高等数学上下册复习考试资料

PAGE高数上册复习考试函数与极限函数1．认识一些常用函数和初等函数.2．求函数的自然定义域。极限1．极限的计算（1）善于恒等化简和极限的四则运算法则（2）常用的计算方法（a）常用极限，，，，（），（），=1（）。（b）一些常用的处理方法(i)分子分母都除以n的最高次幂。例如：=，==(ii)根号差的消除。例如：－=，=(iii)指数函数的极限。=(。(iv)利用指数函数的极限。当=1时，===(v)转化为函数的极限可以用洛必达法则。=(vi)利用两边夹原理。把分别缩小、扩大一点点得简单的、，，使容易求得，则。（c）当用递归式给出时（i）用数学归纳法证明是单调有界的，从而存在；（ii）对的递归式两边取极限得关于的方程，再解出。（d）记得一些等价关系当=0时，～，～，～，～1－～，～，～，～（3）函数极限的计算（a）（2）中常用的计算方法对函数的六种极限都仍然适用。（b）如果已知在x0点连续，则=。（c）记得一些等价关系。（lim表示六种极限之一）当=0时，～，～，～，～1－～，～，～，～（d）（lim表示六种极限之一）当=1时，===（e）利用两边夹原理。把分别缩小、扩大一点点得简单的、，，使容易求得，则。（f）不定式的极限（lim表示六种极限之一）(i)当极限是或型的不定式时，可用洛必达法则：=（洛必达法则可以反复应用，但每次应用都要先检查类型。）(ii)对于0∞型的不定式，先变形，再用洛必达法则。====(iii)对于00、、∞0型的不定式。====(iv)对于∞－∞型的不定式，先计算成一个式子再计算。（g）如果，则。2．极限的证明（1）证明=A的格式证·，（打草稿从不等式解出（必要时将放大一点点得一个简单的，再从解出））（*）取。当时，（由正确推出（一般是（*）的倒推））故=A。证明=A的格式证·，（打草稿从不等式解出（必要时将放大一点点得一个简单的，再从解出））（*）取。当时，（由正确推出（一般是（*）的倒推））故=A。（其它类型极限的证明格式完全类似。）（2）证明存在但不管它是什么。用数学归纳法证明单调并且有界，再根据单调有界原理得出结论。三、连续性和间断点1．在点连续要证明在点连续就是要证明；如果是分段点，则要证明。2．间断点。（1）找间断点如果在的两边都有定义但没有定义，则是的间断点；分段函数的分段点可能是它的间断点。（2）间断点分类（a）如果是的间断点并且和都存在，则是第一类间断点。（b）如果或至少有一个不存在，则是第二类间断点。（c）如果存在（即都存在），但没有定义或，则是可除间断点。重新定义可使变成连续点。3．闭区间上连续函数的性质（1）零点存在定理。（2）介值定理。（3）最值定理。

导数与微分一、导数的计算用定义计算导数当要求导的函数不是初等函数时，比如分段函数的分段点或函数没有具体表示式时，直接用定义计算它在点的导数。用求导公式计算导数当要求导的函数是初等函数时，用求导公式和复合函数求导法求导数。要记熟用熟相关公式。复合函数求导（1）一次复合如果，则（2）多次复合如果，则更多层次的复合函数的求导方法类推。隐函数求导（1）一阶导数的求导步骤：（a）把看成的函数时，是一个恒等式；（b）用复合函数求导方法对恒等式两边对求导（求导时记得中有）得新的恒等式；（c）从解出=。（2）要求二阶导数时，有两种方法：（a）用复合函数求导方法恒等式两边对求导（求导时记得和中都有）得新的恒等式，再从解出=，最后代入=得=。（b）用复合函数求导方法恒等式=两边对求导（求导时记得中有）得=，最后代入=得=。更高阶导数的求导方法类推。参数表示的函数求导（1）表示的函数在点的一阶导数（2）要求二阶导数时，可对表示的函数再次求导：更高阶导数的求导方法类推。对数求导法）二、高阶导数常用函数的高阶导数其中。莱布尼茨公式与二项式公式完全类似。特别注意：当是低次多项式时，公式中的项数很少，非常简单。三、微分的计算函数在点的微分2．当复合函数时，微分公式也是3．，否则不可微。四、可导、可微、连续的关系可导可微连续但连续的函数不一定可导、可微。例如：y=|x|，x=0点。

