《应用数学基础》教案5.2 单变量优化问题

长沙民政职业技术学院教案长沙民政职业技术学院教案数学应用基础课题单变量优化问题授课课时2课型新授课教案编号5-2教学目标（知识、技能、素质）：知识目标：掌握无约束单变量优化问题和限制条件下双变量优化问题的求解方法2、技能目标：分析解决问题的能力和数学建模的能力3、素质目标：培养学生理性的思维方式和数学应用意识教学重点：求连续函数在闭区间上最大值(或最小值)教学难点：拉格朗日乘数法主要教学方法：启发引导式、讲授法教学环节与内容一、问题引入在日常生活、经济管理和科学研究等领域，人们经常会遇到一类决策问题：在一系列客观或主观限制条件下，寻求使所关注的指标达到最优(最大或最小)的决策。例如，资源分配要在有限资源约束下，制定最优分配方案，使资源产生的总效益最大；生产计划要按照产品生产流程和市场需求，制定原料、零件和部件的最佳订购时间点，尽量降低生产成本使利润最高；运输方案要在满足物资需求和装载条件下，安排从各供应点到需求点的最优路线和运量，使运输总费用最低等。二、新课讲授（1）无约束单变量优化问题求连续函数在闭区间上最大值(或最小值)的一般步骤：1.求函数的导数；2.求可能的最值点，即函数在上的驻点、导数不存在点和端点，按从小到大记为；3.求最大值和最小值，即计算的函数值，并比较大小。案例1求函数在上的最大值和最小值。解第一步，计算函数的导数，第二步，求可能的最值点，令，解得，即所有可能的最值点为。第三步，求最大值和最小值，计算各可能点的函数值，比较大小，得函数的最大值为，最小值为。注意，求函数最值时，一定要找出函数在中的所有可能的最值点，尤其是不要漏掉使函数的导数不存在的点。案例2求函数在上的最大值和最小值。解第一步，计算函数的导数，第二步，求可能的最值点，不存在使的点，但当时，无意义，即使函数导数不存在的点，从而得到所有可能的最值点为。第三步，求最大值和最小值，计算各可能点的函数值，比较大小，得函数的最大值为，最小值为。案例3某租户有100间房子出租，若每间租金定为200元能够全部租出去，但每间每增加10元租金就有一间租不出去，且每租出去一间，就需要增加20元管理费。问租金定为多少才能获得最大利润？解设出租的房价为每间元，。由题意得，租出的房间数为，每间租出的房子的管理费为20元，则出租的成本为租出的间数每间的管理费 收入满足利润为求导得令，得唯一可能的最值点。由于该实际问题确实存在最大值，因此利润函数在有最大值。即当每间房子的出租价格定为元时，可获得最大利润。（2）限制条件下双变量优化问题由限制条件解得(将写成的函数)，代入目标函数，将问题转化为单变量优化问题。案例4求函数在限制条件下的最小值。解由得，将之代入，得到单变量函数求导数，得令，得。当时，，函数在区间内单调递减，当时，，函数在区间内单调递增，因此是的最小值点，此时，，。故在限制条件的最小值为.案例5试求解第一节例2，即在限制条件下求面积函数的最大值。解由得，将之代入，得到单变量函数，求导数，得令，得，是唯一可能的最值点。根据问题的实际意义，面积的最大值存在，因此，即为最优解，此时，，，面积的最大值为.拉格朗日乘数法(选学内容)具体解题步骤如下：1.令为拉格朗日函数，其中为拉格朗日乘数。2.分别求关于的导数(在求关于某个变量的导数时，将另外两个变量看作常数)，不妨记为，解联立方程组3.将步骤2的解代入目标函数，再根据实际情况，即可求得最优解。案例6安可儿公司每周卖副全配型耳机及副简配型耳机，每周可获利(元)若限制总产量为每周230副，则全配型和简配型的每周产量各位多少，才能使利润最大？解本题为限制条件下的最大值问题