2021高考高中数学常用公式及常用结论汇总

2021高考高中数学常用公式及常用结论汇总1.包含关系AB=AoAB=BoA匸BoCB匸CAUUOACB=CAB=R2•集合｛円,a,,a｝的子集个数共有2n个；真子集有2n-1个；非空子集有2n-1个;非空的真子集有2n-2个.充要条件若p=q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p=q且q令pp是q的必要不充分条件p令q且qnpp是q的充要条件poqp是q的既不充分也不必要条件p令q且q令p全称命题、特称命题及含一个量词的命题的否定命题名称语言表示付号表示命题的否定全称命题对M中任意一个兀，有p(x)成、立Vx丘M,p(x)3x0UM,綈p(x0)特称命题存在M中的一个％，使p(x0)成立3xo^M,p(x0)Vx^M,綈p(x)函数的单调性(1)设x-xgla,b]x主x那么1212(x一x)[f(x)一f(x)]>0of(xi)f(“2)>0of(x)在1a,b]上是增函数；1212x-x12(x一x)[f(x)一f(x)]<0of(xi)~f(x2)<0of(x)在匸,b]上是减函数.1212x一xi2(2)设函数y=f(x)在某个区间内可导，如果f(x)>0，则f(x)为增函数；如果f(x)<0,则f(x)为减函数.如果函数f(x)和g(x)都是减函数，则在公共定义域内，和函数f(x)+g(x)也是减函数；如果函数y=f(u)和u=g(x)在其对应的定义域上都是减函数，则复合函数y=f[g(x)]是增函数.

7．奇偶函数的图象特征奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数．8•若函数y=f(x)是偶函数，则f(x+a)=f(-x-a)；若函数y=f(x+a)是偶函数，则f(x+a)=f(-x+a)-对于函数y=f(x)(xeR),f(x+a)=f(b-x)恒成立，则函数f(x)的对称轴是函数x=字;两个函数y=f(x+a)与y=f(b-x)的图象关于直线x=字对称.若f(x)=-f(-x+a),则函数y=f(x)的图象关于点(-,0)对称；若f(x)=-f(x+a),则函2数y=f(x)为周期为2a的周期函数.函数y=f(x)的图象的对称性(1)函数y=f(x)的图象关于直线x二a对称of(a+x)=f(a-x)of(2a-x)=f(x)•⑵函数y=f(x)的图象关于直线x=""对称of(a+mx)=f(b-mx)2of(a+b-mx)=f(mx)・几个常见的函数方程(1)正比例函数f(x)=cx(2)指数函数f(x)二ax(3)对数函数f(x)二logx(4)幕函数af(x)二xa，•(5)余弦函数f(x)=sinx几个函数方程的周期(约定a>0)(l)f(x)=f(x+a)，则f(x)的周期T=a；或f(x+a)=-冷(x)*0),则f(x)的(2)f(x)=-f(或f(x+a)=-冷(x)*0),则f(x)的则f(x)的周期T=3a；⑶f(x)=1-启(f(x则f(x)的周期T=3a；分数指数幕(1)an1a>0,m,n(1)an1a>0,m,neN*，⑵a-:=man—(a>0,m,neN*，且n>1)-15．根式的性质(1)(历)n=a.(2)当n为奇数时‘总=a；当n为偶数时‘広=|a屮;::0指数式与对数式的互化式logN=boab=N(a>0,a*1,N>0)对数的换底公式logN=(a>0，且a*1,m>0，且m*1,N>0)•alogaN>N>0).推论logbn=—logb(a>0,且a>1,m,n>0，且m*1,n*1,amma18．对数的四则运算法则若a〉0，a#1，M〉0，N〉0，则

