三角形中位线定理的运用例谈版-含解析、点评和练习设计

2017-2018下学期八年级数学专题复习二：三角形中位线定理的运用例谈赵化中学郑宗平三角形的中位线定理在平面几何中比较特殊，它既反映三角形的中位线与三角形边的位置关系，又有与三角形边的数量关系的规律性结论；在一些所谓的几何难题中常见它的身影，而三角形的中位线往往能起牵线搭桥甚至是关键性的作用；下面我精选一部分“含”三角形的中位线的几何解答题，让我们共同来探究、解析、训练^顺次连结四边形四边中点所构成的四边形，我们把它简称为中点四边形.中点四边形是有规律可循的.中点四边形的特殊性主要是看原四边形的对角线的特征，分为下面几种情况:知识要点：三角形的中位线平行于三角形第三边，并且等于第三边的一半1.三角形三条中位线围成的三角形与原三角形在某些数量上的关系⑴.周长关系如图点D、E、F分别是』ABC的三边BC、CA、AB的中点，请探究』DEF的周长力ABC的周长的关系？分析：点D、E、F分别是』ABC的三边BC、CA、1_11_EFBC,DEAB,DFAC,一一1，八八、EFDEDF（BCACAB）2所以三角形的三条中位线围成的三角形的周长是原三角形的周长的一半.追踪练习：以上面的图为例，若』DEF的周长为23cm,则』ABC的周长为⑵.面积关系如图点D、E、F分别是』ABC的三边BC、CAAB的中点，请探究力DEF的面积与』ABC的面积关系？略析：根据三角形中位线定理可以得出一一一111—EFlBC,DF□AC,DE」'AB;EF=-BC,DF=-AC,DE=一AB,再利用线段中点的22-2^Ln定义、平行线性质、平行四边形的性质等可以进一步推出£_/def、L『AFE、L『FBD、L『DEC是全等的，故它们的面积是相等的，则S/abc=4S/def.所以三角形的三条中位线围成的三角形的面积是原三角形的面积的说明：今后我们学习了相似三角形的性质后，这个结论的推导就简单多了.追踪练习：以上面的图为例，若』ABC的面积为42cm2,则』DEF的面积为2.中点四边形C图(2)图(3)CC⑴.原四边形的对角线既不相等也不垂直，其中点四边形是个一般的平行四边形.如图⑴，点E、F、G、H分别是四边形ABCD的四边的中点，试探究中点四边形EFGH的形状.略析：由点E、F、GH分别是ABCD的四边的中点易知：EH晨BD,GF=BD.EH_GF同理：HG]EF;故中点四边形EFGH的形状是平行四边形.（还有其它方法证明）⑵.原四边形的对角线相等但不垂直，其中点四边形是个菱形.如图⑵，点E、F、GH分别是四边形ABCD的四边的中点，且AC=BD,试探究中点四边形EFGH的形状.略析：由点E、F、G、H分别是ABCD的四边的中点易知：易证点四边形EFGH的形状是平行11四边形，由EH=—BD,EF=—AC,EH=EF;故中点四边形EFGH是个菱形.22⑶.原四边形对的角线垂直但不相等，其中点四边形是个矩形.如图⑶，点E、F、GH分别是四边形ABCD的四边的中点，且AC_LBD试探究中点四边形EFGH的形状.略析：由点E、F、G、H分别是ABCD的四边的中点易知：易证点四边形EFGH的形状是平行四边形，由EHBD,EFAC可以进一步推得/HEF=90,故中点四边形EFGH是个矩形.⑷.原四边形对的角线既垂直又相等，其中点四边形是个正方形.如图⑷，点E、F、GH分别是四边形ABCD的四边的中点，且AC=BD,AC_LBD,试探究中点四边形EFGH的形状.略析：由⑵和⑶的方法推理易得点四边形EFGH既是菱形又是矩形，故中点四边形EFGH是个正方形.（还有其它方法证明）追踪练习：.顺次连结平行四边形四边中点所构成的中点四边形的形状是;.顺次连结矩形四边中点所构成的中点四边形的形状是;.顺次连结菱形四边中点所构成的中点四边形的形状是;.顺次连结正方形四边中点所构成的中点四边形的形状是;.顺次连结对角线互相垂直等腰梯形的四边中点所构成的中点四边形的形状是.可以进一步得出:.连结AF件长交BC的延长线CG=AD在/'『ABG中，由可以进一步得出:.连结AF件长交BC的延长线CG=AD在/'『ABG中，由结论：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一⑵.再取中点，连成中位线EF二BC,EF二AD,并且等于两底差的一半本例通过连接、延长使力3.三角形的中位线与梯形⑴.连结梯形两腰中点的线段（梯形的中位线）与两底的关系^如图，梯形ABCD中，AD］：'BC,E、F分别是两腰ABDC的中点，请探究EF与AD、BC的关系.