《二元一次方程组》课件教学课件初中数学10

第八章节二元一次方程组8.1二元一次方程组8.2消元——解二元一次方程组8.3实际问题与二元一次方程组8.4三元一次方程组的解法第八章节二元一次方程组8.1二元一次方程组一、二元一次方程（组）概念：1、二元一次方程概念：二元：共含有两个未知数一次：含有每个未知数的项的次数都是1次方程：整式方程2、二元一次方程组概念：方程组中含有两个未知数，并且含有每个未知数的项的次数都为1，包含两个或两个以上的方程，这样的方程组称为二元一次方程组注意：①方程组中共含有两个未知数②方程可以有两个或者两个以上③含有未知数的项每一项的次数都要为1一、二元一次方程（组）概念：练一练：判断下列方程组是否是二元一次方程组练一练：判断下列方程组是否是二元一次方程组二、二元一次方程的解方程的解：使方程左右两边值相等的未知数的值

则二元一次方程的解：使得二元一次方程两边相等的两个未知数的值二元一次方程组的解：二元一次方程组两个方程的公共解二元一次方程的解有：无数组但是二元一次方程组的解仅有一组例如：x=2，y=3是x+y=5这个二元一次方程的一组解，同样也是x-y=-1的解，所以x=2，y=3是这两个方程的公共解即：是方程组的解注意：方程组的解需要用大括号联立起来二、二元一次方程的解二元一次方程的解有：无数组例如：x=2，2、用含有x，y的式子表示y，x三、二元一次方程组的应用A、B、C、D、2y+z=22⑤①式和②式中的x系数相同，可以利用①-②消去字母x，在给①×2-③消去③式子中的字母x，即可转换为二元一次方程组用加减消元法解下列方程：（2）是否存在一个数m，使得方程组的解和为8？若存在，则求出m，并求出方程组的解；把y=8代入④，得x=9方程组：用①式减②式可得：2x+y-（x+y）=9-4，化简可得x=5，消去了一个未知数求解二元一次方程组，解得后带回求得三元的解在代入到第二个式子中得到：2k+4k+5k=33，即可求出k值，也可以得到方程组的解注：当工作总量不明确时，我们常常将工作总量设为单位11、三元一次方程组的概念：（3）若同时租用两种型号的客车或只租一种型号的客车，每辆客车恰好坐满并且每个同①未知数系数相等或互为相反数时，使用加减消元法求解二元一次方程组比较简单1、二元一次方程组解方程步骤：则，工作效率=1/工作时间练一练：1、方程组的解是（）A、B、C、D、2、用含有x，y的式子表示y，x练一练：二、解二元一次方程组解二元一次方程组的关键步骤：消元（消去多个未知数，将未知数的个数由多化少、逐一解决）解法一：代入消元法：由二元一次方程组中一个方程，将一个未知数用含另一未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解。这种方法叫做代入消元法，简称代入法二、解二元一次方程组1、代入消元法：示例：解方程解：由①得：

y=10-x③将③代入②可得：

2x+（10-x）=16

解得x=6

将x=6代入③可得：

y=10-6=4∴这个二元一次方程组的解为：变形代入求解回代作答①②1、代入消元法：解：由①得：变形代入求解回代作答①练一练：1、把方程7x-2y=15写成用含有x的式子表示y的形式

；2、用含有x，y的式子表示y，x（1）已知x+y=5，则y=

；（2）已知x-2y=1，则y=

；（3）已知x+2（y-3）=5，则x=

；（4）已知2（3y-7）=5x-4，则x=

；3、用代入法求解方程组时，代入正确的是（）A、x-2-x=4B、x-2-2x=4C、x-2+2x=4D、x-2+x=4练一练：在代入到第二个式子中得到：2k+4k+5k=33，即可求出k值，也可以得到方程组的解例：已知关于x、y的二元一次方程组与二元一次方程5x-3y=7有相同的解，求b的值方程组：用①式减②式可得：2x+y-（x+y）=9-4，化简可得x=5，消去了一个未知数练习：小明家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公司合作6周完成需工钱5.2、三元一次方程组的解法：消元总结：解三元一次方程组最关键就是将三元一次方程组转换为二元一次方程组如何用加减法解下列方程：设：用字母表示未知数（审题中的未知量）经调查：购买一台甲型设备比购买一台乙型设备多2万元，购买2台甲型设备比购买3台乙型设备少6万元.①式中只含有字母x，y所以可以将②式和③式进行处理，消去①式不含的字母z，即可转换为二元一次方程组：思路提示：将二元一次方程组解的个数问题转化为一元一次方程的解的个数问题，所以第一步最主要是要进行消元甲乙完成工作总量+丙完成工作总量=总工作总量1、常规三元一次方程：验：1、检验方程是否解正确；把④分别代入①③得小明、小红两人解同一个方程组：。例题讲解：八个同样大小的长方形恰好可拼成一个大的长方形，用同样的八个小长方形可拼成一个大正方形，并且中间留下一个边长为2cm的小正方形，你能算出每个小长方形的长和宽吗?即：是方程组的解练一练：用代入法解下列方程：在代入到第二个式子中得到：2k+4k+5k=33，即可求出k课堂总结：代入消元法：①未知数系数为±1时，使用代入消元法求解二元一次方程比较简单②求解方程的结果之后注意代入检验③二元一次方程组的解需要写成用大括号联立起来的形式课堂总结：解法二：加减消元法当二元一次方程组的两个方程中间一个未知数的系数相等或相反时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就可以消去未知数，这种方法叫做加减消元法例如：方程组：将①式加②式可得：x+y+2x-y=7+2，即3x=9，则消去了未知数y方程组：用①式减②式可得：2x+y-（x+y）=9-4，化简可得x=5，消去了一个未知数解法二：加减消元法例题讲解：用加减消元法解下列方程：①②解：用②-①得：

x=6将x=6代入①可得：

y=4

所以这个方程组的解为：例题讲解：①解：用②-①得：练一练：解下列方程组：练一练：探究：如何用加减法解下列方程：探究：练一练：解下列方程练一练：解下列方程总结：加减消元法：①未知数系数相等或互为相反数时，使用加减消元法求解二元一次方程组比较简单②系数没有关系的时候可以适当变形选择合适解法总结：三、二元一次方程组的应用1、二元一次方程定义问题：例：如果方程是二元一次方程，那么m=

