2009年145套中考试卷精品分类19.特殊平行四边形(解答题)

19．特殊平行四边形〔解答题〕三．解答题1．〔2021年湖北十堰市〕如图①，四边形ABCD是正方形,点G是BC上任意一点，DE⊥AG于点E，BF⊥AG于点F.(1)求证：DE－BF=EF．(2)当点G为BC边中点时,试探究线段EF与GF之间的数量关系，并说明理由．(3)假设点G为CB延长线上一点，其余条件不变．请你在图②中画出图形，写出此时DE、BF、EF之间的数量关系〔不需要证明〕．【关键词】正方形的性质与判定、多边形相似【答案】(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,BF⊥AG,DE⊥AG∴DA=AB，∠BAF+∠DAE=∠DAE+∠ADE=90°∴∠BAF=∠ADE∴△ABF≌△DAE∴BF=AE,AF=DE∴DE－BF=AF－AE=EF(2〕EF=2FG理由如下：∵AB⊥BC,BF⊥AG,AB=2BG∴△AFB∽△BFG∽△ABG∴∴AF=2BF,BF=2FG由(1)知,AE=BF，∴EF=BF=2FG(3)如图DE+BF=EF说明:第〔2〕问不先下结论，只要解答正确，给总分值.假设只有正确结论，.2．〔2021年山东青岛市〕：如图，在中，AE是BC边上的高，将沿方向平移，使点E与点C重合，得．(1〕求证：；(2〕假设，当AB与BC满足什么数量关系时，四边形是菱形？证明你的结论．【关键词】全等ADADGCBFE【答案】证明：〔1〕∵四边形是平行四边形，∴．∵是边上的高，且是由沿方向平移而成．∴．∴．∵，∴．∴．(2〕当时，四边形是菱形．∵，，∴四边形是平行四边形．∵中，，∴，∴．∵，∴．∴．∴四边形是菱形．3．〔2021年佛山市〕如图，在正方形中，．假设，求的长．DFDFCBEA【关键词】正方形知识的综合应用【答案】解〔略〕．注：证明，给5分；根据三角形全等得，给1分．4．〔2021年佛山市〕〔1〕列式：与的差不小于；(2〕假设〔1〕中的〔单位：〕是一个正方形的边长，现将正方形的边长增加，那么正方形的面积至少增加多少？【关键词】正方形的性质，及不等式综合应用【答案】〔1〕；〔化为扣1分〕〔2〕面积增加．〔列式2分，整理1分，不等关系1分〕答：面积至少增加．5．〔2021年佳木斯〕如图，将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使点B落到点B′的位置，AB′与CD交于点E.(1〕试找出一个与△AED全等的三角形，并加以证明.(2〕假设AB=8，DE=3，P为线段AC上的任意一点，PG⊥AE于G，PH⊥EC于H，试求PG+PH的值，并说明理由.【关键词】矩形的性质，全等三角形的判定【答案】〔1〕△AED≌△CEB′证明：∵四边形ABCD是矩形，∴BC=B′C=AD，∠B=∠B′=∠D又∠B′EC=∠DEA∴△AED≌△CEB′(2〕延长HP交AB于M，那么PM⊥AB∵∠1=∠2，PG⊥AB′∴PM=PG∵CD∥AB∴∠2=∠3∴∠1=∠3∴AE=CH=8-3=5在Rt△ADE中，DE=3AD==4∵PH+PM=AD∴PG+PH=AD=4.6．(2021年达州)如图7，在△ABC中，AB＝2BC，点D、点E分别为AB、AC的中点，连结DE，将△ADE绕点E旋转180得到△CFE.试判断四边形BCFD的形状，并说明理由.【关键词】菱形的判定【答案】解：四边形BCFD是菱形，理由如下：∵点D、点E分别是AB、AC的中点∴DE∥＝12BC又∵△CFE是由△ADE旋转而得∴DE=EF∴DF∥＝BC∴四边形BCFD是平行四边形又∵AB=2BC，且点D为AB的中点∴BD=BC∴BCFD是菱形7．〔2021年中山〕如下图，在矩形中，，两条对角线相交于点．以、为邻边作第1个平行四边形，对角线相交于点，再以、为邻边作第2个平行四边形，对角线相交于点；再以、为邻边作第3个平行四边形……依次类推．〔1〕求矩形的面积；(2〕求第1个平行四边形、第2个平行四边形和第6个平行四边形的面积．【关键词】矩形、平行四边形有关的计算【答案】〔1〕在中，，．(2〕矩形，对角线相交于点，．四边形是平行四边形，，．又，，，同理，，第6个平行四边形的面积为．8．〔2021肇庆〕如图5，ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于O，．ODCBODCBA(2〕求AC的长〔结果可保存根号〕．【关键词】菱形【答案】(1〕证明：∵AC是菱形ABCD的对角线，∴AC平分∠BCD．又∠ACD=30°，∴∠BCD=60°．∵∠BAD与∠BCD是菱形的一组对角，∴∠BAD=∠BCD=60°．∵AB、AD是菱形的两条边，∴．∴△ABD是正三角形．(2〕解：∵O为菱形对角线的交点，∴．在中，，∴， ∴，答的长为．9．〔2021肇庆〕如图，ABCD是正方形．G是BC上的一点，DE⊥AG于E，BF⊥AG于F．ADEADEFCGB(2〕求证：．【关键词】正方形【答案】证明：〔1〕∵DE⊥AG，BF⊥AG，∴∠AED=∠AFB=90°．∵ABCD是正方形，DE⊥AG，∴∠BAF+∠DAE=90°，∠ADE+∠DAE=90°，∴∠BAF=∠ADE．又在正方形ABCD中，AB=AD．在△ABF与△DAE中，∠AFB=∠DEA=90°，∠BAF=∠ADE，AB=DA，∴△ABF≌△DAE．(2〕∵△ABF≌△DAE，∴AE=BF，DE=AF．又AF=AE+EF，∴AF=EF+FB，∴DE=EF+FB．10．〔2021年广西钦州〕〔1〕：如图1，在矩形ABCD中，AF＝BE．求证：DE＝CF；【关键词】矩形性质、全等三角形判定【答案】证明：∵AF＝BE，EF＝EF，∴AE＝BF．∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠B＝90°，AD＝BC．∴△DAE≌△CBF．11．〔2021年广西梧州〕如图，△ABC中，AC的垂直平分线MN交AB于点D，交AC于点O，CE∥AB交MN于E，连结AE、CD．(1〕求证：AD＝CE；(2〕填空：四边形ADCE的形状是★．【关键词】垂直平分线、全等三角形、菱形判定【答案】(1〕证明：∵MN是AC的垂直平分线∴OA＝OC∠AOD＝∠EOC=90°∵CE∥AB∴∠DAO＝∠ECO∴△ADO≌△CEO∴AD＝CE(2〕四边形ADCE是菱形．∴DE＝CF；12．