214年考研级数典型例题完美版讲析

内容要点一，概念与性质（一）概念由数列Ui，U2,…，Un，…构成的式子n称为无穷级数，简称为级数.Un称为级数的一般项，Sn=HUi称为i1级数的部分和.如果limSn=s,则称级数£Un收敛，S称为该级数的和.此时记n一片n白/Un=S.否则称级数发散.n1（二）性质qqOQqQTOC\o"1-5"\h\z1,若ZUn收敛，则ZkUn=k£Un.n1n1n12,若zUn,£Vn收敛，贝U工（Un土Vn）=£Un士£Vn.nz1n1n1n1n13,级数增减或改变有限项，不改变其敛散性.4,若级数收敛，则任意加括号后所成的级数仍收敛.5（收敛的必要条件），若:fUn收敛，则limUn=0.n1n*"-注意：若HmUn^0.MZUn必发散.而若JUn发散，则不一定n:n1n1limUn=0.n（三）两个常用级数1,等比级数2,p一级数二，正项级数敛散性判别法（一）比较判别法TOC\o"1-5"\h\z、r°°重…一一i设£/工Vn均为正项级数，且Un«Vn（n=1,2,…），则ngn12rVn收敛=JUn收敛；n1n=1ZUn发散nZVn发散n1nz4（二）极限判别法qQ如果limnun=1（。<l«+°°），则工Un发散；n,二nmqQ如果对p>1,limnpUn=1（。《1<+°°），则工Un则收敛.

n立nW（三）比值判别法设9Un为正项级数，若n4二，交错级数收敛性判别法莱布尼兹判别法：设Jj1厂Un（Un>。）为交错级数，如果满足：n4Un-Uni（n=1,2,）2,limUn二。n1二则此交错级数收敛.三，任意项级数与绝对收敛绝对收敛如果ZUni收敛，则称克Un绝对收敛.n1n1条件收敛如果JUn收敛，但£|Un|发散，则称3Un条件收n1n1n=1敛.定理若级数绝对收敛，则该级数必收敛.函数项级数一、主要内容1、基本概念函数列（函数项级数）的点收敛、一致收敛、内闭一致收敛、绝对收敛、和函数事级数的收敛半径、收敛区间、收敛域2、一致收敛性A、函数列｛fn（X）｝一致收敛性的判断：（1）定义：用于处理已知极限函数的简单函数列的一致收敛性（2）Cauchy收敛准则：用于抽象、半抽象的函数列的一致收敛性的判断（3）确界（最大值方法）：||fn（x）-f（x）h°（4）估计方法：1fn（X）-f（X）怪an，°（5）Dini-定理：条件1）闭区间⑶0；2）连续性；3）关于n的单调性注、除Cauchy收敛准则外，都需要知道极限函数，因此，在判断一致收敛性时，一般应先利用点收敛性计算出极限函数。注、定义法、确界方法和估计方法的本质是相同，定义方法通常处理抽象的对象，估计方法是确界方法的简化形式，估计方法处理较为简单的具体的对象，确界方法是通过确界的计算得到较为精确的估计，通常用于处理具有一般结构的具体的函数列，也可以用于非一致收敛性的判断。注、Dini定理中，要验证的关键条件是关于n的单调性，定理中相应的条件为“对任意固定的x7a，b],｛fn(x)｝作为数列关于n是单调的”，注意到收敛或一致收敛与函数列前面的有限项没有关系，上述条件也可以改为“存在N,当n>N时”条件成立即可，但是，要注意N必须是与x无关的，即当n>N时，对所有任意固定的x『a，b],｛fn(x)｝关于n单调，因此，此时的单调性也称为对n的单调性关于x一致成立。非一致收敛性的判断(1)定义(2)Cauchy收敛准则(3)确界法：存在“，使得||fn(xn)-“4川不收敛于0(4)和函数连续性定理(5)端点发散性判别法：｛fn(x)｝在C点左连续，｛fn(C)｝发散，则｛小)｝在(c-6,c)内非一致收敛注、在判断非一致收敛性时，按照使用时的难易程度，可以按如下顺序使用相应的方法进行判断：端点发散性判别法、和函数连续性定理、确界方法、定义法、Cauchy收敛准则。B、函数项级数'un(x)

致收敛性的判断(1)定义(2)Cauchy收敛准则(3)转化为函数列(部分和)(4)余项方法：｛「双刈｝一致收敛于0(5)几个判别法：W祛，Abel法，Dirichlet法，Dini-法经典例题例1判断级数(1)丁劣；(2)//的敛散性.ndn.nnJn(p=：>1)收敛解：(1)不1(p=：>1)收敛3ngn,♦nnW2n2(2)由于limyn=1nn(2)由于limyn=1nn'二limunj=lim1nYn=1#0,故£2发散.

n=1nnn例2判别级数.(1)z——1——；(2)£工；(3)工」■工的敛散n=2(n-1)(n3)nmn2n+n(n2)性.解：(1)由于解：(1)由于1(n-1)(n3)—J(n=2,3…)，而£一工(n3)2n二(n3)2=一口收敛

n=5n故由比较判别法可知级数=高行收敛.n(2)由于%J(n=1,2,…)，而工」发散，由比较判别法可知n2nn4n:二八n级数二a发散.(3)由于n1

(3)由于n1

n(n2)n1>(n1)(n2)，而J—=£l发散,

n3n2n与n由比较判别法可知级数I；"发散.例3例3判别下列级数的敛散性:nn⑴」⑵式解：用比值判别法un1un1⑴nmu1=lim—n!-=lim-=0n>二1n"n(n-1)!

<1,故J收敛;nz1(n-1)!(n1)n1un1(n1)!(2)limlim—nunn立nnn!njnHml->1,故三”散.例4判别级数(1)^4；(2)£ln1nWn解：(1)由于limnun=limn—1==lim-L^=1>0,n丘n>：：nn.nn>:：nn故由极限判别法可知级数94发散.nmnvn(2)由于limn2un=limn2ln1+

n—n—JpC2i=limIn1十n)n-^<2=Ine=1故由极限判别法可知级数工ln'1+4j收敛.<nJ例5问级数£(-1)n1寺是收敛还是发散？若收敛，是绝对收敛还n是条件收敛?--nn解：由茉布尼兹判别法可知1(-1)与与Z(-1)1均收敛，从而原n1nn1n

另一方面,-1nC2n另一方面,-1nC2n

nL而发散，故由比较判别nn4n法可知QOZ(-1?发散，从而原级数是条件收敛练习题1,用比较判别法判别下列级数的敛散性⑴J」(2)*(3)^^1^(4)n4n(n1)n42nWnn」2n2,用比值判别法判别下列级数的敛散性:w13：(2n-73)ynan!'，ni25<3n-1)''n」3n3,用极限判别法判别下列级数的敛散性(1)——1n(2)3n4(2n3)nnn^n4判断下列级数是否收敛？如果收敛，是绝对收敛还是条件收敛?--n1⑴UL-'⑵」F⑶n.1.1.1.1.1.1.(4)<:^1L3232232332ndln(n1)［答案：1,(1)收敛(2)收敛(3)收敛(4)发散2,(1)收敛(2)收敛(3)收敛3,(1)发散(2)收敛4,(1)条件收敛(2)绝对收敛(3)绝对收敛(4)条件收敛］5求窑级数的收敛半径与收敛域.