分析：本题关键是把梯形的中住学转化成修形的中位线来解决于G点.根据题中条件易证"ADF何,；GCF,得：AF=GF,TOC\o"1-5"\h\z■!——'J_I11AE=BE,AF=GF可以推出EF:;BG,EF=—BG.一2――.._1__EF二BC,EF二AD,EF=-ADBC.⑵.连结梯形两对角线中点的线段与两底的关系如图，梯形ABCD中，ADBC,BC>AD,E、F分别是两对角线AC、BD的中点，请探究EF与AD、BC的关系.分析：本题关键是把梯形的中位线转化成三角形的中，肉线来解决.连结DF延长交BQm点.根附中条件易证L/adf且匚/CMF彳导：DF=MF,CM=AD.在/,DbM中，由DE=BE,dL=MF可以1推出EFBBM,EF=-BM.可以进一步得出：一2结论：连结梯形两对角线中点的线段平行于两底,点评：ECF且』ADE可以看作是是把』ADE进行切割填补到』ECF处，相当于通过“割补”办法构成三角形，从而使问题解决!追踪练习：.若一梯形的高为h,其中位线长为m,则此梯形的面积为..以上面的⑵题为例的条件的基础上，若增添梯形ABCD的中位线长为14cmiEF=8cm,求梯形ABCD的两底AD、BC的长分别是多少？4.巧添三角形的中位线来破题添三角形中位线是几何图形辅助线比较常见的辅助线.已知三角形边上的中点，直接连结构成中位线是最常见的添中位线的方式，也是同学们容易想到的；上面第3点可以可以看作是割补构成中位线这里不举例；下面这些例子添三角形中位线的途径有些有一定的技巧性，希望能给同学们从中得到一些启发.⑴.补全三角形，得到三角形的中位线.例.如图E、F、G、H分别是AB、BD、CD、CA的中点，求证：四边形EFGH是平行四边形.分析：本题求证的是四边形EFGH是平行四边形，需要有平行或相等的条件；由本题中点条件自然联想到由三角形的中位线来提供这样的条件，但有中点却没有现成的三角形的中位线；细心同学会发现中点之所在的线段并非是某完整三角形的边，如果我们连结AD或BC可TOC\o"1-5"\h\z题便解决了.，一.如图，当连结BC后，在JaBC和U,DBC,由于E、F、G、H分别是ARBD、CD、CA'甫中点，丽三角形的中位线定理可得：11HE二BC,GF二BC;HE=-BC,GF二一BC..HE二GF,HE=GF.一一22一故四边形EFGH是平行四边形.1例1.如图，D为』ABC的边AB的中点，CE=」AC,OE=2,求OE3分析：在三角形的一边上有一中点，根据条件很容易再取一中点来连结而成三角形外位线来解决问题.在『『Abe中，又由于D为AB的中点，根据三角形的中位线定理可得：£'BE=2DF,DF二'BE;因为已得出E为线段CF的中点，根据平行线等分线段（属于选学内容）可以得出O为线段CD的中点，即OE理，CDF的中位线，所以DF2OE;BE=2DF=4OE=8；所以OB=BE—OE=8—2=6.例2.四边形ABCD中，对角线AC=BD,E、F分别为AB、DC的中点交点，M、N为EF分别与DB、AC的交点，求证：OM=ON分析：本题的E、F分别为ABDC的中点，但并非为某三角形和梯形（四边形ABCD没有告诉是明;形）的邛号线，本题的EF分别为AB、DC的中点，若化在LfABC和L『ABC来看，它们有一公共边，若在公共边〔BC取一中我G,GGB-Gf（见图示），此时GE、GF就分别是『『ABC和//ABC的中位线，根据三角形的中位线定理可得：且TOC\o"1-5"\h\z1IJi11GE=-AC,GF=一BD;又AC=BD，GE=GF「./GFE=/GEF;「GE二AC,GF.BD22ZONEZGEF,ZOMFZGFE;ZONEZOMF.OM=ON.例3.M、N分别为AD、BC的中点，且AB=CD;求证：/1=/2.分析：本题要证明的是两个角相等，而两个角相等的直接条件没有，再加上在图形上两个角的位置上有比较分散，所以我们应思考把分散位置上的/1、/2转化在一起，很容易联想到由平行线来帮忙.由本题有线段中点的条件，所以可以尝试再取一中点连成三角形的中位线来提供平行线略证：如图，连结AC,取出线段AC的中点E.又「M、N分别是线段AD、BC的中点NE//CD,ME//AB即NE//CH,ME//BC1-1NE=CD,ME=AB22•••AB=CD[NE=ME.EMN=/ENM•••NE//CH,ME//BCZ1=NENM,Z2=/EMNZ1=£2点评：本题在添加辅助线上有些技巧性，但如果能想到把位置分散的求证：GF//BC分析：本题和例1、例2的思路是一样的，关键是挖出隐含的中点，从而来使问题得以解决.