微分中值定理与导数的应用一、导数的意义是曲线在点切线的斜率；如果是路程函数，则是在时间时的速度；如果是速度函数，则是在时间时的加速度。二、中值定理费马定理如果是的极值点，并且存在，则=0，即是驻点。费马定理是中值定理的基础。罗尔定理条件：结论：至少存在一点使得=0。罗尔定理的三个条件，如果缺少一个，结论就得不到保证。例如：；=；=。拉格朗日中值定理条件：结论：至少存在一点使得=。拉格朗日中值定理的两个条件，如果缺少一个，结论就得不到保证。例如：；=。如果在内可导，，则存在使得其中是的分比。这就是有限增量公式。柯西中值定理条件：结论：至少存在一点使得=。中值定理的证明题。方法是凑一个函数应用相应的中值定理。注意到：中有一项多一部分。三、泰勒公式泰勒公式其中余项的主要形式有拉格朗日余项，（在与之间）皮亚若余项。如果，则，用次泰勒多项式近似代替产生的误差估计为为备用，熟记一些常用函数的麦克劳琳公式（的泰勒公式）用间接法写函数的泰勒公式作变换：=；写出关于的麦克劳琳公式：适当恒等化简，把某组东西看成一个整体，使函数变成麦克劳琳公式已知的函数；利用已知写出麦克劳琳公式；整理。代回变量。4.用函数的泰勒公式求极限.四、求极值、最值极值问题极值点的范围根据费马定理，极值点的范围：全部导数不存在的点和=0的全部解。求极值的步骤求出不存在的全部点：；求出=0的全部解：。逐点用或判断是否极值点，是极大值点还是极小值点；逐点用或定义判断是否极值点，是极大值点还是极小值点。一定要有明确的结论。用判断：用判断：必要时求出极值。求最值（1）一般情况（a）最值点的范围最值点的范围：全部导数不存在的点和=0的全部解以及端点。（b）在上求最值的步骤（i）求出不存在的全部点：；求出=0的全部解：。（ii）相应的点为相应的最值点。（如果求最值的区间是、或，则没有的端点就不在考虑之内。）（2）特殊情况如果（i）根据问题的实际能判断得知的最大（小）值肯定在内取得；（ii）在内不存在或=0只有一个点。则就是的最大（小）值点。五、单调区间，凸性、拐点，渐近线1．单调区间求单调区间的步骤：（1）求出不存在和=0的全部点：。以为分点分成个小区间；（2）在的小区间中（严格）单调上升；在的小区间中（严格）单调下降。2．凸性、拐点求凸性区间、拐点的步骤：（1）求出不存在和=0的全部点：。以为分点分成个小区间；（2）用判断每个小区间的凸性：（3）如果左右两边的凸性相反，则是拐点；如果左右两边的凸性相同，则不是拐点。3．渐近线（1）垂直渐近线如果，则是的垂直渐近线。（可能不只一条。）（2）斜渐近线（包括水平渐近线）如果，则是的渐近线。4．曲率和曲率半径

不定积分原函数如果，则称为的一个原函数。不定积分的概念固定的随便一个原函数，的全部原函数称为的不定积分其中是任意常数，称为积分常数。因此不定积分的计算概说计算就是要找到的随便一个原函数，然后就得初等函数不定积分的计算（a）首先要记熟用熟基本积分表和常用的积分表。（b）千方百计地把要做的积分化为积分表中的积分。（i）利用线性性计算不定积分（ii）第一换元法快速的第一换元法就是凑微分法：（iii）第二换元法找一个适当的变换，则换元法的意义在于右边的积分比左边的积分简单。第二换元法主要用来解决一些积分困难。比如根号等。困难分母指数大变换什么难住你，就用换元法除掉它！（iv）分步积分法原则：。。如果经几次分步积分又出现左边的积分，就用代数方法解出。（v）当有时eq\o\ac(○,a)如果有实根，则拆开成两项eq\o\ac(○,b)如果没有实根，则先配方（vi）有理函数的积分eq\o\ac(○,a)假分式（）先用多项式除法其中是多项式，。eq\o\ac(○,b)真分式（）eq\o\ac(○,1)分解因式（设的最高次系数是1）eq\o\ac(○,2)待定系数分解eq\o\ac(○,3)把上式右边形式地加起来，比较两边系数得一个方程组，解此方程组得待定系数的值，代回上式即分解成功。eq\o\ac(○,4)变成几个简单积分然后递推。有理函数的积分总可以积出来。但比较麻烦，应用作最后一招。（vii）万能变换，，，其中是有理式。由于麻烦，万能变换应用作最后一招。（viii）的计算当是奇数时，；当是奇数时，；当都是偶数时，。不定积分技巧性强，方法灵活。要一切方法综合运用，一切通过试！

定积分定积分的概念定积分定义的四步分割：。。。“近似”：，。求和：。取极限：补充定义定积分的几何意义当时，=由“”围成曲边梯形的面积。当时，=由“”围成曲边梯形的面积的负值。当可正可负时，=由“”围成曲边梯形面积的代数和。当是速度函数时，=物体从时间到时间的运动路程。定积分的性质1．线性性2．可加性不管哪个大哪个小，积分能做就行。3．单调性，4．积分估计5．积分中值定理其中在上连续。上限的函数上限的函数是的一个原函数定积分的计算1．牛顿-莱布尼茨公式其中是的随便一个原函数。因此，先用不定积分算出的原函数，再用牛顿-莱布尼茨公式计算定积分。2．换元法其中是适当选好的变换，上下限跟踪。左右相等，哪个容易计算就计算哪个。定积分换元法也可解决一些积分困难。3．分步积分法，原则：。。如果经几次分步积分又出现左边的积分，就用代数方法解出。4．当是奇函数时反常积分1．无穷限积分极限（都）存在时积分收敛；否则积分发散。完全没有关系。可以是0。2．