(2021年宜宾〕：如图，四边形ABCD是菱形，过AB的中点E作AC的垂线EF，交AD于点M，交CD的延长线于点F.(1〕求证：AM=DM；(2〕假设DF=2，求菱形ABCD的周长．【关键词】菱形的性质,全等三角形的判定【答案】〔1〕略证：∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD,AB=AD.∵AC⊥EF,∴AM=AE.∵AE=AB,∴AM=AD.∴AM=DM.(2〕提示:证明△AME≌△DMF.DF=AEABCD的周长为16.13．〔2021年日照市〕正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．(1〕求证：EG=CG；(2〕将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45º，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．问〔1〕中的结论是否仍然成立？假设成立，请给出证明；假设不成立，请说明理由．DFBACE第24题图③FDFBACE第24题图③FBADCEG第24题图②FBFBADCEG第24题图①【关键词】正方形,图形的全等，【答案】解：〔1〕证明：在Rt△FCD中，∵G为DF的中点，∴CG=FD．同理，在Rt△DEF中，EG=FD．∴CG=EG．(2〕〔1〕中结论仍然成立，即EG=CG．证法一：连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点．FBADCFBADCEGMNN图②〔一〕∵AD=CD，∠ADG=∠CDG，DG=DG，∴△DAG≌△DCG．∴AG=CG．在△DMG与△FNG中，∵∠DGM=∠FGN，FG=DG，∠MDG=∠NFG，∴△DMG≌△FNG．∴MG=NG在矩形AENM中，AM=EN．在Rt△AMG与Rt△ENG中，∵AM=EN，MG=NG，∴△AMG≌△ENG．∴AG=EG．FBADFBADCEGM图②〔二〕证法二：延长CG至M,使MG=CG，连接MF，ME，EC，在△DCG与△FMG中，∵FG=DG，∠MGF=∠CGD，MG=CG，∴△DCG≌△FMG．∴MF=CD，∠FMG＝∠DCG．∴MF∥CD∥AB．∴．在Rt△MFE与Rt△CBE中，∵MF=CB，EF=BE，∴△MFE≌△CBE．∴．FBADCE图③G∴∠MEC＝FBADCE图③G∴△MEC为直角三角形．∵MG=CG，∴EG=MC．∴．(3〕〔1〕中的结论仍然成立，即EG=CG．其他的结论还有:EG⊥CG．14．〔2021年河南〕如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,∠B=60°，BC=2．点0是AC的中点，过点0的直线l从与AC重合的位置开始，绕点0作逆时针旋转，交AB边于点D.过点C作CE∥AB交直线l于点E，设直线l的旋转角为α.(1)①当α=________度时，四边形EDBC是等腰梯形，此时AD的长为_________；②当α=________度时，四边形EDBC是直角梯形，此时AD的长为_________；(2)当α=90°时,判断四边形EDBC是否为菱形，并说明理由．【关键词】动态四边形【答案】〔1〕①30，1；②60，1.5；(2〕当∠α=900时，四边形EDBC是菱形.∵∠α=∠ACB=900，∴BC//ED.∵CE//AB,∴四边形EDBC是平行四边形.在Rt△ABC中，∠ACB=900，∠B=600,BC=2,∴∠A=300.∴AB=4,AC=2.∴AO==.在Rt△AOD中，∠A=300，∴AD=2.∴BD=2.∴BD=BC.又∵四边形EDBC是平行四边形，∴四边形EDBC是菱形15．〔2021年孝感〕三个牧童A、B、C在一块正方形的牧场上看守一群牛，为保证公平合理，他们商量将牧场划分为三块分别看守，划分的原那么是：①每个人看守的牧场面积相等；②在每个区域内，各选定一个看守点，并保证在有情况时他们所需走的最大距离〔看守点到本区域内最远处的距离〕相等．按照这一原那么，他们先设计了一种如图1的划分方案：把正方形牧场分成三块相等的矩形，大家分头守在这三个矩形的中心〔对角线交点〕，看守自己的一块牧场．过了一段时间，牧童B和牧童C又分别提出了新的划分方案．牧童B的划分方案如图2：三块矩形的面积相等，牧童的位置在三个小矩形的中心．牧童C的划分方案如图3：把正方形的牧场分成三块矩形，牧童的位置在三个小矩形的中心，并保证在有情况时三个人所需走的最大距离相等．请答复：(1〕牧童B的划分方案中，牧童▲(填A、B或C〕在有情况时所需走的最大距离较远；〔3分〕(2〕牧童C的划分方案是否符合他们商量的划分原那么？为什么？〔提示：在计算时可取正方形边长为2〕〔5分〕【关键词】方案设计【答案】〔1〕C；…………3分(2〕牧童C的划分方案不符合他们商量的划分原那么．…4分理由如下：如图，在正方形DEFG中，四边形HENM、MNFP、DHPG都是矩形，且HN=NP=HG．可知EN=NF，S矩形HENM＝S矩形MNFP．………5分取正方形边长为2，设HD=x，那么HE=2－x.在Rt△HEN和Rt△DHG中，由HN=HG得：EH2+EN2=DH2+DG2，即：．解得，．∴．………………7分∴S矩形HENM=S矩形MNFP=，S矩形DHPG=．∴S矩形HENM≠S矩形DHPG．∴牧童C的划分方案不符合他们商量的划分原那么．16．〔2021年娄底〕如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，连结AD，在AD的延长线上取一点E，连结BE，CE.(1〕求证：△ABE≌△ACE(2〕当AE与AD满足什么数量关系时，四边形ABEC是菱形？并说明理由.【关键词】全等、四边形【答案】〔1〕证明：∵AB=AC点D为BC的中点∴∠BAE=∠CAEAE=AE∴△ABE≌△ACE〔SAS〕(2〕当AE=2AD〔或AD=DE或DE=AE〕时，四边形ABEC是菱形理由如下：∵AE=2AD，∴AD=DE又点D为BC中点，∴BD=CD∴四边形ABEC为平行四形边∵AB=AC∴四边形ABEC为菱形17．〔2021恩施市〕两个完全相同的矩形纸片、如图7放置，，求证：四边形为菱形．