连续型随机变量及其概率密度课件

连续型随机变量X所有可能取值充满一个区间,对这种类型的随机变量,不能象离散型随机变量那样,以指定它取每个值概率的方式,去给出其概率分布,而是通过给出所谓“概率密度函数”的方式来描述其概率分布.下面学习连续型随机变量及其概率密度．

牛牛文库文档分享连续型随机变量X所有可能取值充满一个区间,1１．连续型随机变量的概念２．三种重要的连续型随机变量３．小结2.3连续型随机变量及其概率密度

牛牛文库文档分享１．连续型随机变量的概念２．三种重要的连续型随机变量３．小结2

设离散型随机变量X在［a,b］内取n个值:x1=a,x2,x3,x4,…,xn=b．X即小矩形的面积为Ｘ取对应点的概率x1=aPx2x3s1s2s3sn…….xn=b

＝折线下面积之和！１．连续型随机变量的概念X的概率直方图：(1)定义的引出

牛牛文库文档分享设离散型随机变量X在［a,b］内取n个值:x13

若X为连续型随机变量，由于X在［a,b］内取连续取无穷多个值，折线将变为一条光滑曲线而且：XaP…….b由此推出连续型随机变量的定义

牛牛文库文档分享若X为连续型随机变量，由于X在［a,b］内取连4

设X是随机变量，如果存在定义在整个实数轴上的函数f(x)，满足条件

1.

2.对于任意的

3.则称X是连续型随机变量，

称为X的概率密度函数,简称概率密度.(2)连续型随机变量的定义

牛牛文库文档分享设X是随机变量，如果存在定义在整个实数轴上的函数f(x5

概率密度函数的性质1)2)1这两条性质是判定一个函数f(x)是否为某个随机变量X的概率密度函数的充要条件.3)X落入区间［a,b］内的概率＝

牛牛文库文档分享概率密度函数的性质1)2)13)X落入区间［a,b］内6注意

对于任意可能值a,连续型随机变量取a的概率等于零.即连续型随机变量取值落在某一区间的概率与区间的开闭无关由此可得这是因为

牛牛文库文档分享注意对于任意可能值a,连续型随机变量取a的概7

故

X的密度

f(x)

在

x

这一点的值，恰好是X落在区间

上的概率与区间长度

之比的极限.这里，如果把概率理解为质量，

f(x)相当于线密度.

若x是

f(x)的连续点，则：=f(x)(３)对

f(x)的进一步理解

牛牛文库文档分享故X的密度f(x)在x这一点的值8

密度函数

f(x)在某点处a的高度，并不反映X取值的概率.但是，这个高度越大，则X取a附近的值的概率就越大.也可以说，在某点密度曲线的高度反映了概率集中在该点附近的程度.1问题１：f(a)是Ｘ=a的概率吗？

牛牛文库文档分享密度函数f(x)在某点处a的高度，并不反映X9事实上，若不计高阶无穷小，有：

它表示随机变量

X

取值于

的概率近似等于

.在连续型r.v理论中所起的作用与在离散型r.v理论中所起的作用相类似.

牛牛文库文档分享事实上，若不计高阶无穷小，有：它表示随机变量10P{X=a}=0而

{X=a}并非不可能事件.可见，由P(A)=0,不能推出由P(B)=1,不能推出

B=问题２：概率为零的事件一定是不可能事件吗？类似可知，

牛牛文库文档分享P{X=a}=0而{X=a}并非不可能事件.可见，由P(11解例1得

牛牛文库文档分享解例1得牛牛文库文档分享12

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牛牛文库文档分享牛牛文库文档分享142.三种重要的连续型随机变量(１)均匀分布

牛牛文库文档分享2.三种重要的连续型随机变量(１)均匀分布www.niu15均匀分布的意义事实上，若X

～

U(a,b)，则对于满足的c,d,总有

牛牛文库文档分享均匀分布的意义事实上，若X～U(a,b)，则对于满足的16均匀分布常见于下列情形：

如在数值计算中，由于四舍五

入，小数点后某一位小数引入的误差，例如对小数点后第一位进行四舍五

入时，那么一般认为误差服从（-0.5,0.5）上的均匀分布。如公交系统中乘客随机乘车的等车时间．

牛牛文库文档分享均匀分布常见于下列情形：如在数值计算中，由于17解设X表示他等车时间（以分计），则X是一个随机变量，且X的概率密度为例2（等待时间）公共汽车每10分钟按时通过一车站，一乘客随机到达车站.求他等车时间不超过3分钟的概率.所求概率为

牛牛文库文档分享解设X表示他等车时间（以分计），则X是一个随机变量，且X18解由题意,R的概率密度为故有例3

设电阻值R是一个随机变量，均匀分布在

~1100．求R的概率密度及R落在950~1050的概率．

牛牛文库文档分享解由题意,R的概率密度为故有例3设电阻值R是一个随机19例4

设随机变量X在[2,5]上服从均匀分布,现对X进行三次独立观测,试求至少有两次观测值大于3的概率.

