【最新】2019天津卷文科数学高考真题

2019年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数学(文史类)本试卷分为第I卷(选择题)和第n卷(非选择题)两部分，共150分，考试用时120分钟。第I卷至2页，第n卷3至5页。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时,考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。祝各位考生考试顺利！注意事项：.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。.本卷共8小题，每小题5分，共40分。参考公式：•如果事件A,B互斥，那么P(AUB)P(A)P(B).•圆柱的体积公式VSh,其中S表示圆柱的底面面积，h表示圆柱的高.一1・棱锥的体积公式V-Sh,其中S表示棱锥的底面面积，h表示棱锥的局.3一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.(1)设集合(1)设集合A{1,1,2,3,5},B{2,3,4},C{xR|1,x3},则(AIC)UB{2}{2,3}{-1,2,3}{1,2,3,4}{2}{2,3}{-1,2,3}{1,2,3,4}xy20,、口…，…八xy20,…一,(2)设变量x,y满足约束条件,则目标函数z4xy的最大值为x…1,y…1,(A)2(B)3(C)5(D)6(3)设xR,则“0x5”是“|x1|1”的(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件(4)阅读下边的程序框图，运行相应的程序，输出S的值为(A)5(B)8(5)已知alog27,blog38,ccba(c)bca(6)已知抛物线y2(C)24020.3,则(A)5(B)8(5)已知alog27,blog38,ccba(c)bca(6)已知抛物线y2(C)24020.3,则a,b,c的大小关系为abc(D)cab(D)29224x的焦点为F,准线为l.若l与双曲线勺41(aab0,b0)的两条渐近线分别交于点A和点B且|AB|4|OF|(O为原点)，则双曲线的离心率为(A)质(B)百(C)2(D)75(7)已知函数f(x)Asin(x)(A0,0,||昉是奇函数，且fx的最小正周期为兀，将yfx的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为gx-2(8)已知函数f(x)&(C)应2.x,01xx1.x1,若关于x的方程f(x)(D)21-xa(aR)恰有两个互异的实数解,4则a的取值范围为(A)594,4(B)4’4(C)4’4U{1}(A)594,4(B)4’4(C)4’4U{1}(D)594,4U{1}2019年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数学(文史类)第n卷注意事项：.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。.本卷共12小题，共110分。二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.(9)i是虚数单位，则的值为.(10)设xR,使不等式3x2x20成立的x的取值范围为.x(11)曲线ycosx—在点(0,1)处的切线万程为^2(12)已知四棱锥的底面是边长为亚的正方形，侧棱长均为J5.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为.(13)设x0,y0,x2y4,则(x1)(2y―9的最小值为.xy(14)在四边形ABCD中，AD//BC,AB273,AD5,A30，点E在线段CB的延长线上，uuiruur且AEBE,则BDAE.三.解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.(15)(本小题满分13分)2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除.某单位老、中、青员工分别有72,108,120人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况.(I)应从老、中、青员工中分别抽取多少人？(n)抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分另记为A,B,C,D,E,F.享受情况如下表，其中“表示享受，“x”表示不享受.现从这6人中随机抽取2人接受采访.

员工项广ABCDEF子女教育OOXOXO继续教育XXOXOO大病医疗XXXOXX住房贷款利息OOXXOO住房租金XXOXXX赡养老人OOXXXO(i)试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；(ii)设M为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件M发生的概率.(16)(本小题满分13分)在4ABC中，内角AB,C所对的边分别为a,b,c.已知bc2a,3csinB4asinC.(i)求cosB的值；九....(n)求sin2B-的值.(17)(本小题满分13分)如图，在四^^锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，z\PCD为等边三角形，平面PAC平面PCD,PACD,CD2,AD3.(I)设G,H分别为PBAC的中点，求证：GH//平面PAD;(n)求证：PA平面PCD；(m)求直线Ag平面PAC所成角的正弦值.(18)(本小题满分13分)设｛an｝是等差数列，｛bn｝是等比数列，公比大于0,已知aibi3,b2a3,b4a23.(i)求｛an｝和｛bn｝的通项公式；1,n为奇数,*(n)设数列｛Cn｝满足Cnbn,n为偶数.求aQla2c2La2nC2n(nN).2(19)(本小题满分14分)22设椭圆x2%i(ab0)的左焦点为F,左顶点为A,上顶点为B.已知J3|OA|2|OB|(O为原点)ab(I)求椭圆的离心率；(n)设经过点F且斜率为3的直线l与椭圆在x轴上方的交点为P,圆C同时与x轴和直线l相切，圆4心C在直线x=4上，且OC//AP,求椭圆的方程.(20)(本小题满分14分)设函数f(x)InXa(x1)ex,其中aR.(I)若aw。，讨论f(x)的单调性；_1(n)若0a-,e(i)证明f(x)恰有两个零点；(ii)设x0为f(x)的极值点，x1为f(x)的零点，且x1x0,证明3x0为2.2019年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数学(文史类)参考解答一.选择题：本题考查基本知识和基本运算.每小题5分，满分40分.(1)D(2)C(3)B(4)B(5)A(6)D(7)C(8)D二.填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题5分，满分30分.(9)\13(10)1,2(11)x+2y2=039(12)—(13)—(14)1三.解答题(15)本小题主要考查随机抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其概率计算公式等基本知识，考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.满分13分.