，n=

.练习：.若方程是关于x、y的二元一次方程，求m、n的值.三、二元一次方程组的应用用加减消元法解下列方程：审：审清题目当中的未知量以及等量关系例题讲解：八个同样大小的长方形恰好可拼成一个大的长方形，用同样的八个小长方形可拼成一个大正方形，并且中间留下一个边长为2cm的小正方形，你能算出每个小长方形的长和宽吗?设：用字母表示未知数（审题中的未知量）则二元一次方程的解：使得二元一次方程两边相等的两个未知数的值注：当工作总量不明确时，我们常常将工作总量设为单位1找到未知量：一般有两个，用未知数表示1、二元一次方程组解方程步骤：等量关系：甲乙合作天数+丙加入的天数=实际完成天数顺水速度=船速水速甲乙合作时间：1、二元一次方程概念：1、方程组的解是（）（4）已知2（3y-7）=5x-4，则x=；把y=8代入④，得x=9六字真言：审、设、列、解、验、答（3）若同时租用两种型号的客车或只租一种型号的客车，每辆客车恰好坐满并且每个同（2）是否存在一个数m，使得方程组的解和为8？若存在，则求出m，并求出方程组的解；2、同解方程例：已知关于x、y的二元一次方程组与二元一次方程5x-3y=7有相同的解，求b的值用加减消元法解下列方程：2、同解方程练习：已知关于x、y的二元一次方程组与二元一次方程组有相同的解，求b的值练习：3、看错系数问题小明、小红两人解同一个方程组：。小明看错了系数a，解出；小红看错了系数b，解出，求方程组正确的解3、看错系数问题四、二元一次方程组的应用1、二元一次方程组解方程步骤：六字真言：审、设、列、解、验、答审：审清题目当中的未知量以及等量关系设：用字母表示未知数（审题中的未知量）列：根据等量关系列方程组解：解二元一次方程组（加减消元法、代入消元法）验：1、检验方程是否解正确；2、检验是否符合实际意义答：作答四、二元一次方程组的应用2、简单应用问题例题讲解：在某体育用品商店，购买50根跳绳和80个毽子共用1120元，购买30根跳绳和50个毽子共用680元，求问跳绳和毽子的单价各是多少元？未知量：跳绳的价格；毽子的价格等量关系：买50根跳绳的费用+买80个毽子的费用=1120买30根跳绳的费用+买50个毽子的费用=6802、简单应用问题例题讲解：在某体育用品商店，购买50根跳绳和练一练：小明到文具店给班级买奖品，发现2本笔记本的费用比1支水笔的费用多10元，6本笔记本的费用比13支水笔的费用少10元，求小明买5支水笔和5本笔记本共需要花费多少钱？未知量：等量关系：练一练：3、行程问题复习：行程问题的公式：路程=速度×时间相遇追及问题：相遇问题：总路程=

×时间追及问题：总路程=

×时间流水船问题：顺水速度=船速

水速逆水速度=船速

水速速度和速度差+-3、行程问题速度和速度差+-例题讲解：例1：小李骑电动自行车，预计用相同的时间返回甲乙两地，去时电动自行车的车速为18km/h，结果早到20min，返回时电动自行车的车速为15km/h，结果晚到4分钟，求甲乙两地之前的距离及预定的时间提示：需用公式：路程=速度×时间例题讲解：提示：需用公式：路程=速度×时间例2：甲乙两地相距20千米，A从甲地向乙地方向前进，同时B从乙地向甲地方向前进，两小时后二人在途中相遇，相遇后A就返回甲地，B仍向甲地前进，A回到甲地时，B离甲地还有2千米，求A、B二人的速度例2：甲乙两地相距20千米，A从甲地向乙地方向前进，同时B从练习1：从甲地到乙地的路有一段上坡、一段平坡和一段3千米长的下坡，如果保持上坡每小时走3千米，平路每小时走4千米，下坡每小时走5千米，那么从甲地到乙地需90分，从乙地到甲地需102分，甲地到乙地的全程有多远？未知量：等量关系：练习1：从甲地到乙地的路有一段上坡、一段平坡和一段3千米长的4、工程问题工程问题常见三个量：工程总量工作效率工作时间常用公式：工作总量=工作效率×工作时间注：当工作总量不明确时，我们常常将工作总量设为单位1则，工作效率=1/工作时间例如：小明完成一项工作需要10天，他的工作效率为

。4、工程问题例题讲解：一项工程，甲队独做需要12天完成，乙队独做需要15天完成，丙队独做需要20天完成，按照原计划，这项工程需要在7天内完成，现在甲、乙先合作若干天，后面为了加快速度，丙队同时加入了这项工程，这样比原计划提前一天完成，问：甲乙两队合作了多少天？丙队加入后又做了多少天？分析：工作总量：一项工程——工作总量为单位1工作效率：甲：

乙：

丙：

；工作时间：预计完成时间：实际完成时间：甲乙合作时间：丙队工作时间：等量关系：甲乙合作天数+丙加入的天数=实际完成天数甲乙完成工作总量+丙完成工作总量=总工作总量甲乙合作时间完成工作总量+丙加入后完成工作总量=总工作总量综上：可列方程组：7天6天未知：x未知：y例题讲解：分析：7天例题讲解：一项工程，甲队独做需要12天完成，乙队独做需要15天完成，丙队独做需要20天完成，按照原计划，这项工程需要在7天内完成，现在甲、乙先合作若干天，后面为了加快速度，丙队同时加入了这项工程，这样比原计划提前一天完成，问：甲乙两队合作了多少天？丙队加入后又做了多少天？解：设甲乙两队合作了x天，丙队加入后又做了y天解得：答：甲乙两队合作了4天，丙队加入后又做了2天

