专题：探索如何分析相似几何证明

专题：探索如何分析"相似几何证明题"=竺-%=竺-%==ADDC例题1,如图，已知正方形ABCD，点E在CB的延长线上，联结AE、DE,DE与边AB交于点F,FG//BE且与AE交于点G.（1）求证：GF=BF;（2）在边BC边上取点M,使得BM=BE,联结AM交DE于点O.求证：FOED=ODEFAD第（1）问思路GF"血=>空=空;ADED\冏必=旦=空DCED)第（2）问分析第一步：画图，根据题目要求，补全图像研究相似三角形从研究比例式开始!如果是相似三角形的一组比例线段，对其解读可以分成“横、纵”两条线索视角一：若"横"的两条线段是相似三角形中的"对应线段"，则"纵"的两条线段是同一个三角形中的两条线段，反之亦然！视角二：两个相似三角形中的"对应线段"若在同一直线上则属于“平行相似”（即普通的平行A字型或平行八字型）；若不在同一直线上则不属于“平行相似”就本题而言首先“勾勒线段"（"勾勒线段”是研究比例的第一步！），发现四条线段全部在同一直线上，说明“”：①这不是一组相似三角形的比例线段，需要“中间比”作为桥梁；②大概率本题的对应线段属于平行相似"第三步：寻找基本型沿着比例线段寻找“平行相似"①EF:ED属于两个A字型！EE第二步：研究比例式，化乘积式为比例式,EF:ED=GF:AD=FB:DC②FO:OD由于缺少平行线，不属于任何基本型！FOED=ODEF^>—=—ODED所以需要加平行线构造基本型，就本题论,笔者初步想到以下三种方案所以需要加平行线构造基本型，就本题论,笔者初步想到以下三种方案易证：GF=FPFO:OD=FP:AD=GF:AD=EF:ED总结：研究相似三角形证明题应从式”与型入手！（式”指的是‘比例式“、型”指的是基本型”）究竟选择哪一种呢？此时笔者认为应该研究“尚未使用的条件”，那条辅助线更能使得该条件发挥作用！显然右边的辅助线更适合发挥^AEM为等腰三角形的特征！比例式1,通过勾勒线段”确定证明对象例题2,已知：如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O,点E在边BC的延长线上，且OE=OB,联结DE.(1)求证：DELBE;⑵如果OEXCD,求证：BD-CE=CD-DE第(2)问分析先看竖：BDCD属于△BCD的两条边,DE、CE属于ADCE的两条边，△BCg△DCE显然不相似再看横：BDDE属于4BDE的两条边,CDCE属于4DCE的两条边,它们皆是直角三角形，有相似的基础！

例题3,已知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD,/BAF=/DAE,AE与BD交于点G。(1)求证：BE=DF;(2)当DF:FC=AD:DF时，求证：四边形BEFG是平行四边形.第(2)问分析DF、FC是同一直线上的两条线段，ARDF是4ADF中的两条线段，完全"不搭"，怎么办？观察图中是否有线段与比例式中的四条线段之一相等，可作替换？通过观察，可发现可供调换的线段有以下两组：DF=BEAD=BC若调换AD为BC,则DF与BC既不是一个三角形中的两条边，更不在同一直线上，不可行；若调换DF为BE,则恰构成了平行八字型，于是AD:BE=DG:GB=DF:FC，GF//BE由于EF//BD易证，继而可证平行四边形红色部分是"直角三角形加斜边上的高"的基本图形，虽然该图形蕴含的"射影定理”从上海教学大纲中取消，但图形中有两组锐角相等(同角的余角相等)，有三组相似三角形还是要熟练掌握的。就本题论，/CDE=/OEB=/OBE,也就完成了证明ADCE^ABED的最后拼图。

