理论力学 第一章点的运动学课件

工程力学多媒体教材第一章点的运动学§1-1

矢量法第一章点的运动学§1-2直角坐标法运动学引言§1-3自然法§1-4实例运动学静力学:研究了物体在力系作用下的平衡条件运动学:研究物体运动的几何性质的科学研究对象:点（质点），刚体目的：1.为学习动力学打基础2.为研究分析机构的运动打基础参考体：研究一个物体的运动，要选取另一个物体作为参考，该物体称为参考体参考系:

与参考体固连的坐标系称为参考系

§1－1矢量法

选取参考系上某确定点Ｏ为坐标原点自点Ｏ向动点Ｍ作矢量r，称为点Ｍ相对原点Ｏ的位置矢量，简称矢径。上式称为矢量表示的点的运动方程动点Ｍ在运动过程中，其矢径r

的末端描绘出一条连续曲线，称为矢端曲线。矢径r

的矢端曲线就是动点Ｍ的运动轨迹。当动点Ｍ运动时，矢径r

随时间而变化，并且是时间的单值连续函数.设点M经过Δt达到点M′位移点的位移动点的速度等于它的矢径r对时间的一阶导数，是矢量。速度方向：沿着矢径r的矢端曲线的切线，即沿动点运动轨迹的切线，并与此点运动的方向一致。速度的大小:即速度矢v的模，表明点运动的快慢。速度单位:国际单位制中以m/s为速度v的单位符号。量纲：LT-1运动轨迹动点的速度动点的加速度矢等于该点的速度矢对时间的一阶导数，或等于矢径对时间的二阶导数：是矢量，它表征了速度大小和方向的变化。也可以表示为：加速度的大小:即加速度矢a的模，表明点运动速度变化的快慢。加速度单位:国际单位制中以m/s2为加速度a的单位符号。量纲：LT-2点的加速度§1－２直角坐标法取一固定的直角坐标系Ｏxyz,则动点Ｍ在任意瞬时的空间位置既可以用它相对于坐标原点Ｏ的矢径r

表示;也可以用它的三个直角坐标x,y,z表示，如图所示。由于矢径的原点与直角坐标系的原点重合，因此有如下关系式中i,j,k

分别为沿三个定坐标轴的单位矢量，如图示。由于r是时间的单值连续函数。运动方程写为一个点在运动中有三个自由度每两个方程消去t，得到两个曲面组成的曲线方程由速度和矢径的导数关系，i、j和k为坐标轴方向单位矢量设动点Ｍ的速度矢v在直角坐标轴上的投影为vx、vy和vz,即比较，得到速度在各坐标轴上的投影等于动点的各对应坐标对时间的一阶导数。速度v的大小速度v的方向速度v的大小和方向就可由它的这三个投影完全确定同理，加速度则有加速度在直角坐标轴上的投影等于动点的速度在直角坐标轴上的投影对时间的一阶导数。加速度在直角坐标轴上的投影等于动点的各对应坐标对时间的二阶导数。加速度a的大小加速度a的方向加速度a的大小和方向由它的三个投影确定。返回当动点Ｍ运动时，s随着时间变化，它是时间的单值连续函数称为点沿轨迹的运动方程，或以弧坐标表示的点的运动方程已知点的运动方程式，可确定任一瞬时点的弧坐标s的值，就确定了该瞬时动点在轨迹上的位置。令主法线的单位矢量为n，指向曲线内凹一侧。过点M且垂直于切线及主法线的直线称副法线副法线密切面切线2.自然轴系在点的运动轨迹曲线上取极为接近的两点M和M１，其间弧长Δs，这两点切线的单位矢量分别为τ和τ1