例题讲解：一项工程，甲队独做需要12天完成，乙队独做需要15练一练：1、一个存有一些水的水池，有一个进水口和若干个口径相同的出水口，进水口每分钟进水3立方米，若同时打开进水口和三个出水口，池中水16分钟放完，若同时打开进水口和五个出水口，池中水9分钟放完，池中原有水多少立方米？每个出水口每分钟出水多少立方米提示：我们可以将排水看做工作，一边工作一边增加工作量工作总量：水池中原有水（未知：x）+进水口进水量（每分钟进水3立方米，进水16或者9分钟）工作效率：出水口每分钟出水：未知y工作时间：16分钟和9分钟练一练：练一练：一家商店要进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可完成，需付两组费用共3480元，问：（1）甲、乙两组工作一天，商店应各付多少元？（2）甲、乙两组单独施工，完成装修工作各需多少天？（3）单独请哪组，商店所付费用最少练一练：5、利润问题：常用量：定价、折扣、售价、进价、利润、利润率、销量常用公式：售价=定价×折扣单个商品利润=售价-进价总利润=（售价-进价）×销量利润率=利润/进价=（售价-进价）/进价例：一件外衣，店家从厂家订购花了800元，拿回来后标价1000元，老顾客小明来买时打了9折，则这件外衣的进价是：

标价：

实际售价：

利润：

利润率：

；5、利润问题：例题讲解：

1、某同学在AB两家超市发现他看中的随身听的单价相同，书包单价也相同，随身听和书包的单价之和是452元，且随身听的单价比书包的单价的4倍少8元（1）求随身听和书包的单价各是多少元？（2）某天该同学上街，恰好赶上超市促销活动，超市A所有商品打85折销售，超市B全场购物满100元返购物券20元销售（不足100元不返券，购物券全场通用），但他只带了400元，如果他只在一家超市购买选中的这两样物品，他可以选择哪一家购买？若两家都可以选择，在哪一家购买更省钱？例题讲解：

1、某同学在AB两家超市发现他看中的随身听的单价6、方案选择：题目要求设计多种方案，选择最优的一种：解题：结合题目列出方程或方程组，找到满足要求的所有方案，在根据价格、利润等因素选取最优解6、方案选择：例题讲解：某中学组织七年级同学参加校外活动，原计划租用45座客车若干辆，但会有15人没有座位，如果租用同样数量的60座客车，则又会多出一辆，且其余客车刚好坐满.已知45座和60座客车的租金分别为220元/辆和300元/辆，（1）设原计划租用45座客车x辆，七年级共有学生y人，则y=

（用含x的式子表示)：若租用60座客车x辆，则y=

（用含x的式子表示)

（2）七年级共有学生多少人?（3）若同时租用两种型号的客车或只租一种型号的客车，每辆客车恰好坐满并且每个同学都有座位，共有哪几种租车方案?哪种方案更省钱?例题讲解：7、其他问题二元一次方程组的实际应用，除开主要会考察行程问题，工程问题，方案选择问题外，也会涉及到几何图形问题、配套问题、和差倍分问题等图形问题：例题讲解：八个同样大小的长方形恰好可拼成一个大的长方形，用同样的八个小长方形可拼成一个大正方形，并且中间留下一个边长为2cm的小正方形，你能算出每个小长方形的长和宽吗?7、其他问题图形问题：总结：利用二元一次方程组解决实际问题一般思路：

找到未知量：一般有两个，用未知数表示找到等量关系：利用常见公式或者实际问题找到等量关系将未知数代入到等量关系中的未知量，即可得到方程组总结：三元一次方程组的解法三元一次方程组的解法五、三元一次方程组1、三元一次方程组的概念：三元：含有三个未知数一次：含有未知数的项的次数为1方程组：两个或两个以上的方程组成2、三元一次方程组的解法：消元三元二元一元消元消元五、三元一次方程组三元二元一元消元消元解法示例：1、常规三元一次方程：解：由方程②得x=y+1④把④分别代入①③得2y+z=22⑤3y-z=18⑥由⑤⑥组成的二元一次方程组得解这个方程组，得把y=8代入④，得x=9所以原方程组的解是代入消元转换为二元一次方程组求解二元一次方程组，解得后带回求得三元的解解法示例：解：由方程②得x=y+1④代入练一练：