3,横看成林侧成峰，成为转化枢纽的比例例题4如图，已知：/EAB=/ECD,求证：评ECs^EBD2,遇困境，需"转换线段"=jWE3-^.ECD=司就他梅手.1£BL五二五.-延口）尤其要注意作为转换枢纽的"AE:EC=BE:ED”例题5如图，正方形ABCD中，点M、N=jWE3-^.ECD=司就他梅手.1£BL五二五.-延口）尤其要注意作为转换枢纽的"AE:EC=BE:ED”例题5如图，正方形ABCD中，点M、N分另I」在AB、BC上，BM=BN,BP±CM于P,联结PD、PN（1）求证：ABPMs^BPC;（2）求证：PNXPD皿。出C，.川将AE、BE视为那BE的两边，贝UAE、EC为对应线段；将AE、EC视为"EC的两边，则AE、BE为对应线段，类似有趣”的现象，笔者将其趣称为横看成林侧成峰”。有两点须注意：①这个图形本身很重要（常被称为蝴蝶型”）,图中A、C、D、B四点共圆！由同弧所对圆周角相等，可得到多组等角（也可通过相似证明）②例4也代表了一类相似证明题的一般模式：其中比例线段充当了转化枢纽的作用田用布.比眸科（两组角司哧f）1叮能驿意援喇豫绒段），第一的橄BNC分析①第二问欲证PNLPD结合条件BP!MC不难想至U去证明/BPNWDPC②证明两个角相等的一般策略是放在一个三角形中证等腰或放在两个三角形中证相似（全等），现在显然可以考虑证^PBNhADPC③要证相似三角形需从寻找一组等角入手，不难发现/DCM=CMB=PBC④由于本例是要通过相似证等角，也就不能考虑通过两组角对应相等证相似，证明的目标转向证明夹等角的两边对应成比例，即证"PB:BN=PC:DC,其中BN=BMDC=BC转换线段后即证"PB:BM=PC:BC;此比例线段可由第一问需证明的一组相似三角形中得到。证明的脉络可表示为下图I间角的亲角）再举一例基本型和点、线段、弧甚至三角形（这些可称之为基本元”）不同，在几何问题的分析中，组成一个几何问题的图形中最简单、最重要、最基本的，但又是具有特定性质的图形称为基本图形。在对数以千计的几何问题进行图形剖析后，就会发现几何学科中的基本图形的数量是30多个，但就是这30多个基本图形的无限组合演绎出了一部能显现无穷变化的平面几何学。基本图形分析法就是在几何学科中，根据问题的条件和结论，分析并找到组成这个几何问题的一个或若干个基本图形，再应用这些基本图形的性质，使问题得到解决的几何分析方法。（摘自于徐方瞿著《透明的几何》）通过学习研究基本图形，可以形成思维的跳跃，然而我们要研究的基本图形需具备以下特点：（1）少而精；（2）应用广泛；（3）引导学生自我生成，以下是笔者心目中相似三角形基本图形图谱针对相似三角形证明问题，笔者准备重点介绍以下三组及图形1,平行与交错ABACt或CADAB=AEAC基本图形剖析笔者将①②称之为平行型，①为平行A、②为平行八；将③④称之为交错型，③为交错A,④为交错八。平行型的特征在于相比的两条线段在同一直线上，交错型的特征在于相乘得两条线段在同一直线上。需注意它们各自等角的应用条件。为广泛的应用，其主要性质概括如下已知：如图，在梯形ABCD中，AD//BC,AB，BC,点M在边BC上，且/MDB=/ADB,BDA2=AD-BC.（1）求证：BM=CM;（2）作BEXDM,垂足为点E,并交CD于点F,求证：2AD-DM=DFDC例题6如图，已知四边形ABCD是平行四边形，联结BD,DEXAB于点E,DFXAB于点F,求证：BCBE+BA•BF=BDA2分析"BCBE"、"BABF"分别是同一条直线上两条线段之积，然而图形中并没有现成的交错型，于是以考虑构造，分别过点A、点C做BD的垂线，垂足分别为点M、点No（左图）第（2）问分析①本题首先碰到的问题是如何处理系数"2",由于通过第1问已知DM是RtABDCM边上的中线，所以首先可以转化2DM^BC,②根据条件"BDA2=AD-BC",最终将本题需证明的结论转化为："BDA2=DF-DC"③根据“共边共角模型”，迅速得到证明对象是：/C=ZDBF由于直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，不难彳#到DM=MC从而得到/C=ZMDC由基本图形，可以迅速得到：BCBE=BNBD,BABF=BMBD,由右图易知AAMD^ABNC,继而得BM=ND,BNBD+BMBD=(BN+BM)BD=(BN+ND)•BD=BDA22,共边共角型边共角型作为特殊的交错相似，有着更④根据"直角三角形斜边上的高"模型，迅速得到/DBF=MDC于是可得：/DBF至C（后续可以自行证明之）33旋转型相似基本图形剖析①在^ABC中边BC上有一点D②做/BAD4CAE/B=/ACE自然△ABDs^ACE可称为八ABD旋转缩放到△ACE②连接DE,由AB:AC=AD:A汲BAC=/DAE可证△AB6△ADE可把这组相似形象地称之为“旋转相似”③而后会有什么呢？会产生交错八④再往后呢？会产生交错A*关联例题6如图所示，矩形ABCD中，AB=3,BC=4,点E是射线CB上的动点，点F是射线CD上一点，且AFLAE,射线EF与对角线BD交于点G,与射线AD交于点M.(1)当点E在线段BC上时，求证：AAEFABD;(2)在(1)的