X的分布密度函数为设A表示“对X的观测值大于3”,Y表示3次独立观测中观测值大于3的次数.解则因而有

牛牛文库文档分享例4设随机变量X在[2,5]上服从均匀分布20(2)指数分布

牛牛文库文档分享(2)指数分布牛牛文库文档分享21指数分布的重要性质:“无记忆性”.证明

牛牛文库文档分享指数分布的重要性质:“无记忆性”.证明www.niuwk.22而于是指数分布的无记忆性是使其具有广泛应用的重要原因！

牛牛文库文档分享而于是指数分布的无记忆性是使其具有广泛应用的重要原因！w23

指数分布在可靠性理论中描绘设备工作的可靠时间.

有些系统的寿命分布也可用指数分布来近似,

当电子产品的失效是偶然失效时,其寿命服从指数分布.在排队论中它被广泛地用于描绘等待时间,如电话通话时间、各种随机服务系统的服务时间、等待时间等.在更新和维修问题中描绘设备的寿命和维修时间.指数分布是伽玛分布和威布尔分布的特殊情况.

一般地,当随机质点流中在长t的时间内出现的质点数服从参数为t的泊松分布时,其相继出现两个质点的事件间就服从参数为的指数分布.

牛牛文库文档分享

24例5

某种电子元件的寿命(以小时计)X服从指数分布,其概率密度为(1)求元件寿命至少为200小时的概率.(2)将3只这种元件联接成为一个系统，设系统工作的方式是至少2只元件失效时系统失效，又设3只元件工作相互独立.求系统的寿命至少为200小时的概率.

牛牛文库文档分享例5某种电子元件的寿命(以小时计)X服从指数分ww25解(1)元件寿命至少为200小时的概率为

(2)以Y记3只元件中寿命小于200小时的元件的只数.由于各元件的工作相互独立，又由(1)知一元件的寿命小于200小时的概率为1-e-2,故有

牛牛文库文档分享解(1)元件寿命至少为200小时的概率为(2)以Y记3262只及2只以上元件的寿命小于200小时的概率为故系统的寿命至少为200小时的概率为

牛牛文库文档分享2只及2只以上元件的寿命小于200小时的概率为故系统的寿命至27(3)正态分布(或高斯分布)高斯资料

牛牛文库文档分享(3)正态分布(或高斯分布)高斯资料www.niuwk.c28正态概率密度函数的几何特征

牛牛文库文档分享正态概率密度函数的几何特征牛牛文29

牛牛文库文档分享牛牛文库文档分享30

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正态分布是最常见最重要的一种分布,例如测量误差,人的生理特征尺寸如身高、体重等;正常情况下生产的产品尺寸:直径、长度、重量高度等都近似服从正态分布.正态分布的应用与背景

牛牛文库文档分享正态分布是最常见最重要的一种分布,例如正态分32正态分布的概率计算等有关问题在第４章讲解．

牛牛文库文档分享正态分布的概率计算等有关问题在第４章讲解．www.niuwk33三、小结常见连续型随机变量的分布均匀分布正态分布(或高斯分布)指数分布

牛牛文库文档分享三、小结常见连续型随机变量的分布均匀分布正态分布(或高斯分布34课堂思考

某公共汽车站从上午7时起，每15分钟来一班车，即

7:00，7:15，7:30,7:45

等时刻有汽车到达此站，如果乘客到达此站时间X

是7:00到7:30之间的均匀随机变量,试求他候车时间少于5分钟的概率.解：依题意，

X

～U(0,30)

以7:00为起点0，以分为单位

牛牛文库文档分享课堂思考某公共汽车站从上午7时起，每15分钟来一班车，即35

为使候车时间X少于5分钟，乘客必须在7:10到7:15之间，或在7:25到7:30之间到达车站.所求概率为：从上午7时起，每15分钟来一班车，即7:00，7:15，7:30等时刻有汽车到达汽车站，即乘客候车时间少于5分钟的概率是1/3.