解下列三元一次方程组：练一练：

解下列三元一次方程组：总结：解三元一次方程组最关键就是将三元一次方程组转换为二元一次方程组常见的几组方程式的解法：1、选择系数简单的未知数，使用加减消元或者代入消元法消去2、当某个方程只含有二元时，则将另外两个方程式使用加减消元法消去另外另外一个未知数，也可以利用这个二元方程式代入求解3、轮换式方程组，也可以整体相加再利用加减消元或者代入消元法求解4、方程组中含有比时，可以利用比例的性质，代入消元；也可以引入一个参数k，利用换元法求解总结：解三元一次方程组最关键就是将三元一次方程组转换为二元一例题讲解：①式和③式中的Z系数互为相反数，可以利用①+③消去字母z，在给①×3-②消去②式子中的字母z，即可转换为二元一次方程组①式和②式中的x系数相同，可以利用①-②消去字母x，在给①×2-③消去③式子中的字母x，即可转换为二元一次方程组例题讲解：①式和③式中的Z系数互为相反数，可以利用①+③消去例题讲解①式中只含有字母x，y所以可以将②式和③式进行处理，消去①式不含的字母z，即可转换为二元一次方程组：①式只含有两个字母，可以得到式子x=y+1，即可代入②、③式子，得到二元一次方程组：例题讲解①式中只含有字母x，y所以可以将②式和③式进行处理，加减消元法：可以用任意两个式子相减，消去一个未知数，例如①-②得到：x-z=-1，即可得到二元一次方程组：整体相加法：①+②+③可以得到：x+y+y+z+x+z=2x+2y+2z=9，既可以得到，此时用这个式子减去原来方程组中每一个式子，即可得到未知数的值加减消元法：可以用任意两个式子相减，消去一个未知数，例如①-这个方程组中每个方程只含有两个未知数的比值，我们可以转换比例关系，例如x:y=2:3，则；y:z=3:4，可以得到，即可代入到最后一个式子中，得到：即可求得y的值这个方程组中第一个方程是三个未知数的比值，此时可引入参数k，即：x:y:z=2:4:5=k，则x=2k，y=4k，z=5k在代入到第二个式子中得到：2k+4k+5k=33，即可求出k值，也可以得到方程组的解这个方程组中每个方程只含有两个未知数的比值，我们可以转换比例含参方程：1、已知关于x，y的方程组（1）是否存在一个数m，使得方程组的解x与y相等？若存在，则求出m，并求出方程组的解；若不存在，说明理由（2）是否存在一个数m，使得方程组的解和为8？若存在，则求出m，并求出方程组的解；若不存在，说明理由（3）是否存在一个数m，使得方程组的解x与y之差为1？若存在，则求出m，并求出方程组的解；若不存在，说明理由二元一次方程组的综合运用含参方程：二元一次方程组的综合运用2、已知关于x，y的二元一次方程组的解是，那么关于m，n的二元一次方程组的解是

？2、已知关于x，y的二元一次方程组（3）若同时租用两种型号的客车或只租一种型号的客车，每辆客车恰好坐满并且每个同①式和②式中的x系数相同，可以利用①-②消去字母x，在给①×2-③消去③式子中的字母x，即可转换为二元一次方程组1、掌握依据比例关系设参数法，求方程组的解或者比值这个方程组中第一个方程是三个未知数的比值，此时可引入参数k，即：（2）是否存在一个数m，使得方程组的解和为8？若存在，则求出m，并求出方程组的解；练习1：已知x+4y-3z=0，且4x-5y+2z=0，求x：y：z的值例如：x=2，y=3是x+y=5这个二元一次方程的一组解，同样也是x-y=-1的解，所以x=2，y=3是这两个方程的公共解1、方程组的解是（）练习2：已知x=3，y=5和x=-4，y=-9都是方程y=kx+b的解，求当时，y的值①式和③式中的Z系数互为相反数，可以利用①+③消去字母z，在给①×3-②消去②式子中的字母z，即可转换为二元一次方程组例题讲解：在某体育用品商店，购买50根跳绳和80个毽子共用1120元，购买30根跳绳和50个毽子共用680元，求问跳绳和毽子的单价各是多少元？将x=6代入③可得：这种方法叫做代入消元法，简称代入法四、二元一次方程组的应用（1）是否存在一个数m，使得方程组的解x与y相等？若存在，则求出m，并求出方程组的解；A、x-2-x=4B、x-2-2x=4C、x-2+2x=4D、x-2+x=4将③代入②可得：利用二元一次方程组解决实际问题一般思路：3、已知代数式，当x=0时，y=1，当x=-1时，y=0，当x=1时，y=4，求a，b，c？（3）若同时租用两种型号的客车或只租一种型号的客车，每辆客车整数解问题：例：已知关于x，y的方程组有整数解，且m为正整数，求m的值整数解问题：练习：m取什么整数值时，方程组的解是正整数？并求它的所有正整数解练习：m取什么整数值时，方程组二元一次方程组的应用补充讲解1、掌握依据比例关系设参数法，求方程组的解或者比值

2、探究含参二元一次方程组解的个数情况

3、用二元一次方程组解决实际生活中方案优化问题二元一次方程组的应用补充讲解一、设参数求值练习1：已知x+4y-3z=0，且4x-5y+2z=0，求x：y：z的值一、设参数求值练习2：已知，求的值练习2：已知2、解回代问题练习1：已知和是关于x，y的二元一次方程y=ax+b的解，求a+b的平方根2、解回代问题练习2：已知x=3，y=5和x=-4，y=-9都是方程y=kx+b的解，求当时，y的值练习2：已知x=3，y=5和x=-4，y=-9都是方程y=k三、二元一次方程组解的个数问题例题讲解1：已知方程组，试确定a、c的值，使得方程组（1）有唯一解（2）无解（3）无数组解思路提示：将二元一次方程组解的个数问题转化为一元一次方程的解的个数问题，所以第一步最主要是要进行消元三、二元一次方程组解的个数问题思路提示：将二元一次方程组解的所以这个方程组的解为：思路提示：将二元一次方程组解的个数问题转化为一元一次方程的解的个数问题，所以第一步最主要是要进行消元（4）已知2（3y-7）=5x-4，则x=；练一练：