解：(I)由已知，老、中、青员工人数之比为6:9:10,由于采用分层抽样的方法从中抽取25位员工,因此应从老、中、青员工中分别抽取6人，9人，10人.(n)(i)从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为{A,B},{A,C},{A,D},{AE},{A,F},{B,C},{B,D},{B,E},{B,F},{C,D},{C,E},{C,F},{D,E},{D,F},{E,F},共15种.(ii)由表格知，符合题意的所有可能结果为{A,B},{A,D},{AE},{A,F},{B,D},{B,E},{B,F},{C,E},{C,F},{D,F},{E,F},共11种.所以，事件M发生的概率所以，事件M发生的概率P(M)1115(16)本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基础知识.考查运算求解能力.满分13分.(I)解：在△ABC中，由正弦定理—c,得bsinCsinCcsinB,又由3csinB4asinC,得3bsinC4asinC,即3b4a.又因bc2a,得至ijb2E一，r—a.由余弦定理可得3cosB2cosB22.2acb2ac242162a-a—a99可得sinB,1cos2B至4,从而sin2B,15

2sinBcosB—,

8cos2B2cos2Bsinsin2Bsin2Bcos—cos2Bsin-153823x5716(17)本小题主要考查直线与平面平行、直线与平面垂直、平面与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识.考查空间想象能力和推理论证能力.满分13分.

■■(I)证明：连接BD,易知ACIBDH,BHDH.又由BG=PG,故GH//PD.又因为GH平面PADPD平面PAD所以GH//平面PAD(n)证明：取棱PC的中点N,连接DN依题意，得DNLPG又因为平面PAC平面PCD平面PACI平面PCDPC，所以DN平面PAC又PA平面PAC故DNPA.又已知PACD,CDIDND,所以PA平面PCD(m)解：连接AN由(n)中DN平面PAC可知DAN为直线AD与平面PAC^成的角，因为APCD为等边三角形，CH2且N为PC的中点，所以DNJ3.又DNAN,在Rt^AND中，sinDANDN—.AD3所以，直线AD所以，直线AD与平面PAO成角的正弦值为,33n项和公式等基础知识，考查数列求和的基(18)本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及其前本方法和运算求解能力.满分13分n项和公式等基础知识，考查数列求和的基3q32d,d3,(I)解：设等差数列an的公差为d,等比数列bn的公比为q.依题意，得2解得3q154d,q3,故an33(n1)3n,bn33n13n.所以，an的通项公式为an3n,bn的通项公式为bn3n.(n)解：为伞a2c2La?nC2na〔aa〔a3a5La2n1a2b&b2a6b3La?nbnn3n3「(63112321833L6n3n)3n26131232Ln3n记Tn131232Ln3n，①

则3Tn13223n13Ln3,(2②-①得，2Tn33233L3nn3n1313n3n1(2n1)313所以，a£a2c222La2nc2n3n6Tn3n3(2n1)3则3Tn13223n13Ln3,(2②-①得，2Tn33233L3nn3n1313n3n1(2n1)313所以，a£a2c222La2nc2n3n6Tn3n3(2n1)3n3(2nn221)36n9…nN2(19)本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、圆等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的TIe质.考查运算求解能力，以及用方程思想、数形结合思想解决问题的能力.满分14分.(I)解：设椭圆的半焦距为c,由已知有J3a2b,又由ab2c2,消去…2争2c2，所以，椭圆的离心率为(H)解:由(I)知,2c,b辰,故椭圆方程为2x4c22y3c21.由题意，F(c,0),则直线l的方程为y4(xc)2x的坐标满足4c22y3c21,x1c,x23/y4(xc),13c3士.代入到l的方程，解得0-c,y272消去y并化简，得到7x26cx13c29一c.因为点P在x轴上万，所以P14圆心C在直线x4上，可设C(4,t).因为OC//AP,且由(I)知A(2c,0),故工一二c2c0,解得3Ec,-c.由2因为圆C与x轴相切，所以圆的半径长为2,又由圆C与l相切，得3(4c)242,可得c=2..考查函数思2x1axe1gIn-a22x1axe1gIn-a211aIn——aa21In0.

a1xxf(x)—aea(x1)ex因此当aw0时，1ax2ex0,从而f(x)0,所以f(x)在(0,)内单调递增12x(n)证明：(i由(i)知f(x)1axe(n)证明：(i可知g(x)在(0,)内单调递减，又g(1)1ae0,且In10,)内有唯零点.又f(x)在0,x0内有唯一零点1,从而,In10,)内有唯零点.又f(x)在0,x0内有唯一零点1,从而,(ii)由题意,fx00,ax0e"1,即fx10,Inx1axix从而Inx11ex1,学㊀均x0,即ex1x°^n^.因为当x°x11x1时，Inxx1,又为x01,故e*x°2X为1x11x；,两边取对数，得Inex1x°Inx2,于是1故g(x)0在(0,)内有唯一解，从而f(x)0在(0,)内有唯一解，不妨设为％,则1x0In-.a当x0,x0时，f(x)9型gx°0,所以f(x)在0,%内单调递增；当xx0,时，xxf(x)9®2■x0—0,所以f(x)在x0,内单调递减，因此凡是f(x)的唯一极值点.xxKx02Inx02x01整理得3x0x122a23a2aa32