CDCDEMABFN【关键词】菱形的判定、全等【答案】证明:∵四边形ABCD、BFDE是矩形∴BM∥DN,DM∥BN∴四边形BNDM是平行四边形又∵AB=BF=ED,∠A=∠E=90°∠AMB=∠EMD∴△ABM≌△EDM∴BM=DM∴平行四边形BNDM是菱形18．(2021年义乌)如图，在矩形ABCD中，AB=3,AD=1,点P在线段AB上运动，设AP=，现将纸片折叠，使点D与点P重合，得折痕EF〔点E、F为折痕与矩形边的交点〕，再将纸片复原。(1〕当时，折痕EF的长为；当点E与点A重合时，折痕EF的长为；(2〕请写出使四边形EPFD为菱形的的取值范围，并求出当时菱形的边长；(3〕令，当点E在AD、点F在BC上时，写出与的函数关系式。当取最大值时，判断与是否相似？假设相似，求出的值；假设不相似，请说明理由。温馨提示：用草稿纸折折看，或许对你有所帮助哦！【关键词】矩形、菱形与函数的综合【答案】解：〔1〕3，(2〕．当时，如图1，连接，为折痕，，令为，那么，DCBADCBAPEF图1，解得，此时菱形边长为．DCFBDCFBAPEOH易证，，DCDC(F)HBAPEO当与点重合时，如图3，连接，，，．显然，函数的值在轴的右侧随的增大而增大，当时，有最大值．此时，．综上所述，当取最大值时，，〔不写不扣分〕．19．(2021年金华市)(此题10分)在平面直角坐标系中，O为坐标原点.(1)点A(3,1)，连结OA，平移线段OA，使点O落在点B.设点A落在点C,作如下探究：探究一：假设点B的坐标为(1，2)，请在图1中作出平移后的像，那么点C的坐标是▲；连结AC，BO，请判断O，A，C，B四点构成的图形的形状，并说明理由；yBAOx图11xOAyBAOx图11xOABy图21(温馨提示:作图时,别忘了用黑色字迹的钢笔或签字笔描黑喔!〕(2)通过上面的探究，请直接答复以下问题：①假设三点A(a，b)，B(c，d)，C(a+c，b+d)，顺次连结O，A，C，B，请判断所得到的图形的形状；②在①的条件下，如果所得到的图形是菱形或者是正方形，请选择一种情况，写出a，b，c，d应满足的关系式.答案：(1)探究一：C(4，3)，……………………1分图正确得2分，图略…………2分四边形OACB为平行四边形，………………1分理由如下：由平移可知，OA∥BC，且OA=BC，所以四边形OACB为平行四边形.…………2分探究二：线段…………1分(2)①平行四边形或线段………2分②菱形：a2+b2=c2+d2(a=－c，b=－d除外〕正方形：a=d且b=－c或b=c且a=－d……………1分(写出菱形需满足的条件或写出正方形需满足的条件其中一种即可给分)20．(2021年营口市)如图1，P是线段AB上的一点，在AB的同侧作△APC和△BPD，使PC＝PA，PD＝PB，∠APC＝∠BPD，连接CD，点E、F、G、H分别是AC、AB、BD、CD的中点，顺次连接E、F、G、H．(1)猜测四边形EFGH的形状，直接答复，不必说明理由；(2)当点P在线段AB的上方时，如图2，在△APB的外部作△APC和△BPD，其他条件不变，(1)中的结论还成立吗？说明理由；(3)如果(2)中，∠APC＝∠BPD＝90º，其他条件不变，先补全图3，再判断四边形EFGH的形状，并说明理由．AAAAABBBPPPDCCDFFEEGGHH图1图2图3CHDCHDGBPFEA第25题〔2〕答图(2〕成立． 3分理由：连接． 4分，．即．又，，〔SAS〕． 6分分别是的中点，分别是，，，的中位线．，，，．32321CHDGEAPFB第25题〔3〕答图四边形是菱形． 7分(3〕补全图形，如答图． 8分判断四边形是正方形． 9分理由：连接．〔2〕中已证．．，．又．．． 11分〔2〕中已证分别是的中位线，，．．又〔2〕中已证四边形是菱形，菱形是正方形．21．〔2021山西省太原市〕如图，是边上一点，．(1〕在图中作的角平分线，交于点；〔要求：尺规作图，保存作图痕迹，不写作法和证明〕(2〕在〔1〕中，过点画的垂线，垂足为点，交于点，连接，将图形补充完整，并证明四边形是菱形．AAOENM【关键词】菱形的判定【答案】解：〔1〕如图，射线为所求作的图形．AAOBCDENM(2〕方法一：平分在和中∴四边形是平行四边形．∴四边形是菱形．方法二：同方法一，于点，∴在和中∴∴四边形是平行四边形．〔或〕，∴四边形是菱形．22．(2021山西省太原市〕问题解决如图〔1〕，将正方形纸片折叠，使点落在边上一点〔不与点，重合〕，压平后图〔1〕ABCDEFM图〔1〕ABCDEFMN方法指导：方法指导：为了求得的值，可先求、的长，不妨设：=2类比归纳在图〔1〕中，假设那么的值等于；假设那么的值等于；假设〔为整数〕，那么的值等于．〔用含的式子表示〕联系拓广图〔2〕NABCDEFM如图〔2〕，将矩形纸片折叠，使点落在边上一点图〔2〕NABCDEFM问题解决解：方法一：如图〔1-1〕，连接．NN图〔1-1〕ABCDEFM由题设，得四边形和四边形关于直线对称．∴垂直平分．∴∵四边形是正方形，∴∵设那么在中，．∴解得，即在和在中，，，设那么∴解得即分∴方法二：同方法一，如图〔1－2〕，过点做交于点，连接NN图〔1-2〕ABCDEFMG∵∴四边形是平行四边形．∴同理，四边形也是平行四边形．∴∵在与中∴∵∴类比归纳〔或〕；；联系拓广23．(2021襄樊市〕如下图，在中，将绕点顺时针方向旋转得到点在上，再将沿着所在直线翻转得到连接(1〕求证：四边形是菱形；(2〕连接并延长交于连接请问：四边形是什么特殊平行四边形？为什么？ADADFCEGB【关键词】菱形的判定、矩形的判定【答案】ADFCEGADFCEGB∴∴是等边三角形，∴又∵是由沿所在直线翻转得到∴∴是平角∴点F、B、C三点共线∴是等边三角形∴3分∴∴四边形是菱形．(2〕四边形是矩形．证明：由〔1〕可知：是等边三角形，于∴∵∴∴∴∴四边形是平行四边形，而∴四边形是矩形．24．(2021年安顺)如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连结BF。(1〕 求证：BD=CD；(2〕 如果AB=AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论。【关键词】矩形判定【答案】〔1〕，是的中点，．，(2〕四边形是矩形，是的中点