解下列三元一次方程组：则，工作效率=1/工作时间小明、小红两人解同一个方程组：。四、二元一次方程组的应用把y=8代入④，得x=9y:z=3:4，可以得到，即可代入到最后一个式子中，得到：①未知数系数相等或互为相反数时，使用加减消元法求解二元一次方程组比较简单2消元——解二元一次方程组某中学组织七年级同学参加校外活动，原计划租用45座客车若干辆，但会有15人没有座位，如果租用同样数量的60座客车，则又会多出一辆，且其余客车刚好坐满.利用二元一次方程组解决实际问题一般思路：由⑤⑥组成的二元一次方程组得2、探究含参二元一次方程组解的个数情况1、二元一次方程概念：在代入到第二个式子中得到：2k+4k+5k=33，即可求出k值，也可以得到方程组的解例：已知关于x、y的二元一次方程组与二元一次方程5x-3y=7有相同的解，求b的值2千米，求A、B二人的速度解：由方程②得x=y+1④②求解方程的结果之后注意代入检验所以这个方程组的解为：利用二元一次方程组解决实际问题一般思路：则，工作效率=1/工作时间1、二元一次方程组解方程步骤：注：当工作总量不明确时，我们常常将工作总量设为单位13实际问题与二元一次方程组1、二元一次方程概念：（2）甲、乙两组单独施工，完成装修工作各需多少天？小明、小红两人解同一个方程组：。1、常规三元一次方程：例如：x=2，y=3是x+y=5这个二元一次方程的一组解，同样也是x-y=-1的解，所以x=2，y=3是这两个方程的公共解相遇问题：总路程=×时间①式中只含有字母x，y所以可以将②式和③式进行处理，消去①式不含的字母z，即可转换为二元一次方程组：1、一个存有一些水的水池，有一个进水口和若干个口径相同的出水口，进水口每分钟进水3立方米，若同时打开进水口和三个出水口，池中水16分钟放完，若同时打开进水口和五个出水口，池中水9分钟放完，池中原有水多少立方米？每个出水口每分钟出水多少立方米常见的几组方程式的解法：练习2：关于x，y的方程组有无数组解，求a，b的值所以这个方程组的解为：2千米，求A、B二人的速度练习2：关于四、二元一次方程组的应用——方案选择问题例题讲解1：某厂共有120名生产工人，每个工人每天可生产螺栓25个或螺母20个，如果一个螺栓与两个螺母配成一套，那么每天安排多少名工人生产螺栓，多少名工人生产螺母，才能使每天生产出来的产品配成最多套？四、二元一次方程组的应用——方案选择问题练习：小明家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公司合作6周完成需工钱5.2万元；若甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周完成，需工钱4.8万元.若只选一个公司单独完成，从节约开支的角度考虑，小明家应选甲公司还是乙公司？请你说明理由.练习：小明家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公司合作6周练习：为了提倡低碳经济，某公司为了更好得节约能源，决定购买一批节省能源的10台新机器。现有甲、乙两种型号的设备，其中每台的价格、工作量如下表。经调查：购买一台甲型设备比购买一台乙型设备多2万元，购买2台甲型设备比购买3台乙型设备少6万元.（1)求a，b的值：（2）经预算：该公司购买的节能设备的资金不超过110万元，且每月要求，产量不低于2040吨，为了节约资金，请你为该公司设计几种购买方案甲型乙型价格（万元/台）ab产量（吨/月）240180练习：甲型乙型价格（万元/台）ab产量（吨/月）240180第八章节二元一次方程组8.1二元一次方程组8.2消元——解二元一次方程组8.3实际问题与二元一次方程组8.4三元一次方程组的解法第八章节二元一次方程组8.1二元一次方程组一、二元一次方程（组）概念：1、二元一次方程概念：二元：共含有两个未知数一次：含有每个未知数的项的次数都是1次方程：整式方程2、二元一次方程组概念：方程组中含有两个未知数，并且含有每个未知数的项的次数都为1，包含两个或两个以上的方程，这样的方程组称为二元一次方程组注意：①方程组中共含有两个未知数②方程可以有两个或者两个以上③含有未知数的项每一项的次数都要为1一、二元一次方程（组）概念：练一练：判断下列方程组是否是二元一次方程组练一练：判断下列方程组是否是二元一次方程组二、二元一次方程的解方程的解：使方程左右两边值相等的未知数的值

则二元一次方程的解：使得二元一次方程两边相等的两个未知数的值二元一次方程组的解：二元一次方程组两个方程的公共解二元一次方程的解有：无数组但是二元一次方程组的解仅有一组例如：x=2，y=3是x+y=5这个二元一次方程的一组解，同样也是x-y=-1的解，所以x=2，y=3是这两个方程的公共解即：是方程组的解注意：方程组的解需要用大括号联立起来二、二元一次方程的解二元一次方程的解有：无数组例如：x=2，2、用含有x，y的式子表示y，x三、二元一次方程组的应用A、B、C、D、2y+z=22⑤①式和②式中的x系数相同，可以利用①-②消去字母x，在给①×2-③消去③式子中的字母x，即可转换为二元一次方程组用加减消元法解下列方程：（2）是否存在一个数m，使得方程组的解和为8？若存在，则求出m，并求出方程组的解；把y=8代入④，得x=9方程组：用①式减②式可得：2x+y-（x+y）=9-4，化简可得x=5，消去了一个未知数求解二元一次方程组，解得后带回求得三元的解在代入到第二个式子中得到：2k+4k+5k=33，即可求出k值，也可以得到方程组的解注：当工作总量不明确时，我们常常将工作总量设为单位11、三元一次方程组的概念：（3）若同时租用两种型号的客车或只租一种型号的客车，每辆客车恰好坐满并且每个同①未知数系数相等或互为相反数时，使用加减消元法求解二元一次方程组比较简单1、二元一次方程组解方程步骤：则，工作效率=1/工作时间练一练：1、方程组的解是（）A、B、C、D、2、用含有x，y的式子表示y，x练一练：二、解二元一次方程组解二元一次方程组的关键步骤：消元（消去多个未知数，将未知数的个数由多化少、逐一解决）解法一：代入消元法：由二元一次方程组中一个方程，将一个未知数用含另一未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解。这种方法叫做代入消元法，简称代入法二、解二元一次方程组1、代入消元法：示例：解方程解：由①得：

y=10-x③将③代入②可得：

2x+（10-x）=16

解得x=6

将x=6代入③可得：

y=10-6=4∴这个二元一次方程组的解为：变形代入求解回代作答①②1、代入消元法：解：由①得：变形代入求解回代作答①练一练：1、把方程7x-2y=15写成用含有x的式子表示y的形式