无界函数积分无界函数按通常意义积分都是发散的。如果在附近无界，则称为的一个瑕玷。，其中是在积分区间上唯一的瑕玷，上限大于下限。其中和是在积分区间上仅有的瑕玷，。极限（都）存在时积分收敛；否则积分发散。完全没有关系。。当积分区间中有几个瑕玷时，以这些瑕玷为分点，分成几个小区间的积分。3．反常积分也可换元或分部积分。4．，。5．反常积分审敛。（1）如果收敛，则必收敛，称为绝对收敛。以下设为非负函数。（2）收敛的充要条件是在有界。（3）如果在恒有，则（i）收敛则也收敛；（ii）发散则也发散。（4）设，则（i）如果，则和同敛散；（ii）如果且收敛，则也收敛；（iii）如果且发散，则也发散。（5）在（3）、（4）中使用并注意到4.。（6）无界函数的审敛与（1）--（5）类似。在（5）中用代替。

定积分的应用1．微元法定积分的应用就是用定积分计算某个量其中是的分布区间。微元法的步骤是：（1）找出的分布区间。在上任给和它的增量。在分布的部分量是的函数。（2）计算出在上的分布量所以微元与相差。（3）对两边积分2．面积的计算（1）两曲线间曲边梯形的面积如下图，。面积（2）极坐标情形如下图，“”围得图形的面积如果图形由“”围成，则其中是“”的面积；是“”的面积。如右图。由直角坐标方程写极坐标方程的方法：把代入曲线的直角坐标方程得，再从后式解出即是曲线的极坐标方程。3．体积的计算（1）旋转体的体积设旋转的曲边梯形为“”，如右图。（a）绕轴旋转所在长方形转出的是一个半径为高为的圆柱体。所以（b）绕轴旋转所在长方形转出的是一个内径为外径为高为的空心圆柱壳。所以（2）截面面积可计算的几何体的体积设几何体分布在轴的之间，点处垂直于轴的截面面积都可计算，则几何体的体积其中要首先计算出来。4．曲线弧长的计算（1）设曲线(右图)方程为参数方程。因此，弧长元素或说弧长微分弧长（*）（2）设曲线方程为，则它的参数方程（为参数）为因此弧长（3）设曲线方程为极坐标方程，则它的参数方程为代入（*）得弧长5．定积分的物理应用设曲线在点的线密度为，则曲线的质量。设物体从运动到，受到外力，则外力做的功。当长度为（液面为0）的面垂直放在液体中时，液体对面的压力，其中为面在点的宽度，为液体的密度。质量的线段对放在原点质量的引力为。设曲线在点的线密度为，则曲线的静力矩质心坐标。设曲线在点的线密度为，则曲线的转动惯量交流电的有效值。函数在的平均值，均方根值。

第七章微分方程微分方程及有关概念1．微分方程含有未知函数一阶或高阶导数的等式称为微分方程。其中未知函数导数的最高阶数称为微分方程的阶。QUOTE阶微分方程的一般形式为(*)2．微分方程的解一个函数，如果代入（*）成为恒等式则QUOTE称为（*）的解。如果（*）的解QUOTE不含有任意常数，则称它为（*）的一个特解。如果阶（*）的解QUOTE含有个不可减少的任意常数，则称QUOTE为（*）的通解。通解一定是微分方程的解，但不一定是全部解。3．微分方程的核心问题：（1）求微分方程的通解，称为通解问题；（2）求微分方程满足一定条件（称为初值条件）的解，称为初值问题。单独一个微分方程提出通解问题；初值问题的提法是（**）(后个等式是初值条件）。求微分方程的解（通解或特解）称为解微分方程。初值问题的解法求出微分方程的通解QUOTE；（2）用个初值条件确定个任意常数的值，即解关于的方程组把这些的值代回QUOTE即得满足初值条件的解（这步是代数问题）。可见，不管是解通解问题还是解特解问题，都要求微分方程的通解。记住：一般地说，解微分方程是世界难题。只有几种特殊类型的微分方程已有简单可行的解法。并且，不同类型的微分方程有自己独有的解法。我们的任务是：（1）辨认各种方程的类型；（2）熟练各种类型方程独有的解法。二、辨认类型，熟练解法1．已分离变量的微分方程称为已分离变量的微分方程。解法：(注意：不定积分的结果有任意常数)2．可分离变量的微分方程如果一阶微分方程（*1）能通过恒等变形化为（*2）则称为可分离变量的微分方程。解法：（1）分离变量（从（*1）到（*2）称为分离变量）；（2）隐式通解其中积分的任意常数已单独写出。记住：分离变量解微分方程的方法是微分方程解法的总根。齐次方程如果方程能恒等地变为(*3)则称为齐次方程。解法：作函数变换，则代入（*3）得方程分离变量再两边积分得其中QUOTE，常数统一写在右边。代回QUOTE得隐式通解一阶线性微分方程称为一阶线性微分方程。解法：通解公式其中的不定积分不再写任意常数。注意：有的方程把看成的函数时不是线性方程，但把看成的函数时就成了线性方程。6．贝努利方程称为贝努利方程。解法：（1）变形（2）作变换，，变为线性方程则即7．不含的二阶方程解法：（1）作变换，，变为一阶方程（2）用一阶方程的解法解得（3）再用一阶方程的解法解8．