，，四边形是平行四边形又四边形是矩形．25．〔2021重庆綦江〕如图，在矩形ABCD中，是边上的点，AE=BC，DF⊥AE，垂足为F，连接DE．(1〕求证：；(2〕如果，求的值．26．〔2021年北京市〕阅读以下材料：小明遇到一个问题：5个同样大小的正方形纸片排列形式如图1所示，将它们分割后拼接成一个新的正方形.他的做法是：按图2所示的方法分割后，将三角形纸片①绕AB的中点O旋转至三角形纸片②处，依此方法继续操作，即可拼接成一个新的正方形DEFG.请你参考小明的做法解决以下问题：(1〕现有5个形状、大小相同的矩形纸片，排列形式如图3所示.请将其分割后拼接成一个平行四边形.要求：在图3中画出并指明拼接成的平行四边形〔画出一个符合条件的平行四边形即可〕；(2〕如图4，在面积为2的平行四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，分别连结AF、BG、CH、DE得到一个新的平行四边形MNPQ请在图4中探究平行四边形MNPQ面积的大小〔画图并直接写出结果〕.【关键词】正方形操作探究【答案】27．(2021年北京市〕在中，过点C作CE⊥CD交AD于点E,将线段EC绕点E逆时针旋转得到线段EF(如图1)〔1〕在图1中画图探究：①当P为射线CD上任意一点〔P1不与C重合〕时，连结EP1绕点E逆时针旋转得到线段EC1.判断直线FC1与直线CD的位置关系，并加以证明；②当P2为线段DC的延长线上任意一点时，连结EP2,将线段EP2绕点E逆时针旋转得到线段EC2.判断直线C1C2与直线CD的位置关系，画出图形并直接写出你的结论.(2〕假设AD=6,tanB=,AE=1,在①的条件下，设CP1=，S=，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围.【关键词】旋转、三角形全等、正方形、二次函数解：〔1〕①直线与直线的位置关系为互相垂直．证明：如图1，设直线与直线的交点为．∵线段分别绕点逆时针旋转90°依次得到线段，FDCFDCBAE图1G2G1P1HP2∵，，∴．∴．∴．∵，∴，∴．∴．∴．∴．②按题目要求所画图形见图1，直线与直线的位置关系为互相垂直．(2〕∵四边形是平行四边形，∴．∵，∴．可得．由〔1〕可得四边形为正方形．DG1DG1P1HCBAEF图2①如图2，当点在线段的延长线上时，∵，∴．∴．FG1P1CFG1P1CABEDH图3∵，∴．∴．③当点与点重合时，即时，不存在．综上所述，与之间的函数关系式及自变量的取值范围是或．28．〔2021年长春〕如图，在矩形中，点分别在边上，，，求的长．ABABCDEF【关键词】矩形的性质、直角三角形的有关计算、相似三角形有关的计算和证明【答案】解：∵四边形是矩形，AB=6∴∠A=∠D=90°，DC=AB=6又∵AE=9∴在Rt△ABE中，由勾股定理得：BE=∵，∴，即∴EF=26．〔2021年长春〕如图，抛物线与轴正半轴交于点，以为边在轴上方作正方形，延长交抛物线于点，再以为边向上作正方形．(1〕求的值．〔2分〕yxOyxOCBAEFD【关键词】正方形的性质、待定系数法、二次函数〔a≠0〕与a，b，c的关系【答案】解：〔1〕∵抛物线与轴正半轴交于点∴把的坐标代入得：9a-3-=0∴a=(2)设正方形BDEF的边长为x，那么D〔3+x，3〕∵点D在抛物线上∴解这个方程得：x1=，〔不合题意，舍去〕F(3，)29．〔2021年安徽〕学校植物园沿路护栏纹饰局部设计成假设干个全等菱形图案，每增加一个菱形图案，纹饰长度就增加dcm，如下图．每个菱形图案的边长cm，其一个内角为60°．60°60°……dL第19题图(1〕假设d＝26，那么该纹饰要231个菱形图案，求纹饰的长度L；(2〕当d＝20时，假设保持〔1〕中纹饰长度不变，那么需要多少个这样的菱形图案？【关键词】菱形的性质、【答案】〔1〕菱形图案水平方向对角线长为＝30cm按题意，cm(2〕当20cm时，设需x个菱形图案，那么有：解得即需300个这样的菱形图案．28.〔2021年安徽〕．如图，将正方形沿图中虚线〔其中x＜y〕剪成①②③④四块图形，用这四块图形恰能拼成一个矩形〔非正方形〕．(1〕画出拼成的矩形的简图；(2〕求的值．①③②①③②④xyxyyxxy③④①②【关键词】正方形、矩形的性质，解一元二次方程、分式的根本性质、【答案】解：〔1〕如下图说明：其它正确拼法可相应赋分．(2〕解法一：由拼图前后的面积相等得：因为y≠0，整理得：解得：〔负值不合题意，舍去〕解法二：由拼成的矩形可知：以下同解法一．30．〔2021年郴州市〕如图9，E是正方形ABCD对角线BD上的一点，求证：AE=CE．DDCEBA【关键词】是正方形【答案】证明：因为四边形是正方形所以又BE是公共边所以所以31．(2021年陕西省)问题探究(1〕请在图①的正方形ABCD内，画出使∠APB＝90°的一个点P，并说明理由．(2〕请在图②的正方形ABCD内〔含边〕，画出使∠APB＝60°的所有的点P，并说明理由．问题解决如图③，现有一块矩形钢板ABCD，AB＝4，BC＝3，工人师傅想用它裁出两块全等的、面积最大的△APB和△CP’D钢板，且∠APB＝∠CP’D＝60°，请你在图③中画出符合要求的点P和P’，并求出△APB的面积〔结果保存根号〕．【关键词】正方形对角线等边三角形圆周角性质三角形面积【答案】解：〔1〕如图①，连接AC、BD交于点P，那么∠APB＝90°，∴点P为所求，(2〕如图②，画法如下：1〕以AB为边在正方形内作等边△ABP；2〕作△ABP的外接圆⊙O，分别与AD、BC交于点E、F．∵在⊙O中，弦AB所对的弧APB上的圆周角均为60°，∴弧EF上的所有点均为所求的点P，(3〕如图③，画法如下：1〕连接AC；2〕以AB为边作等边△ABE；3〕作等边△ABE的外接圆⊙O，交AC于点P；4〕在AC上截取AP’＝CP．那么点P、P’为所求．(评卷时，作图准确，无画法的不扣分〕过点B作BG⊥AC，交AC于点G．∵在Rt△ABC中，AB＝4，BC＝3，∴AC＝．∴BG＝．在Rt△ABG中，AB＝4，∴AG＝．在Rt△BPG中，∠BPA＝60°，∴PG＝，∴AP＝AG+PG＝．∴S△APB＝32．〔2021重庆綦江〕如图，在矩形ABCD中，是边上的点，AE=BC，DF⊥AE，垂足为F，连接DE．(1〕求证：；(2〕如果，求的值．DADABCEF【关键词】全等三角形，矩形，三角函数【答案】(1〕证明：在矩形中，．(2〕解：由〔1〕知在直角中，在直角中，．33．〔2021威海〕如图1，在正方形中，分别为边上的点，，连接交点为．(1〕如图2，连接，试判断四边形的形状，并证明你的结论；1〕1〕DCBAOHGFEEBADCGFH〕(2〕将正方形沿线段剪开，再把得到的四个四边形按图3的方式拼接成一个四边形．