(I)log(MN)=logM+logN；(2)logM二logM-logN；(3)logMn=nlogM(neR)・aaaaNaaaa设函数f(x)=log(ax2+bx+c)(aH0),记A=b2-4ac•右f(x)的定乂域为R，则a>0，且A<0；若f(x)的值域为R，则a>0，且A>0•对于a=0的情形，需要单独检验.平均增长率的问题如果原来产值的基础数为N，平均增长率为p，则对于时间x的总产值y，有y=N(1+p)x・其前n项和公式为s=n(其前n项和公式为s=n(a1+an)=na+曲2dn212=aqn-1=-qn(neN*)；1qa(1-qn)亠.方〒?q丰1或snna,q=1123•等比数列的通项公式an其前n项的和公式为sa-aq4l,q丰11-qna,q=11a=n1n=1(数列｛a｝的前n项的和为s=a+a++a)•s-s,n>2nn12nnn-122.等差数列的通项公式a=a+(n-1)d=dn+a-d(neN*)；n1124．常见三角不等式(1)右xe(0,殳)，则sinx<x<tanx・(2)右xe(0,殳)，则1<sinx+cosx至迈22同角三角函数的基本关系式sin20+cos20=1，tan0=竺cos0正弦、余弦的诱导公式公式4—二三四五六角2加+a(k^Z)n+a—an—an2—a2+a正弦sina—sin—sinsinacosacosaaa余弦cosa—coscosa=—n2—cossinad)n—sinaa2+(a-2正切tanatana—tan—tanaa口诀函数名不变，符号看象限函数名改变，符号

看象限和角与差角公式sin(a±B)=sinacosP±cosasinP；cos(a±B)=cosacosPsinasinP；tana±tanPtan(a±p)=1tanatanP干asina+bcosa二';a2+b2sin(a+p)(辅助角p所在象限由点(a,b)的象限决定，tan申=—)•a二倍角公式升幂公式）sin2a=2sinacosa.升幂公式）cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a1+cos2a1+cos2acos2a=sin2a=1—cos2a2；（降幕公式）2tanatan2a=一1-tan2a三角函数的周期公式函数y=sin(①x+p)，xWR及函数y=cos(①x+p)，xUR(A,3,p为常数，且AH0,3>0)的周期T=竺；函数y=tangx+p)，x丰kK+-,keZ(A,«,p为常数，且A#0,«>0）的周期T0）的周期T=130.正弦定理ab=2R•sinAsinBsinC余弦定理a2=b2+c2-2bccosA;b2=c2+a2-2cacosB;c2=a2+b2-2abcosC.面积定理（1）S=ah=bh=—ch（h、h、h分别表示a、b、c边上的咼）.2a2b2cabc（2）S=absinC=—bcsinA=—casinB•222三角形内角和定理在△ABC中，有A+B+C=1OC=1-（A+B）OC=--o2C=2兀一2（A+B）•222平面向量基本定理如果e、e是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量,12有且只有一对实数入「入，使得a=入弋+入2e・不共线的向量e「e?叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.a与b的数量积（或内积）a•b=|a||b|cos9.a•b的几何意义数量积a•b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos9的乘积.平面向量的坐标运算⑴当⑴当a>1时:af(x)>ag(x)of(x)>g(x);⑴设a二(x,y),b=(x,y)，则a+b二(x+x,y+y)・11221212⑵设a二(x,y),b=(x,y)，则a—b二(x-x,y-y)・11221212(3)设A(x,y)，B(x,y)，贝UAB=OB-OA=(x-x,y-y)・11222121⑷设a=(x,y),XeR，则九a二(九x,九y)・⑸设a=⑸设a=(x,y),b=(x,y)，两向量的夹1角1公式贝Ua•b=(xx+yy)・1212cose=一xix2+yi2(a=cose=一xix2+yi2(a=(x,y),b=(x,y))・x2+y2•Jx2+y21122平面两点间的距离公式d=IAB1=*AB-ABA,B=J(x—x)2+(y—y)2(A(x,y)，y212111向量的平行与垂直B(x2,y2))设a=(x,y)?b=(x,y)，且b丰0，则11|bob二入aa丄b（a丰0）o38・三角形的重心坐标公式22aoxy-xy=0・1221a•b=0oxx+yy=0・1212△ABC三个顶点的坐标分别为A（x,y）、11臬x+x+xy+y+y、G（-42,123）•3339.三角形五“心”向量形式的充要条件B(x,y)、22C（x,y）,则厶ABC的重心的坐标33设O为AABC所在平面上一点，角A,B,C所对边长分别为a,b,c，则(1)O为AABC的外心oOA2=OB2=OC2.O为AABC的重心oOA+OB+OC=0・O为AABC的垂心oOA-OB=OB-OC=OC-OA・O为AABC的内心oOOA+bOB+cOC=0・O为AABC的ZA的旁心a'^^A+c^^C・40.基本不等式：（1）a,beRna2+b2>2ab（当且仅当时取“二”号）.（2）a,beR+n乎>页（当且仅当a^b时取“二”号）.注：已知x,y都是正数，则有（1）若积xy是定值p，则当x=y时和x+y有最小值2“；（2）若和x+y是定值s，则当x=y时积xy有最大值1s2.41・含有绝对值的不等式当a>0时，有|x|<aox2<a2o-a<x<a・|x|>aox2>a2ox>a或x<—a・42.指数不等式与对数不等式f(x)>0logf(x)>logg(x)o\g(x)>0aa⑵当f(x)>0logf(x)>logg(x)o\g(x)>0aa⑵当0<a<1时:logf(x)>logg(x)aa、f(x)>g(x)af(x)>ag(x)of(x)<g(x)；f(x)>0g(x)>0f(x)<g(x)43..斜率公式k二厶_L(P(x,y)、x—x11144.直线的五种方程点斜式斜截式两点式P2(x2,y2)).1)2)(4)截距式5)一般式y-y二k(x-x)(直线l过点P(x,y)，且斜率为k)•y=kx+b(b为直线i在y轴上的截距).yyi二xxi(y丰y)(P(x,y)、P(x,y)y—yx—x121112222121丄+2=1(a、b分别为直线的横、纵截距，abAx+By+C=0(其中A、B不同时为0).(x丰x))•12a、b丰0)45.两条直线的平行和垂直若/:y=kx+b，/:y=kx+b111222①/II/ok二k,b丰b.丄/okk=一1・1212121212右l:Ax+By+C=0//:Ax+By+C=0‘且A、、\、B〔、B?都不为零，111122221212①/Illo红二B丰；②/丄/oAA+BB二0；12ABC12121246．常用直线系2方程22平行直线系方程：直线y=kx+b中当斜率k一定而b变动时，表示平行直线系方程.与直线Ax+By+C=0平行的直线系方程是Ax+By+九=0(九丰0)，入是参变量.垂直直线系方程：与直线Ax+By+C=0(AH0，BH0)垂直的直线系方程是Bx—Ay+九=0,入是参变量.点到直线的距离d二1Ax0+By0+(点P(x,y)，直线l:Ax+By+C=0)•00A2+B200圆的方程1)2)(x1)2)(x一a)2+(y一b)2二r2.x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2—4F>0)-；x二a+rC°S0.即三角换元Iy二b+rsin0圆的参数方程圆的一般方程圆的参数方程点与圆的位置关系点P(x,y)与圆(x-a)2+(y―b)2二r2的位置关系有三种00右d=J(a—x)2+(b—y)2，贝U00