；2、用含有x，y的式子表示y，x（1）已知x+y=5，则y=

；（2）已知x-2y=1，则y=

；（3）已知x+2（y-3）=5，则x=

；（4）已知2（3y-7）=5x-4，则x=

；3、用代入法求解方程组时，代入正确的是（）A、x-2-x=4B、x-2-2x=4C、x-2+2x=4D、x-2+x=4练一练：在代入到第二个式子中得到：2k+4k+5k=33，即可求出k值，也可以得到方程组的解例：已知关于x、y的二元一次方程组与二元一次方程5x-3y=7有相同的解，求b的值方程组：用①式减②式可得：2x+y-（x+y）=9-4，化简可得x=5，消去了一个未知数练习：小明家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公司合作6周完成需工钱5.2、三元一次方程组的解法：消元总结：解三元一次方程组最关键就是将三元一次方程组转换为二元一次方程组如何用加减法解下列方程：设：用字母表示未知数（审题中的未知量）经调查：购买一台甲型设备比购买一台乙型设备多2万元，购买2台甲型设备比购买3台乙型设备少6万元.①式中只含有字母x，y所以可以将②式和③式进行处理，消去①式不含的字母z，即可转换为二元一次方程组：思路提示：将二元一次方程组解的个数问题转化为一元一次方程的解的个数问题，所以第一步最主要是要进行消元甲乙完成工作总量+丙完成工作总量=总工作总量1、常规三元一次方程：验：1、检验方程是否解正确；把④分别代入①③得小明、小红两人解同一个方程组：。例题讲解：八个同样大小的长方形恰好可拼成一个大的长方形，用同样的八个小长方形可拼成一个大正方形，并且中间留下一个边长为2cm的小正方形，你能算出每个小长方形的长和宽吗?即：是方程组的解练一练：用代入法解下列方程：在代入到第二个式子中得到：2k+4k+5k=33，即可求出k课堂总结：代入消元法：①未知数系数为±1时，使用代入消元法求解二元一次方程比较简单②求解方程的结果之后注意代入检验③二元一次方程组的解需要写成用大括号联立起来的形式课堂总结：解法二：加减消元法当二元一次方程组的两个方程中间一个未知数的系数相等或相反时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就可以消去未知数，这种方法叫做加减消元法例如：方程组：将①式加②式可得：x+y+2x-y=7+2，即3x=9，则消去了未知数y方程组：用①式减②式可得：2x+y-（x+y）=9-4，化简可得x=5，消去了一个未知数解法二：加减消元法例题讲解：用加减消元法解下列方程：①②解：用②-①得：

x=6将x=6代入①可得：

y=4

所以这个方程组的解为：例题讲解：①解：用②-①得：练一练：解下列方程组：练一练：探究：如何用加减法解下列方程：探究：练一练：解下列方程练一练：解下列方程总结：加减消元法：①未知数系数相等或互为相反数时，使用加减消元法求解二元一次方程组比较简单②系数没有关系的时候可以适当变形选择合适解法总结：三、二元一次方程组的应用1、二元一次方程定义问题：例：如果方程是二元一次方程，那么m=

，n=

.练习：.若方程是关于x、y的二元一次方程，求m、n的值.三、二元一次方程组的应用用加减消元法解下列方程：审：审清题目当中的未知量以及等量关系例题讲解：八个同样大小的长方形恰好可拼成一个大的长方形，用同样的八个小长方形可拼成一个大正方形，并且中间留下一个边长为2cm的小正方形，你能算出每个小长方形的长和宽吗?设：用字母表示未知数（审题中的未知量）则二元一次方程的解：使得二元一次方程两边相等的两个未知数的值注：当工作总量不明确时，我们常常将工作总量设为单位1找到未知量：一般有两个，用未知数表示1、二元一次方程组解方程步骤：等量关系：甲乙合作天数+丙加入的天数=实际完成天数顺水速度=船速水速甲乙合作时间：1、二元一次方程概念：1、方程组的解是（）（4）已知2（3y-7）=5x-4，则x=；把y=8代入④，得x=9六字真言：审、设、列、解、验、答（3）若同时租用两种型号的客车或只租一种型号的客车，每辆客车恰好坐满并且每个同（2）是否存在一个数m，使得方程组的解和为8？若存在，则求出m，并求出方程组的解；2、同解方程例：已知关于x、y的二元一次方程组与二元一次方程5x-3y=7有相同的解，求b的值用加减消元法解下列方程：2、同解方程练习：已知关于x、y的二元一次方程组与二元一次方程组有相同的解，求b的值练习：3、看错系数问题小明、小红两人解同一个方程组：。小明看错了系数a，解出；小红看错了系数b，解出，求方程组正确的解3、看错系数问题四、二元一次方程组的应用1、二元一次方程组解方程步骤：六字真言：审、设、列、解、验、答审：审清题目当中的未知量以及等量关系设：用字母表示未知数（审题中的未知量）列：根据等量关系列方程组解：解二元一次方程组（加减消元法、代入消元法）验：1、检验方程是否解正确；2、检验是否符合实际意义答：作答四、二元一次方程组的应用2、简单应用问题例题讲解：在某体育用品商店，购买50根跳绳和80个毽子共用1120元，购买30根跳绳和50个毽子共用680元，求问跳绳和毽子的单价各是多少元？未知量：跳绳的价格；毽子的价格等量关系：买50根跳绳的费用+买80个毽子的费用=1120买30根跳绳的费用+买50个毽子的费用=6802、简单应用问题例题讲解：在某体育用品商店，购买50根跳绳和练一练：小明到文具店给班级买奖品，发现2本笔记本的费用比1支水笔的费用多10元，6本笔记本的费用比13支水笔的费用少10元，求小明买5支水笔和5本笔记本共需要花费多少钱？未知量：等量关系：练一练：3、行程问题复习：行程问题的公式：路程=速度×时间相遇追及问题：相遇问题：总路程=