假设正方形的边长为3cm，，那么图3中阴影局部的面积为_________．【关键词】正方形的性质与判定【答案】〔1〕四边形是正方形．证明：EBADEBADCGFH图2O.，．．．四边形是菱形．由知．，．．四边形是正方形．(2〕1．34．〔2021年贵州省黔东南州〕如图，l1、l2、l3、l4是同一平面内的四条平行直线，且每相邻的两条平行直线间的距离为h，正方形ABCD的四个顶点分别在这四条直线上，且正方形ABCD的面积是25。(1〕连结EF，证明△ABE、△FBE、△EDF、△CDF的面积相等。(2〕求h的值。【关键词】特殊平行四边形相关的面积问题【答案】解：连结EF∵l1∥l2∥l3∥l4，且四边形ABCD是正方形∴BE∥FD，BF∥ED∴四边形EBFD为平行四边形∴BE=FD又∵l1、l2、l3和l4之间的距离为h∴S△ABE=BE·h，S△FBE=BE·h，S△EDF=FD·h，S△CDF=FD·h∴S△ABE=S△FBE=S△EDF=S△CDF……………〔4分〕(2〕过A点作AH⊥BE于H点。方法一：∵S△ABE=S△FBE=S△EDF=S△CDF又∵正方形ABCD的面积是25∴，且AB=AD=5又∵l1∥l2∥l3∥l4∴E、F分别是AD与BC的中点∴AE=AD=∴在Rt△ABE中，BE=又∵AB·AE=BE·AH∴方法二：不妨设BE=FD=x(x>0)那么S△ABE=S△FBE=S△EDF=S△CDF=又∵正方形ABCD的面积是25，∴S△ABE=，且AB=5那么①又∵在Rt△ABE中：AE=又∵∠BAE=90o，AH⊥BE∴Rt△ABE∽Rt△HAE∴，即变形得：②把①两边平方后代入②得：③解方程③得(舍去〕把代入①得：35．〔2021年江苏省〕如图，在梯形中，两点在边上，且四边形是平行四边形．(1〕与有何等量关系？请说明理由；(2〕当时，求证：是矩形．ADADCFEB【关键词】矩形、平行四边形【答案】〔1〕解：． (1分〕理由如下：，四边形和四边形都是平行四边形.．又四边形是平行四边形，．．．(2〕证明：四边形和四边形都是平行四边形，．．又四边形是平行四边形，四边形是矩形．36．〔2021年浙江省绍兴市〕假设从矩形一边上的点到对边的视角是直角，那么称该点为直角点．例如，如图的矩形中，点在边上，连，，那么点为直角点．(1〕假设矩形一边上的直角点为中点，问该矩形的邻边具有何种数量关系？并说明理由；(2〕假设点分别为矩形边，上的直角点，且，求的长．【关键词】矩形的性质【答案】36．〔2021年广西南宁〕如图13-1，在边长为5的正方形中，点、分别是、边上的点，且，.(1〕求∶的值；(2〕延长交正方形外角平分线〔如图13-2〕，试判断的大小关系，并说明理由；(3〕在图13-2的边上是否存在一点，使得四边形是平行四边形？假设存在，请给予证明；假设不存在，请说明理由．图13-1A图13-1ADCBE图13-2BCEDAFPF【关键词】正方形的性质与判定【答案】解：〔1〕四边形ABCD为正方形FAFADCBE132四边形是平行四边形．(备注：作平行四边形，并计算出或的长度，但没有证明点在边上的扣1分〕解法：在边上存在一点，使四边形是平行四边形证明：在边上取一点，使，连接、、．四边形为平行四边形(备注：此小题假设有其他的证明方法，只要证出判定平行四边形的一个条件，即可得1分〕BCBCEDAFP541M37．〔2021年清远〕如图，正方形，点是上的一点，连结，以为一边，在的上方作正方形，连结．求证：EBEBCGDFA【关键词】正方形的性质与判定、全等三角形的性质与判定【答案】证明：四边形和四边形都是正方形38．〔2021年衢州〕如图，四边形ABCD是矩形，△PBC和△QCD都是等边三角形，且点P在矩形上方，点Q在矩形内．求证：〔1〕∠PBA=∠PCQ=30°；〔2〕PA=PQ．ACACBDPQ【关键词】矩形的性质与判定【答案】证明：(1)∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=∠BCD=90°． ∵△PBC和△QCD是等边三角形，∴∠PBC=∠PCB=∠QCD=60°， ∴∠PBA=∠ABC－∠PBC=30°，∠PCD=∠BCD－∠PCB=30°．∴∠PCQ=∠QCD－∠PCD=30°．∴∠PBA=∠PCQ=30°． (2)∵AB=DC=QC，∠PBA=∠PCQ，PB=PC， ∴△PAB≌△PQC， ∴PA=PQ． ACACBDPQ39．〔2021年舟山〕如图，四边形ABCD是矩形，△PBC和△QCD都是等边三角形，且点P在矩形上方，点Q在矩形内．求证：〔1〕∠PBA=∠PCQ=30°；〔2〕PA=PQ．ACACBDPQ【关键词】矩形的性质与判定【答案】证明：(1)∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=∠BCD=90°． ∵△PBC和△QCD是等边三角形，∴∠PBC=∠PCB=∠QCD=60°， ∴∠PBA=∠ABC－∠PBC=30°，∠PCD=∠BCD－∠PCB=30°．∴∠PCQ=∠QCD－∠PCD=30°．∴∠PBA=∠PCQ=30°． (2)∵AB=DC=QC，∠PBA=∠PCQ，PB=PC， ∴△PAB≌△PQC， ∴PA=PQ． ACACBDPQ40．〔2021年广州市〕如图12，边长为1的正方形ABCD被两条与边平行的线段EF、GH分割为四个小矩形，EF与GH交于点P。(1〕假设AG=AE，证明：AF=AH；(2〕假设∠FAH=45°，证明：AG+AE=FH；(3〕假设RtΔGBF的周长为1，求矩形EPHD的面积。【关键词】正方形、矩形【答案】41．〔2021年益阳市〕如图，△ABC中，∠BAC＝45°，AD⊥BC于D，BD＝2，DC＝3，求AD的长.小萍同学灵活运用轴对称知识，将图形进行翻折变换，巧妙地解答了此题.请按照小萍的思路，探究并解答以下问题：(1)分别以AB、AC为对称轴，画出△ABD、△ACD的轴对称图形，D点的对称点为E、F，延长EB、FC相交于G点，证明四边形AEGF是正方形；(2)设AD=x，利用勾股定理，建立关于x的方程模型，求出x的值.BCBCAEGDF【关键词】正方形【答案】(1)证明：由题意可得：△ABD≌△ABE，△ACD≌△ACF.∴∠DAB＝∠EAB ，∠DAC＝∠FAC ，又∠BAC＝45°，∴∠EAF＝90°.