代数学基础群和子群的基本概念课件

代数学基础内容提要群环和域有限域代数学基础内容提要群一般来说，一个代数结构是指一个非空集合S以及定义在S上的二元运算的总体，要求二元运算满足一定的条件。群定义群的定义.定义群的定义注意：注意：有限群和无限群：如果集合G中的元素个数有限，就称群G为有限群；否则称为无限群。有限群和无限群：阿贝尔群阿贝尔群又称交换群（commutativegroup)，本章中出现的所有群都是指交换群。阿贝尔群举例下面，我们给出群的一些具体例子。举例群的例子（1）整数集Z在加法下构成群，记为(Z,+).(Z,+)是一个无限群、阿贝尔群。

有理数集Q、实数集R和复数集C关于加法都形成无限群。单位元，逆元素的定义与整数加法群相同。群的例子（1）整数集Z在加法下构成群，记为(Z,+群的例子（2）Q、R和C中的非零元素在乘法下构成群。将这些群分别记为Q*、R*和C*。这三个群的完整表示是(Q*,,(R*,,(C*,。将这些群称为乘法群。群的例子（2）Q、R和C中的非零元素在乘法下构成群。将这群的例子（3）对任意自然数n,整数模n集合构成一个包含n个元素的有限加法群，这里的加法运算是模n加，将这个群记为Zn。

这个群的完整表示为（Zn，+(modn)）.

注意:Zn是Z/nZ的简化表示。群的例子（3）对任意自然数n,整数模n集合构成一个群的例子（4）时钟上表示小时的数字在模12加法下构成群Z12,将（Z12,+(mod12))称为时钟群。群的例子（4）时钟上表示小时的数字在模12加法下构成群Z12群的例子（5）Zn={0,1,2,…,(n-1)}

Zn中所有与n互素的的元素是Zn的一个子集,这个子集按照模n乘法运算构成一个群，用Zn*表示。

例如，(Z15*,(mod15))=({1,2,4,7,8,11,13,14},(mod15))群的例子（5）Zn={0,1,2,…,(n-1)}群的例子（6）集合B={0,1}，在异或运算下形成群。群的例子（6）集合B={0,1}，在异或运算下形成群。群的例子（7）x3-1=0的根在乘法运算下构成一个有限群。

x=1是方程的一个解，该方程有三个根。用u和v表示其它两个根。由于x3-1=(x-1)(x2+x+1)则u和v是x2+x+1=0的两个根。由二次方程根与系数的关系，u和v互逆。封闭性:(x2)3–1=0。群的例子（7）x3-1=0的根在乘法运算下构成一个有限群。群的例子(8)置换群S={1,2,…,n}Sn是S上所有置换构成的集合|Sn|=n!

α,β是Sn中置换,αβ表示α和β的复合,即αβ(x)=α(β(x))Sn构成群,称为n阶对称群.群的例子(8)置换群置换的表示

α=β=

αβ=

置换的表示(1234)(56)

α=β=(132)(1432)

αβ=(1423)

重复群运算的简化表示重复群运算的简化表示代数学基础群和子群的基本概念课件群的性质群的性质子群子群子群对于群G的一个非空子集H，要判别H是否是G的子群，需要验证4条：封闭性结合律（不必验证）单位元逆元素子群对于群G的一个非空子集H，要判别H是否是G的子群，需子群的例子（1）在加法运算下，ZQRC.注意，在这个例子中：子群中的单位元和群中的单位元相同，都是0子群中元素的逆元素和群中该元素的逆元素一致子群的例子（1）在加法运算下，ZQR子群的例子（2）全体偶数的集合（包括0），在加法运算下，是整数加法群的一个子群。因此也是（1）中所有群的子群。子群的例子（2）子群的例子（3）在乘法运算下，Q*R*C*。子群的例子（3）子群的例子（4）子群的例子（4）子群的例子（5）B={0,1}在异或运算下是一个群。{0}是B的一个真子群{1}不是B的子群子群的例子（5）子群的例子（6）设G是一个群，e是它的单位元{e}和G是群G的两个平凡子群。子群的例子（6）群的阶有限群G中元素的个数称为G的阶，记为#G.#Zn=nB={0,1}按照异或运算，#B=2#Roots(x3-1)=3群的阶子群中的单位元在我们给出的例子中，子群的单位元就是包含它的群的单位元！事实上，对任意子群都有这样的结论成立：