×时间追及问题：总路程=

×时间流水船问题：顺水速度=船速

水速逆水速度=船速

水速速度和速度差+-3、行程问题速度和速度差+-例题讲解：例1：小李骑电动自行车，预计用相同的时间返回甲乙两地，去时电动自行车的车速为18km/h，结果早到20min，返回时电动自行车的车速为15km/h，结果晚到4分钟，求甲乙两地之前的距离及预定的时间提示：需用公式：路程=速度×时间例题讲解：提示：需用公式：路程=速度×时间例2：甲乙两地相距20千米，A从甲地向乙地方向前进，同时B从乙地向甲地方向前进，两小时后二人在途中相遇，相遇后A就返回甲地，B仍向甲地前进，A回到甲地时，B离甲地还有2千米，求A、B二人的速度例2：甲乙两地相距20千米，A从甲地向乙地方向前进，同时B从练习1：从甲地到乙地的路有一段上坡、一段平坡和一段3千米长的下坡，如果保持上坡每小时走3千米，平路每小时走4千米，下坡每小时走5千米，那么从甲地到乙地需90分，从乙地到甲地需102分，甲地到乙地的全程有多远？未知量：等量关系：练习1：从甲地到乙地的路有一段上坡、一段平坡和一段3千米长的4、工程问题工程问题常见三个量：工程总量工作效率工作时间常用公式：工作总量=工作效率×工作时间注：当工作总量不明确时，我们常常将工作总量设为单位1则，工作效率=1/工作时间例如：小明完成一项工作需要10天，他的工作效率为

。4、工程问题例题讲解：一项工程，甲队独做需要12天完成，乙队独做需要15天完成，丙队独做需要20天完成，按照原计划，这项工程需要在7天内完成，现在甲、乙先合作若干天，后面为了加快速度，丙队同时加入了这项工程，这样比原计划提前一天完成，问：甲乙两队合作了多少天？丙队加入后又做了多少天？分析：工作总量：一项工程——工作总量为单位1工作效率：甲：

乙：

丙：

；工作时间：预计完成时间：实际完成时间：甲乙合作时间：丙队工作时间：等量关系：甲乙合作天数+丙加入的天数=实际完成天数甲乙完成工作总量+丙完成工作总量=总工作总量甲乙合作时间完成工作总量+丙加入后完成工作总量=总工作总量综上：可列方程组：7天6天未知：x未知：y例题讲解：分析：7天例题讲解：一项工程，甲队独做需要12天完成，乙队独做需要15天完成，丙队独做需要20天完成，按照原计划，这项工程需要在7天内完成，现在甲、乙先合作若干天，后面为了加快速度，丙队同时加入了这项工程，这样比原计划提前一天完成，问：甲乙两队合作了多少天？丙队加入后又做了多少天？解：设甲乙两队合作了x天，丙队加入后又做了y天解得：答：甲乙两队合作了4天，丙队加入后又做了2天

例题讲解：一项工程，甲队独做需要12天完成，乙队独做需要15练一练：1、一个存有一些水的水池，有一个进水口和若干个口径相同的出水口，进水口每分钟进水3立方米，若同时打开进水口和三个出水口，池中水16分钟放完，若同时打开进水口和五个出水口，池中水9分钟放完，池中原有水多少立方米？每个出水口每分钟出水多少立方米提示：我们可以将排水看做工作，一边工作一边增加工作量工作总量：水池中原有水（未知：x）+进水口进水量（每分钟进水3立方米，进水16或者9分钟）工作效率：出水口每分钟出水：未知y工作时间：16分钟和9分钟练一练：练一练：一家商店要进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可完成，需付两组费用共3480元，问：（1）甲、乙两组工作一天，商店应各付多少元？（2）甲、乙两组单独施工，完成装修工作各需多少天？（3）单独请哪组，商店所付费用最少练一练：5、利润问题：常用量：定价、折扣、售价、进价、利润、利润率、销量常用公式：售价=定价×折扣单个商品利润=售价-进价总利润=（售价-进价）×销量利润率=利润/进价=（售价-进价）/进价例：一件外衣，店家从厂家订购花了800元，拿回来后标价1000元，老顾客小明来买时打了9折，则这件外衣的进价是：

标价：

实际售价：

利润：

利润率：

；5、利润问题：例题讲解：

1、某同学在AB两家超市发现他看中的随身听的单价相同，书包单价也相同，随身听和书包的单价之和是452元，且随身听的单价比书包的单价的4倍少8元（1）求随身听和书包的单价各是多少元？（2）某天该同学上街，恰好赶上超市促销活动，超市A所有商品打85折销售，超市B全场购物满100元返购物券20元销售（不足100元不返券，购物券全场通用），但他只带了400元，如果他只在一家超市购买选中的这两样物品，他可以选择哪一家购买？若两家都可以选择，在哪一家购买更省钱？例题讲解：

1、某同学在AB两家超市发现他看中的随身听的单价6、方案选择：题目要求设计多种方案，选择最优的一种：解题：结合题目列出方程或方程组，找到满足要求的所有方案，在根据价格、利润等因素选取最优解6、方案选择：例题讲解：某中学组织七年级同学参加校外活动，原计划租用45座客车若干辆，但会有15人没有座位，如果租用同样数量的60座客车，则又会多出一辆，且其余客车刚好坐满.已知45座和60座客车的租金分别为220元/辆和300元/辆，（1）设原计划租用45座客车x辆，七年级共有学生y人，则y=

（用含x的式子表示)：若租用60座客车x辆，则y=

（用含x的式子表示)