又∵AD⊥BC∴∠E＝∠ADB＝90°∠F＝∠ADC＝90°.又∵AE＝AD，AF＝AD∴AE＝AF.∴四边形AEGF是正方形.(2)解：设AD＝x，那么AE＝EG＝GF＝x.∵BD＝2，DC＝3∴BE＝2 ，CF＝3∴BG＝x－2，CG＝x－3.在Rt△BGC中，BG2＋CG2＝BC2∴(x－2)2＋(x－3)2＝52.化简得，x2－5x－6＝0 解得x1＝6，x2＝－1〔舍〕所以AD＝x＝6.42．〔2021年济宁市〕在平面直角坐标中，边长为2的正方形的两顶点、分别在轴、轴的正半轴上，点绕点顺时针旋转，当点第一次落在直线上时停止旋转，旋转过程中，边交直线于点，边交轴于点〔如图〕.(1〕求边在旋转过程中所扫过的面积；(2〕旋转过程中，当和平行时，求正方形旋转的度数；OABCOABCMN的过程中，值是否有变化？请证明你的结论.【关键词】动态问题【答案】〔1〕解：∵点第一次落在直线上时停止旋转，∴旋转了.∴在旋转过程中所扫过的面积为.(2〕解：∵∥，∴,.∴.∴.又∵，∴.又∵,,∴.∴.∴.∴旋转过程中，当和平行时，正方形旋转的度数为.(3〕答：值无变化.证明：延长交轴于点，那么，，∴.又∵，.∴.∴.又∵,,∴.∴.∴，∴.∴在旋转正方形的过程中，值无变化.43．〔2021年衡阳市〕如图，△ABC中，AB=AC，AD、AE分别是∠BAC和∠BAC和外角的平分线，BE⊥AE．ABCDEABCDEFOABCOABCMN【关键词】三角形、矩形 【答案】解：〔1〕证明： (2〕AB＝DE，理由是： 44．(2021年南充)如图5，ABCD是正方形，点G是BC上的任意一点，于E，，交AG于F．求证：．DDCBAEFG【关键词】正方形的性质、全等三角形的判定【答案】证明：是正方形，．，．．又，．，．在与中，，．．，．45．(2021年湖州)如图，矩形，将沿对角线折叠，记点的对应点为′，假设′=20°，那么的度数为_．C′C′ADCB20°【关键词】矩形的性质，折叠【答案】46．(2021年湖州)如图：在中，，为边的中点，过点作，垂足分别为.(1〕 求证：；(2〕假设，求证：四边形是正方形.DDCBEAF【关键词】全等三角形的判定，正方形的判定【答案】(1〕，，，，是的中点，，.(2〕，，，四边形为矩形.，，四边形为正方形．47．〔2021临沂〕数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点．，且EF交正方形外角的平行线CF于点F，求证：AE=EF．经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，那么AM=EC，易证，所以．在此根底上，同学们作了进一步的研究：(1〕小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点〞改为“点E是边BC上〔除B，C外〕的任意一点〞，其它条件不变，那么结论“AE=EF〞仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；(2〕小华提出：如图3，点E是BC的延长线上〔除C点外〕的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF〞仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．ADADFCGEB图1ADFCGEB图2ADFCGEB图3【关键词】正方形的性质，全等三角形的判定与性质【答案】解：〔1〕正确．ADADFCGEBM证明：在上取一点，使，连接．．，．是外角平分线，，．．，，．〔ASA〕．．(2〕正确．ADADFCGEBN证明：在的延长线上取一点．使，连接．．．四边形是正方形，．．．〔ASA〕．．48．〔2021年兰州〕如图15，在四边形ABCD中，E为AB上一点，△ADE和△BCE都是等边三角形，AB、BC、CD、DA的中点分别为P、Q、M、N，试判断四边形PQMN为怎样的四边形，并证明你的结论．【关键词】平行四边形、菱形、正方形的性质、三角形中位线的性质【答案】证明：如图，连结AC、BD．∵PQ为△ABC的中位线， ∴PQAC．同理MNAC．∴MNPQ，∴四边形PQMN为平行四边形．在△AEC和△DEB中，AE＝DE，EC＝EB，∠AED＝60°＝∠CEB，即∠AEC＝∠DEB．∴△AEC≌△DEB．∴AC＝BD．∴PQ＝AC＝BD＝PN，∴□PQMN为菱形．49．〔2021年遂宁〕如图，矩形ABCD中，AB=4cm，AD=10cm，点P在边BC上移动，点E、F、G、H分别是AB、AP、DP、DC⑴求证：EF+GH=5cm；⑵求当∠APD=90o时，的值．【关键词】矩形的性质、勾股定理【答案】⑴∵矩形ABCD，AD=10cm，∴BC=AD=10cm，∵E、F、G、H分别是AB、AP、DP、DO∴EF+GH=BP+PC=BC，∴EF+GH=5cm．⑵∵矩形ABCD，∴∠B=∠C=90o，又∵∠APD=90o，∴由勾股定理得AD2=AP2+DP2=AB2+BP2+PC2+DC2=BP2+(BC-BP)2+2AB2=BP2+(10-BP)2+32,即100=2BP2-20BP+100+32，解得BP=2或8(cm)当BP=2时,PC=8,EF=1,GH=4,这时当BP=8时,PC=2,EF=4,GH=1,这时∴的值为或4．50．(2021年咸宁市)如图，将矩形沿对角线剪开，再把沿方向平移得到．(1〕证明；CBAD〔第19题〕CBAD〔第19题〕51．〔09湖北宜昌〕：如图1，把矩形纸片ABCD折叠，使得顶点A与边DC上的动点P重合(P不与点D，C重合)，MN为折痕，点M，N分别在边BC，AD上，连接AP，MP，AM，AP与MN相交于点F．⊙O过点M，C，P．(1)请你在图1中作出⊙O(不写作法，保存作图痕迹)；(2)与是否相等？请你说明理由；(3)随着点P的运动，假设⊙O与AM相切于点M时，⊙O又与AD相切于点H．设AB为4，请你通过计算，画出这时的图形．(图2，3供参考)图1图2图3(第3题〕【关键词】矩形的性质与判定【答案】解：(1)如图；(2)与不相等．假设，那么由相似三角形的性质，得MN∥DC．∵∠D=90°，∴DC⊥AD，∴MN⊥AD．∵据题意得，A与P关于MN对称，∴MN⊥AP．∵据题意，P与D不重合，∴这与“过一点〔A〕只能作一条直线与直线〔MN〕垂直〞矛盾．∴假设不成立．