证明:

设H是G的一个子群，H中的单位元为eH，G中的单位元为eG。那么，在H中，有eH。eH=eH；在G中，有eH。eG=eH。从而可得到eH=eG。子群中的单位元子群中的逆元素由于eH=eG，因此子群H中元素的逆元正是它在G中的逆元。子群中的逆元素子群的判别(1)子群的判别方法：子群的判别(1)子群的判别方法：代数学基础群和子群的基本概念课件子群的判别(2)设H是群G的一个非空子集,H是G的子群的充要条件是对任意的元素x,yH,有xy-1H.子群的判别(2)设H是群G的一个非空子集,H是G的子群的充子群的判别(3)当H是一个有限集合时，判别会变得容易些，只需满足封闭性即可：子群的判别(3)拉格朗日定理陪集（Coset）的定义拉格朗日定理陪集（Coset）的定义拉格朗日定理：代数学基础群和子群的基本概念课件商群的概念注:此处，首先应说明商群上的运算是一个二元运算。实际上，商群上的运算可以看作集合之间的乘法运算，因为：商群的概念商群的例子(1)

设n>0是一个整数，在加法运算下，集合

nZ={0,n,-n,2n,-2n,…}是Z的一个子群，那么商群

Z/nZ={x+nZ|x为任一整数}

有n个元素，即

Z/nZ={0+nZ,1+nZ,…,n-1+nZ}

可以看出Z/nZ=Zn

事实上，Z/nZ是Zn的正式和标准记法，为了表达的方便，用Zn代替Z/nZ。商群的例子(1)设n>0是一个整数，在加法运算下，商群的阶商群的阶商群的例子(2)商群的例子(2)群元素的阶注：当一个元素g的阶ord(g)有限时，如果有gn=e成立，则必有ord(g)|n，即n一定是ord(g)的倍数。群元素的阶例子（1）在时钟群Z12中：12是满足112=0(mod12)的最小正整数，所有ord(1)=12；类似地，ord(2)=6，ord(3)=4，ord(4)=3，

ord（5）=12。例子（1）在时钟群Z12中：例子（2）{0,1}关于异或运算形成一个群，ord(0)=1,ord(1)=2.例子（2）{0,1}关于异或运算形成一个群，ord(0)=例子（3）在群Roots(x3-1)中，ord(u)=ord(v)=3，ord(1)=1.例子（3）在群Roots(x3-1)中，ord(u)=ord例子（4）在Z中，ord(1)=

。例子（4）在Z中，ord(1)=。推论

（拉格朗日）推论（拉格朗日）推论提供了群的阶和群中元素的阶之间的关系。欧拉定理和费马小定理可以直接由推论得到：欧拉函数：欧拉定理：费马小定理：推论提供了群的阶和群中元素的阶之间的关系。代数学基础内容提要群环和域有限域代数学基础内容提要群一般来说，一个代数结构是指一个非空集合S以及定义在S上的二元运算的总体，要求二元运算满足一定的条件。群定义群的定义.定义群的定义注意：注意：有限群和无限群：如果集合G中的元素个数有限，就称群G为有限群；否则称为无限群。有限群和无限群：阿贝尔群阿贝尔群又称交换群（commutativegroup)，本章中出现的所有群都是指交换群。阿贝尔群举例下面，我们给出群的一些具体例子。举例群的例子（1）整数集Z在加法下构成群，记为(Z,+).(Z,+)是一个无限群、阿贝尔群。

有理数集Q、实数集R和复数集C关于加法都形成无限群。单位元，逆元素的定义与整数加法群相同。群的例子（1）整数集Z在加法下构成群，记为(Z,+群的例子（2）Q、R和C中的非零元素在乘法下构成群。将这些群分别记为Q*、R*和C*。这三个群的完整表示是(Q*,,(R*,,(C*,。将这些群称为乘法群。群的例子（2）Q、R和C中的非零元素在乘法下构成群。将这群的例子（3）对任意自然数n,整数模n集合构成一个包含n个元素的有限加法群，这里的加法运算是模n加，将这个群记为Zn。

这个群的完整表示为（Zn，+(modn)）.

