数列不等式证明的几种方法

数列不等式证明的几种方法一、巧妙构造，利用数列的单调性（1+1Y1+（1+）例1.对任意自然数n，求证：'=（1+1）（1+卩+—.则缸■=「加十2_证明：构造数列加十2―纽十纟一7（2n+2）a-l加十2所以an+l>an，即佃』为单调递增数列。%工引=〒>1所以，即1]_〔1斗1）〔1+扌)[1)>V2n4-12n-1点评：某些问题所给条件隐含数列因素或证明与自然数有关的不等式问题，均可构造数列，通过数列的单调性解决。二、放缩自然，顺理成章例2.已知函数电）=宀參"，数列｛耳｝（务九）的首项衍=1，以后每项按如下方式取定：曲线卩=⑪）在点（瓷处的切线与经过（0，o）和（丈旗（耳））两点的直线平行。求证：当g"时:

证明：（1）因为f（刃=亚斗西，所以曲线y=f伐）在（耳+1』（毛就））处的切线斜率为^=如班/+加讪。又因为过点（0,0）和（尙値唧）两点的斜率为k=%+耳，所以结论成立。（2）因为函数11〔幻=邸+马当蛊>耐单调递增则有叮斗耳=珥『+2畛1乞4%+f+%+]=〔％/+（£+1），筑血+1卫1所以复/兔十1，即卩，因此；9F+L1，且W又因为叮+%=西珀？+2HnU>2Hn+.12=强斑1=2（Kn+1F+L1，且W%=叮+札则令所以因此,三、导数引入111411+1—+P—411+1例3.求证：a.«=?a.«=?=证明：令□22日寸，呂巩-1=比口用II=11+1（口十1），所要证明原不等式，只须Cn=Sn-SR_i=ln(n+1)-Inn=InR+要证明原不等式，只须1nTl所以f'Cx)=—CO笛十1=t令h所以th(t)=Int-t1设所以h(t)在(1,+h)上为增函数所以h(t)nh(l)=D,即t—1h〔t〕=lnt-亍汕所以lnt>—tInU丄所以Int£t一1即In<—同理可证丄畑也丄目卩丄幼Elh丄所以。对上式中的n分别取1,2,3,…,n-1，得四、裂项求和例4.设乂是数列。J的前n项和，且歹纽4小+钦=中…求数列归』的首项引，及通项兀;、口=事(—1/…)ZT,<1设，证明'。解：(1)首项屯"旦=铲-广血=1即,…)(过程略)。(2)证明:将—得“：^p1=l[(_l_-_J_)+(得“：^p1=l[(_l_-_J_)+(_J_i_i23-1)<-丿2T—点评：本题通过对的变形，利用裂项求和法化为“连续相差”形式，从而达到证题目的五、独辟蹊径，灵活变通独辟蹊径指处事有独创的新方法，对问题不局限于一种思路和方法，而是善于灵活变通，独自开辟新思路、新方法。例5.已知函数。设数列伍』满定引=1如+1=住』，数列ej满b(1)求证："(2)求证:3

(2)求证:3（^+1X73-1）=2,得乌二尸=,“证明：（1）证法1：由令Cn=C^3+，贝y只须证C/2；易知6=2,只须证cn4i-o由分析法：Cnu工OQ1尸叽兰弟“）％O（羽7I%]-佝a.十3n空札■佝0皿7|卡・佝伞十馆日市W血+11兀j十3=1+一6^2)因为aR-l斗1an-l+1因为所以兀王10%十1戸，得证。f（）日h十3证法2：由于幷町=环打心）的两个不动点为土箔。又，所3-涪=心-祐」-问吿以3-涪=心-祐」-问吿以所以耳-石=1-耳-石=1-石.乳1-力=所以aR-2-b_,a卑卜弟-i尸由上可求得因此只需证（1+励-（1-血'因此只需证（1+励-（1-血'即证：Agi酎7-厨又內=叽垢十C：府+U：（册+■■■）=2峦（C\十时3十珞严十…）申代W+…+C：）+2（C：-2+cts+-■）］=篇［严十敢喙-盼-S+■■■）］>231A得证。b川-疔（2）由（1）知，'+---+hn+---+hn1)ncN\snncN\sn<-^故对任意点评：本题（1）中法1通过构造新数列cn=（