点、直线、平面之间的位置关系-复习课件

第二章点、直线、平面之间的位置关系

复习课件第二章点、直线、平面之间的位置关系复习课件1网络建构网络建构2知识辨析判断下列说法是否正确（请在括号中填“√”或“×”）1.如果一条直线过平面内一点与平面外一点，那么这条直线与这个平面有且只有一个交点。（

）2.如果两个平面有一个交点，则这两个平面有一条过这个点的公共直线。（

）3.如果两个平面平行，则这两个平面没有交点。（

）4.若一条直线上有两个点在某一平面内，则这条直线上有无数个点在这个平面内。（

）5.平行于同一条直线的两个平面平行。（

）6.一条直线垂直于一个平面内的三条直线，则这条直线垂直于这个平面。（

）7.两个相交平面组成的图形叫做二面角。（

）8.垂直于同一条直线的两个平面平行。（

）√√√√×××√知识辨析判断下列说法是否正确（请在括号中填“√”或“×”）√3主题串讲

方法提炼·总结升华

一、平面基本性质的应用【典例1】在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是CC1和AA1的中点，画出平面BED1F与平面ABCD的交线，并说明理由。主题串讲方法提炼·总结升华一、平面基本性质4解：在平面AA1D1D内，延长D1F，因为D1F与DA不平行，所以D1F与DA必相交于一点，设为P，则P∈FD1，P∈DA。又因为D1F⊂平面BED1F，DA⊂平面ABCD，所以P∈平面BED1F，P∈平面ABCD，所以P为平面BED1F与平面ABCD的公共点。又B为平面ABCD与平面BED1F的公共点，所以连接PB（如图），PB即为平面BED1F与平面ABCD的交线。解：在平面AA1D1D内，延长D1F，5规律方法

证明三线共点常用的方法是先证明两条直线共面且相交于一点；然后证明这个点在两个平面内，于是该点在这两个平面的交线上，从而得到三线共点。也可以证明直线a、b相交于一点A，直线b与c相交于一点B，再证明A、B是同一点，从而得到a、b、c三线共点。规律方法6即时训练1-1：如图所示，空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BG∶GC=DH∶HC=1∶2。求证：（1）E，F，G，H四点共面；（2）EG与HF的交点在直线AC上。证明：（1）因为BG∶GC=DH∶HC，所以GH∥BD。因为E，F分别为AB，AD的中点，所以EF∥BD，所以EF∥GH，所以E，F，G，H四点共面。（2）因为G，H不是BC，CD的中点，所以EF∥GH，且EF≠GH，所以EG与FH必相交，设交点为M，而EG⊂平面ABC，HF⊂平面ACD，所以M∈平面ABC，且M∈平面ACD，所以M∈AC，即EG与HF的交点在直线AC上。即时训练1-1：如图所示，空间四边形ABCD中，E，F分别为7二、空间线面位置关系的证明【典例2】在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱与底面垂直，∠BAC=90°，AB=AA1，点M，N分别为A1B和B1C1的中点。（1）证明：A1M⊥平面MAC；证明：（1）因为A1A⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，所以AC⊥A1A，又因为∠BAC=90°，所以AC⊥AB，因为AA1⊂平面AA1B1B，AB⊂平面AA1B1B，AA1∩AB=A，所以AC⊥平面AA1B1B，又A1M⊂平面AA1B1B，所以A1M⊥AC。又因为四边形AA1B1B为正方形，M为A1B的中点，所以A1M⊥MA，因为AC∩MA=A，AC⊂平面MAC，MA⊂平面MAC，所以A1M⊥平面MAC。二、空间线面位置关系的证明证明：（1）因为A1A⊥平面ABC8（2）证明：MN∥平面A1ACC1。证明：（2）连接AB1，AC1，由题意知，点M，N分别为AB1和B1C1的中点，所以MN∥AC1。又MN⊄平面A1ACC1，AC1⊂平面A1ACC1，所以MN∥平面A1ACC1。（2）证明：MN∥平面A1ACC1。证明：（2）连接AB1，9规律方法

