最优控制课件

第14讲最优控制

Optimalcontrol课程内容：最优控制的含义最优控制的变分方法线性二次型最优控制14.1最优控制概述变分法极大值原理动态规划实例：阿波罗登月工程登月舱在月球表面实现软着陆，需要选择发动机推力的最优控制律，使燃料消耗最少。边界条件初始条件末端条件控制约束性能指标max燃料消耗量为最少最优控制问题的组成系统数学模型（状态方程）边界条件（初态和末态）容许控制（控制向量的取值范围）性能指标

在满足系统方程的约束条件下，在容许控制域中确定一个最优控制律，使系统状态从初态转移到要求的末态，使性能指标达到极值。末值型性能指标对控制过程结束后系统末态的要求。输出跟踪系统飞机、导弹及航天器的指令信号跟踪历史约翰・伯努利(JohannBernoulli,1667-1748)1696年向全欧洲数学家挑战,提出一个难题:"设在垂直平面内有任意两点,一个质点受地心引力的作用,自较高点下滑至较低点,不计摩擦,问沿着什么曲线下滑,时间最短

"雅可比.伯努利、莱布尼茨和牛顿都得到了解答.约翰的解法比较漂亮,而雅可比的解法虽然麻烦与费劲,却更为一般化.后来欧拉和拉格朗日发明了这一类问题的普遍解法,从而确立了数学的一个新分支――变分学.variationmethod基本概念泛函：函数的函数，或自变量为函数的函数函数实数xyAB两点间的曲线长度xyoB最速下降求y(x),使时间T最短泛函的极值若y(x)在y0(x)的邻域内恒有J[y(x)]≥J[y0(x)],则称泛函J在y(x)=y0(x)达到极小值.若泛函在y0(x)有极值,则有δJ[y0(x)]=0变分法的中心问题泛函极值欧拉方程解最速捷线L不显含t首次积分旋轮线cycloid有等式约束的泛函极值必要条件曲线满足运动微分方程极值轨线x(t)满足如下欧拉方程拉格郎日乘子法约束方程例:人造地球卫星姿态控制系统求使性能泛函取极值的极值轨线和极值控制约束方程边界条件x(0),X(2)由状态约束方程和边界条件,将待定系数确定.最优控制问题的变分解法自由端问题（轨线右端自由）固定端问题（终点时间和状态固定）末端受限问题（末端状态受一定的约束）终值时间自由问题14.3

极小值原理

应用经典变分法解最优控制问题，要求控制向量不受任何约束.

为解决控制有约束的变分问题，庞特里亚金提出并证明了极小值原理，能够应用于控制变量受边界限制的情况。1、末值型性能指标、末端自由受控定常系统控制函数的约束性能指标函数哈密顿函数设tf*和u*是使性能指标取最小的最优解，x*(t)是相应的最优轨线，则必定存在向量函数λ(t)，使得上述各量同时满足

且H函数在任何时刻t,相对于最优控制u*(t)有极小值。泛函极值H函数极小化2、末值型性能指标、末端有约束末端约束条件泛函的无条件极值3、积分型性能指标性能指标求解最优控制步骤哈密顿函数伴随方程终端条件求极小值最优控制最优轨线性能指标极小值原理1958年，苏联庞特里亚金创立。

列夫·庞特里亚金(1908-1988)，前苏联数学家.14岁时失明。在很多数学领域作出了巨大的贡献，包括拓扑学更为几何的部分。他在还是学生时就研究了同调的对偶理论。并为傅立叶变换的抽象理论打下基础，现在该理论被称为庞特里亚金对偶性。在拓扑学中，他提出了配边理论的基本问题。这导致了1940年左右一个示性类理论的引入，现在被称为庞特里亚金类.

在其学术生涯后期他研究了优化控制理论。他的最小化原理对于该课题的现代理论是基础性的。他也在该领域引入了开关原理（Bang-Bang）的思想.14.4线性二次型调节器

（LQR)Linear-quadraticregulator

若线性系统的性能指标为状态变量和控制变量的二次函数，则最优控制问题为线性二次型问题。

线性二次型问题的最优解具有统一的解析表达式，且可导致简单的线性状态反馈控制律，易于构成闭环最优反馈控制。基本提法系统动态方程为指标泛函末态偏差动态偏差能量末态加权矩阵S状态加权矩阵Q控制加权矩阵R

有限时间状态调节器末端时刻有限最优控制的充分必要条件为最优性能指标KP满足Riccati矩阵微分方程边界条件说明最优控制律是一个线性状态反馈控制律，便于实现闭环最优控制Riccatti方程为非线性矩阵微分方程，通常采用计算机逆时间方向求数值解。矩阵P存在唯一，且为非负定对称阵。定常系统无限时间状态调节器若系统受扰动偏离原零平衡状态，系统能最优地恢复原平衡状态，不产生稳态误差，须采用无限时间状态调节器，若同时要求最优闭环系统渐近稳定，则应采用定常状态调节器，其最优状态反馈矩阵为常阵。问题描述线性定常系统状态方程性能指标确定最优控制u*最优结果若[A,B]完全可控，则存在唯一的最优控制P为如下Recatti方程的唯一解最优性能指标Linear-quadratic-Gaussiancontrol

（LQG)Linear-QuadraticEstimation(Kalmanfilter)Linear-QuadraticRegulatorLQG+additivewhiteGaussiannoiseJacopoFrancescoRiccati(28May1676-15April1754)wasanItalianmathematician,borninVenice.HeisnowrememberedfortheRiccatiequation.HediedinTrevisoin1754.14.5动态规划简介动态规划的基本思路是最优性原理,它将一个多段决策问题转化为多个一段决策问题,给出从最后一段状态开始到初始段的状态为止的逆递推求解最优策略.R.E.贝尔曼RichardErnestBellman(1920～1984）美国数学家，动态规划的创始人。1946年获普林斯顿大学博士学位。1953～1965年间在兰德公司任职，此后成为南加州大学教授。1950年起研究最佳决策问题。1957年发表的《动态规划》，开创了新的数学分支。△professorattheUniversityofSouthernCalifornia△FellowintheAmericanAcademyofArtsandSciences(1975)△memberoftheNationalAcademyofEngineering(1977).△BeawardedtheIEEEMedalofHonorin1979,"Forcontributionstodecisionprocessesandcontrolsystemtheory,particularlythecreationandapplicationofdynamicprogramming".△keyworkistheBellman-Equation.ACEHLOBFIMPJNDGK10A到B最小费用穷举法：20条线路，100加法，19次比较ACEHLOBFIMPJNDGK10C到B最小费用5473D到B最小费用21ACEHLOBFIMPJNDGK10O到