向量在新基下的新坐标为(6，0，－2).可求得上页下页返回31例9:在中取两个基及求坐标变换公式及坐标变换矩阵.上页下页返回32解:先将