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文档简介

交通大学2012-2013学年第一学期《几何与代数》期末考试试卷（A）一．简答题（需写出计算过程，本题共九小题，满分50分）1.（4分）已知向量中任两个的夹角都是，且的长度分别是。求向量的长度。解所以2.（4分）若矩阵的伴随矩阵的秩为，求的值。解若矩阵的伴随矩阵的秩为，则矩阵的秩为。由，知或，经验证3．（5分）求过四点的空间四面体的体积。解由立体几何知，四面体的体积等于以为棱的平行六面体体积的1/6。即而，所以，。4.（5分）设是阶正交矩阵，，是阶矩阵满足。是阶单位矩阵，求行列式的值。解又，所以，而，故。这样。5．（6分）已知矩阵和向量组。求向量组的一个最大线性无关组，并用其表示中其它向量。解可证线性无关，且。………3分又可逆，故线性无关。所以是一个最大无关组，且。………6分6.（6分）已知三阶矩阵满足。求矩阵。解可逆，且。………4分所以………6分7．（6分）设，在中求，使为正交向量组。 解由已知条件，的坐标满足。解得基础解系，………3分将正交化得。于是为所求的正交向量组。………6分8．（7分）计算4阶行列式。解各列加到第一列再将第一列的-i倍加到第i列,得。………7分9．（7分）已知二次曲面方程经过正交变换化为。求的值，并指出该曲面是何种二次曲面。解二次型的矩阵，由题意，相似于，于是，得。…2分又 故所以。………6分该曲面是单叶双曲面。……7分二．（10分）若向量能被向量组线性表示。（1）求的值；（2）求由线性表出的一般表达式。解向量能被向量组线性表示等价于增广矩阵为的方程组（*）有解。………1分将上矩阵化为阶梯形： ………4分由（*）有解，得，即或。………5分（*）的一般解………9分由线性表出的一般表达式：当时，或当时，其中任取………10分三．（10分）设直线过点，且平行于平面。若与直线相交，求的方程。解设所求直线的点向式方程为，………2分由其与平面平行知………4分据题意，所求直线与直线相交，故，即………7分由（1），（2）解得。………9分于是所求直线方程为。………10分四．（8分）已知平面垂直于平面，且与的交线落在平面上，求的方程。解由已知条件，所求平面通过和平面的交线，故可设的方程为：………4分它的法向量与的法向量垂直，故，解得。………7分故的方程为：………8分五（12分）已知是矩阵的特征值。（1）求的值；（2）求正交矩阵使为对角矩阵。解（1）由是矩阵的特征值，知解得。………3分（2）的特征值是1（二重），-1，3。………7分属于1的线性无关的特征向量为，单位化得属于-1的线性无关的特征向量为，单位化得属于3的线性无关的特征向量为，单位化得令，………11分则………12分六．（每小题5分，满分10分）（1）设均是阶矩阵，是阶单位矩阵。若，证明

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