解：由于■■an书lim--3an=limnJ=lim—=1=：n解：由于■■an书lim--3an=limnJ=lim—=1=：nf二1nF：n1n所以，收敛半径R=/=1收敛区间为(-1,1).n当x=-1时，原级数为1+£匕1-收敛;n1n当x=1时，原级数为1十J工发散.故收敛域为[-1,1).

n』n:_n6.求窑级数Z人的和函数.n=4nn解：不难求得收敛域为I=[-1,1)设和函数为S(x)即S(x)=£—,x^In1n逐项求导，S/(x)=ZxnA=^,x<1.再积分，便得n=11-xxS(x)=-o1dx--ln(1-x),7.求窑级数三(2n-1)xn的收敛域及和函数n1解：P=lim—n-^-=lim--—―=1=R=°=1fan+2n1-1P--n当乂=±1时,原级数=E(2n-1雎1)发散,故收敛域为(-1,1).n1'、.(2n-1)xn="(2n2)xn■---x-3V'xn=2n1.n1|n1oxndx'-3八：n1j3x_「2x2,3x_4x(1-x)2x23x4x-2x23x(1-x)2[-x]-=[]-=2「=2-2"n11-x1-x1-x(1-x)1-x(1-x)(1-x)

x4x2(1-x)2-8.将函数f(x);三展开成的募级数.解：由于—=11(_1)nxn,(—1<x<1),故1xn月1f(x)=L二二n一■2n246n2n一%-1x=1-xx-xx4x2(1-x)2-8.将函数f(x);三展开成的募级数.解：由于—=11(_1)nxn,(—1<x<1),故1xn月1f(x)=L二二n一■2n246n2n一%-1x=1-xx-x+--+(_1)x,(-1=：：x：：:1)n0练习题1,求下列窑级数的收敛半径与收敛域:二：二Vn二n(1)'nxn(2)%，3)「1n4n43n12,求下列窑级数的收敛域及和函数-nxnn1%(n2)xn⑶、n=2n

xn-13,将下列函数展为x的窑级数x(1)f(x)=ln(1-x2)(2)f(x)=—(3)f(x)=ax(4)f(x)=sinx[答案:1,(1)R=1,(-1,1)(2)R=3,(-3,3)(3)R=1,[-1,1)(4)R=4,[-4,4)2,(1)(-1,1),^-^(2)(-1,1),^^(3)[-1,1),-xln(1-x)(1-x)2(x-1)22n3,(1)4—(2)

n1noO

z

n=0n!(lnannxn!oOn=0-1nx2n1(2n1)!22n1nx(1)、"x)=似,(2)、豚)胪lx)—1nx其中no解：(1)计算得,其中nonxf(x)=limfn(x)=lim=x,x€[0,1],n-'n-11nx因而，nx2|fn(x)-f(x)|=|-x|<-,x[0,1],1nxn故，｛fn(x)｝在[0,1]一致收敛。(2)计算得f(x)=limfn(x)=limnx(1-x)n=0,xw[0,1],n.n.记中(x)4fn(x)—f(x)|=nx(1—x)n,则6(x)=n(1-x)nJL[1-(n+1)x],…1故，平(x)在xn=——处达到最大值，因而n-1n1n1||fn(x)-f(x)|^P(xn)(1-—；)T一,n-1n1e故，｛fn(x)｝在[0,1]非一致收敛。注、下述用Dini-定理求证(2)的过程是否合适。验证Dini定理的条件：显然，对任意的n,fn(x)=nx(1—x)nwC[0,1],f(x)=0wC[0,1]；当x=0或x=1,fn(x)=0,因而关于n单调；当x#0时，考察fn(x)=nx(1-x)n关于n的单调性，为此，将离散变量n连续化，记a=1-xw(0,1),考查对应函数g(y)=yay关于y的单调性。显然，g(y):ayyaylna=ay[1ylna],1故，当y>一1>0时，g(y)<0,因而关于y单减。lna1对应得到当n>1时，fn(x)关于n单减，故由Dini-止理，｛fn(x)｝在[0,1]中ln1-x一致收敛。分析显然，这是与最大值解法相矛盾的结论。最大值方法是正确的，那么，上述Dini-定理的证明过程错在何处？进一步考察Dini-定理的条件与上述证明过程：条件f,fnWC[0,1]是确定的，有限区间[0,1]也适合，剩下的条件只有单调性了。那么，Dini-定理中对单调性条件如何要求的？其叙述为：对任意固定的x,｛fn(x)｝是n的单调数列，注意到收敛性与前有限项没有关系，因而｛fn(x)｝的单调性也放宽为n>N时，｛f*x)｝是n的单调数列，本例中，在验证单调条件时，1实际证明了：寸x#0,当n>—1—=N时，｛fn(x)｝关于n单调，显然，ln，1-x1N=---3f(XT0+),因此，｛fn(x)｝的单调性关于X并非是一致的，破in,1-x坏了Dini-定理的条件，故Dini-定理不可用。从上述分析过程看，当考虑到数列的收敛与前面有限项关系时，Dini-定理可这样表述：Dini-定理在有限闭区间[a,b]上，设“x)wC[a,b],Vn且｛fn(x)｝点收敛于f(x)eC[a,b],又^N>0,使得对任意固定的xw[a,b],｛fn(x)｝|口印关于n单调，[a,b]则fn(x)=f(x)。注、上述分析表明：要考察函数列的性质时，通常只须考察n充分大，即n〉N时所满足的性质即可，要注意与x关系的刻画，对函数项级数要注意同样的问题，如W定理：W淀理设：3N>0,使彳4n〉N时，|un(x)区an,VxS,且Z%收敛，则工un(x)n1n1在I上一致收敛。定理中的条件|Un(x)|Ean也是关于x一致成立的，因此，条件不能改为“对任意的x,存在N(x),使得n>N(x)时，|un(x)|<an\例2、证明：若f(x)在(a,b)有连续导数f'(x),则会)nfx十:*)在(a,b)n内闭一致收敛于f(x)。分析从题目形式看，由于知道极限函数，只需用定义验证即可，考察统一形式11=|f(")-f(x)|,xc*<x+—,|--x|<-nn因此，利用一致连续性可以完成证明。证明：任取[%0]u[a,b],则f'(x)在[口，向一致连续，因此，Vs>0,33>0,使得Vx；x"W[a,口]且|x'-x"|<6时，|f(x)-f(x)|<；,利用微分中值定理，存在:x<<x1,使得n|fn(X)-f(X)H「«)—「(X)|,一1-1..故，n>—时，|0—x|<—<6,因而、n|fn(x)-f(x)|<e,[-.，[：：]故，fn(x)=f(x)。3、讨论一致收敛性Q0OQ(1)zxn(1-x)2,x/0,1];(2)£x2e』x,xw(0*)。n0n=0解：(1)法一、由于结构简单，可以计算其部分和，因此，可以转化为函数列来处理。由于1Sn(x)=£xk(1-x)2=(1-x)(1-xn),xe[0,1]k=0故，S(x)=limSn(x)=1—x,x[0,1]onj.因而，|Sn(x)-S(x)|=(1-x)xn,对任意的n,记g(x)=(1-x)xn,则因而，g(x)在xn=°处达到最大值，因而n+1__n1nn||Sn(x)—S(x)||=(1—xn)xn=-；(1)T0,nT+®n+1n+1[0,1]二因此，Sn(x)=S(x),故，Zxn(1-x)2在xW[0,1]一致收敛。n=0法二、也可利用最大值法，或W判别法。记Un(x)=xn(1—x)2,则故，Un(x)在xn处达到最大值，因而n2qQ由W定理可彳导,zxn(1-x)2在xW[0,1]一致收敛。n=0(2)法一、记Un(x)=x2e"x,则un(x)=xeT[2-nx],