，指向与弧坐标正向一致。将τ1平移至点M，则τ，和τ1决定一平面。令M1无限趋近点M则此平面趋近某一极限位置，此极限平面称为曲线在点Ｍ的密切面。法平面法平面与密切面的交线称主法线。过点Ｍ并与切线垂直的平面称为法平面主法线曲率定义为曲线切线的转角对弧长一阶导数的绝对值。曲率的倒数称为曲率半径。如曲率半径以ρ表示，则有：点M沿轨迹经过Δt弧长Δs到点M´。而切线经过MM´转过的角度为Δψ。在曲线运动中，轨迹的曲率或曲率半径是一个重要的参数。它表示曲线的弯曲程度。设点M处曲线切向单位矢量为τ，点M´处单位矢量为τ

´。当Δs为正时，点M沿切向Δτ

的正方向运动，指向轨迹为凹一侧；Δs为负时，Δτ

指向轨迹外凸一侧。因此有它的正负号表示点沿轨迹运动的方向由于τ是切线方向的单位矢量，因此点的速度矢可写为：则S随时间增加而增大，点沿轨迹的正向运动；则点沿轨迹的负向运动。的绝对值表示速度的大小４.点的切向加速度和法向加速度两项矢量第一项是反映速度大小变化的加速度，记为aτ

；第二项是反映速度方向变化的加速度，记为a

n。下面分别求它们的大小和方向。注意到v,τ都是变量

aτ指向轨迹的正向；

aτ指向轨迹的负向。

aτ是一个代数量，是加速度沿轨迹切向的投影。显然aτ是一个沿轨迹切线的矢量，因此称为切向加速度结论：切向加速度反映点的速度值对时间的变化率。它的数值等于速度的代数值对时间的一阶导数；或者，弧坐标对时间的二阶导数，方向沿着轨迹切线。（1）反映速度大小变化的加速度

aτ切向加速度表示速度大小的变化率，法向加速度表示速度方向的变化；v

，aτ的符号相同时，点作加速运动v

，aτ的符号相反时，点作减速运动an

，aτ在密切面内，所以沿着副法线上加速度ab=0全加速度大小为全加速度方向为：特殊情况，当切向加速度的代数值为常量时，aτ=常量，动点运动为匀变速曲线运动。可通过积分法获得它的运动规律返回§1-4实例返回§1-4实例例1椭圆规的曲柄OC可绕定轴O转动，其端点C与规尺AB的中点以较链相接，而规尺A、B两端分别在相互垂直的滑槽中运动，如图所示。已知：OC=AC=BC=l,MC=a,φ=ωt,试求规尺上点Ｍ的运动方程、运动轨迹、速度和加速度。O解：1）确定M的运动取直角坐标系Ｏxy如图所示2）建立点M的运动方程消去时间t，得轨迹方程点M在BC段上时，椭圆的长轴将与y轴重合。点Ｍ的轨迹是一个椭圆，长轴与x轴重合，短轴与y轴重合O求点的速度，应将点的坐标对时间取一次导数。得：其方向余弦为：故点M的速度大小为求点的加速度，应将点的坐标对时间取二次导数，得：其方向余弦为：故点Ｍ的加速度大小为选题例2:已知点的运动方程为x=2sin4tm,y=2cos4tm,z=4tm,求点的运动轨迹的曲率半径ρ解：由点的运动方程点的速度沿x,y,z轴的投影分别为：点的速度大小为点的全加速度的大小为由点的速度方程点的加速度沿x,y,z轴的投影分别为：点的切向加速度和法向加速度大小为：本题点是运动在半径为2m的圆柱上点的加速度为常量指向轴线选题例3半径为r的轮子沿着直线轨道无滑动的滚动，设轮子转角为ψ=ωt。求用直角坐标和弧坐标表示轮缘上一点M的运动方程，并求该点的速度、切向加速度、和法向加速度解：取点M与直线轨道的接触点O为原点.建立直角坐标系Oxy,当轮子转过ψ角时，轮子与直线的接触点为C，因为纯滚动，则直角坐标系表示M点的运动方程为上式对时间求导，得