不含的二阶方程解法：（1）作变换QUOTE，用作新的自变量，，变为一阶方程（2）用一阶方程的解法解得（3）再用一阶方程的解法解10．二阶常系数线性方程解法：（1）求出特征方程的两个根；（2）根据下表确定通解的情况通解QUOTE都是实根QUOTE是实根QUOTE是复根常系数线性方程有往高阶的推广。11．常系数非齐次方程QUOTE（*4）其中是次多项式。解法：（1）确定解的形式：，其中QUOTE是次多项式，QUOTE是特征多项式的重根，QUOTE；（2）待定系数地设把QUOTE代入（*4）并比较两边同次幂的系数得关于方程组，解出QUOTE就得（*4）的一个解QUOTE；（3）求出的通解；（4）（*4）的通解为12．常系数非齐次方程QUOTE（*5）QUOTE（*6）解法：（1）利用欧拉公式，（*5）和（*6）的右边相加得（*4）型的方程QUOTE（*7）（2）用11法解之得（*7）的复通解其中QUOTE和QUOTE都是实函数；（3）QUOTE是（*5）的通解，QUOTE是QUOTE的通解。13．欧拉方程解法：作变换。三、线性微分方程解的结构1．线性微分方程解的结构设都是齐次方程QUOTE（*8）的解，则QUOTE也是（*8）的解；如果不是常数，则QUOTE是（*8）的通解。如果QUOTE是（*8）的通解并且是QUOTE（*9）的随便一个特解，则QUOTE是（*9）的通解。2．叠加原理（1）如果QUOTE是QUOTE的解，，则QUOTE是的解。把一个复杂的方程化为两个简单的方程。（2）如果QUOTEQUOTE是的解，则QUOTE是QUOTE的解，j=1,2。把两个不会解的方程化为一个会解的方程。四、常数变异法1、设已知齐次方程（*8）的一个不恒为0的解。令以求非齐次方程（*9）的通解。2、设已知齐次方程（*8）的两个线性无关解和。令，解以求非齐次方程（*9）的特解。五、相关题目1．根据题目的内容列出微分方程(和初始值条件)；2．求二中各种类型微分方程的通解；3．求二中各种类型微分方程的初值问题的解；4．用三中的叠加原理把方程化为几个简单方程，再求总方程的一个特解；5．用三中线性微分方程解的结构组成（*9）型方程的通解。6．利用常数变异法求方程的特解。结束语拿出高考的干劲，100分没问题。祝你考得100分！

《高等数学》复习考试（下册）第8章空间解析几何与向量代数一、向量及其运算.1、空间直角坐标系空间直角坐标系：三条两两垂直相交于原点的坐标轴，轴、轴和轴构成右手关系。学会：a）找出空间中给定点的坐标。b）找出空间中以给定为坐标的点。c）空间各部分点坐标的特点。两点、的距离公式2、向量（1）向量的概念数量：只有大小；向量：既有大小又有方向。向量只有大小和方向。在空间中用有向线段表示向量。其长度表示向量的大小也称为模或范数；其方向表示向量的方向。一个向量可以放在空间中任意位置。（2）特殊向量零向量：大小为0。任意方向都是的方向。只有一个零向量。单位向量：大小为1。有无穷多个单位向量。如果，则是与方向一致的单位向量，称为的单位化。（3）两向量的关系向量和有夹角。当时说；当时说。（4）向量的坐标把向量的始点放在原点，得的终点，则有的分解式其中是标准单位向量。是向量的坐标。分别是在、、轴上的投影；分别是在、、轴上的投影向量。向量与坐标一一对应。向量的理论分为两部分：用几何描述的向量理论和用坐标描述的向量理论。两部分理论对应地出现，互相翻译。设、，则（终点坐标减始点坐标。）始点坐标、终点坐标、向量坐标知其二求第三。（5）模和方向余弦设，则其中分别是与、、轴的夹角，它们支定了的方向。。一次性求出三个方向余弦：3、向量运算（1）加减法a）几何方法两向量用平行四边形法则或三角形法则（接龙法）相加。与大小相等方向相反。。b）坐标方法设，则（2）数乘向量a）几何方法。的方向：当时与同向；当时与反向。b）坐标方法（3）两向量的数量积a）几何方法b）坐标方法设，则c）物理意义位移外力做的功（4）两向量的向量积是一个新的向量。a）几何方法；成右手关系。b）坐标方法设，则c）几何意义以为边的平行四边形的面积。（5）三向量的混合积a）。。b）几何意义以为边的平行六面体的体积。（6）熟悉各种运算的运算律。4、平行、垂直、共面条件（1）设。下列命题等价：a）；b）存在实数使得；c）；d）。（2）下列命题等价：a）；b）；（3）共面。二、空间解析几何1、一般概念空间几何对象：曲面和曲线。平面是特殊的曲面，直线是特殊的曲线。空间解析几何就是用代数方程研究几何对象。几何对象和它的代数方程的关系如下：（1）上每点的坐标都满足方程；（2）坐标满足方程的点都在上。