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第8页共8页交通大学2015-2016学年第二学期《微积分B》第一次月考试卷一、选择题(每小题2分,满分10分)设函数,则极限存在,但在点处不连续.极限存在,且在点处连续.极限不存在,故在点处不连续.极限不存在,但在点处连续.答(C)函数在点的某邻域内偏导数存在且连续是在该点可微分的充分条件,但不是必要条件.(B)必要条件,但不是充分条件.充分必要条件.(D)既不是充分条件,也不是必要条件.答(A)3.设在点的某邻域内具有直到二阶的连续偏导数,则为极大值的充分条件是(A)(B)(C)(D) 答(D) 4.设则必有(B)(C)(D)但符号无法判定.答(B)5.设是有界闭域上的连续函数,则当时,的极限不存在.(B)等于等于(D)等于答(B)二、填空题(每小题2分,满分10分)1.设,则=———。 2.函数在点(1,2)沿方向的方向导数是———。3.函数在闭域上的最大值是______。4.设D:0≤x≤1,0≤y≤2(1-x),由二重积分的几何意义知=_______________.5.二次积分f(x,y)dy在极坐标系下先对r积分的二次积分为___________.三、(10分)计算二重积分其中D:x2+y2≤4,x2+y2≥2x.四、(10分)计算二次积分五、(10分)设,有二阶连续偏导数,证明: 。 (4分) (8分)故 (10分)六、(10分)设具有一阶连续偏导数,其中由方程所确定,求。 (4分) (8分)消去 (10分)七、(10分)设,其中具有二阶连续导数,满足方程:,求。 故 (7分)即是待定常数) (10分)八、(10分)求曲线在点处的切线及法平面方程。由代入点解得对应的切线方向向量 (6分)切线方程为 (8分)法平面方程为 或 (10分)九、(10分)求平面和柱面交线上与平面距离最短点的坐标。曲线上点到平面的距离平方 令 4分由 得驻点 8分且因最小值必定存在,故所以所求点的坐标为
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