d>ro点P在圆外;d二ro点P在圆上；d<ro点P在圆内.直线与圆的位置关系直线Ax+By+C=0与圆(x-a)2+(y—b)2二r2的位置关系有三种：d>ro相离oA<0；d二ro相切o&二0；d<ro相交oA>0•其中d=lAa+Bb+C.A2+B251•两圆位置关系的判定方法设两圆圆心分别为0,0,半径分别为r,r,Oo\=d12121121d>r+ro外离o4条公切线；d=r+ro外切o3条公切线；1212|r一rI<d<r+ro相交o2条公切线；d=|r一rIo内切o1条公切线;0<d<|r一rIo内含o无公切线.圆的切线方程(1)已知圆x2+y2+Dx+Ey+F=0．①若已知切点(x①若已知切点(x,y)在圆上,00D(x+x)E(y+y)xx+yy+0+0—0022则切线只有一条+F=0.其方程是当(x,y)圆外时,00方程．x°x+y°y+T+T+当(x,y)圆外时,00方程．过圆外一点的切线方程可设为y—y=k(x-x)，再利用相切条件求k,这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于y轴的切线.0斜率为k的切线方程可设为y=kx+b，再利用相切条件求b,必有两条切线.(2)已知圆x2+y2=r2．过圆上的P(x,y)点的切线方程为xx+yy=r2；00000斜率为k的圆的切线方程为y=kx土叫1712•椭圆的概念平面内与两个定点F,F2的距离的和等于常数(大于|F]F2|)的点的轨迹叫做椭圆•这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.集合F={M|MFiI+|MF2I=2q}，|F]F2|=2c<2q,其中q>0,c>0,且a,c为常数.椭圆的标准方程和几何性质X2,y2+丿—1a2'b2y2+x2_]a2'b2标准方程(a>b>0)(a>b>0)V'l图形