∴不成立．(2)解法2：与不相等．理由如下：∵P，A关于MN对称，∴MN垂直平分AP．∴cos∠FAN=．∵∠D=90°，∴cos∠PAD=．∵∠FAN=∠PAD，∴=．∵P不与D重合，P在边DC上;∴AD≠AP．∴≠;从而≠．(3)∵AM是⊙O的切线，∴∠AMP=90°，∴∠CMP＋∠AMB=90°．∵∠BAM＋∠AMB=90°，∴∠CMP=∠BAM．∵MN垂直平分，∴MA=MP，∵∠B=∠C=90°，∴△ABM≌△MCD．∴MC=AB=4，设PD=x，那么CP=4－x，∴BM=PC=4－x．(5分)连结HO并延长交BC于J．∵AD是⊙O的切线，∴∠JHD=90°．∴矩形HDCJ．(7分)∴OJ∥CP，∴△MOJ∽△MPC，∴OJ:CP=MO:MP=1:2，∴OJ=(4－x)，OH=MP=4－OJ=(4＋x)．∵MC2=MP2－CP2，∴(4＋x)2－(4－x)2=16．解得:x=1．即PD=1，PC=3，∴BC=BM+MC=PC+AB=3+4=7．由此画图(图形大致能示意即可)．(3〕解法2：连接HO，并延长HO交BC于J点，连接AO．由切线性质知，JH⊥AD，∵BC∥AD，∴HJ⊥BC，∴OJ⊥MC，∴MJ=JC．∵AM，AH与⊙O相切于点M，H，∴∠AMO=∠AHO=90°，∵OM=OH，AO=AO，∴Rt△AMO≌Rt△AHO．∴设AM=x，那么AM=AH=x，由切线性质得，AM⊥PM，∴∠AMP=90°，∴∠BMA+∠CMP=90°．∵∠BMA+∠BAM=90°，∴∠BAM=∠CMP，∵∠B=∠MCP=90°，∵MN为AP的中垂线，∴AM=MP．∴△ABM≌△MCP．∴四边形ABJH为矩形，得BJ=AH=x，Rt△ABM中，BM=，∴MJ==JC，〔9分〕∴AB=MC．∴4=2()，∴∴AD=BC==7，∴PC==3．由此画图(图形大致能示意即可)．52．〔09湖南邵阳〕如图〔十二〕，直线的解析式为，它与轴、轴分别相交于两点．平行于直线的直线从原点出发，沿轴的正方形以每秒1个单位长度的速度运动，它与轴、轴分别相交于两点，设运动时间为秒〔〕．(1〕求两点的坐标；(2〕用含的代数式表示的面积；(3〕以为对角线作矩形，记和重合局部的面积为，OMAPNOMAPNylmxBOMAPNylmxBEPF图十二②在直线的运动过程中，当为何值时，为面积的？【关键词】直角坐标系、一元二次方程解法及应用、一次函数的实际应用【答案】解(1〕当时，；当时，．；(2〕，；(3〕①当时，易知点在的外面，那么点的坐标为,点的坐标满足即，同理，那么，所以；②当时，，解得两个都不合题意，舍去；当时，，解得，综上得，当或时，为的面积的．53．(2021年肇庆市)如图，ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于O，．ODCBODCBA(2〕求AC的长〔结果可保存根号〕．【关键词】菱形【答案】〔1〕证明：∵AC是菱形ABCD的对角线，∴AC平分∠BCD．又∠ACD=30°，∴∠BCD=60°．∵∠BAD与∠BCD是菱形的一组对角，∴∠BAD=∠BCD=60°．∵AB、AD是菱形的两条边，∴．∴△ABD是正三角形．(2〕解：∵O为菱形对角线的交点，∴．在中，，∴，∴，答的长为．54．(2021年肇庆市)如图，ABCD是正方形．G是BC上的一点，DE⊥AG于E，BF⊥AG于F．(1〕求证：；(2〕求证：．ADADEFCGB【关键词】正方形【答案】证明：〔1〕∵DE⊥AG，BF⊥AG，ADEFCADEFCGB图6∵ABCD是正方形，DE⊥AG，∴∠BAF+∠DAE=90°，∠ADE+∠DAE=90°，∴∠BAF=∠ADE．〕又在正方形ABCD中，AB=AD．〕在△ABF与△DAE中，∠AFB=∠DEA=90°，∠BAF=∠ADE，AB=DA，∴△ABF≌△DAE．(2〕∵△ABF≌△DAE，∴AE=BF，DE=AF．又AF=AE+EF，∴AF=EF+FB，∴DE=EF+FB．55．〔2021年山西省〕在中，将绕点顺时针旋转角得交于点，分别交于两点．(1〕如图1，观察并猜测，在旋转过程中，线段与有怎样的数量关系？并证明你的结论；ADADBECFADBECF(2〕如图2，当时，试判断四边形的形状，并说明理由；(3〕在〔2〕的情况下，求的长．【关键词】全等三角形的性质与判定；菱形的性质与判定；等腰三角形；直角三角形的有关计算；旋转【答案】解：〔1〕证明：〔证法一〕由旋转可知，∴∴又∴即(证法二〕由旋转可知，而∴∴∴即(2〕四边形是菱形.证明：同理∴四边形是平行四边形.ADBECADBECFG(3〕〔解法一〕过点作于点，那么在中，……〔10分〕由〔2〕知四边形是菱形，∴∴(解法二〕∴在中，∴(其它解法可参照给分〕56．〔2021年山西省〕如图，直线与直线相交于点分别交轴于两点．矩形的顶点分别在直线上，顶点都在轴上，且点与点重合．(1〕求的面积；(2〕求矩形的边与的长；(3〕假设矩形从原点出发，沿轴的反方向以每秒1个单位长度的速度平移，设移动时间为秒，矩形与重叠局部的面积为，求关于的函数关系式，并写出相应的的取值范围．ADADBEOCFxyy〔G〕【关键词】一次函数的几何应用；一次函数与二元一次方程；矩形的性质；特殊平行四边形相关的面积问题；相似三角形有关的计算【答案】〔1〕解：由得点坐标为由得点坐标为∴由解得∴点的坐标为∴(2〕解：∵点在上且∴点坐标为又∵点在上且∴点坐标为∴(3〕解法一：当时，如图1，矩形与重叠局部为五边形〔时，为四边形〕．过作于，那么ADADBEORFxyyM〔图3〕GCADBEOCFxyyG〔图1〕RMADBEOCFxyyG〔图2〕RM∴即∴∴即 当时，如图2，为梯形面积，∵G〔8－t,0〕∴GR=,∴当时，如图3,为三角形面积，57．〔2021年黄石市〕如图，中，点是边上一个动点，过作直线，设交的平分线于点，交的外角平分线于点．(1〕探究：线段与的数量关系并加以证明；(2〕当点在边上运动时，四边形会是菱形吗？假设是，请证明，假设不是，那么说明理由；(3〕当点运动到何处，且满足什么条件时，四边形是正方形？AFAFNDCBMEO【关键词】等腰三角形；菱形的性质与判定；正方形的性质与判定；直角三角形性质【答案】解：〔1〕．其证明如下：∵是的平分线，．∵，∴．∴．∴．同理可证．∴．(2〕四边形不可能是菱形，假设为菱形，那么，而由〔1〕可知，在平面内过同一点不可能有两条直线同垂直于一条直线．(3〕当点运动到中点时，，，那么四边形为，要使为正方形，必须使．