如图荐承们分另IJ斛：AG、AF交BC于点M、N,根据题中条件容A易证得L『AGC^L,mGC,所以AG=MG，即G为AM的中点；同中位理可以得到F为AN的中点，根『角形的岐理可以得出DG1；MN,即DG]BC.点评：隐含在图形中的中点往往是我们平时容易忽视的，但挖出这些“隐藏的中点”往往有可能是一道题破题的一个关键环节；我们同学有的虽然有这方面的知识积累，但却没有这方面的意识，这也难以找到破题的的途径.根据上面三道例题来看，隐藏的中点要注意平行四边形（包括特殊N1、Z2“搬”到同一个三角的平行四边形）的对角线互相平分、角的平分线与垂线相结合的图形交点、等腰三角形的三线形中且要使它们相等来解决问题，根据本题提供的条件这样的辅助线是应该想到的.另外例2和例3都有一个都一个共同的特点，要把问题转化到同一个三角形中，关键要找到或构造共同的边的中点，例2的公共边BC的中点G和例3构造的公共边AC（对角线）的中点E.⑶.挖出隐含的中点构成中位线例1.如图，ME」AB,ME=AB,D为线段EC的中点，A、M、D三点共线求证：四边形ABCD是梯形分析：证明四边形ABCD是梯形当然关键是证明有且只有一组对边平行，根据本题提供的条件就是要证明ADJ；BC.提供平行线除了以前常用的方法，现在三角形的中位线定理又使我们多了一条途径^根据本题的条件已经有了D为线段EC的中点，若再找一个且是同一个三角形边的中点，连结就有了三角形中位线，有些中点是明显的，有的中点却是“隐藏”在图形中，需要用平时积累的知识使它现身.本题的ME]：AB,ME=AB可以得出：四边形ABME是平行四边形，平行四边形的郊线是互相平分的，若我们连结对角线BE与对角线AM的交点O就是线段BE的中点，在『EbC中，根据三角形的中位线定理可以得出ODjBC,即AD”BC.Ji例2.力ABC中，AD平分/BAC,CD_LAD,E为BC的中点,分析：本题和例1的思路是一样的，关键是挖出隐含的中点，从而来使问题得以解决.，理图若我仰长CD交AB于带点F,根据题中条件容易证得£；AFD9£/ADC,所以DF=DC,即D为CF的中点；又E为ABC的中点，根据三角形的中位线定理可以得出DEL/FB,即DEi/AB.例3.BD、CE分别平分/ABC、/ACB,AF_LBD,AG_LCE,垂足分别为F、G.合一、平行线等分线段、中垂线等等知识点.追踪练习：1.如图，」AD、BE、CF分别是力ABCC三边中线交于点O,FM//BE,1.EM//BA.求证：四边形ADCM是平行四边形.2.如图，L’ABC中，D为边BC上的一点，中线1DF=—AD,求BD：DC的值？33.如图正方形ABCD的对角线AC、BD交于点O,NBAC的平分线交求证：OF=1CE25.三角形中位线的实际应用举例例.A、B两点被池塘隔开，现在要测出A、B两点间的距离，但又无法直接去测量，怎么办?略解：在池塘外的空地上取一点CACB的中点分别为M、根据是三角形的中位线定理C,用绳子“连结”CA、CB,测量后取出N,量出M、N之间的距离，此时AB=2MN..（见右图图解）追踪练习：怎样测量一座建筑底面是四边形地基（如右图房子）的对角线的长?若不进入屋内直接测量有多少种测量方法？请画出线条示意图进行说明巩固练习：1.如图，已知四边形ABCD,R、P分别为DC、BC上的点,E、分别是AP、RP的中点，当动点P在BC上从点B向点C移动而点不动时，那么下列结论成立的是A.线段EF的长逐渐增大B.C.线段EF的长不变.D.2.小明作出了边长为3的第1个正力10.如图，已知在口ABCD中，EF//BC,分别交AB、CD于E、、一……,1…CE、BF交于N.求证：MN=—AB.2()线段EF的长逐渐减少线段EF的不能确定A1B1C1,算出了正』ABiG,然后分别取三边的中点凡、B2、C2,作出第二个正』与B2c2,算出其面积；用同样的方法作出第三个正力算出』A3B3c3面积，A.319B.44则第10个正力3110KI-44A10B10C10的面积为A3B3C3,()11.已知：E为ABCD的边DC的延长线上的一点，且F、G,对角线Wc、BD交于点O.求证：AB=2OFC.1031KI-423.如图，□ABCD的周长为36,对角线AC、BD交于点O,点E是CD的中点；若BD=12，则/DOE的周长为4.在Rt』ABC中，NC=90。，D、E、F分别是边AB、BC、的中点