空间解析几何的主要任务:（1）根据已知条件写出几何对象的方程；（2）根据几何对象的方程分析几何对象的形状。2、空间解析几何（1）平面a）点法式方程其中是的随便一个固定的法向量，是随便固定的一点。利用条件求出即可写出平面的点法式方程。b）一般方程其中是的法向量。轴可以用一般式方程写满足条件的平面方程。利用条件求出即可写出平面的一般方程。c）三点式方程i）取ii）写出点法式方程。d）截距式方程如果平面与轴分别交于非原点，则e）点到平面的距离f）设则（2）直线a）点向式方程其中是的随便一个固定的方向向量，是随便固定的一点。利用条件求出即可写出直线的点向式方程。b）参数方程其中是的随便一个固定的方向向量，是随便固定的一点，是参数。c）一般方程作为平面和的交线。d）点向式方程化为一般方程e）一般方程化点向式方程：i）求出方程组的一个解；ii）取；iii）用和写出点向式方程。f）两直线的夹角直线与平面的夹角g）过直线的平面束用已知条件确定，从而在平面束中求出满足要求的平面。（3）常见的空间曲面（1）柱面二元方程在空间中表示母线平行于轴的柱面。（2）旋转曲面曲线绕轴旋转一周得的旋转曲面的方程为其它曲线绕其它轴转的情况类似（请你试写出来）。（3）二次曲面a）学会用“截痕法”分析曲面的形状。b）熟悉P56-P64列出的各种二次曲面及它们的方程。c）特别常用的曲面：柱面、锥面、（椭）球面、抛物面。（4）空间曲线a）空间曲线的一般方程（曲线作为两曲面的交线）参数方程b）由一般方程写参数方程的常用方法：先由一般方程变形出；令；再进一步写出参数方程。c）曲线在坐标平面上的投影由方程消去得到在面上的投影第9章多元函数微分法及其应用多元函数的极限和连续性多元函数的极限（1）计算多元函数极限的方法：（i）要善于变形；（ii）把一组东西看出一个整体，转化为一元函数的极限，再用一元函数求极限的方法求极限。（2）证明极限不存在：举一些的方式（比如），使极限不存在或与方式（）有关。多元函数的连续性（1）证明在点不连续：（i）用前面方法证明不存在；或（ii）求出。（2）证明在点连续就是证明QUOTE。偏导数和全微分1．偏导数（1）在点的偏导数分两步：（i）作一元函数；（ii）。因此（2）偏导数的几何意义：（i）=曲线在点切线对轴的斜率；（ii）曲线在点切线对轴的斜率=。关于完全类似。（3）当相应的高阶导数连续时，高阶偏导数与求导次序无关。2．全微分（1）全微分概念如果存在与和无关的和使则称在点可微。在点的全微分关于任意点的全微分，上面QUOTE改为。当是复合函数的中间变量时，全微分公式也一样。（2）如果在点可微，则在点的偏导数都存在，并且（3）（i）在点可微(ii)证明在点不可微就是证明极限不存在或不为0。导数的计算（1）一般函数求导方法：（i）保留求导变元，固定其他变元为常数，得一元函数；（ii）对此一元函数求导。（2）复合函数求导方法：（i）画复合函数图；（ii）根据复合函数图写求导公式（设对求导）：每个所在的路径都对应一项：此路径中的每个相邻函数关系都求导，这些导数相乘作公式的一个求导项；（iii）根据求导公式求得偏导数。（iv）利用低阶偏导数求高阶偏导数，遇到求偏导函数的导数时，各阶偏导函数与原函数有相同的函数图。（复合函数求导一定要求到底！）（3）隐函数求导方法：（i）把隐函数变量看作其它变量的函数得恒等式（组）；（ii）对恒等式（组）两边求导得含所求导数的方程（组）；（iii）解方程（组）得所求导数；（iv）求隐函数的高阶偏导数有两种方法：(a)利用低阶偏导数求高阶偏导数；(b)继续对求低阶导数时得的方程（组）求导，得含高阶导数的方程（组），解此方程（组）得高阶导数。不管用哪种方法，都要代入低阶导数的结果，都要清清楚楚地知道哪里含有要求导的变量。隐函数求导也可解出隐函数再求导。反函数看作隐函数处理。连续、可导、可微、偏导数连续的关系可导偏导数连续可导偏导数连续th×C3可微连续QUOTEC2××C3可微连续th反例：；；QUOTE都在(0,0)点。要熟悉一些典型例题。多元函数微分法的应用1．曲线在的切向量切线：法平面：QUOTE如果则用作参数。（用或作参数的情况类似）2．曲面在点的法向量切平面：法线：当曲面以参数方程给出时，消去参数变成一般方程再做。方向导数与梯度（1）在点QUOTE沿方向的方向导数其中是QUOTE的方向余弦。求在点QUOTE沿方向QUOTE的方向导数的方法：（i）求导QUOTE；（ii）求的方向余弦；（iii）代入上面公式。有时要用上面极限求方向导数。（2）在点QUOTE的梯度梯度是方向导数最大的方向，梯度的反方向是方向导数最小的方向，与梯度垂直方向的方向导数为0：。梯度是等值面QUOTE的法向量。