（2）七年级共有学生多少人?（3）若同时租用两种型号的客车或只租一种型号的客车，每辆客车恰好坐满并且每个同学都有座位，共有哪几种租车方案?哪种方案更省钱?例题讲解：7、其他问题二元一次方程组的实际应用，除开主要会考察行程问题，工程问题，方案选择问题外，也会涉及到几何图形问题、配套问题、和差倍分问题等图形问题：例题讲解：八个同样大小的长方形恰好可拼成一个大的长方形，用同样的八个小长方形可拼成一个大正方形，并且中间留下一个边长为2cm的小正方形，你能算出每个小长方形的长和宽吗?7、其他问题图形问题：总结：利用二元一次方程组解决实际问题一般思路：

找到未知量：一般有两个，用未知数表示找到等量关系：利用常见公式或者实际问题找到等量关系将未知数代入到等量关系中的未知量，即可得到方程组总结：三元一次方程组的解法三元一次方程组的解法五、三元一次方程组1、三元一次方程组的概念：三元：含有三个未知数一次：含有未知数的项的次数为1方程组：两个或两个以上的方程组成2、三元一次方程组的解法：消元三元二元一元消元消元五、三元一次方程组三元二元一元消元消元解法示例：1、常规三元一次方程：解：由方程②得x=y+1④把④分别代入①③得2y+z=22⑤3y-z=18⑥由⑤⑥组成的二元一次方程组得解这个方程组，得把y=8代入④，得x=9所以原方程组的解是代入消元转换为二元一次方程组求解二元一次方程组，解得后带回求得三元的解解法示例：解：由方程②得x=y+1④代入练一练：

解下列三元一次方程组：练一练：

解下列三元一次方程组：总结：解三元一次方程组最关键就是将三元一次方程组转换为二元一次方程组常见的几组方程式的解法：1、选择系数简单的未知数，使用加减消元或者代入消元法消去2、当某个方程只含有二元时，则将另外两个方程式使用加减消元法消去另外另外一个未知数，也可以利用这个二元方程式代入求解3、轮换式方程组，也可以整体相加再利用加减消元或者代入消元法求解4、方程组中含有比时，可以利用比例的性质，代入消元；也可以引入一个参数k，利用换元法求解总结：解三元一次方程组最关键就是将三元一次方程组转换为二元一例题讲解：①式和③式中的Z系数互为相反数，可以利用①+③消去字母z，在给①×3-②消去②式子中的字母z，即可转换为二元一次方程组①式和②式中的x系数相同，可以利用①-②消去字母x，在给①×2-③消去③式子中的字母x，即可转换为二元一次方程组例题讲解：①式和③式中的Z系数互为相反数，可以利用①+③消去例题讲解①式中只含有字母x，y所以可以将②式和③式进行处理，消去①式不含的字母z，即可转换为二元一次方程组：①式只含有两个字母，可以得到式子x=y+1，即可代入②、③式子，得到二元一次方程组：例题讲解①式中只含有字母x，y所以可以将②式和③式进行处理，加减消元法：可以用任意两个式子相减，消去一个未知数，例如①-②得到：x-z=-1，即可得到二元一次方程组：整体相加法：①+②+③可以得到：x+y+y+z+x+z=2x+2y+2z=9，既可以得到，此时用这个式子减去原来方程组中每一个式子，即可得到未知数的值加减消元法：可以用任意两个式子相减，消去一个未知数，例如①-这个方程组中每个方程只含有两个未知数的比值，我们可以转换比例关系，例如x:y=2:3，则；y:z=3:4，可以得到，即可代入到最后一个式子中，得到：即可求得y的值这个方程组中第一个方程是三个未知数的比值，此时可引入参数k，即：x:y:z=2:4:5=k，则x=2k，y=4k，z=5k在代入到第二个式子中得到：2k+4k+5k=33，即可求出k值，也可以得到方程组的解这个方程组中每个方程只含有两个未知数的比值，我们可以转换比例含参方程：1、已知关于x，y的方程组（1）是否存在一个数m，使得方程组的解x与y相等？若存在，则求出m，并求出方程组的解；若不存在，说明理由（2）是否存在一个数m，使得方程组的解和为8？若存在，则求出m，并求出方程组的解；若不存在，说明理由（3）是否存在一个数m，使得方程组的解x与y之差为1？若存在，则求出m，并求出方程组的解；若不存在，说明理由二元一次方程组的综合运用含参方程：二元一次方程组的综合运用2、已知关于x，y的二元一次方程组的解是，那么关于m，n的二元一次方程组的解是

？2、已知关于x，y的二元一次方程组（3）若同时租用两种型号的客车或只租一种型号的客车，每辆客车恰好坐满并且每个同①式和②式中的x系数相同，可以利用①-②消去字母x，在给①×2-③消去③式子中的字母x，即可转换为二元一次方程组1、掌握依据比例关系设参数法，求方程组的解或者比值这个方程组中第一个方程是三个未知数的比值，此时可引入参数k，即：（2）是否存在一个数m，使得方程组的解和为8？若存在，则求出m，并求出方程组的解；练习1：已知x+4y-3z=0，且4x-5y+2z=0，求x：y：z的值例如：x=2，y=3是x+y=5这个二元一次方程的一组解，同样也是x-y=-1的解，所以x=2，y=3是这两个方程的公共解1、方程组的解是（）练习2：已知x=3，y=5和x=-4，y=-9都是方程y=kx+b的解，求当时，y的值①式和③式中的Z系数互为相反数，可以利用①+③消去字母z，在给①×3-②消去②式子中的字母z，即可转换为二元一次方程组例题讲解：在某体育用品商店，购买50根跳绳和80个毽子共用1120元，购买30根跳绳和50个毽子共用680元，求问跳绳和毽子的单价各是多少元？将x=6代入③可得：这种方法叫做代入消元法，简称代入法四、二元一次方程组的应用（1）是否存在一个数m，使得方程组的解x与y相等？若存在，则求出m，并求出方程组的解；A、x-2-x=4B、x-2-2x=4C、x-2+2x=4D、x-2+x=4将③代入②可得：利