空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面之间位置关系的转化主要有：（1）平行关系的转化。（2）垂直关系的转化。线线垂直线面垂直面面垂直规律方法（2）垂直关系的转化。10（3）平行与垂直的转化。（3）平行与垂直的转化。11即时训练2-1：如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F。（1）证明：平面PAC⊥平面PBD；证明：（1）由底面ABCD是正方形，知AC⊥BD，由侧棱PD⊥底面ABCD，及AC⊂平面ABCD知AC⊥PD。又PD∩BD=D，故AC⊥平面PBD。又AC⊂平面PAC，从而，由平面与平面垂直的判定定理知，平面PAC⊥平面PBD。即时训练2-1：如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是12（2）证明：PB⊥平面EFD。证明：（2）在△PDC中，由PD=DC，E是PC的中点，知DE⊥PC。由底面ABCD是正方形，知BC⊥DC，由侧棱PD⊥底面ABCD，BC⊂底面ABCD，知BC⊥PD。又DC∩PD=D，故BC⊥平面PCD。而DE⊂平面PCD，所以DE⊥BC。由DE⊥PC，DE⊥BC及PC∩BC=C，知DE⊥平面PBC。又PB⊂平面PBC，故DE⊥PB。又已知EF⊥PB，且EF∩DE=E，因此PB⊥平面EFD。（2）证明：PB⊥平面EFD。证明：（2）在△PDC中，由P13三、空间位置关系的证明与空间角的计算【典例3】如图，三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD=PC=4，AB=6，点E是CD边的中点，点F，G分别在线段AB，BC上。（1）证明：PE⊥FG；（1）证明：因为PD=PC，点E为DC中点，所以PE⊥DC。又因为平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD=DC，所以PE⊥平面ABCD。又FG⊂平面ABCD，所以PE⊥FG。三、空间位置关系的证明与空间角的计算（1）证明：因为PD=P14（2）求二面角P-AD-C的正切值。（2）求二面角P-AD-C的正切值。15规律方法

求角度问题时，无论哪种情况最终都归结到两条相交直线所成的角的问题上，求角度的解题步骤是：（1）找出这个角；（2）证该角符合题意；（3）构造出含这个角的三角形，解这个三角形，求出角。空间角包括以下三类：①两条异面直线所成的角，找两条异面直线所成的角，关键是选取合适的点引两条异面直线的平行线，这两条相交直线所成的锐角或直角即为两条异面直线所成的角。②求直线与平面所成的角关键是确定斜线在平面内的射影。③求二面角关键是作出二面角的平面角，而作二面角的平面角时，首先要确定二面角的棱，然后结合题设构造二面角的平面角。规律方法16即时训练3-1：如图，已知二面角α-MN-β的大小为60°，菱形ABCD在平面β内，A，B两点在棱MN上，∠BAD=60°，E是AB的中点，DO⊥平面α，垂足为O。（1）证明：AB⊥平面ODE；（1）证明：如图，因为DO⊥α，AB⊂α，所以DO⊥AB。连接BD，由题设知，△ABD是正三角形，又E是AB的中点，所以DE⊥AB，DO∩DE=D，故AB⊥平面ODE。即时训练3-1：如图，已知二面角α-MN-β的大小为60°，17（2）求异面直线BC与OD所成角的余弦值。（2）求异面直线BC与OD所成角的余弦值。18四、空间几何体中位置关系的证明与体积计算【典例4】如图甲，☉O的直径AB=2，圆上两点C，D在直径AB的两侧，使∠CAB=45°，∠DAB=60°。沿直径AB折起，使两个半圆所在的平面互相垂直（如图乙），F为BC的中点，E为AO的中点。P为AC上的动点，根据图乙解答下列各题：四、空间几何体中位置关系的证明与体积计算19（1）求三棱锥D-ABC的体积；（2）求证：不论点P在何位置，都有DE⊥BP；（2）证明：因为P∈AC，所以P∈平面ABC，所以PB⊂平面ABC。又由（1）知，DE⊥平面ABC，所以不论点P在何位置，都有DE⊥BP。（1）求三棱锥D-ABC的体积；（2）证明：因为P∈AC，所20（3）在上是否存在一点G，使得FG∥平面ACD？若存在，试确定点G的位置；若不存在，请说明理由。（3）在上是否存在一点G，使得FG∥平面ACD？若存在21规律方法（1）求空间几何体的体积的关键是确定几何体的高，若几何体的高容易求出，可直接代入体积公式计算，否则可用下列方法进行转化：①等体积转化法：对于三棱锥因为任何一个面都可作为底面，所以在求三棱锥的体积时，可将其转化为底面积和高都易求的形式求解。②补体法：将几何体补成易求体积的几何体，再根据它们的体积关系求解。③分割法：将几何体分割为易求体积的几部分，分别求解再求和。（2）有关平面图形翻折成空间图形的问题，应注意翻折前后各元素（直线、线段、角）的相对位置（平行、垂直）和数量的变化，搞清楚哪些发生了变化、哪些不变。规律方法22即时训练4-1：如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC=5，BB1=BC=6，D，E分别是AA1和B1C的中点。（1）求证：DE∥平面ABC；（1）证明：取BC中点G，连接AG，EG，因为E是B1C的中点，所以EG∥BB1，且EG=BB1。由直棱柱知AA1∥BB1，AA1=BB1，而D是AA1的中点，所以EG∥AD，EG=AD，所以四边形EGAD是平行四边形，所以ED∥AG，又ED⊄平面ABC，AG⊂平面ABC，所以DE∥平面ABC。即时训练4-1：如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB23（2）求三棱锥E-BCD的体积。（2）求三棱锥E-BCD的体积。24五、易错题辨析【典例5】如图，已知E，F分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AA1，CC1上的点，且AE=C1F。求证：四边形EBFD1是平行四边形。错解：因为平面A1ADD1∥平面B1BCC1，D1E=平面A1ADD1∩平面BFD1E，BF=平面B1BCC1∩平面BFD1E，所以D1E∥FB。同理可得D1F∥EB。所以四边形EBFD1是平行四边形。纠错：错解中盲目地认为E，B，F，D1四点共面，由已知条件并不能说明这四点共面，同时条件AE=C1F也没有用到。五、易错题辨析错解：因为平面A1ADD1∥平面B1BCC1，25点、直线、平面之间的位置关系-复习课件26真题体验