极值与最值（1）无条件极值如果存在去心邻域使则称QUOTE为QUOTE的极值点，称QUOTE为QUOTE的极QUOTE值。可见，极值是小范围的最值。如果在QUOTE点有二阶偏导数，必要条件：；充分条件：其中。解无条件极值问题的方法：（i）QUOTE(ii)用定义对逐点判定；用充分条件对逐点判定。是否极值点，是极大值点还是极小值点，一定要有明确的结论；(iii)必要时求出相应的极值。（2）最值QUOTE在(闭)区域上的最大（小）值点有两种可能QUOTE因此求最大（小）值的方法：（i）求QUOTE在的最大值（最小值）；（ii）求出QUOTE（iii）结果如果根据问题的实际知：最大（小）值在内部取得，并且，在内部到处可导且只有唯一个驻点或导数不存在的点，则这点就是最大（小）值点。条件极值条件极值问题的解法：（i）写拉格朗日函数；（ii）求函数非条件极值的驻点（不用解出）；（iii）根据问题的实际判断每个驻点是否极值点，是极大值点还是极小值点。6． 泰勒公式设函数充分可导，则其中。有时可以把一组东西看作一个，利用一元函数写出关于的泰勒公式，再把代回得到原函数的泰勒公式。四、相关题目1．求多元函数的极限；2．证明多元函数在某点的极限不存在；3．证明多元函数在某点不连续（连续）；4．求给定多元函数（在某点）的偏导数；5．求多元函数（在某点）的全微分；6．求多元复合函数、隐函数的一阶或高阶偏导数，或全微分；7．求曲线在某点的切线方程、法面方程；求曲面在某点的切面方程、法线方程；（可能要先根据已知写出方程）8．求给定函数在某点的梯度，在某点沿某方向的方向导数；9．求函数的极值、最大（小）值、条件极值；10．证明多元函数在某点不可导（不可微或导函数不连续）。

第10章重积分一、二重积分1．二重积分的概念设是平面上的有界闭区域，QUOTE是上有界函数。分割：把分割为个小区域：“近似”：，作求和：QUOTE取极限：记，当QUOTE有了实际意义，也相应地有实际意义。例如，如果QUOTE是质量面密度，则二重积分就是的总质量；当QUOTE是以为底的曲顶柱体的高度函数时，二重积分是此曲顶柱体的体积。2．二重积分的性质（1）线性性（2）可加性如果分割成两个区域和，则（3）单调性如果则特别，如果则如果则其中QUOTE是的面积。（4）中值定理如果QUOTE在上连续，则存在使其中QUOTE是的面积。3．二重积分的计算（1）直角坐标X-型区域其中，小边界：；大边界：QUOTE。QUOTEyDxOabY-型区域其中，小边界：QUOTE；大边界：QUOTE。QUOTEydDcOx如果是X-型区域，则（后积分）如果是Y-型区域，则（后积分）如果既是X-型区域又是Y-型区域，则哪个简单就计算哪个。里层上下限总是外层积分变量的函数。如果既不是X-型区域又不是Y-型区域，则需作适当分割。（2）极坐标如果QUOTE其中QUOTE是的张角；是小边界；QUOTE是大边界（右图）。则（总是后积分）QUOTEOQUOTE（注意：面积元素多一个QUOTE；当包含原点时QUOTE）。当的边界是圆弧或被积函数含有QUOTE时，用极坐标积分比较简单。曲线极坐标方程的求法：设曲线方程QUOTE，则QUOTE，解出。二、三重积分1．三重积分的概念设是空间的有界闭区域，是上有界函数。分割：把分割为个小区域：“近似”：，作求和：QUOTE取极限：记QUOTE，当QUOTE有了实际意义，也相应地有实际意义。例如，如果QUOTE是质量体密度，则三重积分就是的总质量。2．三重积分的性质（1）线性性（2）可加性如果分割成两个区域和，则（3）单调性如果则特别，如果则如果则其中QUOTE是的体积。（4）中值定理如果QUOTE在上连续，则存在使QUOTE其中QUOTE是的体积。z3．三重积分的计算（1）直角坐标v（i）二套一设区域其中，是在xy平面上的投影，小边界：；大边界：QUOTE。QUOTE（右图）。则yQUOTExQUOTE（ii）一套二设区域其中，是在z轴上的投影；是平面截的截口。则dzvzcOyx一般情况下用二套一方法计算；当QUOTE不含，或用极坐标计算时不含，用一套二计算比较简单。往其它坐标平面或坐标轴投影完全类似。（2）柱面坐标用柱面坐标计算三重积分的方法：（i）先把三重积分写成二套一（ii）再用极坐标计算外层积分往其它坐标平面投影完全类似。（3）球面坐标（i）球面坐标与直角坐标的关系（ii）主要掌握以下三种简单情形：原点是的内点。此时其中是的外边界。的边界在原点与xy平面相切，包含z轴正向。此时其中是的外边界。是锥面与外边界包围。此时不管是计算二重积分还是三重积分，如果区域边界的表达式不一致，就要作适当区域分割。里层上下限总是外层积分变量的函数。三、重积分的应用1．体积2．