∵，∴，∴是以为直角的直角三角形，∴当点为中点且是以为直角的直角三角形时，四边形是正方形．58．〔2021年黄石市〕正方形在如下图的平面直角坐标系中，在轴正半轴上，在轴的负半轴上，交轴正半轴于交轴负半轴于，，抛物线过三点．(1〕求抛物线的解析式；〔3分〕(2〕是抛物线上间的一点，过点作平行于轴的直线交边于，交所在直线于，假设，那么判断四边形的形状；〔3分〕(3〕在射线上是否存在动点，在射线上是否存在动点，使得且，假设存在，请给予严格证明，假设不存在，请说明理由．〔4分〕OyOyxBEADCF【关键词】正方形的性质；待定系数法；相似三角形判定和性质；特殊平行四边形相关的面积问题；等腰梯形的判定；全等三角形的性质与判定【答案】解：〔1〕依条件有，．由知．∴由得．∴．将的坐标代入抛物线方程，得．∴抛物线的解析式为．(2〕OyOyxBEADCFNMQ设，，．∴设，那么∴，〔舍去〕此时点与点重合，，，，那么为等腰梯形． 3分(3〕在射线上存在一点，在射线上存在一点．使得，且成立，证明如下：当点如图①所示位置时，不妨设，过点作，，，垂足分别为．假设．由得：BANDMBANDMCQHP①BADMCQHP②NHNADCBMP③，．59．〔2021年广东省〕正方形边长为4，、分别是、上的两个动点， 当点在上运动时，保持和垂直，(1〕证明：；(2〕设，梯形的面积为，求与之间的函数关系式；当点运动到什么位置时，四边形面积最大，并求出最大面积；(3〕当点运动到什么位置时，求此时的值．DMDMABCN【关键词】正方形的性质；相似三角形判定和性质；直角梯形；与二次函数有关的面积问题；二次函数的极值问题；相似三角形有关的计算和证明【答案】解：〔1〕在正方形中，，，，，在中，，，，(2〕，，，，当时，取最大值，最大值为10．(3〕，要使，必须有，由〔1〕知，，当点运动到的中点时，，此时．(其它正确的解法，参照评分建议按步给分〕60．〔2021年广东省〕在菱形中，对角线与相交于点，．过点作交的延长线于点．(1〕求的周长；(2〕点为线段上的点，连接并延长交于点．求证：．AQAQDEBPCO【关键词】菱形的性质；勾股定理；平行四边形的判定；利用平行四边形证明线段相等；全等三角形的性质与判定【答案】解：〔1〕因为四边形为菱形，所以，故四边形为平行四边形，那么有，所以，，又垂直于，所以在中有，所以，故三角形的周长为(2〕因为四边形为菱形，所以，那么=又，所以全等于故有61．〔2021年广东省〕如下图，在矩形中，，两条对角线相交于点．以、为邻边作第1个平行四边形；对角线相交于点；再以、为邻边作第2个平行四边形，对角线相交于点；再以、为邻边作第3个平行四边形……依次类推．(1〕求矩形的面积；(2〕求第1个平行四边形、第2个平行四边形和第6个平行四边形的面积．A1A1A2B2C2C1B1O1DABCO【关键词】矩形的性质与判定；勾股定理；菱形的性质与判定；特殊平行四边形相关的面积问题；有理数运算【答案】解：〔1〕在中，，．(2〕矩形，对角线相交于点，，四边形是平行四边形，，，又，，，同理，，第6个平行四边形的面积为．62．〔2021年安徽〕20．如图，将正方形沿图中虚线〔其中x＜y〕剪成①②③④四块图形，用这四块图形恰能拼成一个矩形〔非正方形〕．(1〕画出拼成的矩形的简图；【解】(2〕求的值．【解】【关键词】矩形、正方形【答案】解：〔1〕说明：其它正确拼法可相应赋分．(2〕解法一：由拼图前后的面积相等得：因为y≠0，整理得：解得：〔负值不合题意，舍去〕解法二：由拼成的矩形可知：以下同解法一．63．〔2021湖北荆州年〕把一个正方形分成面积相等的四个三角形的方法有很多，除了可以分成能相互全等的四个三角形外，你还能用三种不同的方法将正方形分成面积相等的四个三角形吗？请分别画出示意图。【关键词】正方形【答案】64．〔2021年湖北荆州〕如图①，两个菱形ABCD和EFGH是以坐标原点O为位似中心的位似图形〔菱形ABCD与菱形EFGH的位似比为2︰1〕，∠BAD＝120°，对角线均在坐标轴上，抛物线经过AD的中点M．⑴填空：Ａ点坐标为，D点坐标为；⑵操作：如图②，固定菱形ABCD，将菱形EFGH绕O点顺时针方向旋转度角，并延长OE交AD于P，延长OH交CD于Q．探究1：在旋转的过程中是否存在某一角度，使得四边形AFEP是平行四边形？假设存在，请推断出的值；假设不存在，说明理由；探究2：设AP＝，四边形OPDQ的面积为，求与之间的函数关系式，并指出的取值范围．xyxyOＭＨＧＦＥＤＣＢA图①ＨＧＦＥＤＣＢA图②xyOＱＰ【关键词】旋转、菱形综合【答案】65．(2021年云南省)(1〕求证：△ABC≌△DCB；(2〕过点C作CN∥BD，过点B作BN∥AC，CN与BN交于点N，试判断线段BN与CN的数量关系，并证明你的结论．BCBCADMN【关键词】全等三角形猜测探究【答案】证明：〔1〕如图，在△ABC和△DCB中，∵AB=DC，AC=DB，BC=CB，∴△ABC≌△DCB．(2〕据有BN＝CN．证明如下：∵CN∥BD，BN∥AC，∴四边形BMCN是平行四边形．由〔1〕知，∠MBC=∠MCB，∴BM=CM，∴四边形BMCN是菱形．∴BN=CN．66．〔2021年佳木斯中考卷第25题〕如图，将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使点B落到点B′的位置，AB′与CD交于点E.(1〕试找出一个与△AED全等的三角形，并加以证明.(2〕假设AB=8，DE=3，P为线段AC上的任意一点，PG⊥AE于G，PH⊥EC于H，试求PG+PH的值，并说明理由.【关键词】矩形的性质，全等三角形的判定【答案】〔1〕△AED≌△CEB′证明：∵四边形ABCD是矩形，∴BC=B′C=AD，∠B=∠B′=∠D又∠B′EC=∠DEA∴△AED≌△CEB′(2〕延长HP交AB于M，那么PM⊥AB∵∠1=∠2，PG⊥AB′∴PM=PG∵CD∥AB∴∠2=∠3∴∠1=∠3∴AE=CH=8-3=5在Rt△ADE中，DE=3AD==4∵PH+PM=AD∴PG+PH=AD=4.67．ABCD，AD//BC，连接BD.(1) 小明说：“假设添加条件，那么四边形ABCD是矩形〞.你认为小明的说法是否正确，假设正确请说明理由，假设不正确，请举出一个反例.(2) 假设BD平分∠ABC，∠DBC=∠BDC，tan∠DBC=1，求证：四边形ABCD是正方形．【关键词】矩形、正方形的判定【答案】