微分几何 3.4空间曲线在一点邻近的结构课件_第1页
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3.4空间曲线在一点邻近的结构我们研究空间曲线在一点临近的形状。在类曲线上取一点,为了研究点临近的形状，在它临近再取一点利用泰勒公式有其中为方便研究曲线能否找一简单与有相同性质曲率挠率相同，通过研究来了解的结构由于所以其中

而等表示在点的值。由上式可得在的每一个分量中只取第一项，则有近似曲线在法平面上的投影是消去参数后有它是半立方抛物线曲线在从切平面上的投影是消去参数后，有它是立方抛物线曲线在密切平面上的投影是它是抛物线通过画出以上三个投影的立体图形就可以看出空间曲线在一点邻近的近似形状当时参数和三坐标的变化如右图。1.曲线穿过法平面和密切平面，但不穿过从切平面2.主法向量总是指向曲线凹入的方向，这就是主法向量正向的真正意义。3.当时，曲线在附近是右旋的；当时，曲线在附近是左旋的,这就是挠率的几何意义。曲线的每一点都有确定的曲率和挠率，如果以弧长为参数，则有这两个关系式只与曲线本身有关，而与曲线的刚体运动及空间曲线坐标变换无关。我们把称为空间曲线的自然方程。证明（1）以和为系数建立微分方程组

（1.23）（2）再作微分方程组：利用（1.23），则上述微分方程组可成为

（1.24）由已知条件在连续；时是两两正交的右手系的单位向量，即根据微分方程组解的存在定理，存在唯一的一组解。但是当（1.25）

时方程组（1.24）被满足，所以它们是（1.24）的一组解。由上述(1.25)可知是两两正交的单位向量。于是有但是混合积是的连续函数，由于当时它等于+1，所以对于所有的都为+1即成右手系。由此得出是两两正交的构成右手系的单位向量。（3）由于已得到，把（1.23）中的第一式子两端积分，利用初始条件即得曲线的方程（1.26）（4）因为所以弧长为即若取则得即为曲线的自然参数（6）曲线的挠率为由以上可见，由方程（1.26）所确定的曲线是以为自然参数，为曲率，为挠率的曲线。现在证明唯一性设和是两条曲线，它们在对应点有相同的曲率和挠率，经过适当的刚体运动，可以使曲线和在对应于自然数为的点连同在这点的基本三棱形相重合。我们设和为分别对应于曲线和的基本向量。两组向量函数和都是方程组（1.23）的解，并且这些解具有相同的初始条件，根据微分方程论的解的存在定理，这两组解是完全相同的。特别是即，积分后得

唯一性证明二设和是两条曲线，它们在对应点有相同的曲率和挠率，经过适当的刚体运动，可以使曲线和在对应于自然数为的点连同在这点的基本三棱形相重合。我们设和为分别对应于曲线和的基本向量。作即证明了两曲线对应点基本向量重合唯一性证

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