真题引领·感悟提升

1.（2016·全国Ⅰ卷，理11）平面α过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABB1A1=n，则m，n所成角的正弦值为（

）A真题体验真题引领·感悟提升1.（2016272.（2017·全国Ⅰ卷，文6）如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是（

）A2.（2017·全国Ⅰ卷，文6）如图，在下列四个正方体中，A28解析：如图O为正方形CDBE的两条对角线的交点，从而O为BC的中点，在△ACB中，OQ为中位线，所以OQ∥AB，OQ∩平面MNQ=Q，所以，AB与平面MNQ相交，而不是平行，故选A。解析：如图O为正方形CDBE的两条对角线的交点，从而O为BC293.（2016·全国Ⅱ卷，理14）α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β。②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n。③如果α∥β，m⊂α，那么m∥β。④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等。其中正确的命题有

。（填写所有正确命题的编号）

解析：①可能有m⊥β，即α∥β，得①错，②③④正确。答案：②③④3.（2016·全国Ⅱ卷，理14）α，β是两个平面，m，n是304.（2017·全国Ⅰ卷，文18）如图，在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，且∠BAP=∠CDP=90°。（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；（1）证明：由已知∠BAP=∠CDP=90°，得AB⊥AP，CD⊥PD。由于AB∥CD，故AB⊥PD，从而AB⊥平面PAD。又AB⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD。4.（2017·全国Ⅰ卷，文18）如图，在四棱锥P-ABCD31（2）若PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，且四棱锥P-ABCD的体积为，求该四棱锥的侧面积。（2）若PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，且四棱锥P325.（2016·全国Ⅲ卷，文19）如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点。（1）证明MN∥平面PAB；5.（2016·全国Ⅲ卷，文19）如图，四棱锥P-ABCD中33（2）求四面体N-BCM的体积。（2）求四面体N-BCM的体积。34谢谢谢谢35第二章点、直线、平面之间的位置关系

复习课件第二章点、直线、平面之间的位置关系复习课件36网络建构网络建构37知识辨析判断下列说法是否正确（请在括号中填“√”或“×”）1.如果一条直线过平面内一点与平面外一点，那么这条直线与这个平面有且只有一个交点。（

）2.如果两个平面有一个交点，则这两个平面有一条过这个点的公共直线。（

）3.如果两个平面平行，则这两个平面没有交点。（

）4.若一条直线上有两个点在某一平面内，则这条直线上有无数个点在这个平面内。（

）5.平行于同一条直线的两个平面平行。（

）6.一条直线垂直于一个平面内的三条直线，则这条直线垂直于这个平面。（

）7.两个相交平面组成的图形叫做二面角。（

）8.垂直于同一条直线的两个平面平行。（

）√√√√×××√知识辨析判断下列说法是否正确（请在括号中填“√”或“×”）√38主题串讲

方法提炼·总结升华

一、平面基本性质的应用【典例1】在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是CC1和AA1的中点，画出平面BED1F与平面ABCD的交线，并说明理由。主题串讲方法提炼·总结升华一、平面基本性质39解：在平面AA1D1D内，延长D1F，因为D1F与DA不平行，所以D1F与DA必相交于一点，设为P，则P∈FD1，P∈DA。又因为D1F⊂平面BED1F，DA⊂平面ABCD，所以P∈平面BED1F，P∈平面ABCD，所以P为平面BED1F与平面ABCD的公共点。又B为平面ABCD与平面BED1F的公共点，所以连接PB（如图），PB即为平面BED1F与平面ABCD的交线。解：在平面AA1D1D内，延长D1F，40规律方法