故Un(X)在Xn=-处达到最大值，因而n八,、2,2、2n4n0<Un(X)<Un(-)=(-)nnnqQ故，ZX2e」x在xw(0,f)一致收敛nO法二、利用用Taylor展开得,因而，2_nx0三2_nx0三xe2Xnxe2

X2—2nx.._..1nx--|||Rn(x)22

X22nx2故，£1%皿在xw(0,f)一致收敛n0qQqQ4、设£Un(x)在［a,b］上点收敛，£Un'(x)的部分和函数列在［a,b］上一致有界，证n=0n=0oO明：£Un(x)在［a,b］上一致收敛。n0分析这是一个抽象的函数项级数，从所给的条件看，W-定理、Abel判别法、Dirichlet判别法、Dini定理都缺乏相应的条件，因此，考虑用CaUchy收敛准则，为此，必须建立通项函数Un(X)与其导函数的关系，建立其关系的方法有微分法(利用微分中值定理)和积分法(利用微积分关系式)，其本质基本上都是插项法，如利用积分法估计CaUchy片段TOC\o"1-5"\h\zpxpp区Un*(x)|=|IZUn*'(t)dt*Un*(X0)|,k=1X0k=1k=1相当于插入点X。，利用一致有界条件，则pp|£Un卡(X)|EM|X-X0|+|£UnHk(X0)|,k=1k=1要通过右端控制CaUchy片段任意小，从右端形式和剩下的条件看，右端的第二项要用点收敛性来估计，而第一项需用小区间的长度来控制，由于点x是动态的、任意的，因此，关键的问题是利用什么技术将动态点的控制转化为有限个定点控制，通过第一项的形式可以确定利用对区间的分割实现上述目的。证明：对任意的名下0,对［a,b］作等分割：a=x0<x1<|||cxk=b,使得b-amax｛x^—为:i=0,1,,k—1｝=<s,kqQ又，Uun(x)点收敛，因而，存在N,使得n>N时，nOP区Un书(X|)|<8,VP,l=0,1,|||,kj=1n假设|£u「(x)|WM,当n>N时，对任意的xw［a,b］,存在xi0,使得|x-x0|<w,k=0故<2M|x-xi0|+&<(2M+1)a,VpqQ因而，£un(x)在［a,b］上一致收敛。n0注、总结证明过程，步骤为：1、任给£>0,分割区间，确定有限个分点；2、在分点处利用Cauchy收敛准则；3、利用插项技术验证一致收敛性。注意相互问的逻辑关系。注、类似的结论可以推广到函数列的情形：设逐点收敛的函数列｛Sn(x)｝是［a,b］上的可微函数列,且｛S：(x)｝在［a,b］上一致有界,则｛G(x)｝在［a,b］一致收敛。注、上述证明的思想是通过有限分割将任意动态点的估计转化为有限个点的静态估计，像这种思想在证明一致收敛性时比较有用，看下面的例子。6、给定函数列｛S(x)｝,设对每个固定的n,Sn(x)都是［a,b］上的单调函数，又设｛Sn(x)｝在［a,b］上收敛于S(x),且S(x)WC［a,b］,证明｛S(x)｝在［a,b］上一致收敛于S(x)o分析由于题目中给出了极限函数且函数列是抽象的，因此，可以考虑用定义法处理。关键是如何利用点收敛和极限函数的连续性实现对|&(x)-S(x)|的动态估计,假设插入的点为某个固定的点％,则必然涉及到|S(x)-S(%)|的估计，要得到与x无关的估计，从所给的极限函数的条件看，必须利用连续性来实现相应的估计，但是，仅仅用连续性还不够，因为连续性是局部性质，因此，这就使我们考虑更高级的整体性质一一一致连续性，由此，借助一致连续性实现对区间的分割，将动态估计转化为分点处的静态估计。但是，问题并没有全部解决，因为直接插项，产生的项|Sn(x)-Sn(%)|无法解决，注意到还有一个单调性条件，因此，必须借助这个条件将|&(x)-S(x)|中的&(x)由动态点过渡到静态的点，这种技巧并不陌生，在Dini定理的证明中曾借助关于n的单调性将变动的下标n转化为固定的下标，这里我们利用同样的技术解决相应的问题。证明：对任意的8>0,由于S(x)wC[a,b],因而一致连续，故存在6A0,当x,yw[a,b]且|x—y|<6时，|S(x)-S(y)|<s,对[a,b]作等分割：a=x0<x1<|||<xk=b,使得…一b一amax｛x书-xi:i=0,1,|,k-1｝=<d,k利用点收敛性，存在N,使得n>N时，|Sn(x)—S(xJ<hi=0,1川k。因此，当n>N时,对任意点xw[a,b],存在i。,使得x^保0」,为0],利用｛5(x)｝的单调性，则|Sn(x)-S(x)HSn(x)-S(x)|+|Sn(xi0^)-S(x)|,事实上，当Sn(x)关于x单调递增时，或者|Sn(x)-S(x)|=Sn(x)-S(x)MSn(凝)-S(x)=|&(凡)-S(x)|,或者|Sn(x)-S(x)|=S(x)-Sn(x)<S(x)-&(%」)=|S(x)-」)|,因而，总有|Sn(x)-S(x)付Sn(x0)—S(x)|+|Sn(xi°,)—S(x)|。这样，关于Sn(x)由动态的点转化为固定的点，对右端进行插项，进一步将S(x)由动态的点转化为固定的点。因而，十|a(3-“&」)||S(xi0」)-S(x)|：二4一故，｛Sn(x)｝在[a,b]上一致收敛于S(x)。注、利用各种技术将动态点处的估计转化为静态点处的估计是证明抽象函数列和函数项级数一致收敛性时常用的技巧，要掌握其处理问题的思想，特别是单调性在这个过程中的应用。n1k7、设fC(-°°,^),止乂函数列Sn(x)=E—f(x+—),n=1,2,…，证明：kdnn｛Sn(X))在Sf内闭一致收敛。1分析从函数列的结构可以计算出和函数为j0f(x+t)dt,因此，可以利用形式统一法证明结论。证明：对任意的x,则1S(x)=limSn(x)=ff(x+t)dt。n「二0对任意的[a,b]u(，,)，则feC[a-1,b+1],因而，一致连续，故，对任意的名>0,存在6>0,当x,yw[a—1,b+1]且|x—y|<6时，If(x)-f(y)|<so1取N:N,当n>N时，故，｛Sn(x)｝在(*，)内闭一致收敛。x8、设f°WC[0,a],fn(x)=[fn」(t)dt,证明：｛fn(x)｝在[0,a]一致收敛于零。证明：由于f°wC[0,a],故三M>0,使得|f0(x)|EM,x=[0,a],因而|f1(x)|<Mx,x1o|f2(x)|<Motdt=M-x2,归纳可以证明：故，fn(x)=0。9、在[0,1]上定义函数列TOC\o"1-5"\h\z'2八14nx,0ExE——2nr211fn(x)=«「4nx+4n,——<xM—,2nn0,-<x<1、n计算其极限函数并讨论其一致收敛性。1解、法一、显然，fn(0)=0,对任意固定的x『0,1],则当n〉1时，总有xfn(x)=0,因此，nl_im&fn(x)=0,故，其极限函数为f(x)=0。一1.取xn=—,贝^4n|fn(Xn)—f(Xn)|=3函)=nTf因此，｛fn(X)｝在［0,1］上非一致收敛。法二、用一致收敛性的性质证明。极限函数仍为f(x)=0,计算得，因而，110=0f(x)dx二nlim：_0fn(x)dx=1,故，｛fn(X)｝在［0,1］上非一致收敛。注、这里，我们利用逐项求积定理，将这种将定性分析的证明转化为定量的验证，这是非常有效的处理问题的思想方法。10、给定函数列fn(x)=MnJ;n=2,3,…，证：当a<1时，函数列｛fn(x)｝n在［0,f)上一致收敛证明：容易计算f(x)=nlim.fn(x)=0，x乏［0,〜)，因而，|fn(x)-f(x)|=fn(x)n^JnpT,n对任意固定的n,fn(x)nx(lnn)-(1fn(x)2x,n因而，故，当豆<1时，nl叽||fn(x)—f(x)||=0,｛fn(x)｝在［0,~)上一致收敛。下面讨论一致收敛性的应用。二一2二11、设S(x)=£rncosnx,(|11<)计算'S(x)dx。n=0分析题目的本质实际是两种运算的可换序性，只需验证相应的条件。解：由于|rncosnx5|r|n,故工rncosnx在［0,2兀］一致收敛，因而