曲面的面积其中QUOTE是面积微分；是曲面在xy上的投影。曲面表示成或时类似。3．质心设区域QUOTE的密度为QUOTE，则的质量质心坐标在平面情形少一个坐标且为二重积分。4．转动惯量（1）平面情形设区域的密度为，则转动惯量（2）空间情形设区域QUOTE的密度为QUOTE，则的转动惯量5．引力设区域QUOTE的密度为QUOTE，则对QUOTE以外的质量为的质点的引力为其中的复杂性是由力的分解时乘引起的。计算时注意对称性。相关题目1．用直角坐标计算二重积分，当边界的表达式不一致时会适当分割区域；知道什么时候用极坐标计算简单并会用极坐标计算二重积分；2．用直角坐标计算三重积分，当边界的表达式不一致时会适当分割区域；知道什么时候用柱面坐标或球面坐标计算简单并会用柱面坐标或球面坐标坐标计算三重积分；3．用二重积分或三重积分计算几何体的体积；4．用二重积分计算空间曲面的面积；5．用二重积分或三重积分计算质量、质心、转动惯量、引力等物理应用。

第11章曲线积分与曲面积分曲线积分对弧长的曲线积分（1）概念设是空间有界曲线，QUOTE是上有界函数。分割：把分割为个小弧段：“近似”：，为弧的弧长，作求和：QUOTE取极限：记当QUOTE有了实际意义，也相应地有实际意义。例如，如果QUOTE是质量弧长密度，则曲线积分就是的总质量。平面曲线积分是空间曲线积分的特例。（2）性质（i）线性性（ii）曲线段可加性把分割成两段和，则（iii）单调性如果在上有QUOTE，则特别，如果在上有QUOTE，则如果在上有QUOTE，则其中是的弧长。（iv）中值定理如果QUOTE在上连续，则存在使其中是的弧长。（3）计算设，则其中是弧长微分。当时就用作参数；类似地有时用或作参数。对坐标的曲线积分（1）概念设是空间有界的有向曲线，是始点是终点，是上有界向量函数。分割：把分割为个小弧段：“近似”：QUOTE。设的长是，是在点与方向一致的单位切向量。作求和：取极限：记QUOTE其中是与方向一致的单位切向量，。当QUOTE有了实际意义，也相应地有实际意义。例如，如果QUOTE是外力，则上面曲线积分就是质点沿从QUOTE运动到QUOTE外力做的功。平面曲线积分是空间曲线积分的特例。（2）性质（i）线性性（ii）曲线段可加性把分割成方向一致的两段和，则（iii）方向性如果记的反方向为，则其中。（iv）中值定理其中是的弧长。（3）计算（三个积分一个一个地计算）设QUOTE，则当时就用作参数；类似地有时用或作参数。注意：QUOTE和QUOTE不管哪个大哪个小。可以利用把三个积分互相转化。如果垂直于轴则QUOTE；垂直于轴则QUOTE；垂直于轴，则QUOTE。平面是空间的特例。格林公式、第二类曲线积分与路径无关、原函数1．格林公式条件：在有界闭区域上无奇点。结论：如果不封闭，添上简单的使QUOTE封闭，再用格林公式计算注意：要保持QUOTE成为QUOTE的正向边界。如果QUOTE在区域QUOTE上有奇点，用很小的曲线把奇点挖掉再用格林公式。但要保持QUOTE的方向成为新的QUOTE的正向边界。2．第二类曲线积分与路径无关前提：QUOTE是单联通区域；QUOTE在QUOTE上没有奇点。结论：QUOTE在QUOTE内与路径无关（只与始终点有关）。只要验证了QUOTE，就知道QUOTE在QUOTE内与路径无关，就可以选一条简单的路径计算积分QUOTE。一般来说，平行于坐标轴的折线最简单。3．原函数前提：QUOTE是单联通区域；QUOTE在QUOTE上没有奇点。结论：QUOTE在QUOTE内是某原函数QUOTE的全微分QUOTE。此时（选平行于坐标轴的折线计算曲线积分）。也可以用凑微分法求QUOTE。验证了后，的通解为，其中。曲面积分1．对面积的曲面积分设QUOTE在有界曲面上有界。分割：把QUOTE分割为小块：“近似”：，作求和：QUOTE取极限：记当QUOTE有了实际意义，也相应地有实际意义。例如，如果QUOTE是质量面密度，则曲面积分就是QUOTE的总质量。（2）性质（i）线性性（ii）可加性把QUOTE分割成两片QUOTE和QUOTE，则（iii）单调性如果在QUOTE上有QUOTE，则特别，如果在QUOTE上有QUOTE，则如果在QUOTE上有QUOTE，则其中QUOTE是QUOTE的面积。（iv）中值定理如果QUOTE在QUOTE上连续，则存在使其中QUOTE是QUOTE的面积。（3）计算设，则设QUOTE，则设QUOTE，则其中，分别是QUOTE在xy，xz，yz平面上的投影；QUOTE是曲面的面积元素。2．对坐标的曲面积分设QUOTE在有界的有向曲面QUOTE上有界。分割：把QUOTE分割为小块：QUOTE“近似”：，设QUOTE是QUOTE在QUOTE点与QUOTE同向的单位法向量，QUOTE作求和：取极限：记QUOTE其中是QUOTE与QUOTE同向的单位法向量，。