注意:Zn是Z/nZ的简化表示。群的例子（3）对任意自然数n,整数模n集合构成一个群的例子（4）时钟上表示小时的数字在模12加法下构成群Z12,将（Z12,+(mod12))称为时钟群。群的例子（4）时钟上表示小时的数字在模12加法下构成群Z12群的例子（5）Zn={0,1,2,…,(n-1)}

Zn中所有与n互素的的元素是Zn的一个子集,这个子集按照模n乘法运算构成一个群，用Zn*表示。

例如，(Z15*,(mod15))=({1,2,4,7,8,11,13,14},(mod15))群的例子（5）Zn={0,1,2,…,(n-1)}群的例子（6）集合B={0,1}，在异或运算下形成群。群的例子（6）集合B={0,1}，在异或运算下形成群。群的例子（7）x3-1=0的根在乘法运算下构成一个有限群。

x=1是方程的一个解，该方程有三个根。用u和v表示其它两个根。由于x3-1=(x-1)(x2+x+1)则u和v是x2+x+1=0的两个根。由二次方程根与系数的关系，u和v互逆。封闭性:(x2)3–1=0。群的例子（7）x3-1=0的根在乘法运算下构成一个有限群。群的例子(8)置换群S={1,2,…,n}Sn是S上所有置换构成的集合|Sn|=n!

α,β是Sn中置换,αβ表示α和β的复合,即αβ(x)=α(β(x))Sn构成群,称为n阶对称群.群的例子(8)置换群置换的表示

α=β=

αβ=

置换的表示(1234)(56)

α=β=(132)(1432)

αβ=(1423)

重复群运算的简化表示重复群运算的简化表示代数学基础群和子群的基本概念课件群的性质群的性质子群子群子群对于群G的一个非空子集H，要判别H是否是G的子群，需要验证4条：封闭性结合律（不必验证）单位元逆元素子群对于群G的一个非空子集H，要判别H是否是G的子群，需子群的例子（1）在加法运算下，ZQRC.注意，在这个例子中：子群中的单位元和群中的单位元相同，都是0子群中元素的逆元素和群中该元素的逆元素一致子群的例子（1）在加法运算下，ZQR子群的例子（2）全体偶数的集合（包括0），在加法运算下，是整数加法群的一个子群。因此也是（1）中所有群的子群。子群的例子（2）子群的例子（3）在乘法运算下，Q*R*C*。子群的例子（3）子群的例子（4）子群的例子（4）子群的例子（5）B={0,1}在异或运算下是一个群。{0}是B的一个真子群{1}不是B的子群子群的例子（5）子群的例子（6）设G是一个群，e是它的单位元{e}和G是群G的两个平凡子群。子群的例子（6）群的阶有限群G中元素的个数称为G的阶，记为#G.#Zn=nB={0,1}按照异或运算，#B=2#Roots(x3-1)=3群的阶子群中的单位元在我们给出的例子中，子群的单位元就是包含它的群的单位元！事实上，对任意子群都有这样的结论成立：

证明:

设H是G的一个子群，H中的单位元为eH，G中的单位元为eG。那么，在H中，有eH。eH=eH；在G中，有eH。eG=eH。从而可得到eH=eG。子群中的单位元子群中的逆元素由于eH=eG，因此子群H中元素的逆元正是它在G中的逆元。子群中的逆元素子群的判别(1)子群的判别方法：子群的判别(1)子群的判别方法：代数学基础群和子群的基本概念课件子群的判别(2)设H是群G的一个非空子集,H是G的子群的充要条件是对任意的元素x,yH,有xy-1H.子群的判别(2)设H是群G的一个非空子集,H是G的子群的充子群的判别(3)当H是一个有限集合时，判别会变得容易些，只需满足封闭性即可：子群的判别(3)拉格朗日定理陪集（Coset）的定义拉格朗日定理陪集（Coset）的定义拉格朗日定理：代数学基础群和子群的基本概念课件商群的概念注:此处，首先应说明商群上的运算是一个二元运算。实际上，商群上的运算可以看作集合之间的乘法运算，因为：商群的概念商群的例子(1)

设n>0是一个整数，在加法运算下，集合

nZ={0,n,-n,2n,-2n,…}是Z的一个