0S(x)dxc0S(x)dxc0

nOrncosnxdx,TOC\o"1-5"\h\z22—又，Ccosnxdx=0,n=1,2,Hi,故£S(x)dx=2x0■xn.2.、12、设f(x)=£—cos(nnx),求limf(x)。n卫3nx1r-.］n解:致收敛性。由于,考虑£xrcos(nnx2)在［0,2］的解:致收敛性。由于,n=03"n。I：cos(n二x2)|E(Rn,33二xn(-1)n

3n故，Zr~cos(nnx2)在［0,2］(-1)n

3nx2一频1f(x)=lim'—cos(nr:x)=频1x12nn=03nz0注、关键选择一个合适的区间：即保证一致收敛性，也要保证极限点落在此区问内部。1dx13、计算n吼1。en(1-)nn分析两种运算的换序性问题，只需验证一致收敛性条件。x证明：先证｛en｝的一致收敛性。显然，对任意的x『0,1],xn吼3=1，利用微分中值定理，存在，亡[0,1],使得XX|en-1|=|en-e°|=e*M—,x^[0,1]nnx因而，｛en｝在[0,1]上一致收敛于1(也可以用Dini定理证明)。其次，证明｛(1+x)n｝的一致收敛性。对任意的x-[0,1],｛(1+-)n｝单调递增nn收敛于ex,由Dini定理，｛(1+x)n｝在[0,1]上一致收敛于ex。n由此，得

I-

en(1-)n

n1I-

en(1-)n

n1XnE1*11。：)故,1Xen(1-)nn在［0,1］上一致收敛于「此，1dx01exdexex(1ex)=1+ln2-ln(1+e)。一二1c,、，一TOC\o"1-5"\h\z14、证明：f(x)=£(*+」『在(—1,1)连续。nz4n解：Vqw(0,1),考祭£(*+1尸在［-q,q］上的一致收敛性。由于n1nn1n__|(x+一)|<(q+一),x『Y|,q］,nn一11.而工(q+—)n收敛，故工(q+—)n在［—q,q］一致收敛性，因而f(x)wC［-q,q］,由nnq的任意性，f(x)WC［—1,1］。注、注意总结这类题目证明的步骤和技巧。15、证明：Jsn也在(0,1)内非一致收敛。n1n分析由于函数项级数在区间端点都收敛，通项也是一致收敛的函数列，又不知其和函数，因此，只有用Cauchy收敛准则证明。为此，需要研究其Cauchy片段,找出一个具有正下界的片段，注意到以前处理的类似问题：用Cauchy收敛准则1证明工1的发散性，可以设想，相应的方法是否能处理本题，由此，需要考察：n：1n能否存在4W(0,1),使得片段中的每一项的对应因子Sink%,kk=n+1,…，2n有正下界，只需一MkxnM—,只需MxnM—,因此，424(n-1)4nI几只需取xn=。4n证明：取0=—,则，对任意的n,Mp=n,xn=工，则44n

sin(n1)xnsin(n1)xnsin2nxn-2“；1:'由Cauchy收敛准则，£吧及在(0,1)内非一致收敛。n4n注、还可以用下述结论证明其非一致收敛性：给定函数项级数£Un(X),设n1qQqQqQUn(x)wC［a,b］,若Uun(x)在(a,b)内一致收敛，Un(a)和Un(b)都收敛，则n1nVn1fun(x)在［a,b］上一致收敛，因而，还成立£一Un(x)wC［a,b］。n4n：4在FoUrier级数习题课中，可以证明，J变立正是一个在［0,1］上的非连续函n4n数的FoUrier级数，且其和函数在［0,1］上也不连续，因而，根据上述结论，克则必在(0,1)内非一致收敛。n1n16、证明：£4xn由与：fanxn具有相同的收敛半径。n=0n1n=0证明：法一：由于—1—1一工'圾1an1nn1圾区1anF，(n1)n另一方面，11Mn1m1alTn^(n+1=n或1alT，(n1)n(n1)n故，二者有相同的收敛半径。法二、可定义证明。设克anxn的收敛半径为R,要证J-a」xT的收敛半径也为R,只要证|x。|<Rnz0n10n1时，：f*xn由收敛，|x0|〉R时，£3/木发散。n=0n1n=0n1对V%:|x°|<R，则，Zanxn收敛，又ann1_nx07x0—anx07，n1n1由Abel法，£刍-X01.收敛。n30n1OQ对任意的X0：|X0»R时，若Z-an-xF收敛，取y0使得|X01〉|yo|AR,因n乂n1为一2xn用收敛，因而｛Lx；*｝收敛，故有界记为m因此，TOC\o"1-5"\h\zn月n1n1nann1y0n1Mn|any0|H^T；x0(—)(n+1)—1<--;(n+1)r，n1x0x0|x0|qQqQOQ其中r=|比|<1。由于工(n+1)rn,因而，Zany0n收敛，这与Zanxn的收敛半x0n=0nz0n0径为R矛盾，故，J&x丁发散。nz0n1由此得二者的收敛半径相同。注、例子表明，幕级数求导求积后收敛半径不变，进一步可得。oO17、设f(x)=£anxn,其收敛半径为R>0,证明：f(x)wCM(—R,R)且a0=f(0),n=0f(n)(0)an-'°n!解：由幕级数求导后收敛半径不变性的性质得，feCo0(-R,R)且f(0)=a。，cOf(x)=7nanxn4,f(0)=al,n1QCf(x)="n(n-1)anxn二，f(0)=2!a2,n=2归纳可以证明：f⑻(0)=n!an。注、此例说明：任何一个幕级数都是某个函数的M领数。18、设f(—且1'x)1EM,皿，又@=°,n-2川，证明：f(x)=0