当QUOTE有了实际意义，也相应地有实际意义。例如，如果QUOTE是流体速度，则曲面积分就是流体在单位时间内通过QUOTE流向QUOTE选定侧的总体积。（2）性质（i）线性性（ii）可加性把QUOTE分割成两片QUOTE和QUOTE，QUOTE方向一致，则（iii）方向性如果记QUOTE的反侧为QUOTE，则其中，是面积元素向量。（iv）中值定理（3）计算（三个积分一个一个地计算）设，则当QUOTE为上侧时取QUOTE号，下侧时取QUOTE号。设QUOTE，则当QUOTE为右侧时取QUOTE号，左侧时取QUOTE号。设QUOTE，则当QUOTE为前侧时取QUOTE号，后侧时取QUOTE号。其中。分别是QUOTE在xy，xz，yz平面上的投影。可以利用把三个积分互相转化。如果QUOTE垂直于xy平面，则QUOTE。垂直于yz平面或zx平面类似。高斯公式、散度、斯特克斯公式、旋度1．高斯公式条件：QUOTE在区域上无奇点。结论：如果QUOTE不封闭，添上简单的QUOTE使QUOTE封闭，再用高斯公式计算注意：要保持QUOTE成为QUOTE的外侧。如果QUOTE在区域QUOTE上有奇点，用很小的曲面把奇点挖丢再用高斯公式。但要保持QUOTE的方向成为新的QUOTE的外侧。2．散度向量函数在QUOTE的散度是实数因此3．斯特克斯公式条件：QUOTE在曲面QUOTE上无奇点。结论：可适当选择。4．旋度向量函数在QUOTE的旋度是向量因此相关题目1．计算第一、二类曲线积分；2．用格林公式（补曲线、挖奇点）计算第二类曲线积分；3．验证第二类曲线积分与路径无关，然后选简单曲线计算之；4．已知某第二类曲线积分与路径无关，求被积函数中的未知函数；5．验证某表达式是某原函数的全微分，并求原函数；6．已知某表达式是某原函数的全微分，求表达式中的未知函数；7．计算第一、二类曲面积分；8．用高斯公式（补曲面、挖奇点）计算第二类曲面积分；9．计算向量函数的散度、旋度。

第13章无穷级数一、常数项级数1．常数项级数的概念形式地用加号把一个数列连起来（1）称为一个常数项级数。称为一般项。一般项确定了级数也就确定了。（1）的前项的和称为（1）的部分和。。级数是收敛还是发散的性质称为级数的收敛性。判定级数是否收敛称为审敛。审敛是级数的核心内容。2．常数项级数的性质（1）收敛也收敛。如果，则和同敛散。（2）和都收敛也收敛。三个级数、和，如果任意两个收敛，则第三个也收敛；如果有一个发散，则至少有两个发散。（3）级数的收敛性与前面有限项无关。（但级数的和有关。）（4）收敛的级数可以随便添括号，不影响收敛性，也不影响和。（注意：逆不成立。）（5）收敛。（千万注意：逆不成立。）最常用是（5）的逆否：如果不存在或不是0，则发散。3．熟记一些级数（1）等比级数（2）调和级数发散。但交错级数收敛。（3）级数4．常数项级数的审敛（1）正项级数审敛法如果，则称为正项级数。定理1正项级数收敛它的部分和数列有上界。定理2（比较审敛法）设和都是正项级数。如果，（*）则（i）收敛收敛；（ii）发散发散。（大项级数收敛则小项级数也收敛；小项级数发散则大项级数也发散。）因为前有限项不影响级数的收敛性，与同敛散，所以（*）可改为，定理3（比较审敛法）设和都是正项级数，。（i）如果（是的高价无穷小），则收敛收敛；（ii）如果（是的低价无穷小），则发散发散；（iii）如果（和是同价无穷小），则与同敛散。（常常用等比级数或级数与要审敛的级数比较。）定理4（比值审敛法）设是正项级数，。（i）如果，则收敛；（ii）如果，则发散；（iii）如果，此法无效。定理4（根值审敛法）设是正项级数，。（i）如果，则收敛；（ii）如果，则发散；（iii）如果，此法无效。审敛正项级数，当可扩大（缩小）一点点得简单级数时，用比较审敛法；当是的简单递推时，用比值审敛法；当是次幂时，用根值审敛法。定理5（积分审敛法）设是正项级数，如果存在在单调减少的连续函数使得，则和同敛散。（2）交错级数审敛法如果且，则收敛。并且，，（3）绝对审敛法收敛收敛（绝对收敛）。如果收敛但发散，则称条件收敛。二、幂级数1．函数项级数项是函数的级数（#）称为函数项级数。如果收敛（发散），则称为（#）的收敛（发散）点。集合称为（#）的收敛域（可能为空集）。函数称为（#）的和函数。函数称为（#）的余项。2．幂级数的收敛域和收敛半径函数项级数称为幂级数。（1）对于任意幂级数，。定理1对于任意幂级数，收敛域都是以为中心的区间（可能是QUOTE、全实数、开区间、闭区间或半开半闭的区间）。幂级数收敛域的可能性(iii)中的称谓的收