数列求通项公式和前n项和总结

nn数列求通项公式和前n项和一、数列求通项公式(1)由a和S的关系求通项公式nn命题角度：由S求通项公式ann利用a和S的关系求Snnn2•已知S求a的三个步骤：nn先利用a=S求出a111用n-1(n>2)替换S中的n得到一个新的关系，利用na二S-S(n>2)便可以求出当n>2时a的表达式nnn-1n对n=1时的结果进行验证，看是否符合n>2时a的表达式n，如果符合，则可以把数列的通项公式合并，如果不符合，则应该分n=1与n>2两段来写3.应用举例及解答分析例1:已知数列匕｝满足a+2a+3a+A+na=3n2—2n+1求an123nn解：当n=1时，a=21当n>2时,a+2a+A+na=3n2一2n+1①（n—1（n—1）a=3（n—1）2—2（n—1）+1②n-1a+2a+A+12①-②得a=6-—nn当n=1时，a=11n=1例2例2：已知数列匕}的前n项和为Snna=1,S=2a，则S为1nn+1n解：由a=S-S，a=1,S=2aTOC\o"1-5"\h\zn+1n+1n1nn+1得S=3S，又S=a=1n+12n11所以&｝是以1为首项，3为公比的等比数列n2n-12)由递推关系求数列的通项公式1.由递推公式求通项公式的常用方法：1.构造法：形如a=pa+m(p、m为常数，pH1,m丰0)时，构造等比数列nn-12.累加法：形如a=a+f(n),({f(n)可求和)时，用累积法求解nn-13.累积法：形如人=f(n)(f(n)可求积)时，用累积法求解an+12.应用举例及解答分析例3：例3：已知a=1,a1n+1=3a+2gN*)n求通项公式解：由a+k=3(a+k)TOC\o"1-5"\h\zn+1n得a=3an+2k2k=2,贝咲=1n+1从而有a+1=3(a+1)n+1na+1即斗1=3，所以这是一个以a+1为首项，3为公比的等a+11

比数列，得a+1—2-3n-1,n所以a—2-3比数列，得a+1—2-3n-1,n所以a—2-3n—1—1n例4:在数列匕｝中，na_2,a1n+1—an+為，求3解：1a—a__—211（1+1）2a-a32a-an+1n1n（n+1）—a—-^―，即a1n+1例5：在数列匕｝中，a—1,a1n+1nn从而an+1n+1—注，所以a—3—1na3—22，…a2a—n+1—2nan从而齢21+2+A+n

a1所以n2a—21+2+A+（n-1）—22n二、数列求前n项和1).求和公式1.等差数列求和公式cn（a+a）n（n—1）dS—+l—na+n2122.等比数列求和公式/na,q—1S—<aI—qn丿a—aq.——,q丰1、1—q1—q2).数列求和常用方法nnnn1.倒序相加法1.1说明：如果一个数列匕｝的前n项和中首尾两端“等距”的两项的和相等n或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可使用该方法.1.2应用：例1:数列匕｝为从1到100的等差数列，求匕｝的前100项和.nn解:S=（1+100）+（2+99）+A+（50+51）n=101*50=50502.错位相减法2.1说明:如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此方法求解2.2应用:例2:已知数列匕｝的前n项和s=3n2+8n，缶｝是等差数列，且TOC\o"1-5"\h\znnna=b+bnnn+1（1）求数列缶｝的通项公式n（2）令c=%+中，求数列：｝的前n项和Tn（b+2）nnnn解：(1)由a=S一S，nnn-1所以a=3n2+8n-3(n-1)2-8^n-1)=6n+5,(n>2)，n又a=S=11=6+5,(n=1)11从而a=6n+5，n>1)1n1n1n1nbb得6n5bnn11bnd1即2d6,2b35,从而b13n3）a1n1n—b2nn3n从而T6n2292312243n32n2两边同乘2，得2T6229233n2n13n32n2两式相减,得Tn62232332432n13n32n2整理得T123n2212n3n32n23n2n23.裂项相消法3.1说明：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和3.2应用：例3：等差数列an的前n项和为S，且满足an19,S999T1）求数列a的通项公式12S~n解：(1)由S9a1a992(2)设bn，数列b的前n项和为T,n99T求证T所以aa19从而得到a1aa8d113d.2，db11,又a12）由(i)得sn因此annn22~a71n26d所以bn12Snn-2f1-1+1-1+1+A（132431f1+1一2（1n一11（1一一+2（n+1从而结论得证4.分组转化法4.1说明：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或者等比数列或可求和的数列组成，则求和师可用分组转化发，分别求和在相加减4.2常见类型：若a二b土c，且缶｝:｝为等差或等比数列，可采用分组转nnnnn化发求解数列匕｝的前n项和n通项公式为a屮n，n为奇数的数列，其中数列缶｝:｝为等n[c,n为偶数nnn差或等比数列，可采用分组转化发求解数列匕｝的前n项和n4.3应用：例4:等差数列匕｝的前n项和为S，数列缶｝是等比数列，满足nnna=3,b=1,b+S=10,a—2b=a1122523（1）求数列匕｝和缶｝的通项公式nn（2）令c（2）令cn2一,n为奇数=<Sbn,n为偶数n，设数列：｝的前n项和为T，求Tnn2n解：（1）由a=3,b=1,b+S=10,a—2b=a得d=q=21122523所以a=2n+1，b=2n—1

nn从而S=n（2n+4）=n（n+2）n2

(2)c(2)c=<n岛'"为奇数,2n-i,n为偶数n-1n-1T=1+c+A+c〕+L+n-1n-1n13n-124n1-丄、n+1=曲+時1，“为偶数2n+