分析利用幕级数展开论证，证明f(n)(0)=0证明：由于|严(x)区M,故_Mn1———|Rn(X)|<|X|*T0,X/XW(*产)，(n1)!f⑻(0)n因而，f(x)在(*,依)可展成M级数f(x)=£-一以Xn。TOC\o"1-5"\h\zn=0n!下证f⑺(0)=0。显然，f(0)=iimf(4)=0,而n—E：2n•1•f(zn)-f(0)f'(0)=lim—2--=0,n,：：12n⑴J...T-⑴1...T-⑴1...V⑴(1入乂出ROlier-止埋，□n.一之‘1兰-2"12n31III1更传f(n)-0EL2223nf(0)=limf(0)=limn.匚⑴n归纳可证：f(n)(0)=0,故f(x)三019、求收敛半径和收敛区间。XnQXnQ

一二

2)>

nX

n

Inn

二二

、；4)、：3(1]-n1n解：记其为、：；anxnn=11)、由于=limln(n1)

n1=limln(n1)

n1n=1lnn故，R=1。当x=1时，J”发散；当x=-1时，匚(-1)田是交错的L-级数，因而收敛,n4nndn故其收敛域为［-R,R)2)、由于11nlima：=lim(1+-)=e,n-.'n-.'n一1故R=-。e当x=1时，考虑£一[(叱1)n1]n,记bn=[(1+1)n1]n,则en3nene(11)n1nbi=nlg———;e用连续化方法计算其极限，由于，一1:limjgd+xi=lim’1^\二，

x0-x2x0-2x211故，lnbnt-一，bnte2=0,因而,2-,zn1n1公九升工[(——)-]友故n」ne同样，当x=-1时，J[(d)n1]n(-1)n发散，故其收敛域为(-1」)en3neee3)、这是一个隔项级数，直接用根式法讨论收敛半径由于lim[

n_j_2n1nL-L]n=lim--L2nnf：2故，当|x|W1时，级数收敛，当|x|>1时，级数发散，因而，收敛半径R=1,显然，x=1和x=—1时，级数都收敛，因而，收敛域为[-1,1]4)、由于极限不存在，用上极限公式计算收敛半径。由于而/=而眸也=4,n-nj；二一nn1故，收敛半径R=-。41当x=1时，则4;[3「厅1工二。.”1n-n，n1n4n-2k1n4n-2kn由于右端两项前者收敛，后者发放，因而，左端级数发放TOC\o"1-5"\h\z同样，当x=—二时，级数也发散，故事级数的收敛域为（-1,1）。44420、设Janxn的收敛半径为R,£bnxn的收敛半径为Q,讨论下列级数的收敛n支n=0半径。1）、£（an+bn）xn;2）、工anbnXnonOn=0解、1）、当R#Q时，不妨设R<Q，则当|x|<R时，J（烝+4）必绝对收敛；当n=0QHx|〉R时，由于QOCOQOZ（an+bn）xn=Zanxn+£bnxn,n0nz0nz0qQOQqQ而£anxn发散，Zbnxn收敛，故，工（an+bn）xn发散。nz0n=0nz0qQ当Q^x|时，利用幕级数收敛的性质，£一（an+bn）xn必发散，否则，当Qa|x|〉Rn=0qQqQ时，£「（an+bn）xn收敛，故，£（an+bn）xn的收敛半径为min{R,Q}。n0n=0qQ当R=Q时，£（an+bn）xn的收敛半径有可能严格大于R,如取烝=-bn=1,则Rn=0qQ=Q=1,而£（an+bn）xn=0,其收敛半径为收。n=02）、由于11111nm|anbn1n=1/m闭门bn|n〈nm|an|nJjmJbn1n,qQ故，Z（an+bn）xn的收敛半径R&RQ。n王有例子表明，存在情形R'>RQ,如取0,n=2k1,n=2kan=4,bn=4,n1,n=2k1n0,n=2k1则R=Q=1,而R'=".。

21设£an的收敛于A,£bn的收敛于B,如果Cauchy乘积工Cn=£(a0bn七bn_千川+anb)收敛，则一定收敛于AB。解：考虑如下三个幕级数Eanxn,工bnxn,Zcnxn由条件：x=1是其收敛点,故由幕级数性质：在|x|<1内三个幕级数都收敛，因而确定三个函数f(x)=£anxn,g(x)bnxn,h(x)=Xanxn,1x|<1且f(x)wC(—1,1],g(x)€C(-1,1],h(x)wC(—1,1],又由绝对收敛级数的Cauchy乘法定理，则②anxn)(£bnxn)=(£Cnxn),|x|<1,即f(x)g(x)=h(x),|x|<1令xt1一,则由连续性：f(1)g(1)=h(1),即Zcn=ZanZbn=AB口例5、设f(x)=£anxn,当|x|<r收敛，则当£/号科收敛时成立,n1jf(x)dx=L-a^xn+TOC\o"1-5"\h\z0n1证明：由幕级数的逐项求导定理：——xxxa一x:|x|：：：r,0f(t)dt=0"ant%t=%.0antndtT^Ix'又记g(x)=£-a—xn,则g(x)wC(-r,r],故limg(x)=g(r)=£—an-rn41n1xT-n1x又g(x)=0f(t)dt,|x|；r,...x,,x又g(x)=0f(t)dt,|x|；r,因而limff(t)dt也存在且等于ff(x)dxxu-00故Jf(x)dx=lim/f(t)dt=limg(x)=g(r)口r,,J。f(x)dx存在。0r,,J。f(x)dx存在。注：利用定积分的性质，不管f(r)取值如何，上述条件保证例6、利用上题证明(也二口出=-£!TOC\o"1-5"\h\z0tnt2t3t4tn解：由于ln(1—t)=-[t+—+—+—++—+],|t|<1234n2,n」故=-[1+—十一+111十——十”|],0<|11<1t23n若定义1n1二111ylim1nlz1=-1,则上式对|t|M1成立，因而：V0<x<1,则又x=1时，：£4收敛，故由定理7,则f皿1卷出二-口nTn0tnTn