牛牛文库文档分享为使候车时间X少于5分钟，乘客必须在7:136

区间(0,1)上的均匀分布U(0,1)在计算机模拟中起着重要的作用.

实用中，用计算机程序可以在短时间内产生大量服从(0,1)上均匀分布的随机数.它是由一种迭代过程产生的.

严格地说，计算机中产生的U(0,1)随机数并非完全随机，但很接近随机，故常称为伪随机数.

知识拓展

牛牛文库文档分享区间(0,1)上的均匀分布U(0,1)在37

如取n足够大，独立产生n个U(0,1)随机数，则从用这n个数字画出的频率直方图就可看出，它很接近于(0,1)上的均匀分布U(0,1).

牛牛文库文档分享如取n足够大，独立产生n个U(0,1)随机数38

作业

P68:8、11

牛牛文库文档分享作业牛牛文39Born:30Apr.1777inBrunswick,DuchyofBrunswick(nowGermany)Died:23Feb.1855inGöttingen,Hanover(nowGermany)CarlFriedrichGauss高斯资料

牛牛文库文档分享Born:30Apr.1777inBrunswic40

连续型随机变量X所有可能取值充满一个区间,对这种类型的随机变量,不能象离散型随机变量那样,以指定它取每个值概率的方式,去给出其概率分布,而是通过给出所谓“概率密度函数”的方式来描述其概率分布.下面学习连续型随机变量及其概率密度．

牛牛文库文档分享连续型随机变量X所有可能取值充满一个区间,41１．连续型随机变量的概念２．三种重要的连续型随机变量３．小结2.3连续型随机变量及其概率密度

牛牛文库文档分享１．连续型随机变量的概念２．三种重要的连续型随机变量３．小结42

设离散型随机变量X在［a,b］内取n个值:x1=a,x2,x3,x4,…,xn=b．X即小矩形的面积为Ｘ取对应点的概率x1=aPx2x3s1s2s3sn…….xn=b

＝折线下面积之和！１．连续型随机变量的概念X的概率直方图：(1)定义的引出

牛牛文库文档分享设离散型随机变量X在［a,b］内取n个值:x143

若X为连续型随机变量，由于X在［a,b］内取连续取无穷多个值，折线将变为一条光滑曲线而且：XaP…….b由此推出连续型随机变量的定义

牛牛文库文档分享若X为连续型随机变量，由于X在［a,b］内取连44

设X是随机变量，如果存在定义在整个实数轴上的函数f(x)，满足条件

1.

2.对于任意的

3.则称X是连续型随机变量，

称为X的概率密度函数,简称概率密度.(2)连续型随机变量的定义

牛牛文库文档分享设X是随机变量，如果存在定义在整个实数轴上的函数f(x45

概率密度函数的性质1)2)1这两条性质是判定一个函数f(x)是否为某个随机变量X的概率密度函数的充要条件.3)X落入区间［a,b］内的概率＝

牛牛文库文档分享概率密度函数的性质1)2)13)X落入区间［a,b］内46注意

对于任意可能值a,连续型随机变量取a的概率等于零.即连续型随机变量取值落在某一区间的概率与区间的开闭无关由此可得这是因为

牛牛文库文档分享注意对于任意可能值a,连续型随机变量取a的概47

故

X的密度

f(x)

在

x

这一点的值，恰好是X落在区间

上的概率与区间长度

之比的极限.这里，如果把概率理解为质量，

f(x)相当于线密度.

若x是

f(x)的连续点，则：=f(x)(３)对

f(x)的进一步理解

牛牛文库文档分享故X的密度f(x)在x这一点的值48

密度函数

f(x)在某点处a的高度，并不反映X取值的概率.但是，这个高度越大，则X取a附近的值的概率就越大.也可以说，在某点密度曲线的高度反映了概率集中在该点附近的程度.1问题１：f(a)是Ｘ=a的概率吗？

牛牛文库文档分享密度函数f(x)在某点处a的高度，并不反映X49事实上，若不计高阶无穷小，有：

它表示随机变量

X

取值于

的概率近似等于

.在连续型r.v理论中所起的作用与在离散型r.v理论中所起的作用相类似.