证明三线共点常用的方法是先证明两条直线共面且相交于一点；然后证明这个点在两个平面内，于是该点在这两个平面的交线上，从而得到三线共点。也可以证明直线a、b相交于一点A，直线b与c相交于一点B，再证明A、B是同一点，从而得到a、b、c三线共点。规律方法41即时训练1-1：如图所示，空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BG∶GC=DH∶HC=1∶2。求证：（1）E，F，G，H四点共面；（2）EG与HF的交点在直线AC上。证明：（1）因为BG∶GC=DH∶HC，所以GH∥BD。因为E，F分别为AB，AD的中点，所以EF∥BD，所以EF∥GH，所以E，F，G，H四点共面。（2）因为G，H不是BC，CD的中点，所以EF∥GH，且EF≠GH，所以EG与FH必相交，设交点为M，而EG⊂平面ABC，HF⊂平面ACD，所以M∈平面ABC，且M∈平面ACD，所以M∈AC，即EG与HF的交点在直线AC上。即时训练1-1：如图所示，空间四边形ABCD中，E，F分别为42二、空间线面位置关系的证明【典例2】在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱与底面垂直，∠BAC=90°，AB=AA1，点M，N分别为A1B和B1C1的中点。（1）证明：A1M⊥平面MAC；证明：（1）因为A1A⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，所以AC⊥A1A，又因为∠BAC=90°，所以AC⊥AB，因为AA1⊂平面AA1B1B，AB⊂平面AA1B1B，AA1∩AB=A，所以AC⊥平面AA1B1B，又A1M⊂平面AA1B1B，所以A1M⊥AC。又因为四边形AA1B1B为正方形，M为A1B的中点，所以A1M⊥MA，因为AC∩MA=A，AC⊂平面MAC，MA⊂平面MAC，所以A1M⊥平面MAC。二、空间线面位置关系的证明证明：（1）因为A1A⊥平面ABC43（2）证明：MN∥平面A1ACC1。证明：（2）连接AB1，AC1，由题意知，点M，N分别为AB1和B1C1的中点，所以MN∥AC1。又MN⊄平面A1ACC1，AC1⊂平面A1ACC1，所以MN∥平面A1ACC1。（2）证明：MN∥平面A1ACC1。证明：（2）连接AB1，44规律方法

空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面之间位置关系的转化主要有：（1）平行关系的转化。（2）垂直关系的转化。线线垂直线面垂直面面垂直规律方法（2）垂直关系的转化。45（3）平行与垂直的转化。（3）平行与垂直的转化。46即时训练2-1：如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F。（1）证明：平面PAC⊥平面PBD；证明：（1）由底面ABCD是正方形，知AC⊥BD，由侧棱PD⊥底面ABCD，及AC⊂平面ABCD知AC⊥PD。又PD∩BD=D，故AC⊥平面PBD。又AC⊂平面PAC，从而，由平面与平面垂直的判定定理知，平面PAC⊥平面PBD。即时训练2-1：如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是47（2）证明：PB⊥平面EFD。证明：（2）在△PDC中，由PD=DC，E是PC的中点，知DE⊥PC。由底面ABCD是正方形，知BC⊥DC，由侧棱PD⊥底面ABCD，BC⊂底面ABCD，知BC⊥PD。又DC∩PD=D，故BC⊥平面PCD。而DE⊂平面PCD，所以DE⊥BC。由DE⊥PC，DE⊥BC及PC∩BC=C，知DE⊥平面PBC。又PB⊂平面PBC，故DE⊥PB。又已知EF⊥PB，且EF∩DE=E，因此PB⊥平面EFD。（2）证明：PB⊥平面EFD。证明：（2）在△PDC中，由P48三、空间位置关系的证明与空间角的计算【典例3】如图，三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD=PC=4，AB=6，点E是CD边的中点，点F，G分别在线段AB，BC上。（1）证明：PE⊥FG；（1）证明：因为PD=PC，点E为DC中点，所以PE⊥DC。又因为平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD=DC，所以PE⊥平面ABCD。又FG⊂平面ABCD，所以PE⊥FG。三、空间位置关系的证明与空间角的计算（1）证明：因为PD=P49（2）求二面角P-AD-C的正切值。（2）求二面角P-AD-C的正切值。50规律方法