OO例7求f(x)=£n1sin(2x)的OO例7求f(x)=£n1解：由于vk,£区解：由于vk,£区1收敛。n!TOC\o"1-5"\h\z事实上，由于lim(2—)-1=iim-(2—=0,由比值判别法，£~(2上收敛,n?：(n1)!(2)n二(n1)n!n、knn、kn、因而，Z(2)(2x),工(2)c0s(2x)都一致收敛(R1),因而：n!n!f(x)有任意阶导数，即fwC3R1)且n2k1进而f(2k)(0)=0,f(2k*(0)=(-1)k£(■^—n!因此，f(x)在x=0点的Maclaurm级数为：.|x12kH2(2k1)i下面证明此级数对Vx#0都发散，为此，考虑其绝对级数zL—e2,则k©(2k-1)!e2(2k‘发散，故其通项不收敛于零，因而一，…t二e2(2k‘发散，故其通项不收敛于零，因而故由比值判别法，一、-LxJ一kz0(2k1)!(2k1)工(-1)e也发散，即Maclaurm级数发散，因而不能表示f(x)。□k=0(2k1)!TOC\o"1-5"\h\z4nn例8、证明(1)£^满足丫⑷=y(2)工△=满足xy"+y'-y=0n6(4n)!(n!)24n4n」解：(1)y(x)=£」，其收敛半径为R=z,故其导级数为Z——在任n$(4n)!(4n-1)!4n」——意区间［-a,a］一一致收敛，因而y'(x)=£-,类似可证：y^Cq-a,a］,(4n-1)!且y(4)=y,"xnx(2)y(x)-n^(n!),其收敛半径为R=zn_2n1n(n-1)x%,nx因叩xy.y=2—■、2nw(n!)n」(n!)=£n1nJx2((n-1)!)nqxnx(2)y(x)-n^(n!),其收敛半径为R=zn_2n1n(n-1)x%,nx因叩xy.y=2—■、2nw(n!)n」(n!)=£n1nJx2((n-1)!)nqx=-=y

n四n!例9、利用已知展开式求幕级数展开x_xe-^e-21-cos2x2x解：（1）上二e2「Mzl£xn

n!xR12k(2)1-cos2x=1j(_1)k(2x)22(2k)!|x卜：二例10、展开。一qQ）为*的幕级数并证1=匚n1(n1)!x23在万e-1xxx.解：=1•一•—・一・IMxR12!3!4!pdex-1又最丁xxxe-(e-1)xxxe-(e-1)二-n-1_%,nxnT(n,1)!cd令x=1,1=znd(n1)!x例11、-0sintdttx=』工0k=0(-1)t2k(2k1)!oO出C(-1)kk=02k1

x(2k1)(2k1)!例12求和(1)厂nZ-(2)nmn!'(-1)”n1n1

xn(n1)nJ因而y'(x)=£J,

n4(n!)2(3)；(3)；'n2xn4

n1(4)%(2n1)x

nfn!二：n

x解：(1)记f(x)=2—|x|<8,则-xn1n!-x故f(x)-f(x)=1=[e-xf(x)]=e又f(0)=0=Lf(x)=—(L—1)=f(x)=ex—1口n1n1(2)记f(x)。(一1广^^nJn(n1)|x|<1,则「(x)=£(-1产土xx1故f(x)=0f(t)dt=。=dt=ln(1x)n1显然：x=±1时，也收敛，即(1+x)ln(1+x)—x=£(-1)n41———,|x|<1nWn(n1)(3)记f(x)=n(3)记f(x)=n2xn1n4ix二|x|<1,则j0f(t)dt=£nnxoOn1二x'nxn1xx记g(x)=£nx，则jg(t)dt=£x=,|x|<1n4°n41-x一,1故g(x)=2一,1故g(x)=2，(1-x)2因而0f(t)dt=一^，故(1-x)2f(x)=1x3，|x|<1(1-x)3xR1(2n1)x2xR1(4)记f(x)="TOC\o"1-5"\h\zn=0n!x二x2n1二x2nx22„2ff(t)dt=2=xZ—=xe，故f(x)=ex+2xex0nz0n!n=0n!试卷一套无穷级数一、填空题1、设窑级数£anxn的收敛半径为3,则窑级数£nan(x-1严的收敛n=0n1区间为2、窑级数J(2n+1)xn的收敛域为。n=0R=。3、窑级数n―n—»2n，的收敛半径n+(-3)n2R=。n4、窑级数Z4的收敛域是。no'-n12n5、级数£第式的收敛域为。n4n46、级数；绰！的和为。n卫2n7、乙(1产=。n128、设函数f(x)=nx+x2(—冗<x)的傅里叶级数展开式为cQ-+Z(ancosnx+bnsinnx),则其系数b3的值为。2n49、设函数f(x)=(一1,2一“<*£0,则其以2n为周期的傅里叶级数在1x,0：：x_:，点x=n处的敛于。10、级数11的和。nmn(n1)(n2)2n11、级数工(^二事的收敛域为。nmn4参考答案：1、(-2,4)2、(—1,1)3、R=V34、［—1,1)5、(0,4)6、^—7、48、2•二9、1二210、111、(0,4)TOC\o"1-5"\h\z2-ln3324二、选择题1、设常数…，而级数3a；收敛，则级数f(—1)n」|L是()nWn=1n-'(A)发散(B)条件U^敛(C)绝对U^敛(D)收敛与九有关2、设6=包9，5=包9n=1.2|||,则下列命题中正确的是22()。(A)若9小条件收敛，则£\「与一％都收敛。n1n1n1

（B）若J%（B）若J%绝对收敛，则n1ZPn与工qn都收敛。n1n1（C）若Jan条件收敛，则n19Pn与9%的敛散性都不一定。n1n1（D）若J%绝对收敛，则J%与：的敛散性都不定。n1n1n13、设an>0,n=1,2Hl,若Jan发散，：£（-1尸为收敛，则下列结论正n1ng确的是（）。（A）Ja2n」收敛，Ja2n发散.（B）Ja2n收敛，Ja2n」发散.N1nz4nTnTJ(aJ(a2nJa2n)收敛.n4/(a2n,-a2n)收敛.n44、设a为常数，则级数J（叫以.二）是（）n=n,n（A）绝对收敛.（B）条件收敛.（C）发散.（D）收敛性与a取值有关.5、级数二(5、级数二(-i)n(i-cosn4巴）（常数“0）是（）n（A）发散（A）发散.（B）条件收敛.（C）绝对收敛.（D）收敛性与a有关.6、设关.6、设un=(T)nln(1）,则级数(A)J/与Ju；都收敛.(B)Ju”与Ju；都发散.n4n4n4n4£u£un收敛而£u2发散.n4nO)£un发散而£u；收敛.n4n47、已知级数，(一7、已知级数，(一1)n,an=2Ja2n」=5