范围—aWxWa—bWyWb—bWxWb—aWyWa对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点坐标(—a,0),A2(a,0)(0,—b),B2(0,b)(0,—a),A2(0,a)(—b,0),B_(bX)>12—0—'C2轴长轴A/2的长为2a；短轴BB2的长为2b焦距|fiF2|=2c离心率ce_ae(0，])a,b,c的关系a2=b2+c2性质yy=ib2椭圆的切线方程(1)椭圆兰+22=1(a>b>0)上一点P(x,y)处的切线方程是XX+寻=1.a2b200a2b2(2)过椭圆乂+22=1(a>b>0)外一点P(X,y)所引两条切线的切点弦方程是a2b200双曲线的概念平面内与两个定点F],F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F]F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.集合F={MI|MFJ—|MF2II=2q}，|F]F2|=2c>2q,其中a,c为常数且a>0,c>0.双曲线的标准方程和几何性质X2y2y2X2一—7—=]一—-7—=]标准方程a2b2a2b2(a>0,b>0)(a>0,b>0)v-W图形jWic.

性质范围x$a或xW—a，yWRx^R，yW—a或y上a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点XXo-顶点A](—a,0)，A2(a,0)A](0，—a)，A2(0,a)a2渐近线by=±axay=±bx离心率ce_a，eW(l，+s)，其中c=、/a2+b2实虚轴线段A]A2叫做双曲线的实轴,它的长|A]A2I=2a，线段b1b2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|=2b；a叫做双曲线的实半轴长，b12叫做双曲线的虚半轴长a，b，c的关系c2=a2+b2(c>a>0，c>b>0)孚=1b2双曲线的方程与渐近线方程的关系(1)若双曲线方程为乂-22=1=渐近线方程：乂-22=o。y=+bx.a2b2a2b2a若渐近线方程为y=±bx。三土兰=on双曲线可设为兰-22=九.aaba2b2若双曲线与乂-22=1有公共渐近线，可设为兰-22=九(九〉o，焦点在x轴上，a2b2a2b2九<o，焦点在y轴上).双曲线的切线方程双曲线乂-22=1(a>o,b>0)上一点P(x,y)处的切线方程是XX-寻=1.a2b2ooa2b2过双曲线兰-21=1(a>o,b>o)外一点P(X,y)所引两条切线的切点弦方程是a2b2oo抛物线的概念平面内与一个定点F和一条定直线1(1不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线.抛物线的标准方程和几何性质

标准方程y2=2px(p>0)y2=—2px(p>o)x22py(P>0)x2=一2py(p>0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形顶点坐标0(0,0)对称轴x轴y轴隹占八、、八、、坐标Fp，o]V2丿F(—p,0]V2丿Fo,PlV2丿F。’-plV2丿离心率e=1准线方程=Px=_2px=2py=—2py=2范围x20,yWRxW0,yWRy20,xWRyW0’xWR开口方向向右向左向上向下焦半径xo+伶-xo+号yo+号-y0+#通径长2P抛物线y2=2px的焦半径公式抛物线y2=2px(p>0)焦半径|CF=X0+#-过焦点弦长CD=x+—+x+—=x+x+p・11122212y2=2px・抛物线y2=2px上的动点可设为P,y)或P(2pt2,2pt)y2=2px・2p。

直线与圆锥曲线相交的弦长公式\AB\=p（i+切©i+®2—低打=、^[J+讨Qi+y2）2—4y1y2]（k为直线斜率）.（1）线面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平l〃aaU必niHalQa)行，则该直线与此平面平行（简记为“线线平行n线面平行”）性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行（简记为“线面平行n线线平行”）l〃alu/3\naQ0=bJIHb2）面面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行（简记为“线面平行n面面平行”）二a〃Bb/邙aQb=P>naUabUaa/B性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么/^f\7allBaAY=a>n

它们的交线平行a〃b(3)直线与平面垂直判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直/a,bUa>aQb=Ol丄al丄b丿=l丄a性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行aft//a丄a]Qa〃bb丄a(4)平面与平面垂直的判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直川7l丄a]1U沪山性质定理两个平面垂"直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直m/a丄BUIaaQB=al丄al丄a共线向量定理对空间任意两个向量a、b(bHO),a〃bo存在实数入使a二入b・