求角度问题时，无论哪种情况最终都归结到两条相交直线所成的角的问题上，求角度的解题步骤是：（1）找出这个角；（2）证该角符合题意；（3）构造出含这个角的三角形，解这个三角形，求出角。空间角包括以下三类：①两条异面直线所成的角，找两条异面直线所成的角，关键是选取合适的点引两条异面直线的平行线，这两条相交直线所成的锐角或直角即为两条异面直线所成的角。②求直线与平面所成的角关键是确定斜线在平面内的射影。③求二面角关键是作出二面角的平面角，而作二面角的平面角时，首先要确定二面角的棱，然后结合题设构造二面角的平面角。规律方法51即时训练3-1：如图，已知二面角α-MN-β的大小为60°，菱形ABCD在平面β内，A，B两点在棱MN上，∠BAD=60°，E是AB的中点，DO⊥平面α，垂足为O。（1）证明：AB⊥平面ODE；（1）证明：如图，因为DO⊥α，AB⊂α，所以DO⊥AB。连接BD，由题设知，△ABD是正三角形，又E是AB的中点，所以DE⊥AB，DO∩DE=D，故AB⊥平面ODE。即时训练3-1：如图，已知二面角α-MN-β的大小为60°，52（2）求异面直线BC与OD所成角的余弦值。（2）求异面直线BC与OD所成角的余弦值。53四、空间几何体中位置关系的证明与体积计算【典例4】如图甲，☉O的直径AB=2，圆上两点C，D在直径AB的两侧，使∠CAB=45°，∠DAB=60°。沿直径AB折起，使两个半圆所在的平面互相垂直（如图乙），F为BC的中点，E为AO的中点。P为AC上的动点，根据图乙解答下列各题：四、空间几何体中位置关系的证明与体积计算54（1）求三棱锥D-ABC的体积；（2）求证：不论点P在何位置，都有DE⊥BP；（2）证明：因为P∈AC，所以P∈平面ABC，所以PB⊂平面ABC。又由（1）知，DE⊥平面ABC，所以不论点P在何位置，都有DE⊥BP。（1）求三棱锥D-ABC的体积；（2）证明：因为P∈AC，所55（3）在上是否存在一点G，使得FG∥平面ACD？若存在，试确定点G的位置；若不存在，请说明理由。（3）在上是否存在一点G，使得FG∥平面ACD？若存在56规律方法（1）求空间几何体的体积的关键是确定几何体的高，若几何体的高容易求出，可直接代入体积公式计算，否则可用下列方法进行转化：①等体积转化法：对于三棱锥因为任何一个面都可作为底面，所以在求三棱锥的体积时，可将其转化为底面积和高都易求的形式求解。②补体法：将几何体补成易求体积的几何体，再根据它们的体积关系求解。③分割法：将几何体分割为易求体积的几部分，分别求解再求和。（2）有关平面图形翻折成空间图形的问题，应注意翻折前后各元素（直线、线段、角）的相对位置（平行、垂直）和数量的变化，搞清楚哪些发生了变化、哪些不变。规律方法57即时训练4-1：如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC=5，BB1=BC=6，D，E分别是AA1和B1C的中点。（1）求证：DE∥平面ABC；（1）证明：取BC中点G，连接AG，EG，因为E是B1C的中点，所以EG∥BB1，且EG=BB1。由直棱柱知AA1∥BB1，AA1=BB1，而D是AA1的中点，所以EG∥AD，EG=AD，所以四边形EGAD是平行四边形，所以ED∥AG，又ED⊄平面ABC，AG⊂平面ABC，所以DE∥平面ABC。即时训练4-1：如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB58（2）求三棱锥E-BCD的体积。（2）求三棱锥E-BCD的体积。59五、易错题辨析【典例5】如图，已知E，F分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AA1，CC1上的点，且AE=C1F。求证：四边形EBFD1是平行四边形。错解：因为平面A1ADD1∥平面B1BCC1，D1E=平面A1ADD1∩平面BFD1E，BF=平面B1BCC1∩平面BFD1E，所以D1E∥FB。同理可得D1F∥EB。所以四边形EBFD1是平行四边形。纠错：错解中盲目地认为E，B，F，D1四点共面，由已知条件并不能说明这四点共面，同时条件AE=C1F也没有用到。五、易错题辨析错解：因为平面A1ADD1∥平面B1BCC1，60点、直线、平面之间的位置关系-复习课件61真题体验

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