n1n1,则级数Jan等于()。n=1(A)3.(B)7.(C)8.(D)9.8、设函数f(x)=x2(0Ex<1),而QOS(x)=ZbnSinnnx,_oo<x<an4其中1bn=2j0f(x)sinnnxdx,n=1,2,3|||,则S(-；)等于()。(A)，(B)一：.(C)：.(D)2.9、设f(x)10MxM一9、设f(x)10MxM一X，22一"：x,12an.S(x)=-"a2nJncosnnx,-二：x：二其中一"⑶侬仞即…向心则“曰等于()。(A)1.(B)T(C)].(D)V10、设级数£5收敛，则必收敛的级数为n1(A)J(—1)nUn.(B)-Ju；.(C)1U2n」-U2n).(D)二(Un/1).n1nn—ndn1n111、已知级数1广药=2,克a2n」“则级数巾an等于()。n1n1n1(A)3.(B)7.(C)8.(D)9.12、若级数Jan收敛，则级数()n1(C)9anan+收敛.(D)Jn1n=\a(C)9anan+收敛.(D)Jn1n=\anan12n1n1收敛.13、若Jan(x-1/在乂=1处收敛，则此级数在x=2处()

(A)条件收敛.(B)绝对收敛.(C)发散.(D)敛散性不能确定.14、设窑级数Ja"与JbnXn的收敛半径分别为立与」，则窑级n2n』332数£队。的收敛半径为()n=1bi(A)5.(B)".(C)1(D)L335参考答案:1234567891011121314CBDCCCBCDCDBA三、解答题1、设f(x)在点x=0的某一邻域内具有二阶连续导数，且lim3=0,证明级数£fj)绝对收敛。xQxndn【分析一】lim*X=o表明xtO时f(x)是比x高阶的无穷小，若X0x能进一步确定f(x)是x的p阶或高于p阶的无穷小，p>1,从而f(l)也是1的p阶或高于p阶的无穷小，这就证明了-lf(。)绝对nnn」n收敛。【证明一】由呵平“。及f(x)的连续性=f(0)=0,f(0)=0。再由f(x)在x=0邻域有二阶连续导数及洛必达法则由函数极限与数列极限的关系-lim由函数极限与数列极限的关系-limx5；f(1)

n1小“(0)因£4收敛=£fj)收敛，即£f(」)绝对收敛。n4n因£4收敛=£fj)收敛，即£f(」)绝对收敛。n4nnJn2、设正项数列an单调减小，且9(—1)nan发散，试问级数J(')nn』nJan•1是否收敛?【分析与求解】3n3n(-2)noO二zn13n13nL(-2)nn发散，即x=3时原窑级数发散。因值｝单调下降有下界0nm极限liman=a"。若X..a=0,由莱布尼兹法则，弁错级数J(-1)nan收敛，与假设矛盾,n1于是a>0o现在对正项级数J(，)n可用根值判别法：因为nWan11n11limnl()=lim=<1,J，'、an1n二an,1a1所以原级数收敛。n3、求窑级数£n1n人收敛区间,弁讨论该区间端点处的收敛nm3n(-2)nn性。【分析与求解】直接用求收敛半径的公式，先求于是收敛半径R=3,收敛区间为(-3,3).r―n/当x=3时是正项级数：巳七:.1|_1(nT")，而£。发散,nnndn当x=-3时是变号级数，我们用分解法讨论它的敛发散。因limn--3n(-2)因limn--3n(-2)nn2n3n2nm空守收敛，oO二zn12n3n(-2)nQO又,、n4on收敛，即x=-3时原窑级数收敛。34、（1）34、（1）验证函数八），/6x——十6!9x.」—+lll+93n-7--+IH(-°°<x(")满足(3n)!微分方程（2）利用（（2）利用（1）的结果求窑级数.n03nJ的和函数。（3n）!(3(n1))!1

(3(n1))!1

(3n)!=tW（*尸），从而x『q,y）时原级数收敛。【分析与求解】（1）首先验证该事级数的收敛区间是L"）.这是缺项窑级数,令t=x3,则3n4n原级数='、心—=、，_nf(3n)!nm(3n)!二lim二0n，二(3n3)(3n2)(3n1)其次，在收敛区间内对窑级数可以逐项求导任意次，这里要求逐项求导两次:xx（一二，二）.73n1

y(x)=£-,n+(3n-1)!

3n-2y"(x)=£———，n+(3n-2)!于是y(x)y(x)y(x)--3n23nJ3n级数的线性性质1"鼠・-re)=ex(…<x<.).(收敛级数与它任意添加括号后的级数有相同的和)二二3n(2)因为窑级数Z——的和函数y(x)满足微分方程n=o(3n)!y"+y'+y=ex.①又知y(0)=1,y(0)=0.②所以为求y(x)只须解二阶线性常系数微分方程的初值问题①+②该方程相应的齐次方程的特征方程为九2+九+1=0.特征根为M=-1±gi=相应齐次方程的通解为设非齐次方程的一个特解为y=Aex,代入方程①得二非齐次方程①的通解为y=e2(gcos—x+c2sin—x)+1ex.223令x=0,由初始条件②;x3n2二.31、，一一因止匕'=y(x)=-e2cos——xe(一二:二x：二.二)nm(3n)!3235、求窑级数9(-1)2(1+—1一)x2n的收敛区间与和函数f(x).nmn(2n-1)【分析与求解】这是缺项窑级数，令t=x2,考察丁antn,其中nT由1<n/an|W^/2'=』场^0^=1.二£antn的收敛半径为1=原窑级数收敛半径为1,收敛区间为n1(—1,1)。F面求和函数:f2f2(X)=J一1广

n412nx,n(2n-1)注意f2注意f2(0)=0,f2(0)=0,积分两次得xx1f2(x)=0f2(t)dt=20--pdt=2arctanx,2因止匕，f(x)=f1(x)f2(x)=X22xarctanx-1n(1x2).1x6、求级数：尸6、求级数：尸号(n2-n+1)的和。【分析与求解】先将级数分解：第二个级数是几何级数，它的和已知求第一个级数的和转化为窑级数求和，考察因此原级数的和A=-273277、求级数£^—2—的和。n/2(n-1)【分析与求解】先用分解法将原级数分解。AJ1.11、：1:1A=2-n^l—)=E-n41-乙_n^t己A〔一A2.n22n-1n1nw2(n-1)n^2(n1)=要熟记五个简单函数的窑级数展开式，与此级数和有关的是1n(1+x),即1二1于正A152n/-1)匚石一兰上(二」」)」1n2,4ndn2424因止匕A=A1-A2=5-31n2.84