牛牛文库文档分享事实上，若不计高阶无穷小，有：它表示随机变量50P{X=a}=0而

{X=a}并非不可能事件.可见，由P(A)=0,不能推出由P(B)=1,不能推出

B=问题２：概率为零的事件一定是不可能事件吗？类似可知，

牛牛文库文档分享P{X=a}=0而{X=a}并非不可能事件.可见，由P(51解例1得

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牛牛文库文档分享牛牛文库文档分享542.三种重要的连续型随机变量(１)均匀分布

牛牛文库文档分享2.三种重要的连续型随机变量(１)均匀分布www.niu55均匀分布的意义事实上，若X

～

U(a,b)，则对于满足的c,d,总有

牛牛文库文档分享均匀分布的意义事实上，若X～U(a,b)，则对于满足的56均匀分布常见于下列情形：

如在数值计算中，由于四舍五

入，小数点后某一位小数引入的误差，例如对小数点后第一位进行四舍五

入时，那么一般认为误差服从（-0.5,0.5）上的均匀分布。如公交系统中乘客随机乘车的等车时间．

牛牛文库文档分享均匀分布常见于下列情形：如在数值计算中，由于57解设X表示他等车时间（以分计），则X是一个随机变量，且X的概率密度为例2（等待时间）公共汽车每10分钟按时通过一车站，一乘客随机到达车站.求他等车时间不超过3分钟的概率.所求概率为

牛牛文库文档分享解设X表示他等车时间（以分计），则X是一个随机变量，且X58解由题意,R的概率密度为故有例3

设电阻值R是一个随机变量，均匀分布在

~1100．求R的概率密度及R落在950~1050的概率．

牛牛文库文档分享解由题意,R的概率密度为故有例3设电阻值R是一个随机59例4

设随机变量X在[2,5]上服从均匀分布,现对X进行三次独立观测,试求至少有两次观测值大于3的概率.

X的分布密度函数为设A表示“对X的观测值大于3”,Y表示3次独立观测中观测值大于3的次数.解则因而有

牛牛文库文档分享例4设随机变量X在[2,5]上服从均匀分布60(2)指数分布

牛牛文库文档分享(2)指数分布牛牛文库文档分享61指数分布的重要性质:“无记忆性”.证明

牛牛文库文档分享指数分布的重要性质:“无记忆性”.证明www.niuwk.62而于是指数分布的无记忆性是使其具有广泛应用的重要原因！

牛牛文库文档分享而于是指数分布的无记忆性是使其具有广泛应用的重要原因！w63

指数分布在可靠性理论中描绘设备工作的可靠时间.

有些系统的寿命分布也可用指数分布来近似,

当电子产品的失效是偶然失效时,其寿命服从指数分布.在排队论中它被广泛地用于描绘等待时间,如电话通话时间、各种随机服务系统的服务时间、等待时间等.在更新和维修问题中描绘设备的寿命和维修时间.指数分布是伽玛分布和威布尔分布的特殊情况.

一般地,当随机质点流中在长t的时间内出现的质点数服从参数为t的泊松分布时,其相继出现两个质点的事件间就服从参数为的指数分布.

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64例5

某种电子元件的寿命(以小时计)X服从指数分布,其概率密度为(1)求元件寿命至少为200小时的概率.(2)将3只这种元件联接成为一个系统，设系统工作的方式是至少2只元件失效时系统失效，又设3只元件工作相互独立.求系统的寿命至少为200小时的概率.

牛牛文库文档分享例5某种电子元件的寿命(以小时计)X服从指数分ww65解(1)元件寿命至少为200小时的概率为

(2)以Y记3只元件中寿命小于200小时的元件的只数.由于各元件的工作相互独立，又由(1)知一元件的寿命小于200小时的概率为1-e-2,故有

牛牛文库文档分享解(1)元件寿命至少为200小时的概率为(2)以Y记3662只及2只以上元件的寿命小于200小时的概率为故系统的寿命至少为200小时的概率为

牛牛文库文档分享2只及2只以上元件的寿命小于200小时的概率为故系统的寿命至67(3)正态分布(或高斯分布)高斯资料

牛牛文库文档分享(3)正态分布(或高斯分布)高斯资料www.niuwk.c68正态概率密度函数的几何特征

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正态分布是最常见最重要的一种分布,例如测量误差,人的生理特征尺寸如身高、体重等;正常情况下生产的产品尺寸:直径、长度、重量高度等都近似服从正态分布.正态分布的应用与背景

牛牛文库文档分享正态分布是最常见最重要的一种分布,例如正态分72正态分布的概率计算等有关问题在第４章讲解．

牛牛文库文档分享正态分布的概率计算等有关问题在第４章讲解．www.niuwk73三、小结常见连续型随机变量的分布均匀分布正态分布(或高斯分布)指数分布

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