P、A、B三点共线oAPIIABoAP=tABoOP=(1—t)OA+tOB・

AB|CdAB、CD共线且AB、CD不共线ABtCD且AB、CD不共线.共面向量定理向量P与两个不共线的向量a、b共面的存在实数对x,y,使paxby.推论空间一点円立于平面MAB内的存在有序实数对x,y,使MPxMAyMB，或对空间任一定点0，有序实数对x,y，使OPOMxMAyMB・空间向量基本定理如果三个向量a、b、C不共面，那么对空间任一向量p,存在一个唯一的有序实数组X,y,z,使p=xa+yb+zc.、推论设0、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P,都存在唯一的三个有序实数X,y,z,使OPxOAyOBzOC・61・空间向量的直角坐标运算设a=(a,a,a),b=(b,b,b^U123123(l)a+b=(ab~Tb~abj；(2)a-设a=(a,a,a),b=(b,b,b^U123123(l)a+b=(ab~Tb~abj；(2)a-b=(a112233(3)Aa=(a,a,a)(A^R)；(4)a・b=ab12362•设A(x,y,z),B(x,y,z),贝LI111222ABOBOA=(xx,yy,zz)・63.空间的线线平行或2垂1直2121(x,y2

x1

y1z1设a(x,y,z),111abab(b0)64.夹角公式城设a=Wa,a^,a),b=123a,b〉=cos65.（1）cos1111b,a2

ab22b,ab)；233ab；

33,z2)，则x2y；ab2z2abxx12yyzz0・1212(b,b,b),则123ababab112233a2a2a2"2b2b2123异面直线所成角ab|lIlb|Jx（090）为异面直线a,b所成角,|coSa,b（其中（2）直线AB与平面所成角|xx:2y2z2111yyzz|121另y2z222a,b分别表示异面直线a,b的方向向量）（3）・二面角l（3）・二面角l的平面角或66・（1）空间两点间的距离公式若A（x,y,z）,B（x,y,z）,则111222

d=|ABK-'ABAB、伍A,B'（2）.异面直线间的距离（m为平面的法向量）・—>—>（m,n为平面,的法向量）.x)2(yy)2(zz)2・12121点，d为1,112晋（l，l是两异面直线，其公垂向量为n,C、点，d为1,112间的距离）・

（3）点B到平面a的距离d=1AB•n1（n为平面a的法向量，AB是经过面a的一条斜线，A“）.InI67•球的半径是R,则其体积V其表面积S=4兀R2・-368.球的组合体（1）球与长方体的组合体:长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.（2）球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长,正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长,正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长.69．柱体、锥体的体积=sh（S是柱体的底面积、h是柱体的高）.柱体=1Sh（S是锥体的底面积、h是锥体的咼）.锥体3+mn70•分类计数原理（加法原理）N=件+m+mn分步计数原理71.排列数公式xmx12xm分步计数原理71.排列数公式xmx12xmnAm一n(n—1).…(n—m+1)一nn!(n—m)!.(n，mUN*，且m<n)•汪：规疋0!=1.组合数公式Cm-Am-n(n—D…(n—m+D-nL(nUN*,meN，且m<n)・nAm1x2x•…xmm!-(n—m)!组合数的两个性质(1)n—m；(2)Cm+Cm—1一CmTOC\o"1-5"\h\znnnnn+1n(3):2+…+Cr+…+Cn=2n・nnnnn(4)C15+…=C0+C2+C4+…2n-1・nnnnnn(5)C1+2C2+3C3++nCn=n2n-1・nnnn74・排列数与组合数的关系75・二项式定理Am=m!•Cm75・二项式定理(a+b)n=C0an+C1an—1b+C2an—2b2++Cran—rbr+•…+Cnbn二项展开式的通项公式T=Cran-rbr(r=0,1,2…，n)・76・n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率P(k)=CkPk(1—P)n—k.77・离散型随机变量的分布列的两个性质TOC\o"1-5"\h\z(I)P>0(i=1,2,)；(2)P+P+=1.i1278・数学期望Eg=xP+xP++xP+1122...nn...

数学期望的性质(1)E(ag+b)=aE(g)+b・(2)右~B(n,p)，则Eg=np・方