8、将函数f(x)=arctan上2展为x的帚级数。1一x【分析与求解】「(x)容易展开。Q0f(x)=11x2=l-t+t2-川+(-1)ntn+|||=S(-l)ntnf(x)=11x2=£(-1)nx2n(x<1).(1nO在窑级数的收敛区间内可逐项积分得(T)n2n1二v''(-1)n2n1加f(x)=f(0)+工x=一(x⑷n与2n14n=02n1且收敛区间不变，当x=±1时，②式右端级数均收敛，而左端f(x)=arctan-一x在x=-1连续，在x=1无定义，因此-x9、将函数f(x)=11n1—x+1arctanx-x展开成x的窑级数。41-x2【分析与求解】f(x)=；1n(1+x)1n(1-x)+：arctanx-x,先求f'(x)的展开式二二二二4n1积分得f(x)=f(0)+f'(x)dx=£ft4ndt=S-(x<1).‘°nd’0nV4n+1TOC\o"1-5"\h\z1x2c10、设小)=<丁2「碗”¥0试将f(x)展开成x的窑级数，弁求1x=0n级数、U4的和。nd1-4n【分析与求解】关键是将arctanx展成窑级数，然后约去因子x,再乘上1+x2弁化简即可。直接将arctanx展开办不到，且(arctanx)‘易展开，即

(arctanx)=1x2(arctanx)=1x2=£(-1)nx2n,x<1,①积分得x.二nxOn二(-1)”arctanx=[(arctant)dt=£(-1)0t出=£—x*xw[_1，1].②0n旧n月2n.1因为右端级数在x=±1时均收敛，又arctan乂在乂=±1连续，所以展开式在收敛区间端点x=±1成立。现将②式两边同乘LX得x上式右端当x=0时取值为1,于是上式中令x=1="(一1)2=1[f(1)-1]=1[2--1]=---.n/-4n2244211、将函数f(x)=2+|x(-1MxE1)展成以2为周期的傅里叶级数，弁由此求级数；二的和。n+2n【分析与求解】按傅氏系数公式，先求f(x)【分析与求解】按傅氏系数公式，先求f(x)的傅氏系数an与bn。因f(x)为偶函数bn=0(n=1,2,3|||).注意到f(x)在[一1,1]分段单调，连续且f(—1)=f(1),于是有傅氏展开式为了求丁乙的值，上式中令x=0得nTn22=2--W现由EAE.+就:现由EAE.+就:1J(2n-1)2”,4ndn12、将函数f(x)=x-1(0ExW2)展开成周期为4的余弦级数。【分析与求解】这就是将f(x)作偶延拓后再作周期4的周期延拓,于是得f(x)的傅氏系数：-8=(2k-1)2.0,由于(延拓后)f(x)在［1,2］分段单调、连续且f(-1)=f(1),于是f(x)有展开式13、求窑级数1广父的收敛区间,弁讨论该区间端关处n-13n+(-2)nIn的收敛性。解：设an=r~~1——0,n=1,2,|||,3n(-2)nn,R=3;收敛区间(-3,3).当x=3时,a当x=3时,an3n_13n(-2)nn,(_2)n311—>—n2n而克工发散二原级数在x=3而克工发散二原级数在x=3处发散。nm2n当x=-3时,_(-3)n_(-1)n2n1n113n-(-2)nnn3n(-2)nn记Vn=记Vn=13n(-2)nn0,n=1,2』||,.2”:.2”:2n…3nT3n-(-2)nn二收敛，又£上“收敛。nndn故原级数在x=-3处收敛=收敛域内［-3,3).14、将函数f(x)=-J展开成x的窑级数。2x-x分析先将f(x)分解成部分分式，再利用等比级数间接展开

解:f(x)=(2-x)(x1)2132-x解:f(x)=(2-x)(x1)2132-x111(13T~x"3"x1--2),15、将函数f(x)=arctan淖展开成、的嘉级数,并求级数［公的和分析直接展开较困难，先将f，(x)展开，再递项积分得出f(x)的展开式1-2x212x)1-2x212x)-214x2n卡=无品收敛(莱布尼兹判别法)当一”J-(-1)n当一”J-(-1)nn^2n14n'宗二收敛p1二(1)n又f()=--=arctan0=024nm2n1n42n116、求窑级数工(一1)x的收敛域及和函数s(x).nmn(2n-1)解：求收敛域，由于该窑级数缺项窑级数，则直接用比值判别法n」2n噌求之，设Un(x)=,n=1,2|1|n(2n-1)当x2<1,即|x<1时，原级数绝对收敛；当x2>1,即x>1时，原级数发散。所以原级数的收敛半径为1,收敛区间是(-1,1).n-4当x=1时，£—绝对收敛('；一1—<3)n+n(2n7)n(2n-1)nn同理，当x=-1时，Z(1)绝对收敛,ndn(2n-1)

因此，该级数的收敛域为1-1,1]17、求窑级数£-(-1)n」(1+——1——)x2n(1)的收敛区间与和函数f(x)on1n(2n-1)解：此级数⑴是缺项的窑级数令Un(x)=(」广令Un(x)=(」广0目不仅n」n(2n一1)1x2n,nn(2n-1)=1,23，当x2<1,即|x<1时，级数⑴绝对收敛;当x2>1,即|x>1时，级数⑴发散。二级数(1)的收敛区间为(-1,1)记g(x)(-1)n,x2

记g(x)(-1)n,x2

n1x(-1,1)18、(1)讨论级数(2)已知级数Ja；和£b：n=1n=1都收敛，试证明级数Janbn绝对敛。n1(1、"nn1_n(n2)(n1)!(n1)21(1-)n(nr(1、"nn1_n(n2)(n1)!(n1)21(1-)n(nr')QOAZn1(n1)!n-1n收敛(2)证£a：与£b：都收敛二£2anbn收敛二工|anbn收敛

n1即Jx：绝对收敛。n119、设有方程xn+nx-1=0,其中n为正整数，证明此方程存在唯一的正实根xn,弁证明当u>1时，级数Jxn2收敛。n1分析(1)存在性用根的存在定理，唯一的性用函数的严格可调

⑵用比较判别法证明收敛。n1证(1)取fn(x)=xn+nx-1=0,则fn(x)在［0,1］上连续,且fn(0)=—1<0,f(1)=n>0=Enne(0,1)?使f(xn)=0,又fn(x)=nxn,+nA0,xWb,F】=fn(x)在b,F】上严格递增二方程xn+nx—1=0存在唯一正实根xnW(0,1).由xn+nxn-1=0且xnW(0,1),有又J工收敛—「n；收敛。n工nn二20、设an=14tannxdx.(1)试证：(1(%an.2)n=1n(2)试证：对任意常数(2)试证：对任意常数x>0,级数克将收敛。

nTn(1)解直接求an+an也的表达式(2)证0can=『tannxdx令t=tann,n=arctant由于1+九A1,Z—1—收敛nd1-,因此Jan收敛。ndn21、求级数、9一23)的收敛域。n1n【解】因系数an【解】因系数an=2(nn=1,2111)，故强an1an因it匕当-1<x-3<1,即2cx父4时级数绝对收敛。当一时，得交错级数W-当一时，得交错级数W-1/;当I时,得正项级数二1、-2，n-1n二者都收敛，于是原级数的收敛域为[2,4].22、已知函数f(x)={2xx；；：工试计算下列各题:2n!：；2二(3)So=£nf(x-2n)e^dx(n=2,3川)；(4)s=ZSnnnOm用分段积分法，分部积分法和